Перегляд вихідного коду сторінки Динамічна система

[[Файл:Lorenz system r28 s10 b2-6666.png|thumb|240px|right|Фазова діаграма [[Атрактор Лоренца|атрактора Лоренца]]&nbsp;— популярний приклад нелінійної динамічної системи. Подібні системи вивчає [[теорія хаосу]].]]

'''Динамі́чна систе́ма'''&nbsp;— математична абстракція, призначена для опису і вивчення систем, що еволюціонують з часом. Прикладом можуть служити механічні системи (рухомі групи тіл) або фізичні процеси.

Динамічні системи досліджує [[теорія динамічних систем]], яка має застосування в широкому переліку областей, як от [[математика]], [[фізика]],<ref>{{cite journal|last1=Melby|first1=P. |display-authors=etal |title=Dynamics of Self-Adjusting Systems With Noise|journal= Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science|volume=15 |issue=3 |pages=033902 |date=2005|doi=10.1063/1.1953147|pmid=16252993 |bibcode=2005Chaos..15c3902M}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Gintautas|first1=V. |display-authors=etal |title=Resonant forcing of select degrees of freedom of multidimensional chaotic map dynamics|journal=J. Stat. Phys. |volume=130|date=2008|issue=3 |page=617 |doi=10.1007/s10955-007-9444-4|arxiv=0705.0311|bibcode=2008JSP...130..617G|s2cid=8677631 }}</ref>, [[біологія]],<ref>{{cite book |last1=Jackson |first1=T. |last2=Radunskaya |first2=A. |title=Applications of Dynamical Systems in Biology and Medicine |date=2015 |publisher=Springer }}</ref> [[хімія]], [[інженерія]],<ref>{{cite book |first=Erwin |last=Kreyszig |title=Advanced Engineering Mathematics |location=Hoboken |publisher=Wiley |year=2011 |isbn=978-0-470-64613-7 }}</ref> [[економіка]],<ref>{{cite book |last=Gandolfo |first=Giancarlo |author-link=Giancarlo Gandolfo |title=Economic Dynamics: Methods and Models |location=Berlin |publisher=Springer |edition=Fourth |year=2009 |orig-year=1971 |isbn=978-3-642-13503-3 }}</ref> [[Кліодинаміка|історія]] та [[медицина]]. Динамічні системи є основою для [[Теорія хаосу|теорії хаосу]], динамік [[Логістичне відображення|логістичних відображень]], [[Теорія біфуркацій|теорії біфуркацій]], процесів [[Самозбірка|самозбирання]] і [[Самоорганізація|самоорганізації]] та концепції [[Границя хаосу|границі хаосу]].

== Огляд ==
Концепція динамічних систем походить з [[Класична механіка|класичної механіки]]. Там, як і в інших природничих та інженерних дисциплінах, правило еволюції динамічних систем є неявним співвідношенням, яке задає стан системи лише на короткий час у майбутньому. (Це співвідношення задається через [[диференціальні рівняння]], [[Рекурентне співвідношення|рекурентні співвідношення]], тощо.) Щоб визначити стан для всіх майбутніх миттєвостей часу, потрібно повторити співвідношення для кожного просування на невеликий крок. Ця [[Ітерація|ітераційна]] процедура називається розв'язанням системи або інтегруванням системи. Якщо систему можна розв'язати, то за початковою точкою можна визначити всі її майбутні положення&mdash;сукупність точок, яку називають [[Траєкторія|траєкторією]] або {{не перекладено|Орбіта (динаміка)|орбітою|en|Orbit (dynamics)}}.

До появи [[комп'ютер]]ів пошук орбіти вимагав складних математичних обчислень та міг бути здійснений лише для невеликого класу динамічних систем. [[Чисельні методи]], реалізовані на електронно-обчислювальних машинах, спростили задачу визначення орбіт динамічної системи.

Для простих динамічних систем часто достатньо знати траєкторію, але більшість динамічних систем занадто складні, щоб їх розуміти в якості окремих траєкторій. Труднощі виникають через:

* Системи, що вивчаються, можуть бути відомі лише приблизно &mdash; параметри системи можуть бути не відомі точно або бути відсутніми в рівняннях. Використані наближення ставлять під сумнів вірність чи релевантність чисельних розв'язків. Для вирішення цих питань у дослідження динамічних систем було введено кілька понять стабільності, наприклад [[Стійкість (динамічні системи)#Стійкість за Ляпуновим|стійкість за Ляпуновим]] або [[структурна стійкість]]. Стійкість динамічної системи означає, що існує клас моделей або початкових умов, для яких траєкторії будуть [[Відношення еквівалентності|еквівалентними]]. Операції порівнянь орбіт для встановлення їх еквівалентності різні для різних понять стійкості.
* Тип траєкторії може бути важливішим, ніж одна конкретна траєкторія. Деякі траєкторії можуть бути періодичними, тоді як інші можуть блукати через багато різних станів системи. Застосування часто вимагають перерахування цих класів або підтримки системи в межах одного класу. Класифікація всіх можливих траєкторій привела до якісного вивчення динамічних систем, тобто властивостей, які не змінюються при зміні координат. [[Лінійна динамічна система|Лінійні динамічні системи]] та [[Теорема Пуанкаре — Бендиксона|системи, які мають два числа, що описують стан]], є прикладами динамічних систем, де зрозумілі можливі класи орбіт.
* Поведінка траєкторій як функція від параметра може бути тою, що потрібна для застосування. Оскільки параметр змінюється, динамічні системи можуть мати [[Теорія біфуркацій|точки біфуркації]], в яких змінюється якісна поведінка динамічної системи. Наприклад, вона може перейти від лише періодичних рухів до явно непостійної поведінки, як при [[Турбулентність (механіка)|переході до турбулентності рідини]].
* Траєкторії системи можуть здаватися непостійними, ніби випадковими. У цих випадках може знадобитися обчислити середні значення, використовуючи одну дуже довгу траєкторію або багато різних траєкторій. Середні значення добре визначені для [[Ергодична теорія|ергодичних систем]], а для [[Дифеоморфізм Аносова|гіперболічних систем]] було розроблено більш детальне розуміння. Розуміння імовірнісних аспектів динамічних систем допомогло встановити основи [[Статистична механіка|статистичної механіки]] та [[Теорія хаосу|хаосу]].

