Перегляд вихідного коду сторінки Диференціал (математика)

{{Числення|expanded=Диференціальне}}
[[Файл:Dydx.jpg|250px|thumb|Приріст та лінійна частина приросту функції однієї змінної]]
Диференціал в [[математика|математиці]]&nbsp;— головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина приросту функції або відображення.
В [[Математичний аналіз|математичному аналізі]] '''диференціал''' традиційно вважається [[Нескінченно мала величина|нескінченно малим]] приростом [[Змінна|змінної]]. Наприклад, якщо ''x''&nbsp;— змінна, тоді приріст значення ''x'' часто позначається Δ''x'' (чи ''δx'', якщо цей приріст малий). Диференціал d''x'' також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Головна властивість диференціалу: якщо ''y'' функція від ''x'', тоді диференціал d''y'' від ''y'' пов'язаний з d''x'' формулою:
: <math>\mathrm d y = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\, \mathrm d x,</math>
де d''y''/d''x'' позначає [[Похідна|похідну]] від ''y'' по змінній ''x''. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна ''y'' по змінній ''x'' це границя відношення приростів Δ''y''/Δ''x'' де Δ''x'' прямує до нуля.

# Диференціал як [[лінійне відображення]]. Цей підхід є основою визначення [[Повна похідна|повної похідної]] і [[Зовнішня похідна|зовнішньої похідної]] в [[Диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]].<ref>{{Citation |last=Darling|first= R. W. R. |title=Differential forms and connections |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=1994 |isbn=0-521-46800-0}}</ref>
# Диференціал як [[нільпотентний елемент]] в комутативних [[Кільце (алгебра)|кільцях]]. Такий підхід популярний в алгебраїчній геометрії.<ref>{{Citation| author1-link=David Eisenbud|first1=David|last1=Eisenbud|author2-link=Joe Harris (mathematician)|first2=Joe|last2=Harris| year = 1998 |title = The Geometry of Schemes| publisher = Springer-Verlag| isbn = 0-387-98637-5}}</ref>

Ці підходи дуже різні, але їх об'єднує ідея ''кількісного'', тобто важливо сказати, що диференціал не тільки нескінченно малий, а ''наскільки саме'' він малий.

== Історія і використання ==
Нескінченно малі величини грали значну роль в розвитку математичного аналізу. [[Архімед]] використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескінченно малими величинами можуть бути точні.<ref>{{Citation |first=Carl B. |last=Boyer |authorlink=Carl Benjamin Boyer |title=A History of Mathematics |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |year=1991 |isbn=0471543977 |chapter=Archimedes of Syracuse |url-access=registration |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye }}</ref> [[Бхаскара II]] розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін.<ref name="Joseph">George G. Joseph (2000), ''The Crest of the Peacock'', pp. 298–300, [[Princeton University Press]], ISBN 0-691-00659-8</ref> [[Шараф аль-Дін аль-Тусі]] використовував їх для обчислення [[Похідна|похідної]] [[Кубічне рівняння|кубічного рівняння]].<ref>J. L. Berggren (1990), «Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat», ''Journal of the American Oriental Society'' '''110''' (2): 304-9</ref><ref name=MacTutor>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> [[Ісаак Ньютон]] називав їх похідними. Проте [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]] був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, яке використовується дотепер.

В позначенні Лейбніца, якщо ''x''&nbsp;— змінне число тоді d''x'' позначає нескінченно малий приріст змінної ''x''. Таким чином, якщо ''y'' функція від ''x'', тоді [[похідна]] ''y'' по змінній ''x'' часто позначається <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math>, що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) <math>{\dot y}(x)</math> чи <math>y'(x)</math>. Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції ''y''(''x'') дорівнює [[нахил]]у функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити [[границя|границю]] відношення <math>\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}</math> приросту ''y'' в залежності від приросту ''x'', якщо приріст ''x'' прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад d''x'' маю таку саму розмірність як і змінна ''x''.

[[Сума Рімана]] є певного виду [[Апроксимація|наближенням]] інтегралу за допомогою скінченної суми. Вона названа на честь німецького математика із дев'ятнадцятого століття [[Бернгард Ріман|Бернгарда Рімана]]. Його одним із самих загальних застосувань є апроксимація площі, що обмежують графіки функцій або криві, а також довжини кривих і інші наближення.

Диференціал використовують в позначенні [[інтеграл]]а, тому що інтеграл можна вважати нескінченною сумою нескінченно малих величин: площа під [[Графік функції|графіком функції]] обчислюється як сума площ нескінченно тонких стрічок. У виразі

: <math>\int f(x) \, {\mathrm d}x,</math>

знак інтеграла (витягнуте s) означає нескінченну суму, f(x) позначає 'висоту' тонкої стрічки, а диференціал d''x'' позначає нескінченно тонку ширину.

