Перегляд вихідного коду сторінки Дисперсія випадкової величини

[[Файл:Comparison standard deviations.svg|thumb|400px|right|Приклад вибірок двох сукупностей із однаковим середнім значенням але різною дисперсією. Червоним позначено вибірку із середнім 100 і дисперсією 100 (стандартним відхиленням=10), а синім показано вибірку із середнім 100 і дисперсією 2500 (СВ=50).]]
{{Otheruses|Дисперсія}}

'''Диспе́рсія''' ({{lang-en|variance}}) — це [[Міри розсіяння|міра розсіяння]] значень [[випадкова величина|випадкової величини]] відносно [[Математичне сподівання|середнього значення розподілу]]. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від центру розподілу.

У простому розумінні, дисперсія дозволяє виміряти наскільки далеко випадкові значення розподілені від їх середнього значення. Дисперсія відіграє важливу роль в статистиці, в якій вона використовується в таких напрямах як [[описова статистика]], [[статистичне висновування]], [[перевірка статистичних гіпотез]], [[Допасованість (статистика)|допасованість]], і [[Метод Монте-Карло]]. Дисперсія дорівнює квадрату [[Стандартне відхилення|стандартного відхилення]], що є другим [[Центральний момент|центральним моментом]] розподілу, і [[Коваріація|коваріації]] випадкової величини із самою собою, тому зазвичай вона позначається як <math>\sigma^2</math>, <math>s^2</math>, або <math>\operatorname{Var}(X)</math>.

== Вступ ==

=== Приклади ===

'''Дисперсія''' [[випадкова величина|випадкової величини]]&nbsp;— це один з параметрів [[Розподіл ймовірностей|розподілу ймовірностей]]&nbsp;— це середньоквадратичне відхилення від середнього значення. Інакше кажучи, це [[математичне сподівання]] квадрату [[абсолютне відхилення|відхилення]] цієї змінної від її очікуваного значення (її математичного сподівання). Отже дисперсія є вимірюванням величини ''розпорошеності'' значень цієї змінної, беручи до уваги всі її значення і їхні ймовірності або ваги.

Наприклад, якщо підкинути ідеальний [[Гральні кубики|гральний кубик]], то очікування значення буде:
: <math>\frac 16(1+2+3+4+5+6)=3.5.</math>

Очікуване [[середнє абсолютне відхилення]] таке:
: <math>\frac 16(|1-3.5|+|2-3.5|+|3-3.5|+|4-3.5|+|5-3.5|+|6-3.5|)=\frac 16(2.5+1.5+ 0.5+0.5+1.5+2.5)=1.5.</math>

Але очікуване ''квадратичне'' відхилення таке:

: <math>\frac 16 (2.5^2+1.5^2+0.5^2+0.5^2+1.5^2+2.5^2)=17.5/6\approx 2.9.</math>

Якщо монету підкинути двічі, кількість аверсів становить: 0 з імовірністю 0.25, 1 з імовірністю 0.5 і 2 з імовірністю 0.25. Отже, очікування кількості аверсів таке:

: <math>0.25 \times 0 + 0.5 \times 1 + 0.25 \times 2 = 1,</math>

і дисперсія така:

: <math>0.25\times (0-1)^2+0.5\times (1-1)^2+0.25\times (2-1)^2 =0.25+0+0.25 = 0.5.</math>

== Означення ==
Дисперсією випадкової величини <math>X</math> називається [[математичне сподівання]] квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія є [[центральний момент|центральним моментом]] другого порядку.<ref name="smirnov">{{cite book |автор=Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. |назва=Курс теории вероятности и математической статистики |розміщення =Москва |видавництво= Наука   | рік=1965}}</ref>

Нехай випадкова змінна <math>X</math> може набувати значення <math>x_1,x_2,\ldots,</math> відповідно з ймовірностями <math>p(x_1),p(x_2),\ldots,</math> причому <math>\sum_{x} p(x)=1\,</math>.

* Дисперсія [[Дискретна випадкова величина|дискретної випадкової величини]] <math>X</math> має такий вигляд:

: <math>\sigma^2\equiv\operatorname{D}(X)=\operatorname{E}[(X-\mu)^2]=\sum_{x} (x-\mu)^2p(x)</math>,
де
: <math>\sigma=\sqrt{\sigma^2}\,</math> і називається [[Стандартне відхилення|стандартним відхиленням]] величини <math>X</math> від її [[Математичне сподівання|середнього значення]] <math>\mu\,</math>;

: <math>\operatorname{D}</math>&nbsp;— це [[оператор]] дисперсії випадкової величини.

* Якщо випадкова величина <math>{\xi=x\,}</math> задана [[Густина імовірності|густиною імовірності]], тоді дисперсія виглядає так:<ref name="soong">{{cite book|title=Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers|author=T. T. Soong|publisher=Wiley|year=2004|isbn=0-470-86813-9|url=http://vfu.bg/en/e-Learning/Math--Soong_Fundamentals_of_probability_and_statistics_for_engineers.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20210203095800/http://vfu.bg/en/e-Learning/Math--Soong_Fundamentals_of_probability_and_statistics_for_engineers.pdf|archive-date=2021-02-03|url-status=live}}</ref>

: <math>\sigma^2\equiv\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}[(\xi - \mu)^2] = \int_{X} (x - \mu)^2 p_{\xi}(x) dx</math>,
де
: <math>\mu \equiv\operatorname{E}(\xi)=\int_{X} x p_{\xi}(x) dx</math>, тобто це середнє значення величини <math>\xi\,</math>;

: <math>p_{\xi}(x)\,</math>&nbsp;— функція густини імовірності.

== Теореми ==
* Дисперсія являє собою різницю математичного очікування квадрата випадкової величини <math>\operatorname {E}(X^2)</math> і квадрата середнього значення <math>\mu\,</math> цієї величини:<ref name="soong" />
: <math>\sigma^2 = \operatorname{E}(X^2) - \mu^2=\sum_{x} x^2\,p(x)- \mu^2</math>.

