Перегляд вихідного коду сторінки Диференціал Абеля

'''Абеля диференціал'''&nbsp;— [[голоморфна функція|голоморфний]], або [[мероморфна функція|мероморфний]] [[диференціал]] на [[компактний простір|компактній]], або [[замкнута множина|замкнутій]] [[поверхня Рімана|поверхні Рімана]] ''S''.

Нехай ''g''&nbsp;— [[рід поверхні]] ''S''; a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>..a<sub>g</sub>b<sub>g</sub>&nbsp;— цикли канонічної бази ''S''. В залежності від характеру особливостей розрізняють диференціали Абеля трьох типів: I, II, III причому мають місце строгі включення: <math>I\,\subset\,II\,\subset\,III</math>. Диференціал Абеля І-го роду&nbsp;— це голоморфні всюди на S диференціали 1-го порядку, котрі в околі ''U'' кожної точки <math>P_0\,\in\,\!S</math> мають вигляд <math>\omega\,=\,pdz\,=\,p(z)dz</math>, де <math>z=x+iy</math>&nbsp;— локальна уніформізуюча змінна в U, <math>dz\,=\,dx+idy</math>, а p(z)&nbsp;— голоморфна, або регулярна [[аналітична функція]] на ''U''. [[Додавання]] і [[множення]] диференціалів Абеля визначаються звичайними правилами(див. [[диференціал]]).

Диференціали Абеля І роду формують [[векторний простір]] <math>\mathfrak{U}</math> розмірності ''g''. Після введення [[скалярний добуток|скалярного добутку]]

<math>(\omega,\pi)\,=\,\iint_{D}\omega*\overline{\pi}</math>,

де <math>\omega*\overline{\pi}</math>&nbsp;— [[зовнішній добуток]] <math>\omega</math> на зірково спряжений диференціал <math>\overline{\pi}</math>, <math>\mathfrak{U}</math> перетворюється в [[Гільбертів простір]].

Нехай <math>A_1,\,B_1,\,A_2,\,B_2,\,\ldots A_g,\,B_g</math>&nbsp;— А- і В- періоди другого роду диференціала Абеля. І роду <math>\omega</math>, тобто [[інтеграл]]и

<math>A_j\,=\,\int_{a_j} \omega, B_j\,=\,\int_{b_j} \omega, j=1,\,2,\,\ldots,\,g</math>. (1)

Тоді справедливе наступне співвідношення:

<math>{\|\omega\|}^2\,=\,i\sum_{j=1}^g\left (\,A_j{\overline{B}}_j\,-\,B_j{\overline{A}}_j \right )\,\ge\,0</math>

Нехай <math>A_1^{\prime},\,B_1^{\prime},\,A_2^{\prime},\,B_2^{\prime},\,\ldots A_g^{\prime},\,B_g^{\prime}</math>&nbsp;— періоди другого роду диференціала Абеля І-го роду <math>\pi</math>, то

<math>i(\omega,\,\overline{\pi})\,=\,\sum_{j=1}^g \left (\,A_j B_j^{\prime}\,-\,B_j A_j^{\prime} \right )\,=\,0</math>. (2)

Співвідношення (1) і (2) називають білінійними відношеннями Рімана для диференціала Абеля І роду. Канонічна база диференціала Абеля І роду, тобто канонічна база <math>\varphi_1,\,\varphi_2,\,\ldots,\,\varphi_g</math> простору <math>\mathfrak{U}</math>, вибирається таким чином, щоб

<math>A_{ij}\,=\,\int_{a_i}\varphi_i\,=\,\delta_{ij}</math>,

де <math>\delta_{ij}</math>&nbsp;— [[символ Кронекера]]. При цьому [[матриця (математика)|матриця]] <math>(B_{ij}), i,j=\overline{1,g}</math>, B-періодів

<math>B_{ij}\,=\,\int_{b_j}\varphi_{ij}</math>

[[симетрична матриця|симетрична]], а матриця [[уявне число|уявних частин]] <math>(Im \; B_{ij})</math> [[додатноозначена матриця|додатно визначена]]. Диференціал Абеля І роду, у якого всі А- або В- періоди тотожно рівні нулю рівний нулю. Якщо всі періоди диференціала Абеля І роду <math>\omega</math> [[дійсне число|дійсні]], то <math>\omega=0</math>.

Диференціали Абеля ІІ і ІІІ роду відносяться до мероморфних диференціалів, тобто до таких аналітичних диференціалів, котрі мають на ''S'' не більш ніж [[скінченна множина|скінченну множину]] особливостей типу [[полюс (комплексний аналіз)|полюсів]] з локальним представленням

<math>\left ( \frac{a_{-n}}{z^n}\,+\,\frac{a_{-n+1}}{z^{n-1}}\,+\,\ldots\,+\,\frac{a_{-1}}{z}\,+\,f(\,z\,) \right )dz</math>, (3)

де f(z)&nbsp;— регулярна функція, n&nbsp;— порядок полюсу(якщо <math>a_{-n}\,\ne\,0</math>), a<sub>-n</sub>&nbsp;— [[лишок]] в даному полюсі. При n=1 полюс називається простим. Диференціал Абеля ІІ роду&nbsp;— це мероморфні диференціали, в яких всі лишки дорівнюють нулю. Тобто їхнє локальне представлення має такий вигляд:

<math>\left ( \frac{a_{-n}}{z^n}\,+\,\frac{a_{-n+1}}{z^{n-1}}\,+\,\ldots\,+\,\frac{a_{-2}}{z^2}\,+\,f(\,z\,) \right )dz</math>.

