Перегляд вихідного коду сторінки Диз'юнкція (логіка)

{{Картка:Логічний сполучник
| title        = 
| other titles = OR
| Venn diagram = Venn0111.svg
| definition   = <math>a+b</math>
| truth table  = <math>(1110)</math>
| logic gate   = Puerta OR.svg
| DNF          = <math>a+b</math>
| CNF          = <math>a+b</math>
| Zhegalkin    = <math>a \oplus b \oplus ab</math>
| 0-preserving = {{aye}}
| 1-preserving = {{aye}}
| monotone     = {{aye}}
| affine       = {{n&}}
| self-dual    = {{n&}}
}}
'''Диз'юнкція''' ({{lang-la|disjunctio}}&nbsp;— розділення) (операція '''OR''')&nbsp;— [[двомісна операція|двомісна]] [[логічна операція]], що має значення «істина», якщо хоча б один з [[операнд]]ів має значення «істина». Операція відображає вживання [[сполучник]]а «'''або'''» в логічних висловлюваннях. Диз'юнкція є [[Бінарна операція|бінарною операцією]], тобто має два операнди. Запис може бути префіксним (знак операції стоїть перед операндами), інфіксним (знак операції стоїть між операндами) або постфіксним (знак операції стоїть після операндів). За кількості операндів понад 2 префіксний і постфіксний записи економніші.<ref>{{Cite news|title=Disjunction|url=https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/disjunction/|date=2016-03-23|accessdate=2022-01-28|first=Maria|last=Aloni|archive-date=24 січня 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220124042610/https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/disjunction/}}</ref><ref>{{Cite web|title=disjunction {{!}} logic {{!}} Britannica|url=https://www.britannica.com/topic/disjunction-logic|website=www.britannica.com|accessdate=2022-01-28|language=en|archive-date=28 січня 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220128122040/https://www.britannica.com/topic/disjunction-logic}}</ref>

Позначається: в [[Математика|математиці]] та логіці як <math>\lor</math>, у програмуванні як '''|''' чи '''or'''.

Найчастіше трапляються такі варіанти запису:
'''''a'''''||'''''b''''', '''''a'''''|'''''b''''', '''''a'''''<math>\lor</math>'''''b''''', '''''a'''''+'''''b''''', '''''a''''' '''or''' '''''b'''''.<ref>{{Cite news|title=Józef Maria Bocheński|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Józef_Maria_Boche%C5%84ski&oldid=1063870870|work=Wikipedia|date=2022-01-05|accessdate=2022-01-28|language=en}}</ref>

У техніці операцію диз'юнкції втілює [[АБО (логічний вентиль)|логічний вентиль АБО]].

== Визначення ==
У булевій алгебрі диз'юнкція&nbsp;— це функція двох, трьох або більшої кількості змінних (вони ж&nbsp;— операнди операції, вони ж&nbsp;— аргументи функції).

Правило: результат дорівнює '''''0''''', якщо всі операнди дорівнюють '''''0'''''; у всіх інших випадках результат дорівнює '''''1'''''.

[[Таблиця істинності]] виглядає таким чином:
{{2-ary truth table|<!-- T=1|F=0| -->0|1|1|1|<math>A \lor B</math>}}

Відповідною операцією в [[Теорія множин|теорії множин]] є [[об'єднання множин]].

== Властивості ==

* [[асоціативність]]
: <math>a \lor (b \lor c) \equiv (a \lor b) \lor c </math>

* [[комутативність]]
: <math>a \lor  b \equiv b \lor a </math>

* [[дистрибутивність]]<ref>{{Cite news|title=Double turnstile|url=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Double_turnstile&oldid=1063825289|work=Wikipedia|date=2022-01-05|accessdate=2022-01-28|language=en}}</ref>
: <math>a \land (b \lor c) \equiv (a \land b) \lor (a \land c)</math>
: <math>a \lor (b \land c) \equiv (a \lor b) \land (a \lor c)</math>
: <math>a \lor (b \leftrightarrow c) \equiv (a \lor b) \leftrightarrow (a \lor c)</math>

