Перегляд вихідного коду сторінки Дискримінант (теорія полів)

'''Дискримінант''' системи елементів поля — одна з важливих конструкцій в теорії [[Розширення поля|розширень полів]], що є особливо важливою для [[Алгебраїчне числове поле|числових полів]] і відповідно має широке застосування у [[Алгебраїчна теорія чисел|алгебричній теорії чисел]].

== Означення == 
Нехай <math>K</math> [[скінченне розширення]] поля <math>k</math> степеня <math>n</math>. [[Відображення]] <math>K \times K \to k : (x,y) \to \operatorname{Tr} (x,y)</math> де <math>x, y \in K</math>, a <math>\operatorname{Tr}</math> — [[Слід (теорія полів)|слід елемента]] є симетричною [[Білінійна форма|білінійною формою]] на полі <math>K</math>, що розглядається як [[лінійний простір]] над <math>k</math>. Дискримінант цієї білінійної форми  щодо системи елементів <math>w_1, ..., w_m</math> з <math>K</math> називається '''дискримінантом системи''' <math>w_1,..., w_m</math> і позначається <math>D(w_1, ..., w_m)</math>. Тобто, <math>D(w_1, w_2, \dots, w_m) := \det \left( \mathrm{Tr} (w_i \cdot w_j) \right) </math>.

Зокрема, якщо зазначена система є [[Базис (математика)|базисом]] <math>K</math> над <math>k</math>, то її дискримінант називається '''дискримінантом базиса''' <math>K</math> над <math>k</math>. 

Наведені означення можуть бути перенесені також на випадок довільної скінченновимірної асоціативної [[Алгебра над полем|алгебри над полем]] на випадок [[Кільце (алгебра)|кілець]] і [[Модуль над кільцем|модулів]] над ними.

=== Поля алгебричних чисел ===
Нехай <math>k = \Q</math> — поле [[Раціональні числа|раціональних чисел]], <math>K</math> — поле [[Алгебраїчні числа|алгебричних чисел]] і <math>M</math> — деяка ґратка рангу <math>n</math>. Тоді для будь-яких двох базисів ґратки <math>M</math> значення дискримінанта є однаковими і це загальне значення дискримінант називається '''дискримінантом ґратки''' <math>M</math>. 

Якщо <math>M</math> є кільцем цілих чисел поля <math>K</math>, то дискримінант ґратки <math>M</math> називається просто '''дискримінантом поля''' <math>K</math> і позначається <math>D_K</math>. Число <math>D_K</math>, є важливою характеристикою поля <math>K</math>.

Зазначене означення дискримінанта ґратки в полі алгебричних чисел може бути узагальнене на випадок, коли <math>k</math> — [[поле часток]] [[Кільце Дедекінда|дедекіндового кільця]] <math>A</math>, a <math>K</math> — скінченне сепарабельне розширення поля <math>k</math> степеня <math>n</math>. Нехай <math>B</math> — ціле замикання кільця <math>A</math> в <math>K</math> і <math>\mathfrak{b}</math> — довільний [[дробовий ідеал]] кільця <math>B</math>. Тоді '''дискримінантом ідеалу''' <math>\mathfrak{b}</math> називається <math>A</math>-модуль <math>D (\mathfrak{b})</math>, породжений всіма дискримінантами виду <math>D (w_1, ..., w_n)</math>, де <math>\{w_1, ..., w_n\}</math> пробігає усі базиси поля <math>K</math> над <math>k</math>, що належать <math>\mathfrak{b}</math>. <math>D (\mathfrak{b})</math> буде дробовим ідеалом кільця <math>A</math>. У випадку <math>\mathfrak{b} = B</math> для <math>D (B)</math> також використовуються позначення <math>D_{K/k}</math> і <math>D_{B/A}</math>. У цьому випадку <math>D (B)</math> є ідеалом кільця <math>A</math>.  