* '''Теорема [[Чебишов Пафнутій Львович|Чебишова]]:''' Ймовірність будь-якої випадкової величини <math>X\,</math>, яка набуває значення в границях <math>k\,</math> стандартних відхилень від середнього значення <math>\mu\,</math>, не менше <math>1-\frac{1}{k^2}</math>, тобто<ref>Walpole Roland E., Myers Raymond H. ''Probability and Statistics for Engineers and Scientists.''&nbsp;— 3-th. edition, Macmillan Publishing Company.&nbsp;— New York, 1985.&nbsp;— 639 p.&nbsp;— ISBN 0-02-424170-9.</ref>

: <math>P(\mu-k\sigma<X<\mu+k\sigma)\ge\,1-\frac{1}{k^2}</math>.

== Властивості ==

=== Основні властивості ===
Дисперсія випадкової змінної є невід'ємною величиною, оскільки число піднесене в квадрат може бути додатнім або нулем:
: <math>\operatorname{D}(X)\ge 0.</math>

Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто <math>\operatorname{D}(c)=0</math>, де <math> c=const\,</math>, а якщо дисперсія випадкової величини у [[Набір даних|наборі даних]] дорівнює 0, тоді всі входження цього набору мають однакове значення:

: <math>P(X=a) = 1\Leftrightarrow \operatorname{D}(X)= 0.</math>

Дисперсія є [[Інваріант (математика)|інваріантною]] до змін [[Коефіцієнт зсуву|коефіцієнту зсуву]]. Таким чином, додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсії:
: <math>\operatorname{D}(X+a)=\operatorname{D}(X).</math>

Якщо всі значення випадкової величини помножено на константу, дисперсія буде помножена на квадрат цієї константи. Тобто константу можна виносити в квадраті за знак дисперсії:
: <math>\operatorname{D}(aX)=a^2\operatorname{D}(X).</math>

Дисперсія суми двох випадкових величин дорівнюватиме
: <math>\operatorname{D}(aX+bY)=a^2\operatorname{D}(X)+b^2\operatorname{D}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>

: <math>\operatorname{D}(aX-bY)=a^2\operatorname{D}(X)+b^2\operatorname{D}(Y)-2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>

де {{math|Cov(⋅, ⋅)}}&nbsp;— [[коваріація]].
У загальному випадку для суми <math>N</math> випадкових величин <math>\{X_1,\dots,X_N\}</math>:
: <math>\operatorname{D}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i,j=1}^N\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^N\operatorname{D}(X_i)+\sum_{i\ne j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).</math>

Ці результати приводять до результату, що дисперсія для [[Лінійна комбінація|лінійної комбінації]] величин є наступною:

: <math>
\begin{align}
\operatorname{D}\left( \sum_{i=1}^N a_iX_i\right) &=\sum_{i,j=1}^{N} a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \\
&=\sum_{i=1}^N a_i^2\operatorname{D}(X_i)+\sum_{i\not=j}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\\
& =\sum_{i=1}^N a_i^2\operatorname{D}(X_i)+2\sum_{1\le i<j\le N}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j).
\end{align}
</math>

Якщо випадкові величини <math>X_1,\dots,X_N</math> є такими, що
: <math>\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0\ ,\ \forall\ (i\ne j) ,</math>
говорять, що вони є [[Коваріація#Визначення|некорельованими]]. Це випливає на пряму із виразу описаного раніше, яке говорить про те, що якщо випадкові величини <math>X_1,\dots,X_N</math> є некорельованими, тоді дисперсії їх суми дорівнює сумі дисперсій. Символічно це виглядає наступним чином:

: <math>\operatorname{D}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i=1}^N\operatorname{D}(X_i).</math>

Оскільки [[Коваріація#Некорельованість_та_незалежність|незалежні випадкові величини завжди є некорельованими]], вищенаведене рівняння є дійсним зокрема для випадку, коли випадкові величини <math>X_1,\dots,X_n</math> незалежні. Таким чином, незалежність є достатньою але не необхідною умовою, для того щоб дисперсія суми величин дорівнювала сумі дисперсій.

=== Сума некорельованих випадкових величин (формула Бієнайме) ===

Однією з переваг використання дисперсії перед іншими мірами варіабельності є те, що дисперсія суми (або різниці) некорельованих випадкових величин:

: <math>\operatorname{D}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \operatorname{D}(X_i).</math>

Цей вираз має назву&nbsp;— формула {{нп|Ірен-Жюль Бієнайме|Бієнайме|en|Irénée-Jules Bienaymé}}<ref>[[Michel Loeve|Loeve, M.]] (1977) «Probability Theory», ''Graduate Texts in Mathematics'', Volume 45, 4th edition, Springer-Verlag, p.&nbsp;12.</ref> і був відкритий в 1853.<ref>[[Irénée-Jules Bienaymé|Bienaymé, I.-J.]] (1853) «Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés», ''Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris'', 37, p.&nbsp;309–317; digital copy available [http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-2994&I=313] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180623145935/http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-2994&I=313|date=23 червня 2018}}</ref><ref>[[Irénée-Jules Bienaymé|Bienaymé, I.-J.]] (1867) «Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés», ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Série 2'', Tome 12, p.&nbsp;158–167; digital copy available [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16411c/f166.image.n19] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180623223546/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k16411c/f166.image.n19|date=23 червня 2018}}[http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1867_2_12_A10_0.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190713054045/http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1867_2_12_A10_0.pdf|date=13 липня 2019}}</ref> Її зазвичай формулюють із більш суворою вимогою, що випадкові величини повинні бути [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежними]], але достатньою умовою є те, що величини є некорельованими. Таким чином, якщо всі змінні мають однакову дисперсію σ<sup>2</sup>, тоді, оскільки ділення на ''n'' є лінійним перетворенням, ця формула одразу дозволяє визначити, що дисперсії їх середніх значень становить:

: <math>\operatorname{D}\left(\overline{X}\right) = \operatorname{D}\left(\frac {1} {n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac {1} {n^2}\sum_{i=1}^n \operatorname{D}\left(X_i\right) = \frac {\sigma^2} {n}.</math>

Таким чином, дисперсія середнього зменшується із збільшенням ''n''. Ця формула дисперсії середнього використовується у визначенні [[Стандартна похибка|стандартної похибки]] для вибіркового середнього, що використовується у [[Центральна гранична теорема|центральній граничній теоремі]].