== Історія ==
Багато людей вважають французького математика [[Анрі Пуанкаре]] засновником теорії динамічних систем.<ref>Holmes, Philip. «Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and „chaos“.» ''Physics Reports'' 193.3 (1990): 137—163.</ref> Пуанкаре опублікував дві вже класичні монографії «Нові методи небесної механіки» (1892—1899) та «Лекції з небесної механіки» (1905—1910). У них він успішно дослідив [[Задача трьох тіл|задачу про рух трьох тіл]] та детально вивчив поведінку розв'язків. Ці роботи включали {{не перекладено|Теорема Пуанкаре про рекурентність|теорему Пуанкаре про рекурентність|en|Poincaré recurrence theorem}}, яка стверджує, що деякі системи через досить тривалий, але скінченний час повертаються до стану, дуже близького до початкового.

[[Ляпунов Олександр Михайлович|Олександр Ляпунов]] розробив багато важливих методів апроксимації. Його методи, розроблені ним у 1899&nbsp;р., дозволяють визначити стійкість розв'язків звичайних диференціальних рівнянь. Він створив сучасну теорію стійкості динамічних систем.

У 1913 році американський математик [[Джордж Девід Біркгоф]] довів {{не перекладено|Остання теорема Пуанкаре|останню теорему Пуанкаре|en|Poincaré–Birkhoff theorem}}, окремий випадок задачі трьох тіл, цей результат зробив його всесвітньо відомим. У 1927 році він опублікував роботу ''[https://www.ams.org/online_bks/coll9/ Динамічні системи] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061206110115/http://www.ams.org/online_bks/coll9/ |date=6 грудня 2006 }}''. Також відомими результатом Біркгофа стало його відкриття в 1931 році того, що зараз називають [[Ергодична теорія|ергодичною теоремою]]. Поєднуючи знання з фізики щодо [[Ергодична гіпотеза|ергодичної гіпотези]] з [[Теорія міри|теорією міри]], за допомогою цієї теореми було вирішено фундаментальну проблему статистичної механіки. Ергодична теорема також мала вплив на динаміку.

Інший американський математик [[Стівен Смейл]] також досяг значних успіхів. Його першим внеском стала [[підкова Смейла]], яка дала початок значним дослідженням динамічних систем. Він також окреслив дослідницьку програму, яку проводили багато інших вчених.

У 1964 році український математик [[Шарковський Олександр Миколайович|Олександр Шарковський]] довів [[Теорема Шарковського|теорему про періоди дискретних динамічних систем]]. Одним із наслідків цієї теореми є те, що якщо дискретна динамічна система на дійсній прямій має [[Періодична точка|періодичну точку]] періоду&nbsp;3, то вона також має періодичні точки кожного іншого періоду.

Наприкінці 20 століття почали набувати популярність динамічні системи, пов'язані з [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальними рівняннями з частинними похідними]]. Палестинський інженер-механік {{не перекладено|Алі Х. Найфе|Алі Х. Найфе|en|Ali H. Nayfeh}} застосував [[Нелінійна система#Нелінійні диференційні рівняння|нелінійну динаміку]] в механічних та інженерних системах.<ref name="Rega">{{cite book |last1=Rega |first1=Giuseppe |chapter=Tribute to Ali H. Nayfeh (1933-2017) |title=IUTAM Symposium on Exploiting Nonlinear Dynamics for Engineering Systems |date=2019 |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn=9783030236922 |url=https://books.google.com/books?id=pAilDwAAQBAJ&pg=PA1 |pages=1–2 |accessdate=14 червня 2022 |archive-date=5 травня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200505190135/https://books.google.com/books?id=pAilDwAAQBAJ&pg=PA1 }}</ref> Його піонерська робота в галузі прикладної нелінійної динаміки мала вплив на будівництво та обслуговування [[Машина|машин]] та конструкцій, які є звичайними в повсякденному житті, таких як [[Судно|кораблі]], [[Підйомний кран|крани]], [[Міст|мости]], [[Будівля|будівлі]], [[хмарочос]]и, [[Повітряно-реактивний двигун|реактивні двигуни]], [[Ракетний двигун|ракетні двигуни]], [[літак]]и та [[Космічний апарат|космічні апарати]].<ref name="fi">{{cite web |title=Ali Hasan Nayfeh |url=https://www.fi.edu/laureates/ali-hasan-nayfeh |website=[[Franklin Institute Awards]] |publisher=[[The Franklin Institute]] |access-date=25 серпня 2019 |date=4 лютого 2014 |archive-date=17 квітня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200417120614/https://www.fi.edu/laureates/ali-hasan-nayfeh }}</ref>

== Основні поняття ==
Нехай <math>X</math> &mdash; [[топологічний простір]] та <math>G:\,\mathbb{R} \times X \to X</math> &mdash; неперервна функція, яка задовольняє наступні умови:
: 1) <math>G(0, x) = x</math> для довільного <math>x \in X</math>, тобто <math>G(0, \cdot) = \text{id}</math>;
: 2) <math>G(t + s, x) = G(t, G(s, x))</math> для довільних <math>t, s \in \mathbb{R}, x \in X \,</math> (групова властивість).
Тоді однопараметрична сім'я відображень <math>\left\{g^{t}(\cdot):\, X \to X\right\}_{t \in \mathbb{R}}</math>, де <math>g^{t}(\cdot) = G(t, \cdot)</math>, називається неперервною (або топологічною) '''динамічною системою'''.

