Перегляд вихідного коду сторінки Диференціальне числення

{{unibox}}{{Числення|expanded=Диференціальне}}
[[Файл:Tangent_to_a_curve.svg‎|thumb|Крива і дотична|250px|right|Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (<span style="color: red">червоний</span> колір). Значення тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до кривої у точці, є значення похідної у цій точці (брунатний колір)]]
'''Диференціальне числення''' — розділ [[математика|математики]], в якому вивчаються [[похідна|похідні]], [[Диференціал (математика)|диференціали]] та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами [[Ньютон Ісаак|Ісаака Ньютона]] та [[Лейбніц Ґотфрід Вільгельм|Ґотфріда Лейбніца]]. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як [[теорія рядів]], теорія [[диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]] та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення базується на таких найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і становлять предмет введення до математичного аналізу: [[дійсні числа]] (числова пряма), [[функція]], [[границя]], неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обґрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи [[многочлен]]а. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: [[похідна]] і [[Диференціал (математика)|диференціал]].

== Похідна ==
Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудова дотичної до графіка функції.

=== Обчислення швидкості ===
Якщо [[рух]] точки є прямолінійним рівномірним, то [[швидкість]] не змінюється з [[час]]ом і визначається як відношення пройденого [[Шлях (фізика)|шлях]]у на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою <math>s(t)=\frac {gt^2}{2}</math>, де s — пройдений шлях з початку падіння (в [[метр]]ах), t — час падіння (в [[секунда]]х), g — стала величина, яка називається [[прискорення вільного падіння|прискоренням вільного падіння]], <math>g \approx 9{,}8 </math> м/с<sup>2</sup>. Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) ''4,9 м'', за другу — ''14,7 м'', а за десяту — ''93,2 м'', тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається [[швидкість|середня швидкість]] руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту <math>t</math>. Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту <math>t</math>, але й від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від <math>t</math> до <math>t + \Delta t</math> дорівнює:
<div style='text-align: center;'>
<math>\frac {s(t + \Delta t)-s(t)}{\Delta t}=gt + \frac {g}{2} \Delta t \qquad (1)</math>
</div>

При необмеженому зменшенні проміжку <math>\Delta t</math>, вираз (1) поступово наближується до <math>gt</math>. Цю величину називають швидкістю руху в момент часу <math>t</math>. Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як '''[[границя]] середньої швидкості''', коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу <math>t</math>, проміжку часу від <math>t</math> до <math>t + \Delta t</math> та закону руху, який виражається формулою <math>s = f(t)</math>. Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від <math>t</math> до <math>t + \Delta t</math> задається формулою <math>\frac {\Delta s}{\Delta t}</math>, де <math>\Delta s = f(t + \Delta t)-f(t)</math>, а швидкість руху у момент часу <math>t</math> дорівнює:
<div style='text-align: center;'>
<math>v(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(t + \Delta t)-f(t)}{\Delta t} \qquad (2)</math>
</div>

Основні переваги швидкості у даний момент, або '''[[швидкість|миттєвої швидкості]]''', перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу (<math>t</math>, <math>t + \Delta t</math>). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

=== Побудова дотичної ===
[[Файл:Tangent_problem.jpg‎|thumb|200px|Побудова дотичної до графіка функції]]
До виразу типу (2) зводиться задача побудови [[дотична|дотичної]] до площини кривої у деякій точці <math>M</math>. Нехай крива '''Г''' є графіком функції <math>y = f(x)</math>. Положення дотичної можна знайти якщо знати її [[кутовий коефіцієнт]], тобто [[тангенс]] кута <math>\alpha</math>, який дотична утворює з додатнім напрямом осі <math>Ox</math>.

Позначимо через <math>x_0</math> абсцису точки <math>M</math>, а через <math>x_1 = x_0 + \Delta x</math> — абсцису точки <math>M_1</math>. Кутовий коефіцієнт січної <math>MM_1</math> дорівнює:
<div style='text-align: center;'>
<math>\tan \beta = \frac {M_1 N}{MN}=\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}</math>,
</div>
де <math>\Delta y = M_1 N = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</math> — приріст функції на проміжку <math>[x_0, x_1]</math>. Якщо визначати дотичну у точці <math>M</math> як граничне положення січної <math>MM_1</math> при <math>x_1</math> прямує до нуля, то отримаємо:
<div style='text-align: center;'>
<math>\tan \alpha = \lim_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} </math>.
</div>

=== Поняття похідної ===
{{Докладніше|Похідна}}
Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної.
'''Похідною''' функції <math>y=f(x)</math> у точці <math>x</math> називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що: 
<div style='text-align: center;'>
<math>y' = f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac {f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}</math>.
</div>

За допомогою похідної також можна визначити [[сила струму|силу струму]], як границю <math>\lim_{\Delta t\to 0}\frac {\Delta q}{\Delta t}</math>, де <math>\Delta q</math> — додатній [[електричний заряд]], який проходить через провідник за час <math>\Delta t</math>, а також багато інших задач [[фізика|фізики]] та [[хімія|хімії]].

Похідну функції <math>y = f(x)</math> позначають <math>f'(x), y', \frac {dy}{dx}, \frac {df}{dx}, Df(x)</math>.