Аби довести початковий вираз, достатньо показати що

: <math>\operatorname{D}(X+Y) = \operatorname{D}(X)+\operatorname{D}(Y).</math>

У загальному результаті за цим слідує індуктивний вивід. Починаючи із визначення,

: <math>\begin{align}
   \operatorname{D}(X+Y) &= E[(X+Y)^2] - (E[X+Y])^2 \\
    &= E[X^2+2XY+Y^2] - (E[X]+E[Y])^2. \\
 \end{align}</math>

Використавши лінійність оператора мат. сподівання і припущення про незалежність (або відсутність кореляції) величин ''X'' і ''Y'', далі цей вираз спрощується наступним чином:

: <math>\begin{align}
   \operatorname{D}(X + Y) &= E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2] - (E[X]^2+2E[X]E[Y]+E[Y]^2) \\
   &= E[X^2] + E[Y^2] - E[X]^2 - E[Y]^2 \\
   &= \operatorname{D}(X) + \operatorname{D}(Y).
 \end{align}</math>

=== Сума корельованих змінних ===

У загальному випадку, якщо випадкові величини [[Кореляція|корельовані]], тоді дисперсія їх суми дорівнює сумі їх [[Коваріація|коваріацій]]:

: <math>\operatorname{D}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^n \operatorname{D}(X_i) + 2\sum_{1\le i<j\le n}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).</math>

(Примітка: Друга рівність отримана із факту, що {{math|Cov(''X''<sub>''i''</sub>,''X''<sub>''i''</sub>) {{=}} D(''X''<sub>''i''</sub>)}}.)

В даній формулі {{math|Cov(⋅, ⋅)}} позначає [[Коваріація|коваріацію]], що дорівнює нулю для незалежних випадкових величин (за умови якщо вона існує). Ця формула стверджує, що варіація суми величин дорівнює сумі всіх елементів матриці коваріації їх компонент. Другий вираз стверджує еквівалентне, що дисперсія суми величин дорівнює сумі діагональних елементів матриці коваріацій плюс доданій подвійній сумі елементів її верхньої трикутної половини (або елементів із нижнього трикутника матриці); це випливає з того, що матриця коваріацій є симетричною відносно її діагоналі. Ця формула використовується у теорії [[альфа Кронбаха]] із [[Класична теорія випробувань|класичної теорії випробувань]].

Якщо випадкові величини мають однакову дисперсію ''σ''<sup>2</sup> а середнє значення кореляції окремих величин дорівнює ''ρ'', тоді дисперсія їх середніх значень дорівнюватиме

: <math>\operatorname{D}(\overline{X}) = \frac {\sigma^2} {n} + \frac {n-1} {n} \rho \sigma^2.</math>

Ця формула визначає, що дисперсія середнього збільшується із збільшенням середнього значення кореляцій. Іншими словами, додавання корельованих спостережень не є настільки ефективним як додавання незалежних спостережень для зменшення [[Стандартна похибка|стандартної похибки]]. Крім того, якщо випадкові величини мають одиничну дисперсію, наприклад, якщо їх зведено до стандартних параметрів, тоді цей вираз спрощується до наступного

: <math>\operatorname{D}(\overline{X}) = \frac {1} {n} + \frac {n-1} {n} \rho.</math>

Ця формула використовується у {{нп|Формула передбачення Спірмена-Брауна|формулі передбачення Спірмена-Брауна||Spearman–Brown prediction formula}} із класичної теорії випробувань. Цей вираз збігається до ''ρ'' якщо ''n'' прямує до [[Нескінченність|нескінченності]], за умови що середня кореляція залишається сталою або збігається до якогось значення також. Таким чином для дисперсії середнього стандартизованих випадкових величин із однаковими кореляціями або збіжною середньою кореляцією маємо наступне:

: <math> \lim_{n \to \infty} \operatorname{D}(\overline{X}) = \rho.</math>

Тому, дисперсія середнього значення для великої кількості стандартизованих величин приблизно дорівнює їх середній кореляції. Із цього стає очевидним, що вибіркове середнє корельованих величин в загальному випадку не збігається до середнього сукупності, навіть зважаючи на те, що [[закон великих чисел]] стверджує, що вибіркове середнє буде збіжним у випадку незалежних випадкових величин.

=== Матрична нотація для дисперсії лінійної комбінації величин ===

Визначимо величину <math>X</math> у вигляді вектора стовпця із <math>n</math> випадкових величин <math>X_1, \ldots,X_n</math>, і <math>c</math> у вигляді вектора стовпця із <math>n</math> скалярних значень <math>c_1, \ldots,c_n</math>. Таким чином, <math>c^T X</math> є [[Лінійна комбінація|лінійною комбінацією]] цих випадкових величин, де <math>c^T</math> позначає операцію [[Транспонована матриця|транспонування]] вектора <math>c</math>. Також нехай <math>\Sigma</math> є [[Коваріаційна матриця|коваріаційною матрицею]] величини <math>X</math>. Дисперсія для <math>c^TX</math> буде задаватися наступним чином:<ref>{{Cite book | last1=Johnson | first1=Richard | last2=Wichern | first2=Dean | year=2001 | title=Applied Multivariate Statistical Analysis | publisher=Prentice Hall | page=76 | isbn=0-13-187715-1}}</ref>

: <math>\operatorname{D}(c^T X) = c^T \Sigma c .</math>

=== Зважена сума величин ===

Властивість масштабованості і формула Бієнайме, разом із властивістю [[Коваріація|коваріації]] {{math|Cov(''aX'',&nbsp;''bY'') {{=}} ''ab'' Cov(''X'',&nbsp;''Y'')}} визначають наступне:

: <math>\operatorname{D}(aX \pm bY) =a^2 \operatorname{D}(X) + b^2 \operatorname{D}(Y) \pm 2ab\, \operatorname{Cov}(X, Y).</math>

Це означає, що для зваженої суми випадкових величин, величина із найбільшою вагою матиме непропорційне великих вплив на загальну дисперсію. Наприклад, якщо ''X'' і ''Y'' є некорельованими величинами, а вага ''X'' в двічі більша за вагу величини ''Y'', тоді вага дисперсії величини ''X'' буде в чотири рази більше за вагу дисперсії величини ''Y''.

