Перегляд вихідного коду сторінки Диференціальна геометрія кривих

[[Файл:Nonsymmetric velocity time dilation.gif|міні|праворуч|200пкс|[[Гвинтова лінія]]&nbsp;— лінія з постійною [[Кривина (математика)|кривиною]] та [[Скрут кривої|скрутом]].]]
: ''Стаття розглядає криві лише у [[Евклідів простір|Евклідовому просторі]]. Більш загальну інформацію про криві можна знайти у аналогічних стаття про [[Ріманів многовид|ріманові]] та псевдоріманові [[многовид]]и. Питання, що стосуються кривих у довільному [[Топологічний простір|топологічному просторі]] дивіться у головній статті присвяченій [[Крива|кривим]].''
'''Диференціа́льна геоме́трія криви́х'''&nbsp;— це розділ [[Геометрія|геометрії]], який має справу з [[Гладка крива|гладкими кривими]] на [[Площина|площині]] та у [[Евклідів простір|Евклідовому просторі]] і використовує для цього методи [[Інтегральне числення|інтегрального]] та [[Диференціальне числення|диференціального]] числення.

Ще з античних часів, різні криві досліджувались за допомогою [[Синтетична геометрія|синтетичних]] методів. [[Диференціальна геометрія]] діє в інший спосіб: криві представлені у [[Параметричне рівняння|параметризованому вигляді]] і їх геометричні властивості та характеристики, пов'язані з ними, такі як [[Кривина (математика)|кривина]] та [[довжина кривої]], виражаються через [[Похідна|похідні]] та [[інтеграл]]и за допомогою [[Векторне числення|векторного числення]]. Один з найважливіших засобів аналізу кривої&nbsp;— це [[Тригранник Френе|репер Френе]]&nbsp;— рухомий репер, який забезпечує «найкращу» систему координат в кожній точці кривої.

Теорія кривих набагато менша та простіша ніж [[диференціальна геометрія поверхонь]] та її багатовимірні узагальнення, тому, що регулярна крива в Евклідовому просторі не має внутрішньої геометрії. Будь-яку гладку криву можна [[Параметризація (геометрія)|параметризувати]] довжиною дуги (натуральна параметризація{{Перехід|#Довжина і натуральна параметризація}}) і з точки зору комахи, яка повзе по кривій і нічого не знає про навколишній простір, їй усі криві здаватимуться однаковими. Різні криві у просторі відрізняються тим, як вони вигинаються. Кількісно це вимірюється диференціально-геометричними [[Інваріант (математика)|інваріантами]], які називаються [[Кривина (математика)|кривиною]]{{Перехід|#Кривина кривої}} та [[Скрут кривої|скрутом]]. {{Нп|Основна теорема теорії кривих|||fundamental theorem of curves}} стверджує, що знання цих інваріантів повністю визначає криву.

== Визначення ==
{{Докладніше|Крива}}
Нехай ''n'' [[натуральне число]], ''r''&nbsp;— натуральне число або [[Нескінченність|∞]], ''I'' позначає [[Непорожня множина|непорожній]] [[проміжок]] на числовій прямій і ''t'' належить ''I''. Векторно-значна функція

: <math>\gamma\colon I \to {\mathbb R}^n</math>

класу ''C''<sup>''r''</sup> (тобто γ буде ''r'' разів [[Гладка функція|неперервно діференційована]]) називається '''параметричною кривою класу C<sup>r</sup>''' або ''C''<sup>''r''</sup>-[[Параметризація (геометрія)|параметризацією]] кривої γ. ''t'' називається [[параметр]]ом кривої γ. γ(''I'') називається '''образом''' кривої. Важливо відрізняти криву γ та образ кривої γ(''I''), тому, що образ кривої може бути описаний декількома різними кривими різного класу ''C''<sup>''r''</sup>.

Можна вважати, що параметр ''t'' представляє час, а крива γ(''t'')&nbsp;— це [[траєкторія]] об'єкту, що рухається у просторі.

Якщо ''I''&nbsp;— це замкнений проміжок [''a'', ''b''], точку γ(''a'') називають '''початковою точкою''', а γ(''b'')&nbsp;— '''кінцевою точкою''' кривої γ.

Якщо γ(''a'') = γ(''b''), кажуть, що крива '''замкнена''' або '''петля'''. Крім того, кажуть, що γ '''замкнена C<sup>r</sup>-крива''', якщо γ<sup>(''k'')</sup>(a) = γ<sup>(''k'')</sup>(''b'') для усіх ''k'' ≤ ''r''.

Якщо γ:(''a'',''b'') → '''R'''<sup>''n''</sup>&nbsp;— [[Ін'єкція (математика)|ін'єктивне відображення]], то кажуть, що крива '''проста'''.

Якщо параметрично задана крива γ може бути локально описана у вигляді [[Степеневий ряд|степеневого ряду]], то кажуть, що крива '''аналітична''' або класу <math>C^\omega</math>.