Якщо функція <math>y = f(x)</math> має похідну у точці <math>x_0</math>, то вона визначена як у самій точці <math>x_0</math>, так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці <math>x_0</math>. Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція <math>y = |x| = + \sqrt{x^2}</math>, графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при <math>x = 0</math> не має похідної, оскільки відношення <math>\frac {\Delta y}{\Delta x}</math> не має границі при <math>\Delta x\to 0</math>: якщо <math>\Delta x > 0</math>це відношення дорівнює <math>+1</math>, а якщо <math>\Delta x < 0</math>, то воно дорівнює <math>-1</math>. Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають '''диференціюванням'''. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто <math>y = f(u)</math> та <math>u = \phi (x)</math>, або всерівно що <math>y = f[\phi (x)]</math>, то <math>\frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \cdot \frac {du}{dx} = f'(u) \phi ' (x)</math>

Якщо похідна <math>f'(x)</math> має похідну, то її називають '''другою похідною''' функції <math>y = f(x)</math> та позначають <math>y'', f''(x), \frac {d^2 x}{dx^2}, \frac {d^2 f}{dx^2}, D^2 f(x)</math>. З механічної точки зору друга похідна — це [[прискорення]].

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: <math>y^n, f^n (x), \frac {d^n x}{dx^n}, \frac {d^n f}{dx^n}, D^n f(x)</math>.

=== Таблиця похідних ===
{{Детальніше|Таблиця похідних}}
==== Основні похідні ====
* Похідна від сталої: <math>(C)' = 0\,</math>
* Похідна від степеневої функції: <math>(x^n)' = nx^{n-1}\,</math>
* Похідна від [[Показникова функція|показникової функції]]: <math>(a^x)' = a^x \ln a\,</math>
* Похідна від експоненти: <math>(e^x)' = e^x\,</math>
* Похідна від логарифмічної функції: <math>(\log_{a} x)' = \frac {1}{x\ln a}</math>
* Похідна від натурального логарифма: <math>(\ln x)' = \frac {1}{x}</math>
* Похідна від синуса: <math>(\sin x)' = \cos x\,</math>
* Похідна від косинуса: <math>(\cos x)' = - \sin x\,</math>
* Похідна від тангенса: <math>(\tan x)' = \frac {1}{\cos^2 x}</math>
* Похідна від котангенса: <math>(\cot x)' = - \frac {1}{\sin^2 x}</math>
* Похідна від арксинуса: <math>(\arcsin x)' = \frac {1}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
* Похідна від арккосинуса: <math>(\arccos x)' = \frac {-1}{\sqrt{1 - x^2}}</math>

==== Правила диференціювання ====
* Сталу можна виносити за знак похідної: <math>[Cf(x)]' = Cf'(x)\,</math>
* Сума та різниця похідних: <math>[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)</math>
* Добуток похідних: <math>[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\,</math>
* Частка похідних: <math>\left [ \frac {f(x)}{g(x)}\right ] ' = \frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} </math>

Тут <math>C, n, a (a > 0)</math> — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що ''похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція''.

== Диференціал ==
Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного [[евклідів простір|евклідового простору]] в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного [[Функціональний аналіз|функціонального аналізу]].

Диференціалом функції <math>y=f(x)</math> називається вираз <math>dy =y'dx</math>, де <math>dx = \Delta x </math> приріст аргументу x.

== Джерела ==
{{Вікіцитати1}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.}}
* ''Ремез, Н. С.'' [https://ela.kpi.ua/handle/123456789/27243 Вища математика. Спеціальні розділи: Диференціальне числення функцій двох змінних. Розрахункова робота (Електронний ресурс)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190720072106/http://ela.kpi.ua/handle/123456789/27243 |date=20 липня 2019 }} : навч. посіб. для здобувачів ступеня бакалавра за освітньою програмою «Інженерна екологія та ресурсозбереження» / Н.&nbsp; С.&nbsp; Ремез, В.&nbsp; Ф.&nbsp; Мейш, В.&nbsp; О.&nbsp; Броницький ; КПІ ім. Ігоря Сікорського.&nbsp;— Електронні текстові дані (1 файл: 1,26 Мбайт).&nbsp;— Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2019.&nbsp;— 77 с.&nbsp;— Назва з екрана.
* [https://ela.kpi.ua/handle/123456789/31653 Математичний аналіз 1. Диференціальне числення функцій дійсної змінної. Збірник задач для розрахункових робіт (Електронний ресурс)]: навчальний. посібник для студентів спеціальності 124 «Системний аналіз» / КПІ ім. Ігоря Сікорського ; уклад.: Ю.&nbsp; В.&nbsp; Богданський, В.&nbsp; Г.&nbsp; Бондаренко, А.&nbsp; Ю.&nbsp; Мальцев, Г.&nbsp; Б.&nbsp; Подколзін.&nbsp;— Електронні текстові дані (1 файл: 2,36 Мбайт).&nbsp;— Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2020.&nbsp;— 59 с.
* {{Клепко_ВМ|частина=Механічний та геометричний зміст похідної|сторінки=259-261}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/der Динамічні моделі FIZMA.neT] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210515010800/http://fizma.net/index.php?idi=alg%2Fder |date=15 травня 2021 }}

{{Math-stub}}

[[Категорія:Диференціальне числення]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]