Цей вираз можна узагальнити для випадку зваженої суми багатьох величин:

: <math>\operatorname{D}\left(\sum_{i}^n a_iX_i\right) = \sum_{i=1}^na_i^2 \operatorname{D}(X_i) + 2\sum_{1\le i}\sum_{<j\le n}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)</math>

=== Добуток незалежних величин ===

Якщо дві величини X і Y&nbsp;— [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежні]], дисперсія їх добутку буде дорівнювати:<ref>{{Cite news|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1960.10483369|title=On the Exact Variance of Products|last=Goodman|first=Leo A.|date=1960-12-01|doi=10.2307/2281592|issn=0162-1459|access-date=2024-12-21}}
</ref>
: <math>
\begin{align}
\operatorname{D}(XY) &= [E(X)]^2 \operatorname{D}(Y) + [E(Y)]^2 \operatorname{D}(X) + \operatorname{D}(X)\operatorname{D}(Y).
\end{align}
</math>

Еквівалентно, використавши основні властивості сподівання, можна отримати

: <math>
\operatorname{D}(XY) = E(X^2) E(Y^2) - [E(X)]^2 [E(Y)]^2.
</math>

=== Добуток статистично залежних величин ===

У загальному випадку для двох випадкових величин, що мають статистичну залежність, дисперсія їх добутку дорівнюватиме:
: <math>
\begin{align}
\operatorname{D}(XY) &= E[X^2 Y^2 ]-[E(XY)]^2 \\
&= \operatorname{Cov}(X^2,Y^2 )+E(X^2)E(Y^2) - [E(XY)]^2 \\
&= \operatorname{Cov}(X^2, Y^2) +(\operatorname{D}(X)+[E(X)]^2 )(\operatorname{D}(Y)+[E(Y)]^2 )-[\operatorname{Cov}(X,Y)+E(X)E(Y)]^2
\end{align}</math>

=== Декомпозиція ===

Загальна формула для декомпозиції дисперсії або {{нп|закон повної дисперсії||en|law of total variance}} визначається наступним чином: Якщо <math>X</math> і <math>Y</math> дві випадкові величини, і дисперсія величини <math>X</math> існує, тоді

: <math>\operatorname{D}[X]=\operatorname{E}_Y(\operatorname{D}[X\mid Y])+\operatorname{D}_Y(\operatorname{E}[X\mid Y]).</math>

де <math>\operatorname E(X|Y)</math>&nbsp;— [[умовне математичне сподівання]] величини <math>X</math> за умови <math>Y</math>, а <math>\operatorname{D}(X\mid Y)</math>&nbsp;— {{нп|Умовна дисперсія|умовна дисперсія|en|conditional variance}} величини <math>X</math> за умови <math>Y</math>. (Більш інтуїтивно зрозумілим поясненням, є те що при певному значенні <math>Y</math>, за яким слідує <math>X</math> матиме розподіл із середнім <math>\operatorname E(X\mid Y)</math> і дисперсією <math>\operatorname{D}(X\mid Y)</math>). Оскільки <math>\operatorname E(X\mid Y)</math> є функцією величини <math>Y</math>, зовнішнє очікування дисперсії у виразі береться відносно Y. Вищенаведена формула визначає як знайти <math>\operatorname{D}(X)</math> на основі розподілів цих двох величини, коли <math>Y</math> може змінюватися.

Зокрема, якщо <math>Y</math>&nbsp;— дискретна випадкова величина, що припускає <math>y_1, y_2, \ldots, y_n</math> із відповідними масами імовірностей <math>p_1, p_2, \ldots, p_n</math>, тоді у формулі загальної дисперсії, перший терм в правій частині виразу буде наступним:

: <math>\operatorname{E}_Y(\operatorname{D}[X \mid Y]) = \sum_{i=1}^n p_i \sigma^2_i,</math>

де <math>\sigma^2_i = \operatorname{D}[X \mid y_i]</math>. Аналогічним чином, другий терм в правій частині стане наступним:

: <math>\operatorname{D}_Y(\operatorname{E}[X \mid Y]) = \sum_{i=1}^n p_i \mu_i^2 - \left(\sum_{i=1}^n p_i \mu_i\right)^2 = \sum_{i=1}^n p_i \mu_i^2 - \mu^2,</math>

де <math>\mu_i = \operatorname{E}[X \mid y_i]</math> і <math>\mu = \sum_{i=1}^n p_i \mu_i</math>. Таким чином, загальна дисперсія буде задаватися виразом

: <math>\operatorname{D}[X] = \sum_{i=1}^n p_i \sigma^2_i + \left( \sum_{i=1}^n p_i \mu_i^2 - \mu^2 \right).</math>

Подібна формула застосовується у [[Дисперсійний аналіз|дисперсійному аналізі]], де вона відповідно є наступною

: <math>\mathit{MS}_\text{total} = \mathit{MS}_\text{between} + \mathit{MS}_\text{within};</math>
 
тут <math>\mathit{MS}</math> відноситься до середньо квадратичного. Відповідна формула у аналізі [[Лінійна регресія|лінійної регресії]] наступна:

: <math>\mathit{MS}_\text{total} = \mathit{MS}_\text{regression} + \mathit{MS}_\text{residual}.</math>

Цей вираз також можна отримати із [[Адитивність|адитивності]] дисперсій, оскільки загальна (спостережувана) оцінка є сумою передбачених оцінок і оцінок похибок, де останні є некорельованими.

