Перегляд вихідного коду сторінки Дзета-функція Рімана

'''Дзе́та-фу́нкція [[Ріман|Рі́мана]]''' <math>\displaystyle \zeta(s)</math> визначена за допомогою ряду:
: <math>\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math>.
У області <math> \left\{ s : \operatorname{Re}(s) > 1\right\}</math>, цей [[числовий ряд|ряд]] збіжний, є [[аналітична функція|аналітичною функцією]] і допускає [[аналітичне продовження]] на всю [[Комплексна площина|комплексну площину]] без одиниці. У цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку ('''тотожність Ейлера''')
: <math>\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}</math> ,
де добуток береться по усіх простих числах p.
Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.

== Властивості ==

* Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:
:: <math>2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}</math>,
де <math>B_{2m}</math>&nbsp;— [[Числа Бернуллі|число Бернуллі]].
Зокрема,
:: <math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}</math>,
:: <math>\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}</math>.
Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є [[ірраціональне число|ірраціональними]] і навіть [[трансцендентне число|трансцендентними]], але поки доведена лише ірраціональність числа <math>\zeta(3)</math> ([[Роже Апері]], 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне ірраціональне.
* При <math>\operatorname{Re}(s)> 1</math>
:* <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math>
де <math>\mu(n)</math>&nbsp;— [[функція Мебіуса]]
:* <math>\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}</math>
де <math>\tau(n)</math>&nbsp;— число дільників числа <math>n</math>
:* <math>\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}</math>
де <math>\nu(n)</math>&nbsp;— число простих дільників числа <math>n</math>
* <math>\zeta(s)</math> допускає [[аналітичне продовження]] на всю комплексну <math>s</math>-площину і є регулярною функцією для всіх значень <math>s</math>, крім <math>s=1</math>, де вона має простий полюс із <span style='color: red'>[[лишок|лишком]]</span>, рівним 1.
** Аналітичне продовжена дзета-функція при <math>s\ne 0, s\ne 1</math> задовольняє рівняння:
:: <math>\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s)</math>,
де <math>\Gamma(z)</math>&nbsp;— [[Гамма-функція]] [[Ейлер]]а. Це рівняння називається '''функціональним рівнянням Рімана'''.
:* Для функції
:: <math>\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)\zeta(s)</math>
: введеною Ріманом для дослідження <math>\zeta(s)</math> і званою '''ксі-функцією Рімана''', це рівняння набуває вигляду
:: <math>\xi(s)=\xi(1-s)</math>

=== Нулі дзета-функції ===

:: ''Основна стаття: [[Гіпотеза Рімана]]''

Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині
: <math>\operatorname{Re}(s)< 0</math>,
функція <math>\zeta(s)</math> має лише прості нулі у від'ємних парних точках:
<math>0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots</math>.
Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції.
Далі <math>\zeta(s)\not=0</math> при дійсних <math>s\in (0,1)</math>.
Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і мають властивість симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі <math>\operatorname{Re}(s)=1/2</math> і лежать у смузі <math>0\le\operatorname{Re}(s)\le 1</math>, яка називається '''критичною смугою'''. [[Гіпотеза Рімана]] полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функції розташовані на прямій <math>1/2 + i t</math>.

== Узагальнення ==
Існує досить велика кількість спеціальних функцій, пов'язаних з дзета-функцією Рімана, які об'єднуються загальною назвою [[дзета-функції]] і є її узагальненнями. Наприклад:

* '''[[Дзета-функція Гурвіца]]''':
*: <math>\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s},</math>
: яка збігається з дзета-функцією Рімана при ''q'' = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).

* '''[[Полілогарифм]]''':
*: <math>\mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s},</math>
: який збігається з дзета-функцією Рімана при ''z'' = 1.

* '''{{нп|Lerch zeta function|Дзета-функція Лерха}}''':
*: <math>\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac {z^k} {(k+q)^s},</math>
: яка збігається з дзета-функцією Рімана при ''z'' = 1 і ''q'' = 1 (оскільки сумування ведеться від 0, а не від 1).