== Формальні означення ==
Об'єм куба - функція від довжини його сторони, <math>V=x^{3}.</math> За рахунок [[Теплове розширення|лінійного термічного розширення]] сторони куба збільшуються, а тому збільшується і його об'єм. Якщо довжина сторони куба мала значення <math>x</math> і збільшилася на <math>h,</math> то вона прийме значення <math>x+h</math> і об'єм куба стане рівним <math>(x+h)^{3}.</math> Величина, на яку збільшиться його об'єм, буде складати <math>(x+h)^{3}-x^{3}.</math> Цю різницю називають прирощенням об'єму куба, а число <math>h</math>, яке показує, на скільки збільшилася довжина сторони куба, називається прирощенням його довжини. У математиці прирощення якої-небудь величини позначається <math>\Delta x,</math> де <math>\Delta</math> - велика грецька [[літера]] "дельта", яка нагадує про латинське слово differentia - "різниця". 
[[Файл:Function a-b graph.tif|міні|343x343пкс|Якщо функція <math>y=f(x)</math> зростає на відрізку <math>[a;\,b],</math> то на цьому відрізку знаки <math>\Delta y</math> та <math>\Delta x</math> співпадають - при збільшенні <math>x</math> збільшується й <math> y,</math> а при зменшенні <math>x</math> зменшується й <math>y</math> (графік ліворуч на малюнку). Якщо ж функція <math>y=f(x)</math> спадає на цьому відрізку, то у будь-якій його точці знаки <math>\Delta x</math> та <math>\Delta y</math> протилежні. ]]
Якщо <math>y=f(x)</math> - деяка функція й <math>x</math> прирощується, <math>\Delta x,</math> то змінюється й значення функції, в результаті чого вона отримує деяке прирощення <math>\Delta y.</math> Щоб обчислити це прирощення, необхідно: 

* знайти значення функції при початковому значенні аргумента, тобто <math>y=f(x)</math>;
* знайти нове значення аргумента, тобто <math>x+\Delta x</math>;
* знайти нове значення функції, тобто <math>f(x+\Delta x)</math>;
* з нового значення функції відняти початкове її значення,тобто <math>\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).</math> 


Наприклад, прирощення функції <math>y=x^{3}</math> має вигляд <math>\Delta y=3x^{2}\Delta x+3x\Delta x^{2}+\Delta x^{3};</math> це прирощення можна записати наступним чином: <math>\Delta y=3x^{2}\Delta x+(3x\Delta x+\Delta x^{2})\Delta x.</math> Воно складається з двох доданків <math>3x^{2}\Delta x</math> та <math>[3x\Delta x+(\Delta x)^{2}]\Delta x.</math> Перший доданок пропорційний прирощенню аргументу <math>\Delta x.</math> Другий доданок складніший, залежить від <math>\Delta x.</math> Але за малих <math>\Delta x</math> він набагато менший, ніж <math>3x^{2}\Delta x,</math> тому що є добутком <math>\Delta x</math> на вираз <math>3x\Delta x+(\Delta x)^{2},</math> який прямує до нуля за <math>\Delta x\to 0.</math>
{| class="wikitable"
|+<math>x=1</math>
!<math>\Delta x</math>
!<math>\Delta y</math>
!<math>3x^{2}\Delta x</math>
!<math>[3x\Delta x+(\Delta x)^{2}]\Delta x</math>
|-
|0,1
|0,331
|0,3
|0,031
|-
|0,01
|0,030301
|0,03
|0,000301
|-
|0,001
|0,003003001
|0,003
|0,000003001
|}
Таким чином, доданок <math>3x^{2}\Delta x</math>, який є пропорційним <math>\Delta x</math>, за малих значень <math>\Delta x</math> є головною частиною прирощення функції. Такий доданок називається диференціалом й позначається <math>dy=3x^{2}\Delta x.</math> Він залежить не лише від <math>\Delta x</math>, але й від <math>x.</math> Наприклад, для функції <math>y=x^{3}</math> при <math>x=1</math> та <math>\Delta x=0,1</math> він дорівнює <math>dy=1, 2.</math> У випадку <math>\Delta x=0,01</math> та <math>x=1</math> диференціал <math>dy=0,03.</math>
[[Файл:Cube differential.tif|міні|147x147пкс|Диференціал функції <math>S=x^{2}.</math>]]
Прирощення функції <math>y=x^{2}</math> має вигляд <math>\Delta y=(x+\Delta x)^{2}-x^{2}=2x\Delta x+(\Delta x)^{2}.</math> Доданком, пропорційним <math>\Delta x,</math> є <math>2x\Delta x.</math> Цей доданок і є диференціалом заданої функції: <math>dy=2x\Delta x=2x \,dx.</math> Формула для диференціалу <math>y=x^{2}</math> має простий геометричний сенс. Оскільки <math>S=x^{2}</math> - площина квадрата, сторона якого має довжину <math>x,</math> то <math>\Delta S</math> - площина фігури, на яку її площа збільшується. Зрозуміло, що за малих <math>\Delta x</math> головну частину цієї площини складає площина двох прямокутників, яка дорівнює <math>2x \Delta x,</math> тобто диференціалу функції <math>S=x^{2}.</math> Вираз <math>(\Delta x)^{2}</math> - площина квадратика, яка нескінченно мала у порівнянні із <math>\Delta x. </math>   

=== Випадок однієї змінної ===
Нехай в околі точки <math>x_0</math> задана функція <math>f(x): X \rightarrow Y</math>.