Аналогічна декомпозиція є можливою для суми квадратичних відхилень (суми квадратів, <math>\mathit{SS}</math>):
: <math>\mathit{SS}_\text{total} = \mathit{SS}_\text{between} + \mathit{SS}_\text{within},</math>
: <math>\mathit{SS}_\text{total} = \mathit{SS}_\text{regression} + \mathit{SS}_\text{residual}.</math>

=== Формули для дисперсії ===
Формула що найчастіше використовується для отримання дисперсії теоретичних розподілів є наступною:

: <math> \operatorname{D}(X)  =\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2. </math>

Цей вираз є корисним, коли є можливість отримати формули для математичного сподівання і для математичного сподівання в квадраті.

Ця формула часто використовується по відношенню і до вибіркової дисперсії. Хоча її можна застосувати для ручних розрахунків, її не рекомендують застосовувати для комп'ютерних розрахунків, оскільки такий розрахунок призводить до катастрофічної [[Втрата точності|втрати точності]] коли два компоненти рівняння є близькими за величиною і до них застосовуються арифметичні операції з плавучою точкою. Докладніше це описане в статті {{нп|Алгоритми розрахунку дисперсії||en|Algorithms for calculating variance}}.

=== Розрахунок із функції розподілу імовірностей ===

Дисперсію сукупності для не від'ємної випадкової велчини можливо отримати за допомогою [[Функція розподілу ймовірностей|кумулятивної функції розподілу]] ''F'' наступним чином:

: <math>
2\int_0^\infty u( 1-F(u))\,du - \Big(\int_0^\infty (1-F(u))\,du\Big)^2.
</math>

Цей вираз можна використовувати для розрахунку дисперсії у випадках, коли можливо отримати зручний аналітичний вираз для функції розподілу, але не можливо отримати його для [[Густина імовірності|функції густини імовірності]].

=== Момент ===
Другий [[Момент (математика)|момент]] випадкової величини прийматиме мінімальне значення, якщо його отримують в околі довкола першого моменту (тобто, середнього значення) випадкової величини, тобто <math>\mathrm{argmin}_m\,\mathrm{E}((X - m)^2) = \mathrm{E}(X)</math>. І навпаки, якщо неперервна функція <math>\varphi</math> задовольняє рівняння <math>\mathrm{argmin}_m\,\mathrm{E}(\varphi(X - m)) = \mathrm{E}(X)</math> для віх випадкових величин ''X'', то вона обов'язково матиме форму <math>\varphi(x) = a x^2 + b</math>, де {{nowrap|''a'' > 0}}. Це також є вірним і для багатовимірного випадку.<ref>{{Cite journal | last1 = Kagan | first1 = A. | last2 = Shepp | first2 = L. A. | doi = 10.1016/S0167-7152(98)00041-8 | title = Why the variance? | journal = Statistics & Probability Letters | volume = 38 | issue = 4 | pages = 329–333 | year = 1998 | pmid =  | pmc = }}</ref>

=== Одиниці вимірювання ===

На відміну від абсолютного відхилення, дисперсія випадкової величини має одиниці вимірювання, що дорівнюють квадрату одиниць вимірювання самої випадкової величини. Наприклад, якщо величина вимірювалася у метрах, вона матиме дисперсію у метрах в квадраті. З цієї причини, для описання вибірок даних переважно використовують їх [[стандартне відхилення]] замість того, щоб використовувати дисперсію. У прикладі із киданням гральної кістки стандартне відхилення дорівнює √2.9&nbsp;≈&nbsp;1.7, що є дещо більше за значення [[Середнє абсолютне відхилення|середнього абсолютного відхилення]]&nbsp;— &nbsp;1.5.

Стандартне відхилення і очікувана абсолютна дисперсія можуть рівнозначно використовуватися для оцінки «розмаху» розподілу. Стандартне відхилення більш придатне до алгебраїчних маніпуляцій ніж абсолютне відхилення, дисперсія і її узагальнення у вигляді [[Коваріація|коваріації]], які частіше використовуються в теоретичній статистиці. Однак абсолютне відхилення як правило є більш [[Робастність у статистиці|придатним]], оскільки ця оцінка є менш чутливою до [[Викид (статистика)|викидів]], що виникають в результаті [[Похибка вимірювання|похибки вимірювання]] та ін..

== Приклади для розподілів ==

=== Нормальний розподіл ===
[[Нормальний розподіл]] із параметрами <math>\mu</math> і <math>\sigma</math> це неперервний розподіл, [[Густина імовірності|функція густини імовірності]] якого задається як
: <math>
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }.
</math>
В цьому розподілі, сподівання <math>\operatorname{E}[X] = \mu </math> і дисперсія <math>\operatorname{D}(X)</math> співвідносяться із <math>\sigma</math> наступним чином:
: <math>
\operatorname{D}(X) = \int_{-\infty}^\infty \frac{x^2}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx - \mu^2 = \sigma^2.
</math>
Ключова роль нормального розподілу у [[Центральна гранична теорема|центральній граничній теоремі]] є причиною широкого використання дисперсії як такої у статистиці і теорії ймовірності.

=== Експоненційний розподіл ===
[[Експоненційний розподіл]] із параметром <math>\lambda</math> є неперервним розподілом, який існує у напів-нескінченному інтервалі <math>[0, \infty)</math>. Його [[Густина імовірності|функція густини імовірності]] задається наступним чином:

: <math>f(x) = \lambda e^{-\lambda x}</math>

він має математичне сподівання <math>\mu = \lambda^{-1}</math>. Дисперсія дорівнює

: <math>\operatorname{D}(X) = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx - \mu^2 = \lambda^{-2}.</math>

Таким чином, для експоненційно розподіленої випадкової величини, <math>\sigma^2 = \mu^2.</math>

=== Розподіл Пуассона ===
[[Розподіл Пуассона]] із параметром <math>\lambda</math>&nbsp;— дискретний розподіл для <math>k = 0, 1, 2, \ldots</math>. Його [[Функція ймовірностей|функція густини імовірності]] задається наступним чином:

: <math>p(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda},</math>

а його сподівання <math>\mu = \lambda</math>. Дисперсія дорівнює

: <math> \operatorname{D}(X) = \left(\sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\right) - \mu^2 = \lambda,</math>

Таким чином для випадкової величини із розподілом Пуассона, <math>\sigma^2 = \mu</math>.