Топологічний простір <math>X</math> називається '''[[Фазовий простір|фазовим простором]]''' динамічної системи.

Відображення <math>g_{x}(\cdot) = G(\cdot, x)</math> називається рухом точки <math>x \in X</math>, а його [[Графік функції|графік]] &mdash; '''[[Траєкторія|траєкторією]]''' точки <math>x \in X</math>.

Орбітою точки <math>x \in X</math> називається множина <math>\mathcal{O}(x) = \left\{g^{t}(x)|\,t \in \mathbb{R}\right\}</math>. Множина <math>\mathcal{O}_{+}(x) = \left\{g^{t}(x)|\,t \geqslant 0\right\}</math> називається додатною напів орбітою точки <math>x \in X</math>, а <math>\mathcal{O}_{-}(x) = \left\{g^{t}(x)|\,t \leqslant 0\right\}</math> &mdash; від'ємною напів орбітою точки <math>x \in X</math>.

Підмножина <math>S</math> фазового простору <math>X</math> називається інваріантною (відповідно додатно-напівінваріантною, від'ємно-напівінваріантною), якщо для довільного <math>x \in S, t \in \mathbb{R}</math> (відповідно <math>t \geqslant 0, t \leqslant 0</math>) <math>\,g^{t}(x) \in S</math>.

Існує два види визначень динамічних систем: перший мотивується [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайними диференціальними рівняннями]] і має геометричний характер, а інший &mdash; ергодичною теорією і має [[Міра множини|мірний]] характер.

=== Геометричне визначення ===
У геометричному визначенні <math>X</math> є [[многовид]]ом або [[Граф (математика)|графом]] у дискретному випадку, а <math>G</math> &mdash; правило еволюції <math>t \to g^{t}(\cdot)</math> таке що, <math>g^{t}(\cdot)</math> є [[дифеоморфізм]]ом многовиду самого в себе. Тому <math>G</math> є «гладким» відображенням часової області в простір дифеоморфізмів многовиду самого в себе.

==== Динамічні системи з неперервним часом ====
Для ''дійсної динамічної системи'', ''динамічної системи дійсного часу'', ''динамічної системи з неперервним часом'' або ''потоку'' <math>X</math> визначається [[многовид]]ом, локально дифеоморфним деякому [[Банахів простір|Банаховому простору]]. Якщо <math>G</math> неперервно диференційована функція, то динамічну систему називають диференційованою. Якщо многовид <math>X</math> локально дифеоморфний <math>\mathbb{R}^{n}</math>, то динамічну систему називають ''скінченновимірною'', інакше &mdash; ''нескінченновимірною''. Коли <math>g_{x}(\cdot)</math> визначена на всій дійсній прямій для всіх <math>x \in X</math>, то динамічну систему називають глобальною або {{не перекладено|Потік (математика)|потоком|en|Flow (mathematics)}}, а коли на додатній півосі, то &mdash; напівпотоком.

==== Динамічні системи з дискретним часом ====
Для ''дискретної динамічної системи'' або ''динамічної системи з дискретним часом'' <math>X</math> визначається [[многовид]]ом, локально дифеоморфним деякому [[Банахів простір|Банаховому простору]]. Коли <math>g_{x}(\cdot)</math> визначена лише на цілих числах для всіх <math>x \in X</math>, то динамічну систему називають ''каскадом'' або ''відображенням'', а коли на невід'ємних цілих, то &mdash; ''напівкаскадом''.<ref>{{Cite book|title=Discrete Dynamical Systems|last=Galor|first=Oded|publisher=Springer|year=2010}}</ref>

==== Компактифікація динамічної системи ====
Нехай задано потік на [[Локально компактний простір|локально компактному]] та [[Гаусдорфів простір|гаусдорфовому]] топологічному просторі <math>X</math>. Часто корисно вивчати неперервне розширення <math>G</math> до <math>G^{*}</math> для [[Одноточкова компактифікація|одноточкової компактифікації]] <math>X</math> до <math>X^{*}</math>. Хоч буде втрачена диференціальна структура вихідної системи, але можна буде використовувати компактність для аналізу нової динамічної системи, бо у компактній системі, як мінімум, [[гранична множина]] кожної орбіти є непорожньою, [[Компактний простір|компактною]] та [[Однозв'язна область|однозв'язною областю]].

=== Мірне визначення ===
{{main|{{не перекладено|Динамічні системи, що зберігають міру|Динамічні системи, що зберігають міру|en|Measure-preserving dynamical system}}}}

Динамічну систему можна визначити як перетворення, що зберігають міру, для [[Простір з мірою|мірного простору]]. Нехай <math>(X, \Sigma, \mu)</math> &mdash; мірний простір, де <math>X</math> &mdash; непорожня множина, <math>\Sigma</math> &mdash; [[сигма-алгебра]] на <math>X</math>, <math>\mu</math> &mdash; скінченна [[Міра множини|міра]] на <math>(X, \Sigma)</math>, а <math>g^{t}(\cdot)</math> &mdash; <math>\Sigma</math>-[[вимірна функція]]. Кажуть, що відображення <math>g^{t}(\cdot):\,X \to X</math> '''зберігає міру''' тоді і тільки тоді, коли для кожного <math>A \in \Sigma</math> виконується рівність <math>\mu\left((g^{t})^{-1}(A)\right) = \mu(A)</math>. Поєднуючи вищесказане, кажуть, що відображення <math>g^{t}(\cdot)</math> є перетворенням <math>X</math>, що зберігає міру, якщо це відображення з <math>X</math> на себе є <math>\Sigma</math>-вимірним і зберігає міру, а сім'ю <math>\left\{g^{t}(\cdot):\, X \to X\right\}</math> &mdash; динамічною системою, що зберігає міру.