Зокрема якщо <math>A</math> — [[кільце головних ідеалів]] і <math>\mathfrak{b} = B</math>, то <math>B</math> є [[Вільний модуль|вільним модулем]] над <math>A</math> розмірності <math>n</math> і <math>D (B)</math> є [[Головний ідеал|головним ідеалом]], породженим дискримінантом довільного базиса <math>B</math> над <math>A</math>. Кожен такий базис є також базисом розширення <math>K/k</math> і два такі дискримінанти відрізняються добутком на [[оборотний елемент]], тобто породжують однаковий ідеал. Зокрема це справедливо для <math>k = \Q</math> і <math>A = \Z</math>. У випадку коли <math>A</math> не є кільцем головних ідеалів, <math>B</math> може не бути вільним модулем і <math>D (B)</math> може не бути головним ідеалом. 

== Властивості ==

* Дискримінанти двох базисів відрізняються множником, що є квадратом деякого ненульового елемента поля <math>k</math>. 
::Дійсно якщо <math>w_1, ..., w_n</math> і <math>z_1, ..., z_n</math> — два такі базиси і <math>A_{ij}</math> — матриця переходу між ними, то, <math>\left( \mathrm{Tr} (w_i \cdot w_j) \right) = A \left( \mathrm{Tr} (z_i \cdot z_j) \right) A^T</math>. Тому з властивостей визначника випливає, що <math>D (w_1, ..., w_n) = (\det(A))^2 D (z_1, ..., z_n)</math>.
* Дискримінант будь-якого базису<math>K</math> над <math>k</math> не дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли розширення <math>K/k</math> є [[Сепарабельне розширення|сепарабельним]]. 
* Якщо <math>f_x (t)</math> — [[многочлен]] степеня <math>m</math>, що є [[Мінімальний многочлен (теорія полів)|мінімальним многочленом]] елемента <math>x</math> із сепарабельного розширення <math>K/k</math>, то <math>D (1, x, x^2,...,x^m)</math> збігається із стандартним [[Дискримінант|дискримінантом многочлена]] <math>f_x (t)</math>. 
* У разі сепарабельного розширення <math>K/k</math> дискримінант базиса <math>w_1,...,w_n</math> може бути обчислений за формулою
: <math>\Delta (w_1,...,w_n)=\left(\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_1(w_1) & \sigma_1(w_2) &\cdots & \sigma_1(w_n) \\
\sigma_2(w_1) & \ddots & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
\sigma_n(w_1) & \cdots & \cdots & \sigma_n(w_n)
\end{array}\right)\right)^2.
</math>
де <math>\sigma_1, ..., \sigma_n</math> — усі різні вкладення <math>K</math> у фіксоване [[Алгебраїчне замикання|алгебричне замикання]] поля <math>k</math>, що залишають нерухомими елементи <math>k</math>.

=== Дискримінанти числового поля ===
* '''Теорема Бриля''': Знак дискримінанта числового поля є рівним <math>(-1)^{r_2}</math> де <math>r_2</math> є кількістю спряжених пар вкладень <math>K</math> у поле [[Комплексне число|комплексних чисел]].
* [[Просте число]] <math>p</math> розгалужується у <math>K</math> якщо і тільки якщо <math>p</math> ділить <math>D_K</math>.
* '''Теорема Штікельбергера''':
:: <math>\Delta_K\equiv 0\text{ or }1 \pmod 4.</math>
* '''Обмеження Мінковського''': Нехай <math>n</math> — степінь розширення <math>K/\Q</math> і <math>r_2</math> — кількість спряжених пар вкладень <math>K</math> у поле комплексних чисел. Тоді
:: <math>|\Delta_K|^{1/2}\geq \frac{n^n}{n!}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{r_2} \geq \frac{n^n}{n!}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n/2}.</math>