=== Біноміальний розподіл ===
[[Біноміальний розподіл]] із параметрами <math>n</math> і <math>p</math> є дискретним розподілом для <math>k = 0, 1, 2, \ldots, n</math>. Його [[Густина імовірності|функція густини імовірності]] задається наступним чином:
: <math>p(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},</math>
а його математичне сподівання <math>\mu = np</math>. Дисперсія дорівнює
: <math> \operatorname{D}(X) = \left(\sum_{k=0}^n k^2 {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\right) - \mu^2 = np(1-p).</math>

Як приклад, біноміальний розподіл із <math>p=1/2</math> описує імовірність того, що із купки в <math>n</math> монет <math>k</math> з них випадуть гербом. Таким чином значення мат. сподівання, що відповідає кількості гербів, що випали, становить <math alt="n/2">n/2,</math> а дисперсія <math alt="n/4">n/4.</math>

=== Гральна кістка ===
Класичну [[Гральні кісточки|шестигранну гральну кістку]] можна представити як дискретну випадкову величину, {{mvar|X}}, із можливими результуючими значеннями від 1 до 6, кожне з яких має імовірність трапитися таку, що дорівнює 1/6. Математичне сподівання величини {{mvar|X}} становить <math>(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 7/2.</math> Таким чином, дисперсія {{mvar|X}} дорівнюватиме
: <math>\begin{align}
   \operatorname{D}(X) &= \sum_{i=1}^6 \frac{1}{6}\left(i - \frac{7}{2}\right)^2 \\
   &= \frac{1}{6}\left((-5/2)^2 + (-3/2)^2 + (-1/2)^2 + (1/2)^2 + (3/2)^2 + (5/2)^2\right) \\
   &= \frac{35}{12} \approx 2.92.
 \end{align}</math>

Загальна формула дисперсії величини {{mvar|X}}, для {{nowrap|{{mvar|n}}-граної}} кістки буде наступною:
: <math>\begin{align}
   \operatorname{D}(X) &= \operatorname{E}(X^2)-(\operatorname{E}(X))^2 \\
   &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2 - \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^2 \\
   &= \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6} - \left(\frac{n + 1}{2}\right)^2 \\
   &= \frac{n^2 - 1}{12}.
 \end{align}</math>

== Дисперсія сукупності і дисперсія вибірки ==
Спостереження реального світу, такі як вимірювання рівня вчорашнього дощу протягом дня зазвичай не можуть забезпечити повний набір всіх можливих спостережень, які можуть відбутися. Дисперсія, що розрахована із скінченної множини даних в загальному випадку не буде дорівнювати дисперсії, яку б можна було розрахувати із повної сукупності всіх можливих спостережень. Це означає, що можна лише [[Теорія оцінювання|оцінити]] середнє значення дисперсії, отримавши його на основі презентативного набору спостережень за допомогою рівняння [[Статистична оцінка|оцінки]]. Оцінка є функцією, що приймає на вхід [[Вибірка|вибірку]] із ''n'' [[Спостереження|спостережень]] виконаних незалежним чином, що є [[Підмножина|підмножиною]] усієї [[Генеральна сукупність|сукупності]] потенційних спостережень. В цьому прикладі вибірка буде складатися із фактичних вимірювань випадіння дощу із усіх доступних датчиків дощу, в рамках деякого географічного регіону.

Найпростішими оцінками середнього значення сукупності і дисперсії сукупності є простий підрахунок середнього і дисперсії вибірки, '''вибіркове середнє''' і '''(некорегована) дисперсія вибірки'''&nbsp;— є [[Конзистентна оцінка|репрезентативними оцінками]] (оскільки вони збігаються до правильного значення із збільшенням величини вибірки), але ці оцінки можуть бути покращені. Оцінювання дисперсії сукупності за допомогою дисперсії випадку в загальному випадку є близьким до оптимального, але його можна поліпшити двома способами. Самий простий, розраховувати вибіркову дисперсію як середнє значення {{нп|Квадратичне відхилення від середнього значення|квадратичних відхилень|en|squared deviations}} від (вибіркового) середнього, ділячи на число ''n.'' Однак, оцінку можна поліпшити використавши значення відмінні за ''n''. Чотирма загальними значеннями знаменника можуть бути: ''n,'' ''n''&nbsp;−&nbsp;1, ''n''&nbsp;+&nbsp;1, і ''n''&nbsp;−&nbsp;1.5: ''n'' використовується для найпростішого випадку (дисперсія сукупності на основі вибірки), ''n''&nbsp;−&nbsp;1 зменшує зміщення оцінки, ''n''&nbsp;+&nbsp;1 мінімізує [[Середньоквадратична похибка|середньоквадратичну похибку]] для нормального розподілу, а ''n''&nbsp;−&nbsp;1.5 майже повністю усуває зміщення для незміщеної оцінки стандартного відхилення для нормального розподілу.

По-перше, якщо загальне середнє значення не відоме (і розраховується як середнє значення вибірки), тоді дисперсія вибірки буде [[Незміщена оцінка|зміщеною оцінкою]]: вона занижує оцінку дисперсії на коефіцієнт, що дорівнює (''n''&nbsp;−&nbsp;1) / ''n''; відповідно така поправка (ділення на ''n''&nbsp;−&nbsp;1 замість ''n'') називається [[Поправка Бесселя|поправкою Бесселя]]. В результаті отримана оцінка є незміщеною, і тому має назву '''(корегованої) дисперсії вибірки''' або '''незміщеної дисперсії вибірки'''. Наприклад, якщо ''n''&nbsp;=&nbsp;1 дисперсія для одного спостереження відносно вибіркового середнього (що є тим самим спостереженням) очевидно дорівнює нулю, незалежно від дисперсії сукупності. Якщо середнє значення визначається якимось іншим способом, ніж на основі тієї ж вибірки, що використовується для оцінки дисперсії, тоді таке зміщення не відбувається і дисперсію можна безпечним чином оцінити для вибірки довкола (незалежно відомого) середнього.