нехай існує таке <math>A</math>, що <math>f(x)-f(x_0)=A (x-x_0) + o(x-x_0)</math> при <math>x \rightarrow x_0</math>.

Позначимо <math>x-x_0=dx</math>.

Тоді функція <math>df=Adx</math> називається '''диференціалом''' функції <math>f(x)</math> в точці <math>x_0</math>.

=== Випадок багатьох змінних ===
Приклад 1. Нехай в околі точки <math>\overrightarrow{x_0}=\{x_0^1,x_0^2,...,x_0^n\}</math> задана функція багатьох змінних <math>f(\overrightarrow{x}): X \rightarrow Y</math>.

Нехай існує такий вектор <math>\overrightarrow{A}=\{A^1,A^2,...,A^n\}</math>, що <math>f(\overrightarrow{x})-f(\overrightarrow{x_0})=\overrightarrow{A} (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}) + o(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0})</math> при <math>\overrightarrow{x} \rightarrow \overrightarrow{x_0}</math>, де добуток векторів є [[Скалярний добуток|скалярним добутком]].

Позначимо <math>\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}=\overrightarrow{dx}=\{{dx}^1,{dx}^2,...,{dx}^n\}</math>.

Тоді функція <math>df=\overrightarrow{A}\overrightarrow{dx}</math> називатиметься '''диференціалом''' функції <math>f(\overrightarrow{x})</math> в точці <math>\overrightarrow{x_0}</math>.


Приклад 2. Тепер нехай <math>\Delta f=f(x_{1}+\Delta x_{1}, x_{2}+\Delta x_{2},...,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),</math> приріст функції <math>f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).</math> Неперервність частинних похідних <math>\frac{\partial f}{\partial x_{i}}</math> є умовою, достатньою для існування диференціалу. У цьому випадку

<math>\Delta f=\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+R_{1},</math>

де <math>R</math> нескінченно мале у порівнянні із <math>\sqrt{\Delta x^{2}_{1}+\Delta x^{2}_{2}+...+\Delta x^{2}_{n}}.</math> Вираз <math>df=\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Delta x_{i}</math> є диференціалом функції багатьох змінних.<br /> 

=== Відображення між евклідовими просторами ===
Диференціал відображення - головна, лінійна відносно приросту аргументу, частина відображеня, яка задається деякою матрицею. Також поняття диференціала можна ввести для відображення між [[евклідів простір|евклідовими просторами]] ''ƒ''&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;→&nbsp;'''R'''<sup>''m''</sup>. Нехай '''x''',Δ'''x'''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;— два вектори в просторі '''R'''<sup>''n''</sup>. Зміна значення функції ''ƒ'' при зміні аргументу на Δ'''x''' рівна:
: <math>\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).</math>
Якщо існує ''m''&nbsp;×&nbsp;''n'' [[матриця (математика)|матриця]] ''A'' для якої
: <math>\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}</math>
де вектор '''''ε'''''&nbsp;→&nbsp;0 при Δ'''x'''&nbsp;→&nbsp;0, тоді ''ƒ'' називається диференційовною в точці '''x'''. Матриця ''A'' називається [[матриця Якобі|матрицею Якобі]], а [[лінійне перетворення]], що ставить у відповідності вектору Δ'''x'''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''<sup>''n''</sup> вектор ''A''Δ'''x'''&nbsp;∈&nbsp;'''R'''<sup>''m''</sup> називається диференціалом ''dƒ''(''x'') відображення ''ƒ'' в точці ''x''.

=== Відображення між многовидами ===
Диференціал в точці <math>x \in M</math> гладкого відображення із гладкого [[многовид]]у в многовид <math>F\colon M\to N</math> визначається як лінійне відображення між [[дотичний простір|дотичними просторами]] в точках <math>x \in M</math> і <math>F(x) \in N,</math> тобто <math>dF\colon T_x M\to T_{F(x)}N,</math> таке що для довільної гладкої в точці ''F(x)'' функції <math>g\colon N\to\R</math> виконується рівність:
: <math>dF(X)g=X(g\circ F), \quad \forall X \in T_x M.</math>

== Джерела ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Диференціал функції|сторінки=266}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Math-stub}}

[[Категорія:Диференціальне числення]]
[[Категорія:Узагальнення похідної]]
[[Категорія:Лінійні оператори в численні]]
[[Категорія:Математична термінологія]]