==== Зв'язок з геометричним визначенням ====

Мірне визначення передбачає існування перетворення, що зберігає міру. Багато різних інваріантних мір можуть бути пов'язані з будь-яким одним правилом еволюції. Якщо динамічна система задана системою диференціальних рівнянь, то необхідно визначити відповідну міру. Це ускладнює розробку ергодичної теорії, починаючи з диференціальних рівнянь, тому стає зручним мати в ергодичній теорії визначення, мотивоване динамічними системами, яке обходить стороною вибір міри та припускає, що вибір зроблено. Проста конструкція (іноді її називають [[Теорема Крилова — Боголюбова|теоремою Крилова&nbsp;— Боголюбова]]) показує, що для великого класу систем завжди можна побудувати міру так, щоб зробити правило еволюції динамічної системи перетворенням, що зберігає міру.

Для гіперболічних динамічних систем природним вибором є {{не перекладено|міра Синая — Рюелля — Бовена||en|Sinai–Ruelle–Bowen measure}}. Вона будується на геометричній структурі {{не перекладено|Стійкий многовид|стійкого або нестійкого многовиду|en|Stable manifold}} динамічної системи; вона поводяться фізично при невеликих збуреннях та пояснює багато спостережуваної статистики гіперболічних систем.

== Побудова динамічних систем ==
Для задання динамічної системи необхідно описати її фазовий простір, множину моментів часу і деяке правило, що описує рух точок фазового простору з часом. Концепція ''еволюції в часі'' є центральною в теорії динамічних систем, як показано в попередніх розділах: основною причиною цього факту є те, що початковою мотивацією теорії було вивчення часової поведінки класичних механічних систем. Але систему звичайних диференціальних рівнянь необхідно розв'язати, перш ніж вона стане динамічною системою. Наприклад, розглянемо таку [[Задача Коші|задачу Коші]]:

: <math>\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{v}(t,\boldsymbol{x})</math>
: <math>\boldsymbol{x}|_{{t=0}}=\boldsymbol{x}_0</math>

де

* <math>\scriptstyle{\dot{\boldsymbol{x}}}</math> являє собою [[швидкість]] матеріальної точки '''x'''
* <math>M</math> є скінченновимірним многовидом
* <math>v:\,T \times M \to M</math> є вектор-функцією в <math>\mathbb{R}^{n}</math> або <math>\mathbb{C}^{n}</math> та являє собою зміну швидкості, викликану [[сила]]ми, що діють на дану матеріальну точку у фазовому просторі <math>M</math>. Ця зміна не є вектором у фазовому просторі <math>M</math>, але є вектором [[Дотичний простір|дотичному просторі]] <math>TM</math>.

Немає потреби ні в похідних вищого порядку в рівнянні, ні в параметрі <math>t</math> у <math>v(t,x)</math>, оскільки їх можна усунути, розглянувши системи вищих розмірностей.

Залежно від властивостей цієї вектор-функції механічну систему називають

* '''автономною''', якщо <math>v(t, x) = v(x)</math>;
* '''однорідною''', якщо <math>v(t, 0) = 0</math> для всіх <math>t</math>.

Рішення можна знайти за допомогою стандартних методів розв'язання однорідних диференціальних рівнянь та позначається як функція еволюції, вже введена вище

: <math>x(t) = G(t, x_{0})</math>

Після наступних маніпуляцій:

: <math>\dot{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{v}(t,\boldsymbol{x})=0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \mathfrak{{G}}\left(t,\Phi(t,\boldsymbol{{x}}_0)\right)=0</math>

де <math>\mathfrak{G}:{{(T\times M)}^M} \to \mathbb{C}</math> &mdash; [[функціонал]] з множини еволюційних функцій до поля комплексних чисел, отримаємо більш загальний вигляд рівнянь, яким повинна задовольняти динамічна система.

Це рівняння корисне при моделюванні механічних систем зі складними обмеженнями.

Багато концепцій динамічних систем можна поширити на нескінченновимірні многовиди, які є локально банаховими просторами. У цьому випадку диференціальні рівняння є диференціальними рівняннями з частинними похідними.

== Приклади ==
{{Div col|colwidth=25em}}
* {{не перекладено|Відображення кота Арнольда|Відображення кота Арнольда|en|Arnold's cat map}}
* {{не перекладено|Відображення пекаря|Відображення пекаря|en|Baker's map}} є прикладом хаотичного [[Кусково-лінійна функція|кусково-лінійного]] відображення
* {{не перекладено|Динамічний більярд|Більярд|en|Dynamical billiards}} та {{не перекладено|Динамічний зовнішній більярд|зовнішній більярд|en|Dynamical outer billiards}}
* {{не перекладено|Динаміка підстрибування м'яча|Динаміка підстрибування м'яча|en|Bouncing ball dynamics}}
* [[Відображення кола]]
* {{не перекладено|Комплексний квадратний поліном|Комплексний квадратний поліном|en|Complex quadratic polynomial}}
* [[Подвійний маятник]]
* {{не перекладено|Діадичне перетворення|Діадичне перетворення|en|Dyadic transformation}}
* [[Відображення Хенона]]
* {{не перекладено|Ірраціональне обертання|Ірраціональне обертання|en|Irrational rotation}}
* {{не перекладено|Відображення Каплана-Йорка|Відображення Каплана-Йорка|en|Kaplan–Yorke map}}
* [[Дивний атрактор Лоренца|Система Лоренца]]
* {{не перекладено|Атрактор Ресслера|Відображення Ресслера|en|Rössler map}}
* {{не перекладено|Коливальна машина Атвуда|Коливальна машина Атвуда|en|Swinging Atwood's machine}}
* {{не перекладено|Відображення тент|Відображення тент|en|Tent map}}
{{Div col end}}