По-друге, вибіркова дисперсія у загальному випадку не мінімізує середньоквадратичну похибку між вибірковою дисперсією і дисперсією сукупності. Поправка на зміщення як правило погіршує ситуацію: завжди можна обрати коефіцієнт поправки при якому оцінка поводитиме себе краще ніж корегована дисперсія вибірки, оскільки оптимальний коефіцієнт поправки залежить від [[Коефіцієнт_ексцесу#Оцінка_ексцесу|коефіцієнту ексцесу]] сукупності, але вносить зміщення. Це завжди призводить до зменшення об'єктивної оцінки (при діленні на число більше ніж ''n''&nbsp;−&nbsp;1). Для нормального розподілу, використання дільника ''n''&nbsp;+&nbsp;1 (замість ''n''&nbsp;−&nbsp;1 або ''n'') мінімізує квадратичну похибку. Що призводить до того, що оцінка є зміщеною.

=== Дисперсія сукупності ===
В загальному випадку, '''''дисперсія сукупності''''' для ''скінченної'' [[Генеральна сукупність|сукупності]] розміром ''N'' із значеннями ''x''<sub>''i''</sub> буде дорівнювати наступному:

: <math> \sigma^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N  \left(x_i - \mu \right)^2 = \frac 1N \sum_{i=1}^N  \left(x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2 \right) = \left(\frac 1N \sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2\mu \left(\frac 1N \sum_{i=1}^N x_i\right) + \mu^2 = \left(\frac 1N \sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \mu^2</math>

де середнє значення сукупності дорівнює:

: <math> \mu = \frac 1N \sum_{i=1}^N x_i </math>.

Дисперсію сукупності також можна розрахувати як:

: <math> \sigma^2 = \frac {1} {N^2}\sum_{i<j}\left( x_i-x_j \right)^2 = \frac{1}{2N^2} \sum_{i, j=1}^N\left( x_i-x_j \right)^2</math>

Це отримано тому, що

: <math> 
\begin{align}
\frac{1}{2N^2} \sum_{i, j=1}^N\left( x_i-x_j \right)^2 & = 
\frac{1}{2N^2} \sum_{i, j=1}^N\left( x_i^2 - 2x_ix_j  + x_j^2 \right) \\
& = \frac{1}{2N} \sum_{j=1}^N\left(\frac 1N \sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \left(\frac 1N \sum_{i=1}^N x_i\right)\left(\frac 1N \sum_{j=1}^N x_j\right) + \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N\left(\frac 1N \sum_{j=1}^N x_j^2\right) \\
& = \frac{1}{2} \left( \sigma^2 + \mu^2 \right) - \mu^2 + \frac{1}{2} \left( \sigma^2 + \mu^2 \right) = \sigma^2
\end{align}
</math>

Дисперсія сукупності відповідає дисперсії отриманого розподілу імовірностей. У такому розумінні, поняття сукупності можна узагальнити для випадку неперервної випадкової величини із нескінченно великою сукупністю.

=== Дисперсія вибірки ===
У багатьох практичних застосуваннях, справжня дисперсія сукупності не відома ''a priori'' і її необхідно розрахувати одним із способів. Маючи справу із надто великою сукупністю, практично не можливо підрахувати кожен об'єкт цієї сукупності, тому розрахунки проводяться на основі [[Вибірка|вибірки]] із сукупності.<ref>Navidi, William (2006) ''Statistics for Engineers and Scientists'', McGraw-Hill, pg 14.</ref> Дисперсія вибірки може також застосовуватися для оцінки дисперсії безперервного розподілу за вибіркою цього розподілу.

Візьмемо вибірку із ''n'' значень ''y''<sub>1</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''y''<sub>''n''</sub> із сукупності, де ''n''&nbsp;<&nbsp;''N'', і оцінимо дисперсію на основі цієї вибірки.<ref>Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) ''Applied statistics and probability for engineers'', page 201. John Wiley & Sons New York</ref> Розрахувавши дисперсію на пряму із вибірки ми отримаємо середнє значення квадратичних відхилень:

: <math>\sigma_y^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^2 =\left(\frac 1n \sum_{i=1}^n y_i^2\right) - \overline{y}^2 = \frac {1} {n^2}\sum_{i<j}\left( y_i-y_j \right)^2.</math>

Тут, <math>\overline{y}</math> позначає [[вибіркове середнє]]:
: <math>\overline{y}=\frac 1n \sum_{i=1}^n y_i .</math>

Оскільки ''y''<sub>''i''</sub> обрані випадковим чином, обидві величини <math>\scriptstyle\overline{y}</math> і <math>\scriptstyle\sigma_y^2</math> є випадковими величинами. Їх значення сподівання можливо розрахувати, якщо усереднити послідовність всіх значень вибірки {''y''<sub>''i''</sub>} розміром ''n'' із сукупності. Для <math>\scriptstyle\sigma_y^2</math> це буде дорівнювати:
: <math>
\begin{align}
E[\sigma_y^2]
& = E\left[ \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \frac 1n \sum_{j=1}^n y_j \right)^2 \right] \\
& = \frac 1n \sum_{i=1}^n E\left[ y_i^2 - \frac 2n y_i \sum_{j=1}^n y_j + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n y_j \sum_{k=1}^n y_k \right] \\
& = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left[ \frac{n-2}{n} E[y_i^2] - \frac 2n \sum_{j \neq i}  E[y_i y_j] + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k \neq j}^n E[y_j y_k] +\frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n E[y_j^2] \right] \\
& = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left[ \frac{n-2}{n} (\sigma^2+\mu^2) - \frac 2n (n-1) \mu^2 + \frac{1}{n^2} n (n-1) \mu^2 + \frac 1n (\sigma^2+\mu^2) \right] \\
& = \frac{n-1}{n} \sigma^2.
\end{align}
</math>

Звідси <math>\scriptstyle\sigma_y^2</math> отримаємо оцінку дисперсії сукупності, що буде зміщена на коефіцієнт <math>\frac{n-1}{n}</math>. З цієї причини, <math>\scriptstyle\sigma_y^2</math> називається ''зміщеною дисперсією вибірки''. Введення поправки, що усуває зміщення, дозволяє отримати ''незміщену дисперсію для вибірки'':

: <math>s^2 = \frac{n}{n-1} \sigma_y^2 = \frac{n}{n-1} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^2 \right)  = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^2 </math>

Будь-яку оцінку спрощено називають ''вибірковою дисперсію'', де різновид оцінки зазвичай розуміють з контексту. Таке ж доведення також застосовується і для неперервних розподілів ймовірностей.