Диференціал Абеля ІІІ роду&nbsp;— це диференціал Абеля довільного вигляду.

Якщо <math>\omega</math>&nbsp;— довільний диференціал Абеля з А-періодами <math>A_1,\,A_2,\,\ldots,\,A_g</math>, то диференціал Абеля <math>\omega^{\prime}\,=\,\omega-A_1 \varphi_1\,-\,A_2 \varphi_2\,-\,\ldots\,-\,A_g \varphi_g</math> має нульові А-періоди і називається нормованим. Якщо P<sub>1</sub> i P<sub>2</sub>&nbsp;— довільні точки S, то можна побудувати диференціал Абеля <math>\omega_{1,2}</math> з особливостями <math>\left ( \frac{1}{z} \right ) dz</math> в P<sub>1</sub> і <math>\left ( -\frac{1}{z} \right ) dz</math> в P<sub>2</sub>, який називається нормальним диференціалом Абеля ІІІ роду. Нехай <math>\omega</math>&nbsp;— довільний диференціал Абеля з лишками <math>c_1,\,c_2,\,\ldots,\,c_n</math> в точках <math>P_1,\,P_2,\,\ldots,\,P_n</math> відповідно, причому <math>c_1+c_2+\ldots+c_n=0</math>. Якщо <math>P_0\ne P_j\;j=\overline{1,n}</math> така довільна точка на S то <math>\omega</math> можна представити у вигляді [[лінійна комбінація|лінійної комбінації]] нормованого диференціала Абеля ІІ роду <math>\omega_2</math>, скінченного числа нормальних диференціалів Абеля <math>\omega_{j,0}</math> і базисних диференціалів Абеля І роду <math>\omega_k</math>:

<math>\omega=\omega_2+\sum_{j=1}^{n}c_j \omega_{j,0}+\sum_{k=1}^{g}A_k \varphi_k</math>.

Нехай <math>\omega_{3}</math>&nbsp;— диференціал Абеля ІІІ роду, що має лише прості полюси, з лишками <math>c_{j}</math> в точках <math>P_{j},\,j=1,2,...,n</math>, а <math>\omega_{1}</math>&nbsp;— довільний диференціал Абеля І роду;

<math>
A_{k}=\int_{a_{k}} \omega_{1},\,\,B_{k}=\int_{b_{k}} \omega_{1},
</math>

<math>
A_{k}^{\prime}=\int_{a_{k}} \omega_{3},\,\,B_{k}^{\prime}=\int_{b_{k}} \omega_{3},\,k=1,2,...,g,
</math>

причому цикли <math>a_{k},\,b_{k}</math> не проходять через полюси <math>\omega_{3}</math>. Нехай точка <math>P_0\,\in\,\!S</math> не лежить на циклах <math>a_{k}</math> і <math>b_{k}</math>, а <math>L_{j}</math>&nbsp;— шлях від <math>P_{0}</math> до <math>P_{j}</math>. Тоді маємо білінійні співвідношення для диференціал Абеля І і ІІІ роду:

<math>
\sum_{k=1}^{g} \left ( A_{k} B_{k}^{\prime} - A_{k}^{\prime} B_{k} \right ) = 2 \pi i \sum_{j=1}^{n} c_{j} \int_{L_{j}} \omega_{1}
</math>.

Аналогічні співвідношення існують і між диференціалами Абеля І і ІІ роду.

Довільний диференціал Абеля ІІІ роду, окрім А- і В- періодів (циклічних), має ще полярні періоди виду <math>2 \pi i c_{j}</math> вздовж циклів, гомологічних нулю, але таких, що охоплюють полюси <math>P_{j}</math>. Таким чином для довільного циклу <math>\gamma</math> маємо:

<math>
\int_{\gamma} \omega_{3} = \sum_{k=1}^{g} \left ( l_{k} A_{k}+l_{g+k} B_{k} \right ) + 2 \pi i \sum_{j=1}^{n} m_{j} c_{j},
</math>

де <math>l_{k},\,l_{g+k},\,m_{k}</math>&nbsp;— [[ціле число|цілі числа]].

== Див. також ==
* [[Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля]]

== Джерела ==
* Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И.&nbsp;М.&nbsp;Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
* Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960;
* Неванлинра Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955;
* Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.— Л., 1948.

[[Категорія:Диференціальні рівняння]]
[[Категорія:Математичні тотожності]]