== Лінійні динамічні системи ==
{{Main|Лінійна динамічна система}}
У лінійній динамічній системі фазовий простір є n-вимірним евклідовим простором, тому будь-яка точка фазового простору може бути представлена вектором з n чисел. Аналіз лінійних систем можливий тому, що вони задовольняють [[принцип суперпозиції]]: якщо <math>u(t)</math> та <math>w(t)</math> задовольняють диференціальне рівняння для вектор-функції (але не обов'язково початковій умові), то і <math>u(t)+w(t)</math> задовольняє це рівняння.

=== Потоки ===
Для {{не перекладено|Потік (математика)|потоку|en|flow (mathematics)}} [[вектор-функція]] <math>v(x)</math> є [[Афінне перетворення|афінною]] функцією положення у фазовому просторі, тобто

: <math> \dot{x} = v(x) = A x + b,</math>

де <math>A</math> &mdash; матриця, <math>b</math> &mdash; вектор констант та <math>x</math> &mdash; вектор положення. Розв'язок цієї системи можна знайти за допомогою принципу суперпозиції (лінійності). Випадок <math>b \ne 0</math> з <math>A = 0</math> &mdash; це просто пряма з напрямком b:

: <math>g^{t}(x_{1}) = x_{1} + t b</math>.

Коли <math>b = 0</math> та <math>A \ne 0</math>, початок координат є точкою рівноваги (або сингулярною точкою) потоку, тобто якщо <math>x_{0} = 0</math>, то орбіта залишається там. Для інших початкових умов рівняння руху задається експонентою від матриці. Тобто, для початкової точки <math>x_{0}</math> матимемо:

: <math>g^{t}(x_{0}) = e^{t A} x_{0}</math>.

Коли <math>b = 0</math>, то [[Власні вектори та власні значення|власні значення]] <math>A</math> визначають структуру фазового простору. З власних значень і [[Власні вектори та власні значення|власних векторів]] <math>A</math> можна визначити: збіжиться чи розбіжиться початкова точка до точки рівноваги в початку координат.

Відстань між двома різними початковими умовами при <math>A \ne 0</math> у більшості випадків змінюватиметься експоненційно &mdash; або сходячись експоненційно швидко до точки, або розходячись експоненційно швидко. Лінійні системи демонструють чутливу залежність від початкових умов у разі розбіжності. Для нелінійних систем це одна з (необхідних, але не достатніх) умов хаотичної поведінки.

[[Файл:LinearFields.png|thumb|500px|center|Лінійні векторні поля та декілька траєкторій.]]
{{-}}

=== Каскади ===
[[Афінне перетворення|Афінна]] динамічна система з дискретним часом задається наступним {{не перекладено|Матричне різницеве рівняння|матричним різницевим рівнянням|en|Matrix difference equation}}:

: <math> x_{n+1} =  A x_{n} + b</math>,

з матрицею ''A'' та вектором ''b''. Як і в неперервному випадку, заміна координат <math>x \to x + (1 - A)^{-1} b</math> вилучає вільний член ''b'' з рівняння. У новій [[Система координат|системі координат]] початок координат є нерухомою точкою відображення, а розв'язки лінійної системи &mdash; <math>A^{n} x_{0}</math>. Розв'язком вже є не криві, а точки, які стрибають у фазовому просторі. Орбіти організовані у вигляді кривих, або волокон, які представляють собою сукупність точок, які відображаються в самих себе під дією відображення.

Як і в неперервному випадку, власні значення та власні вектори ''A'' визначають структуру фазового простору. Наприклад, якщо <math>u_{1}</math> є власним вектором ''A'' з дійсним власним значенням, меншим за одиницю, то пряма лінія, задана точками <math>\alpha u_{1}</math>, де <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>, є інваріантною кривою каскаду. Точки на цій прямій переходять у нерухому точку.

Існує також багато {{не перекладено|Список хаотичних відображень|інших дискретних динамічних систем|en|List of chaotic maps}}.

== Локальна динаміка ==
Якісні властивості динамічних систем не змінюються при гладкій зміні координат (це іноді приймають як визначення якісного): ''особлива точка'' вектор-функції (точка, де <math>v(x) = 0</math>) залишиться особливою точкою після гладкого перетворення; ''періодична орбіта'' є [[Петля (топологія)|петлею]] у фазовому просторі, і гладкі деформації фазового простору не зможуть змінити її як петлю. Саме в околі особливих точок і періодичних орбіт можна добре зрозуміти структуру фазового простору динамічної системи. У якісному дослідженні динамічних систем підхід полягає в тому, щоб показати, що існує заміна координат (зазвичай невизначених, але обчислюваних), що робить динамічну систему максимально простою.

=== Випрямлення ===
Потік на більшості невеликих підмножинах фазового простору можна зробити дуже простим. Якщо ''y''&nbsp;— точка, де вектор-функція <math>v(y) \ne 0</math>, то заміна координат відбувається для області навколо ''y'', де векторне поле стає серією паралельних векторів однакової довжини. Це відомо як теорема випрямлення.