* [[ідемпотентність]]
: <math>a \lor a \equiv a </math>

* [[монотонні функції алгебри логіки|монотонність]]
: <math>(a \rightarrow b) \rightarrow ((a \lor c) \rightarrow (b \lor c))</math>

== Функціональна повнота ==
Множина операцій <math>\{ \lor, \lnot \}</math> є [[функціональна повнота|функціонально повною]]:
: <math>a \land b \equiv \lnot (\lnot a \lor \lnot b) </math>
: <math>a \rightarrow b \equiv \lnot a \lor b </math>
: <math>a \;|\; b \equiv \lnot a \lor \lnot b </math>
: <math>a \downarrow b \equiv \lnot (a \lor b) </math>

== Двійкові операції ==
Диз'юнкція часто використовується для двійкових операцій. Наприклад:

Логічний елемент 2АБО '''''AB f (A B)'''''
* 0 <math>\lor</math> 0 = 0
* 0 <math>\lor</math> 1 = 1
* 1 <math>\lor</math> 0 = 1
* 1 <math>\lor</math> 1 = 1
* 1010 <math>\lor</math> 1110 = 1110
Мнемонічне правило для диз'юнкції з будь-якою кількістю входів звучить так: На виході буде: «1» тоді й тільки тоді, коли хоча б на одному вході є «1», «0» тоді й тільки тоді, коли на всіх входах «0».

== Багатозначна логіка ==
У [[Нечітка логіка|багатозначній логіці]] операція диз'юнкції може визначатися іншими способами. Найчастіше застосовують схему: '''''a'''''<math>\lor</math>'''''b'''''= '''''max(a, b)''''', де '''''a, b''''' € '''''[0,1]'''''. Можливі й інші варіанти. Як правило, намагаються зберегти сумісність із булевою алгеброю для значень операндів '''''0, 1'''''.

== Програмування ==
У комп'ютерних мовах використовують два основні варіанти диз'юнкції: логічне '''''«АБО»''''' і побітове '''''«АБО»'''''. Наприклад, у мовах [[C (мова програмування)|C]] / [[C++]] логічне '''''«АБО»''''' позначається символом "'''||"''', а побітове&nbsp;— символом "'''|"'''. У мовах [[Pascal]] / [[Delphi (мова програмування)|Delphi]] обидва види диз'юнкції позначають із використанням ключового слова '''''«or»''''', а результат дії визначається типом операндів. Якщо операнди мають логічний тип (наприклад, '''Boolean'''), то виконується логічна операція; якщо цілочисельний (наприклад, Byte)&nbsp;— порозрядне.

Логічне '''''«АБО»''''' застосовується в операторах умовного переходу або в аналогічних випадках, коли потрібне отримання результату '''''false''''' або '''''true'''''. Наприклад:
 '''if  (a || b) {/* певні дії */}'''; 
Результат буде дорівнювати '''''false''''', якщо обидва операнди рівні '''''false''''' або '''''0'''''. За будь-яких інших умов результат буде дорівнювати '''''true'''''.

При цьому справедлива стандартна умова: якщо значення лівого операнда є '''''true''''', то значення правого операнда не обчислюється (замість '''''b''''' може стояти будь-яка складна формула). Це прискорює виконання програми й стає у пригоді за деяких обставин.

Побітове '''''«АБО»''''' виконує звичайну операцію булевої алгебри для всіх бітів лівого і правого операнда попарно. Наприклад, якщо '''a = 01100101''' '''b = 00101001''', то '''a''' '''''АБО''''' '''b''' = '''01101101'''

== Див. також ==
* [[Булева множина]]
* [[Закони де Моргана]]
* [[Умовна диз'юнкція]]
* [[Виключна диз'юнкція]]

== Примітки ==
{{reflist}}

==Література==
* {{ФЕС|Диз'юнкція|155}}

{{Логічні операції}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Логічні операції]]
[[Категорія:Бінарні операції]]