Пишуть -γ для позначення того, що крива проходиться в зворотньому напрямку.

''C''<sup>''k''</sup>-крива <math>\gamma\colon I \rightarrow \mathbb{R}^n</math> буде '''гладкою порядку m''', якщо для кожного ''t'' з проміжку ''I''

: <math>\lbrace \gamma'(t), \gamma''(t), ...,\gamma^{(m)}(t) \rbrace \mbox {, } m \leqslant k</math>

— [[лінійно незалежні вектори]] в '''R'''<sup>''n''</sup>.

Зокрема, ''C''<sup>1</sup>-крива ''γ'' '''гладка''' якщо <math>\gamma\,'(t) \neq 0</math> для кожного <math>t \in I</math>.

== Перепараметризація і відношення еквівалентності ==
{{Докладніше|Радіус-вектор}}
Образ кривої може відповідати декільком різним [[Параметризація (геометрія)|параметризаціям]] кривої. Мета диференціальної геометрії описати інваріанти кривих незалежні від різних параметризацій. Отже, потрібно визначити [[відношення еквівалентності]] на множині всіх параметризованих кривих. Властивості диференціальної геометрії кривої (довжина, [[Тригранник Френе|репер Френе]] та узагальнена кривина) є інваріантами відносно перепараметризації і тому є властивостями класів еквівалентності. Класи еквівалентності називаються '''C<sup>r</sup>-кривими''' і є центральними об'єктами дослідження в диференціальній геометрії кривих.

Дві параметричні криві класу ''C''<sup>''r''</sup>

: <math> \mathbf{\gamma_1}\colon I_1 \to R^n</math>

і

: <math> \mathbf{\gamma_2}\colon I_2 \to R^n</math>

кажуть, що '''еквівалентні''' якщо існує [[Бієктивне відображення|бієктивне]] ''C''<sup>''r''</sup>-гладке відображення

: <math> \varphi\colon I_1 \to I_2</math>

таке, що

: <math> \varphi'(t) \neq 0 \qquad (t \in I_1)</math>

та

: <math> \mathbf{\gamma_2}(\varphi(t)) = \mathbf{\gamma_1}(t) \qquad (t \in I_1)</math>

γ<sub>2</sub> називають '''перепараметризацією''' γ<sub>1</sub>. Ця перепараметризація γ<sub>1</sub> визначає відношення еквівалентності на множині всіх ''C''<sup>''r''</sup>-кривих. Клас еквівалентності називається '''C<sup>r</sup>-кривою'''.

Можна визначити навіть ''тонше'' відношення еквівалентності на '''орієнтованих C<sup>r</sup>-кривих''', якщо вимагати, щоб φ було φ‘(''t'') > 0.

Еквівалентні ''C''<sup>''r''</sup>-криві мають однакові образи кривих. А еквівалентні орієнтовані ''C''<sup>''r''</sup>-криві навіть проходяться в однаковому напрямку.

== Довжина і натуральна параметризація ==
{{Докладніше|Довжина кривої}}

Довжина ''l'' кривої ''γ'' : [''a'', ''b''] → '''R'''<sup>''n''</sup> класу ''C''<sup>1</sup> може бути визначена наступним чином:

: <math>l = \int_a^b \vert \mathbf{\gamma}\,'(t) \vert dt.</math>

Довжина кривої інваріантна відносно перепараметризації кривої і тому є властивістю кривої, яка розглядається в диференціальній геометрії.

Для кожної гладкої ''C''<sup>''r''</sup>-кривої (''r'' не менше 1) ''γ'': [''a'', ''b''] → '''R'''<sup>''n''</sup> можна визначити функцію

: <math>s(t) = \int_{t_0}^t \vert \mathbf{\gamma}\,'(x) \vert dx.</math>

Записуючи

: <math>\bar{\mathbf{\gamma}}(s) = \gamma(t(s))</math>

де ''t''(''s'')&nbsp;— [[обернена функція]] до ''s''(''t''), отримаємо перепараметризацію <math> \bar{\gamma}</math> кривої γ яка називається '''природною''' або '''натуральною'''. Кажуть, що крива параметризована '''довжиною дуги''' або на ній задана параметризація '''одиничної швидкості'''. Параметр ''s''(''t'') називається '''натуральним параметром''' γ.

Ця параметризація зручна тим, що натуральний параметр ''s''(''t'') пробігає образ γ з одиничною швидкістю, тобто

: <math>\vert \bar{\mathbf{\gamma}}\,'(s(t)) \vert = 1 \qquad (\forall t \in I).</math>

Зазвичай на практиці складно отримати натуральну параметризацію кривої, проте, при теоретичних міркуваннях, дуже зручно розглядати криві задані натуральною параметризацією.

Для заданої кривої γ(''t'') єдина з точністю до вибору напрямку обходу кривої.