''Теорема випрямлення'' говорить, що коло особливих точок динаміка точки на невеликій множині є прямою лінією. Цю множину іноді можна збільшити, з'єднавши кілька таких множин разом, і коли це спрацює, то у всьому фазовому просторі ''M'' динамічна система є ''інтегровною''. У більшості випадків ця множина не може бути поширеною на весь фазовий простір. У вектор-функції можуть бути особливі точки (де <math>v(x) = 0</math>); або ці множини можуть ставати все менше і менше в міру наближення до певної точки. Більш тонка причина &mdash; це глобальне обмеження, коли траєкторія починається з невеликої множини, а після відвідування ряду інших невеликих множин повертається до вихідної. Якщо наступного разу орбіта обійде фазовий простір по-іншому, то випрямити векторне поле у всій серії множин неможливо.

=== Околи періодичних орбіт ===
Загалом, в околах періодичної орбіти теорема випрямлення не може бути використана. Пуанкаре розробив підхід, який перетворює аналіз поблизу періодичної орбіти в аналіз відображення. Виберемо точку <math>x_{0}</math> з орбіти ''γ'' і розглянемо точки фазового простору в її околі, перпендикулярні до <math>v(x_{0})</math>. Ці точки утворюють [[Відображення Пуанкаре|перетин Пуанкаре]] <math>S(y,x_{0})</math> орбіти. Тепер потік визначає [[відображення Пуанкаре]] <math>F:\,S \to S</math> для точок, які починаються в ''S'' і повертаються до&nbsp;''S''. Не всі ці точки повертаються за однакову кількість часу, але цей час буде близьким до часу, який потрібен для <math>x_{0}</math>.

Перетин періодичної орбіти з перетином Пуанкаре є нерухомою точкою відображення Пуанкаре ''F''. Через переміщення можна вважати, що точка знаходиться в <math>x = 0</math>. Ряд Тейлора відображення <math>F(x) = J \cdot x + O(x^{2})</math>, тому можна очікувати, що зміна координат ''h'' лише спростить ''F'' до його лінійної частини

: <math> h^{-1} \circ F \circ h(x) = J \cdot x.</math>

Це рівняння відоме як рівняння спряження. Знаходження умов для виконання цього рівняння було одним із головних завдань дослідження динамічних систем. Пуанкаре вперше підійшов до нього, вважаючи, що всі функції є [[Аналітична функція|аналітичними]], і в процесі виявив нерезонансну умову. Якщо <math>\lambda_{1}, \dots, \lambda_{\nu}</math> є власними значеннями <math>J</math>, вони будуть резонансними, якщо одне власне значення є цілочисельною лінійною комбінацією двох або більше інших. Оскільки доданки вигляду <math>\lambda_{i} - \Sigma</math> (множини інших власних значень) зустрічаються в знаменнику доданків для функції ''h'', то нерезонансна умова також відома як проблема малого дільника.

=== Спряження ===
Існування розв'язку рівняння спряження залежить від власних значень ''J'' та ступеню гладкості, необхідного від ''h''. Оскільки ''J'' не потребує особливих симетрій, її власні значення, здебільшого, будуть комплексними числами. Коли власні значення ''J'' не знаходяться в одиничному колі, то динаміка поблизу нерухомої точки <math>x_{0}</math> ''F'' називається [[Гіперболічна нерухома точка|гіперболічною]], а коли власні значення знаходяться на одиничному колі, то динаміка називається ''еліптичною''.

У гіперболічному випадку [[теорема Гробмана — Гартмана]] дає умови існування неперервної функції, яка відображає окіл нерухомої точки відображення на лінійне відображення <math>J \cdot x</math>. Гіперболічний випадок також ''[[Структурна стійкість|структурно стійкий]]''. Збурення у вектор-функції призведуть лише до незначних змін у відображенні Пуанкаре, і ці невеликі зміни відображатимуться в невеликих змінах положення власних значень ''J'' на комплексній площині, що означає, що відображення все ще є гіперболічним.

[[Теорема КАМ|Теорема Колмогорова&nbsp;— Арнольда&nbsp;— Мозера (КАМ)]] описує поведінку поблизу еліптичної нерухомої точки.

== Теорія біфуркацій ==
{{Main|Теорія біфуркацій}}
Коли відображення еволюції <math>g^{t}(\cdot)</math> (або вектор-функція, з якого вона походить) залежить від параметра <math>\mu</math>, то структура фазового простору також залежатиме від цього параметра. Збурення можуть не викликати якісних змін у фазовому просторі, поки не буде досягнуто деякого значення <math>\mu_{0}</math>. У цей момент фазовий простір якісно змінюється, і кажуть, що динамічна система пройшла через біфуркацію.

Теорія біфуркацій розглядає структуру у фазовому просторі (переважно, нерухому точку, періодичну орбіту або інваріантний [[Тор (геометрія)|тор]]) і вивчає її поведінку як функцію параметра&nbsp;<math>\mu</math>. У точці біфуркації структура може змінити свою стабільність, розділитися на нові структури або злитися з іншими структурами. Використовуючи апроксимацію відображення рядом Тейлора та розуміючи відмінності, які можуть бути усунені заміною координат, можна класифікувати біфуркації динамічних систем.

Біфуркації гіперболічної нерухомої точки <math>x_{0}</math> сімейства систем <math>F_{\mu}</math> можна охарактеризувати власними числами першої похідної системи <math>DF_{\mu}(x_{0})</math>, обчисленої в точці біфуркації. Для відображення біфуркація відбудеться, коли на одиничному колі є власні числа <math>DF_{\mu}</math>. Для потоку це відбудеться, коли на уявній осі є власні числа.

Деякі біфуркації можуть призвести до дуже складних структур у фазовому просторі. Наприклад, сценарій Руелля&nbsp;— Такенса описує, як періодична орбіта розгалужується на тор, а тор &mdash; на [[Атрактор#Дивний атрактор|дивний атрактор]]. В іншому прикладі {{не перекладено|Біфуркаційна діаграма|подвоєння періоду Фейгенбаума|en|Bifurcation diagram}} описує, як стабільна періодична орбіта проходить серію [[Біфуркація подвоєння періоду|біфуркацій подвоєнь періоду]].