* '''Теорема Мінковського''': Якщо <math>K</math> не є рівним <math>\Q</math>, то <math>|D_K| > 1</math>.
* '''Теорема Ерміта — Мінковського''':Нехай <math>N</math> — додатне [[ціле число]]. Тоді існує лише скінченна кількість (з точністю до ізоморфізму) алгебричних числових полів <math>K</math> для яких <math>|D_K| \leqslant N</math>. 
* Якщо <math>r_1, r_2</math> — кількість дійсних і спряжених пар комплексних вкладень. Тоді
:: <math>\lim_{q \to 1^+} (q-1)\zeta_k(q) = \frac{2^{r_1+r_2}\pi^{r_2}R}{m\sqrt|D_K|}h</math>
: де <math>\zeta_k(q)</math> — [[дзета-функція Дедекінда]], <math>h</math> — [[Порядок (теорія груп)|порядок]] [[Група класів ідеалів|групи класів ідеалів]], <math>R</math> — регулятор поля <math>K</math> і <math>m</math> — кількість [[Корінь з одиниці|коренів з одиниці]] в полі <math>K</math>. 

=== Дискримінанти дробових ідеалів і скінченних розширень кілець Дедекінда ===
Тут всюди <math>A</math> — кільце дедекінда з полем часток <math>k</math>, <math>K</math> — скінченне сепарабельне розширення поля <math>k</math> степеня <math>n</math>, <math>B</math> — ціле замикання кільця <math>A</math> в <math>K</math> і <math>\mathfrak{b}</math> — довільний [[дробовий ідеал]] кільця <math>B</math>.
* <math>D (\mathfrak{b})</math> є [[Дробовий ідеал|дробовим ідеалом]] кільця <math>A</math> і має місце рівність <math>D (\mathfrak{b}) = N (\mathfrak{b}) 2D (B)</math>, де <math>N (\mathfrak{b})</math> — [[норма ідеалу]] <math>\mathfrak{b}</math>. 
* Дискримінант <math>D (B)</math> збігається з нормою [[Диферентний ідеал|диферента]] кільця <math>B</math> над <math>A</math>.
* Якщо <math>S \subset A</math> — мультиплікативна підмножина то <math>D_{B_S/A_S} = (D_{B/A})_S</math>, де <math>S</math> у нижньому індексі позначає [[Локалізація кільця|локалізацію]] по мультиплікативній системі.

== Приклади ==
* [[Квадратичне поле|Квадратичні поля]]: нехай <math>d</math> [[Вільне від квадратів число|вільне від квадратів]] ціле число. Тоді дискримінант поля <math>K=\mathbf{Q}(\sqrt{d})</math> є рівним
:: <math>D_K=\left\{\begin{array}{ll} d &d\equiv 1\pmod 4 \\ 4d &d\equiv 2,3\pmod 4. \\\end{array}\right.</math>
* [[Кругове поле|Кругові поля]]: нехай <math>n > 2</math> — [[Цілі числа|ціле число]] і <math>K_n = \Q(\zeta_n),</math> — ''n''-не кругове поле. Дискримінант цього поля є рівним
:: <math>D_{K_n} = (-1)^{\varphi(n)/2} \frac{n^{\varphi(n)}}{\displaystyle\prod_{p|n} p^{\varphi(n)/(p-1)}}</math>
: де <math>\varphi(n)</math> — [[функція Ейлера]] і добуток береться по всіх простих числах, що ділять <math>n</math>.

== Див. також ==
* [[Визначник]]
* [[Дискримінант]]
* [[Слід (теорія полів)]]

== Література ==
* {{книга|автор=Боревич З. И., Шафаревич И. Р.|частина=|заголовок=Теория чисел|посилання=http://lib.org.by/info/M_Mathematics/MT_Number%20theory/Borevich%20Z.I.,%20Shafarevich%20I.R.%20Teorija%20chisel%20(3e%20izd.)(ru)(T)(510s).djvu|видання=|відповідальний=|місце=М.|видавництво=Наука|рік=1972|том=|сторінки=|сторінок=510|isbn=|ref=}}
* {{Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1}}

[[Категорія:Алгебраїчна теорія чисел]]
[[Категорія:Теорія полів]]