Величину

: <math>E(\gamma) = \frac{1}{2}\int_a^b \vert \mathbf{\gamma}\,'(t) \vert^2 dt</math>

часто називають '''енергією''' або [[Дія (фізика)|дією]] кривої; така назва виправдана тим, що рівняння [[геодезична лінія|геодезичної лінії]] є рівнянням [[Рівняння Ейлера-Лагранжа|Ейлера-Лагранжа]] руху для такої дії.

== Дотик кривих ==
{{main|Дотик (математика)}}
[[Файл:Osculating circle.svg|thumb|[[Стичне коло]] та пряма, дотична до кривої]]
Дві криві <math>\vec{r}_1 = \vec{r}_1(s)</math>, <math>\vec{r}_2 = \vec{r}_2(s)\in C^{n+1}</math> мають в спільній точці <math>\vec{r}(s_0)</math> дотик порядку ''n'', якщо у них збігаються похідні тільки до ''n''-го порядку:
: <math>\vec{r}_1{}^{(i)}(s_0) = \vec{r}_2{}^{(i)}(s_0)\ (i=0, \dots, n),\quad \vec{r}_1{}^{(n+1)}(s_0) \neq \vec{r}_2{}^{(n+1)}(s_0).</math>

Наприклад, '''[[Дотична|дотичною]] прямою''' буде пряма, яка є дотичною кривою не нижче 1-го порядку. Серед кіл дотичних до кривої виділяють '''[[стичне коло]]''', яке є дотичною кривою не нижче 2-го порядку.

== Кривина кривої ==
[[Файл:Сurvature of curve.svg|міні|праворуч|200пкс|]]
Кривина кривої визначає кількісну міру відхилення кривої від [[Дотична|дотичної]] прямої. Далі наведено ''геометричне визначення'' кривини ''C''<sup>''2''</sup>-гладкої кривої.

Нехай точка ''P'' належить регулярній кривій γ, точка ''Q'' на кривій, близька до точки ''P''. Позначимо через <math>\Delta \theta</math> кут між дотичними в точках ''P'' та ''Q'', а через <math>\Delta S</math> довжину дуги кривої між точками ''P'' та ''Q''. Тоді кривиною кривої γ в точці ''P'' називається [[Границя числової послідовності|межа]]{{sfn|Борисенко||с=27}}
: <math>\lim_{Q \to P}\frac{\Delta \theta}{\Delta S}.</math>

Очевидно, що якби крива γ була прямою, то дотичні до неї збігалися б із самою прямою і, тому кут <math>\Delta \theta</math> буде нульовим, а отже і кривина прямої дорівнює нулю. Використовуючи наведене визначення нескладно обчислити кривину [[Коло|кола]] радіуса ''R'', вона дорівнює <math>\frac 1R</math>. Тому величину [[Обернене число|обернену]] до кривини називають '''радіусом кривини'''.

Іноді кривині приписують знак. Якщо кривина може бути від'ємною, то її позначають як
<math>k</math>, коли ж береться модуль кривини, то позначають як <math>\kappa.</math>

=== Обчислення кривини пласкої кривої ===
Нехай крива задана [[радіус-вектор]]ом <math>\vec r(t) = (x(t),y(t)).</math>

Для обчислення кривини пласкої кривої використовують формули (похідна береться за параметром ''t''):
: <math>\kappa = \frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}, \qquad k = \frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}.</math>

Без використання координат (<math>\times</math>&nbsp;— [[векторний добуток]]):
: <math>\kappa = \frac{|r'\times r''|}{\|r'\|^3},\qquad k = \frac{\det(r',r'')}{\|r'\|^3}.</math>

=== Обчислення кривини кривої у просторі ===
Нехай крива задана [[радіус-вектор]]ом <math>\vec r(t) = (x(t),y(t),z(t)).</math> Кривину кривої можна знайти за формулою:
: <math>\kappa=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}},</math>

Без використання координат:
: <math>\kappa  = \frac{|r' \times r''|}{\|r'\|^3}</math>

Еквівалентні формули:

: <math>\kappa = \frac{\sqrt{\det\left( (r',r'')^t(r',r'') \right)} }{\|r'\|^3}= \frac{\sqrt{ \|r'\|^2 \|r''\|^2- (r'\cdot r'')^2 } }{\|r'\|^3}.</math>

Тут ''t'' позначає [[Транспонована матриця|транспоновану матрицю]]. Останню формулу можна використовувати для обчислення кривини кривої в Евклідовому просторі довільної вимірності.

== Див. також ==
* [[Рулета]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія}}

* {{Книга
 |автор = [[Погорєлов Олексій Васильович|Погорєлов О. В.]]
 |рік = 1974
 |заголовок = Диференціальна геометрія
 |посилання = https://archive.org/details/B-001-014-363
 |місце = М.
 |видавництво = Наука
 |isbn = 5-93972-068-4
 |сторінок = 184}}

[[Категорія:Диференціальна геометрія кривих]]