== Ергодичні системи ==
{{Main|[[Ергодична теорія]]}}
У багатьох динамічних системах можна обрати систему координат так, щоб об'єм (насправді ν-вимірний об'єм) у фазовому просторі був інваріантним. Це відбувається для механічних систем, що випливають із законів Ньютона, якщо координатами є положення та імпульс, а об'єм вимірюється в одиницях (положення)&nbsp;×&nbsp;(імпульс). Потік перетворює точки підмножини ''A'' в точки <math>g^{t}(A)</math>, а інваріантність фазового простору означає, що

: <math> \mathrm{vol} (A) = \mathrm{vol} ( g^{t}(A) )</math>.

У [[Механіка Гамільтона|Гамільтоновій механіці]] за даною координатою можна вивести відповідний (узагальнений) імпульс таким чином, щоб пов'язаний об'єм зберігався потоком. Об'єм обчислюється через [[Теорема Ліувілля про збереження фазового об'єму|міру Ліувіля]].

У Гамільтоновій системі не всі можливі конфігурації положення та імпульсу можуть бути досягнуті з початкової умови. Через збереження енергії доступні лише стани з такою ж енергією, що й у початкової умови. Стани з однаковою енергією утворюють енергетичну оболонку Ω, підмноговид фазового простору. Об'єм енергетичної оболонки, розрахований через міру Ліувіля, зберігається в процесі еволюції.

Для систем, де об'єм зберігається потоком, Пуанкаре відкрив {{не перекладено|Теорема Пуанкаре про рекурентність|теорему про рекурентність|en|Poincaré recurrence theorem}}: припустімо, що фазовий простір має скінченний об'єм Ліувіля, і нехай ''F'' &mdash; відображення, що зберігає об'єм фазового простору, ''а'' A &mdash; підмножина фазового простору. Тоді майже кожна точка ''A'' повертається в ''A'' нескінченно часто. Теорема Пуанкаре про рекурентність була використана [[Ернст Цермело|Цермело]], щоб заперечити проти висновку [[Людвіг Больцман|Больцмана]] щодо збільшення ентропії в динамічній системі атомів, що стикаються.

Одним із питань, порушених роботою Больцмана, було можливість рівності між середнім за часом та середнім за об'ємом, що він назвав [[Ергодична гіпотеза|ергодичною гіпотезою]]. Гіпотеза стверджує, що тривалість часу, за який типова траєкторія проводить в області ''A'', дорівнює vol(''A'')/vol(Ω).

Виявилося, що ергодична гіпотеза не важлива для розвитку статистичної механіки, і для охоплення відповідних аспектів фізичних систем було введено ряд інших подібних властивостей.  {{не перекладено|Бернард Купман|Бернард Купман|en|Bernard Koopman}} підійшов до вивчення ергодичних систем, використовуючи [[функціональний аналіз]]. Спостережуване ''a'' &mdash; це функція, яка до кожної точки фазового простору повертає число (наприклад, миттєвий тиск або середню висоту). Значення спостережуваного можна обчислити в інший час за допомогою функції еволюції <math>g^{t}(\cdot)</math>. Для цього вводять {{не перекладено|оператор Перона — Фробеніуса||en|Transfer operator}} <math>U^{t}</math>:

: <math> (U^t a)(x) = a(g^{-t}(x))</math>.

Вивчаючи спектральні властивості лінійного оператора ''U'', стає можливим класифікувати ергодичні властивості <math>g^{t}(\cdot)</math>. Використовуючи підхід Купмана для розгляду дії потоку на спостережуваній функції, скінченновимірну нелінійну задачу з&nbsp;<math>g^{t}</math> відображають у нескінченновимірну лінійну задачу з&nbsp;<math>U</math>.

Міра Ліувіля, обмежена енергетичною поверхнею Ω, є основою для середніх, обчислених у [[Статистична механіка|статистичній механіці рівноваги]]. Середнє за часом уздовж траєкторії рівне середньому за об'ємом, обчисленому за допомогою коефіцієнта Больцмана <math>exp(-\beta H)</math>. Цю ідею узагальнили Синай, Рюелл та Бовен (СРБ) на більший клас динамічних систем, що охоплює [[Дисипативна система|дисипативні системи]]. {{не перекладено|Міра Синая — Рюелля — Бовена|СРБ міри|en|Sinai–Ruelle–Bowen measure}} замінюють коефіцієнт Больцмана та визначаються на атракторах хаотичних систем.

=== Нелінійні динамічні системи та хаос ===
{{Main|Теорія хаосу}}
Прості нелінійні динамічні системи і навіть кусково-лінійні системи можуть демонструвати абсолютно непередбачувану поведінку, яка може здатися випадковою, попри те, що вони в своїй основі детерміновані. Таку, здавалося б, непередбачувану поведінку називають ''хаосом''. [[Дифеоморфізм Аносова|Гіперболічні системи]] &mdash; це точно визначені динамічні системи, які виявляють такі властивості, що приписуються хаотичним системам. У гіперболічних системах дотичний простір, перпендикулярний до траєкторії, можна добре розділити на дві частини: одну з точками, що сходяться до орбіти («стабільний многовид»), та іншу з точок, що розходяться від орбіти («нестабільний многовид»).

Ця галузь математики вивчає довгострокову якісну поведінку динамічних систем. Тут наголос робиться не на пошуку точних розв'язків рівнянь, що визначають динамічну систему (що часто безнадійно), а на тому, щоб відповісти на запитання на зразок «Чи прийде система до [[Стаціонарний стан дисипативної системи|стаціонарного стану]], і якщо так, то чи можливі [[атрактор]]и?» або «Чи залежить довготривала поведінка системи від її початкового стану?».