Застосування дільника ''n''&nbsp;−&nbsp;1 називають [[Поправка Бесселя|Поправкою Бесселя]], її також застосовують для вибіркової коваріації і [[Стандартне_відхилення#Обчислення|вибіркового стандартного відхилення]] (квадратного кореня із дисперсії). Функція квадратного кореня є [[Угнута функція|увігнутою функцією]] і тому вносить від'ємне зміщення (із [[Нерівність Єнсена|нерівності Єнсена]]), що залежить від розподілу, і таким чином скореговане стандартне відхилення вибірки (в якому застосовується поправка Бесселя) залишається зміщеним. Незміщена оцінка стандартного відхилення є технічною задачею, хоча для нормального розподілу застосування поправки ''n''&nbsp;−&nbsp;1.5 майже повністю усуває зміщення.

== Історія ==
[[Файл:variance_visualisation.svg|thumb|Геометрична візуалізація дисперсії довільного розподілу (2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9):<br/>
1. Побудована частотна гістограма розподілу.<br/>
2. Центроїд розподілу дозволяє оцінити його середнє.<br/>
3. Для кожного значення сформуємо квадрат із сторонами, що дорівнює відстані кожного значення від середнього.<br/>
4. Якщо впорядкувати квадрати у вигляді прямокутнику, одна сторона якого дорівнює кількості виміряних значень, ''n'', в результаті інша сторона прямокутника буде дорівнювати дисперсії розподілу, ''&#963;''&#178;.
]]

Поняття ''дисперсія'' (точніше варіація&nbsp;— {{lang-en|variance}}) вперше запропонував [[Рональд Фішер]] в своїй статті 1918&nbsp;р. під назвою ''{{Нп|The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance||en|The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance}}'':<ref>[[Ronald Fisher]] (1918) [http://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15097/1/9.pdf The correlation between relatives on the supposition of Mendelian Inheritance] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130603191248/http://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15097/1/9.pdf|date=3 червня 2013}}</ref>

<blockquote>Велика кількість наявної статистики свідчить, що відхилення [[Біологічна статистика|вимірювань людини]] від середнього значення, дуже близько відповідають [[Нормальний розподіл|нормальному закону розподілу похибок]], і, таким чином, варіабельність можливо універсальним способом вимірювати за допомогою [[Стандартне відхилення|стандартного відхилення]], що відповідає квадратному кореню із середньоквадратичної похибки. Коли існує два незалежних джерела варіабельності, що здатні утворювати інший рівномірний розподіл імовірностей із стандартними відхиленнями <math>\sigma_1</math> і <math>\sigma_2</math>, можна знайти що розподіл, за умови що ці два джерела варіабельності вносять одночасний вплив, має стандартне відхилення <math>\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}</math>. Таким чином при аналізі таких варіацій бажано використовувати квадрат стандартного відхилення як міру варіабельності. Будемо використовувати для цієї міри окремий термін&nbsp;— дисперсія …</blockquote>

== Момент інерції ==

Дисперсія розподілу імовірностей є аналогом [[Момент інерції|моменту інерції]] в [[Класична механіка|класичній механіці]] для відповідного розподілу маси здовж прямої, при обертанні довкола центра мас. За цією аналогією такі поняття як дисперсія мають супутню назву ''[[Момент (математика)|моменти]]'' [[Розподіл ймовірностей|розподілу імовірностей]]. Матриця коваріацій співвідноситься із [[Момент_інерції#Тензор_інерції|тензором моменту інерції]] для розподілів багатьох величин. Момент інерції хмари з ''n'' точок із матрицею коваріацій <math>\Sigma</math> визначається наступним чином:
: <math>I=n (\mathbf{1}_{3\times 3} \operatorname{tr}(\Sigma) - \Sigma).</math>
Відмінність між моментом інерції в фізиці і статистиці стає очевидною для точок, що скупчені довкола прямої. Припустимо що точки, знаходяться близько до осі ''x'' і розподілені здовж неї. Матриця коваріацій матиме наступний вигляд
: <math>\Sigma=\begin{bmatrix}10 & 0 & 0\\0 & 0.1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.1\end{bmatrix}.</math>

Оскільки, найбільша дисперсія збігається з напрямком ''x''. Фізики розглядали б це як мале значення моменту ''здовж'' осі ''x'' і таким чином тензор моменту інерції дорівнює

: <math>I=n\begin{bmatrix}0.2 & 0 & 0\\0 & 10.1 & 0 \\ 0 & 0 & 10.1\end{bmatrix}.</math>

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Узагальнена дисперсія]]
* [[Дисперсійний аналіз]]
* [[Моменти випадкової величини]]
* [[Коефіцієнт кореляції]]
* [[Квартет Анскомбе]]
* [[Вибіркові дисперсії]]
* [[Нерівність Чебишова]]
* [[Вимірювання]]
* [[Середнє квадратичне відхилення]]

== Джерела ==
* {{Гнєденко.Курс теорії ймовірностей}}
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}

{{statistics-stub}}
{{Статистика|state=collapsed}}

[[Категорія:Момент (математика)]]
[[Категорія:Статистичне відхилення та дисперсія]]
[[Категорія:Математична статистика]]