== Історія ==

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році [[Ойлер Леонард|Ейлером]], який і вказав її розклад у добуток.

Потім ця функція розглядалася [[Діріхле]] і, особливо успішно, [[Чебишов Пафнутій Львович|Чебишо́вим]] при вивченні закону [[Функція розподілу простих чисел|розподілу простих чисел]].

Проте найбільш глибокі властивості дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи [[Ріман Бернгард|Рімана]] (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.

==Формула добутку Ейлера==
Зв'язок між дзета-функцією і простими числами відкрив Ейлер, який довів таку тотожність:

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}},</math>

де лівий бік - це {{math|''ζ''(''s'')}}, а [[нескінченний добуток]] праворуч містить усі прості числа:

:<math>\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}}\cdot\frac{1}{1-11^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots</math>

Обидва боки формули Ейлера збігаються якщо {{math|Re(''s'') > 1}}. Доведення тотожності Ейлера використовує лише геометричні ряди і [[Основна теорема арифметики|основну теорему арифметики]]. З того, що [[гармонічний ряд]] при {{math|''s'' {{=}} 1}} розбіжний, випливає, що формула Ейлера (яка набуває виду <math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ \ldots = \frac{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot\ldots}{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdot 10\cdot\ldots} </math>) тягне за собою існування [[Теорема Евкліда|нескінченної кількості простих чисел]].<ref>{{cite book|first=Charles Edward |last=Sandifer |title=How Euler Did It |publisher=Mathematical Association of America |date=2007 |page=193 |isbn=978-0-88385-563-8}}</ref>

Формулу добутку Ейлера можна використати, щоб обчислити асимптотичну ймовірність того, що {{mvar|s}} випадково вибраних цілих чисел помножинно [[Взаємно прості числа|взаємно прості]]. Інтуїтивно, ймовірність того, що будь-яке окремо взяте число ділиться на просте (або будь-яке ціле число), {{mvar|p}} становить {{math|{{sfrac|1|''p''}}}}. Отже, ймовірність, що кожне з {{mvar|s}} чисел ділиться на це число становить {{math|{{sfrac|1|''p''{{isup|''s''}}}}}}, а ймовірність, що хоча б одне ні становить {{math|1 − {{sfrac|1|''p''{{isup|''s''}}}}}}. Тепер, для різних простих чисел, ці події подільності взаємно незалежні, бо кандидати на дільники взаємно прості (число ділиться на взаємно прості дільники {{mvar|n}} і {{mvar|m}} тоді і тільки тоді, коли число ділиться на&nbsp;{{mvar|nm}}, подія, що відбувається з ймовірністю&nbsp;{{math|{{sfrac|1|''nm''}}}}). Отже, асимптотична ймовірність того, що {{mvar|s}} чисел взаємно прості задається через добуток що включає всі прості,

: <math>\prod_{p \text{ prime}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \left( \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} \right)^{-1} = \frac{1}{\zeta(s)}. </math>

(Щоб довести цей результат формально потрібно більше роботи).<ref>{{cite journal|first=J. E. |last=Nymann|title=On the probability that {{mvar|k}} positive integers are relatively prime|journal=Journal of Number Theory|volume=4|year=1972|pages=469–473|doi=10.1016/0022-314X(72)90038-8|issue=5|bibcode = 1972JNT.....4..469N }}</ref>

== Див. також ==
* [[Дзета-функції]]
* [[Дзета-функція Гурвіца]]
* [[Формула сумування Абеля]]
* [[Список об'єктів, названих на честь Бернгарда Рімана]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==

* [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Дзета-функція Рімана] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100209094215/http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html |date=9 лютого 2010 }} (from MathWorld)
* {{Фіхтенгольц.укр}}

{{math-stub}}

[[Категорія:Дзета- і L-функції]]