Перегляд вихідного коду сторінки Диференційовна функція

[[Файл:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|Приклад диференційовної функції]]
[[Функція (математика)|Функція]] однієї чи кількох [[Дійсні числа|дійсних змінних]] називається '''диференційовною в точці''', якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою [[Лінійне відображення|лінійною функцією]] (відображенням). Дане лінійне відображення називається [[Диференціал (математика)|диференціалом]] функції в цій точці.

Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякої [[Множина|множини]], то вона називається диференційовною на цій множині.

У випадку функцій однієї змінної умова диференційовності еквівалентна умові існування [[Похідна|похідної]].

== Функції однієї змінної ==
Нехай [[Функція (математика)|функція]] <math>y = f(x)</math> визначена в деякому околі точки <math>x_0</math> і нехай <math>\Delta x = x - x_0</math>. Функція <math>f</math> називається '''диференційовною в точці''' <math>x_0</math> ({{lang-en|differentiable}}), якщо приріст <math>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</math> можна представити у вигляді:
: <math>\Delta y = A\Delta x + \alpha(\Delta x)</math>.
де:
: <math>A</math>&nbsp;— стала. При фіксованій <math>x_0</math> ''A'' не залежить від <math>\Delta x</math>; але коли відбувається зміна <math>x_0</math>, ''A'' змінюється також,
: <math>\alpha(\Delta x) = o(\Delta x)</math> при <math>x \to 0</math>.
[[Лінійна функція]] <math>A\Delta x</math> (від <math>\Delta x</math>) називається [[диференціал]]ом функції в точці <math>x_0</math> і позначається <math>df(x_0)</math>, або, коротше <math>dy</math>.

Таким чином:
: <math>\Delta y = dy + o(\Delta x)</math> при <math>\Delta x \to 0</math>,
: <math>dy = A\Delta x</math>.

=== Властивості ===
Для того, аби функція <math>f</math> була диференційовна в деякій точці <math>x_0</math>, необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:
: <math>dy = f'(x_0)dx</math>.

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є [[неперервна функція|неперервною]] в цій точці.

== Функції багатьох змінних ==
Відображення <math>f\colon M\subset \R^n \to \R^m</math> називається диференційовним в точці <math>x_0</math> якщо існує [[лінійне відображення]] <math>A\colon \R^n \to \R^m</math>, що залежить від точки <math>x_0</math>, таке що

<math>f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(\|x-x_0\|), \ \quad x \to x_0,</math>

або
: <math>\lim \limits_{x\to x_0}  \frac{\|f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|} = 0</math>.
Лінійне відображення <math>A\colon \R^n \to \R^m</math> називається диференціалом відображення <math>f(x)</math> в точці <math>x_0</math>.

Якщо відображення <math>f\colon M\subset \R^n \to \R^m</math> задано за допомогою функцій
: <math>f_i\colon M\subset \R^n \to \R, \ \quad i=1, \ldots, m,</math>
то матриця диференціала <math>A</math>&nbsp;— це [[матриця Якобі]], елементи якої рівні [[Часткова похідна|частковим похідним]] <math>\mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}.</math>

=== Зв'язок між диференційовністю і частковими похідними ===
На відміну від функцій однієї змінної де диференційовність еквівалентна існуванню похідної, у випадку багатьох змінних залежність з частковими похідними трохи складніша. Справедливими є наступні твердження.
* Якщо функція диференційовна в точці, то всі її часткові похідні і більш загально [[Похідна за напрямком|похідні за напрямком]] існують в цій точці.
* Зворотнє твердження невірне. Прикладом може бути функція
: <math>f(x,y) = \begin{cases}y^3/(x^2+y^2) & \text{if }(x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{if }(x,y) = (0,0)\end{cases}</math>
: для якої в точці (0, 0) існують похідні за всіма напрямками, зокрема і часткові похідні, але в цій точці функція не є диференційовною.
* Якщо всі часткові похідні в точці існують і додатково є в ній [[Неперервна функція|неперервними]] то функція є диференційовною.
* Умова неперервності часткових похідних не є необхідною для диференційовності. Наприклад у функції нижче обидві часткові похідні не є неперервні в точці (0, 0) але вона є диференційовною в цій точці
: <math>f(x,y) = \begin{cases}(x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) & \text{if }(x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{if }(x,y) = (0,0)\end{cases}</math>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Похідна]]
* [[Інтегровна функція]]
* [[Часткова похідна]]
* [[Похідна за напрямком]]
* [[Точка зламу]]

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}

{{Математика-доробити}}
{{Диференційовні обчислення}}

[[Категорія:Математичний аналіз]]