Зауважимо, що питання не в хаотичній поведінці складних систем. [[Метеорологія]], як відомо, багато років включає складну, навіть, хаотичну поведінку. Теорія хаосу була настільки дивною, бо хаос можна було знайти в майже тривіальних системах. [[Логістичне відображення]] є лише поліномом другого степеню, а [[підкова Смейла]] &mdash; кусково-лінійна.

=== Розв'язки скінченної тривалості ===
Для нелінійних автономних ЗДР за деяких умов можна знаходити розв'язки кінцевої тривалості,<ref>{{cite book |author = Vardia T. Haimo |title = 1985 24th IEEE Conference on Decision and Control |chapter = Finite Time Differential Equations |year = 1985 |pages = 1729–1733 |doi = 10.1109/CDC.1985.268832 |s2cid = 45426376 |chapter-url = https://ieeexplore.ieee.org/document/4048613 |accessdate = 14 червня 2022 |archive-date = 11 березня 2022 |archive-url = https://web.archive.org/web/20220311031935/https://ieeexplore.ieee.org/document/4048613 }}</ref> тобто за своєю власною динамікою система досягне нульового значення в кінцевий момент і залишиться там на нулі назавжди. Ці розв'язки скінченної тривалості не можуть бути аналітичними функціями на всій дійсній прямій, і оскільки вони будуть неліпшицевими функціями в момент їх закінчення, в них не буде однозначності розв'язків диференціальних рівнянь Ліпшица.

Наприклад, розглянемо рівняння:
: <math>y'= -\text{sign}(y)\sqrt{|y|},\,\,y(0)=1</math>

Воно допускає розв'язок скінченної тривалості:
: <math>y(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{x}{2}+\left|1-\frac{x}{2}\right|\right)^2</math>

== Див. також ==
* [[Коливання]]
* [[Системна динаміка]]
* [[Теорія систем]]
* [[Нелінійна система]]
* [[Синергія]]
* [[Метод ізоспектральної деформації]]
* [[Дискретна система]]
* [[Центральний многовид]]

== Література ==
;Українською
* {{книга
 |автор          = Гащук, П. М.
 |частина        = 
 |заголовок      = Лінійні динамічні системи і звичайні диференціальні рівняння
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Львів
 |видавництво    = Українські технології
 |рік            = 2002
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 607
 |isbn           = 9666660245
 |ref            =
}}
* Синтез лінійних оптимальних динамічних систем: навч. посіб. / [О.&nbsp;Ю.&nbsp;Лозинський, А.&nbsp;О.&nbsp;Лозинський, Я.&nbsp;Ю.&nbsp;Марущак та ін.].&nbsp;— Львів: Львівська політехніка, 2016.&nbsp;— 392 с.&nbsp;— ISBN 617-607-945-3.
* {{книга
 |автор          = Трохимчук, П. П.
 |частина        = 
 |заголовок      = Нелінійні динамічні системи 
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Луцьк
 |видавництво    = Вежа-Друк
 |рік            = 2015
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 275
 |isbn           = 9786177272259
 |ref            =
}} {{ref-uk}}
;Іншими мовами
* {{книга
 |автор          = Steven H. Strogatz
 |частина        = 
 |заголовок      = Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering
 |посилання      = 
 |видання        = 2 (Studies in Nonlinearity)
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Westview Press
 |рік            = 2014
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 528
 |isbn           = 978-0813349107
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор          = D. K. Arrowsmith, C. M. Place
 |частина        = 
 |заголовок      = An Introduction to Dynamical Systems
 |посилання      = 
 |видання        = 1 
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Cambridge University Press
 |рік            = 1990
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 432
 |isbn           = 978-0521316507
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор          = Richard Holmgren
 |частина        = 
 |заголовок      = A First Course in Discrete Dynamical Systems
 |посилання      = 
 |видання        = 2 (Universitext)
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Springer
 |рік            = 2013
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 233
 |isbn           = 978-0387947808
 |ref            =
}} {{ref-en}}
* {{книга
 |автор          = Robert L. Devaney
 |частина        = 
 |заголовок      = An Introduction to Chaotic Dynamical Systems
 |посилання      = 
 |видання        = 2 (Studies in Nonlinearity)
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Westview Press
 |рік            = 2003
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 350
 |isbn           = 978-0813340852
 |ref            =
}}
* {{книга
 |автор          = Brin M., Stuck G.
 |частина        = 
 |заголовок      = Introduction to Dynamical Systems
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Cambridge University Press
 |рік            = 2002
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 240
 |isbn           = 9780511755316
 |ref            = https://doi.org/10.1017/CBO9780511755316
}}
* {{книга
 |автор          = Irwin M.C.
 |частина        = 
 |заголовок      = Smooth dynamical systems
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = 
 |видавництво    = Singapore – New Jersey – London – Hong Kong: World Scientific
 |рік            = 2001
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 260
 |isbn           = 978-9810245993
 |ref            = https://doi.org/10.1142/4681
}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|title=Dynamical Systems|urlname=DynamicalSystem}}
* {{cite book|title=Знакомство с нелинейной динамикой (лекции Соросовского профессора)|date=2008|publisher=Издательство УРСС, Москва|author=Анищенко В.С.|edition=3|language=рос.}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Системологія}}
{{Теорія хаосу}}

{{Без виносок|дата=червень 2016}}
{{Перекласти|en|Dynamical system}}


{{Математика-доробити}}

[[Категорія:Математична фізика]]
[[Категорія:Теорія динамічних систем]]