Перегляд вихідного коду сторінки Дзеркальна симетрія (теорія струн)

{{теорія струн}}
В [[математика|математиці]] і [[теоретична фізика|теоретичній фізиці]] '''дзеркальною симетрією''' називається еквівалентність [[Многовид Калабі — Яу|многовидів Калабі&nbsp;— Яу]] в наступному сенсі. Два [[многовид]]и Калабі&nbsp;— Яу можуть бути абсолютно різними геометрично, але давати однакову фізику елементарних частинок при використанні їх як «згорнутих» додаткових розмірностей [[теорія струн | теорії струн]]. Самі такі многовиди називають ''дзеркально симетричними''.

Дзеркальна симетрія була спочатку виявлена фізиками. Математики зацікавилися цим явищем близько 1990 року, коли Філіп Канделас, Ксенія де ла Осса, Пол Грін і Лінда Паркс показали, що дзеркальну симетрію можна використовувати як інструмент в [[обчислювальна геометрія|обчислювальній геометрії]] &nbsp;—  розділі математики, що займається підрахунком кількості відповідей на ті чи інші геометричні питання. Канделас і співавтори показали, що дзеркальна симетрія може бути використана для підрахунку числа [[Алгебраїчна крива#Раціональні криві|раціональних кривих]] на многовиді Калабі&nbsp;— Яу. Ця задача довгий час залишалась нерозв'язаною. Незважаючи на те, що первинний підхід до дзеркальної симетрії базувався на ідеях, сформульованих на фізичному рівні, математики змогли строго [[Доведення|довести]] деякі з тверджень, які були передбачені фізиками.

Зараз дзеркальна симетрія є однією з найбільш [[Мейнстрим|мейнстримових]] областей досліджень в області [[Чиста математика|чистої математики]], і математики працюють над розвитком математичного розуміння цього, заснованого на фізичній інтуїції, явища. Крім того, дзеркальна симетрія є основним інструментом обчислень у теорії струн; також вона використовувалася для розуміння деталей [[Квантова теорія поля|квантової теорії поля]], формалізму, за допомогою якого фізики описують [[Елементарна частинка|елементарні частинки]]. Основні підходи до дзеркальної симетрії включають в себе програму [[Гомологічна дзеркальна симетрія|гомологічної дзеркальної симетрії]] [[Концевич Максим Львович|Максима Концевича]] і {{Нп|SYZ-гіпотеза|SYZ-гіпотезу||SYZ conjecture}} [[Ендрю Стромінджер|Стромінджера]], [[Шинтан Яу|Яу]] і {{Нп|Ерік Заслоу|Заслоу||Eric Zaslow}}.

== Огляд ==

=== Струни і компактифікація ===
{{main|Теорія струн|Теорія струн#компактифікація}}
[[Файл:Open and closed strings.svg|right|thumb|Фундаментальними об'єктами теорії струн є відкриті і замкнуті струни.]]
[[Теорія струн]]&nbsp;— теорія, в якій фундаментальними об'єктами є не точкові частинки, а одномірні об'єкти, звані струнами. Струни бувають відкриті і замкнуті; відкриті виглядають як відрізки, замкнуті&nbsp;— як петлі. Теорія струн займається описом того, як ці фундаментальні об'єкти&nbsp;— струни&nbsp;— поширюються в просторі і взаємодіють одна з одною. На відстанях більшіх, ніж [[довжина Планка]], струна виглядає як точкова частинка зі своїми [[Маса|масою]], [[Електричний заряд|зарядом]] та іншими властивостями, залежними від коливальної моди струни. Розщеплення й рекомбінація струн відповідають випусканню і поглинанню частинок&nbsp;— таким чином, у нас є струнна мова, якою описується взаємодія частинок<ref>Доступне введення в теорію струн, наприклад, див. у Гріне, 2000.</ref>.

Між світом, який описується теорією струн, і світом, з яким ми стикаємося в повсякденності, є істотна різниця. У звичайному житті ми спостерігаємо три просторові виміри (вгору/вниз, наліво/направо, і вперед/назад) і одне часове (раніше/пізніше). Таким чином, мовою сучасної фізики, [[простір-час]] є чотиривимірним<ref>Wald 1984, p. 4</ref>. Однією з особливостей теорії струн є той факт, що для її самоузгодженості потрібні додаткові виміри простору-часу. У [[Теорія суперструн|теорії суперструн]] (версії теорії струн, яка включає в себе [[Суперсиметрія|суперсиметрію]]) потрібно шість додаткових розмірностей простору-часу на додачу до звичних чотирьох<ref>Zwiebach 2009, p. 8</ref>.

Одна з цілей поточних досліджень в області теорії струн&nbsp;— розвинути моделі, в яких струни описували б поведінку частинок, що спостерігається в експериментах фізики високих енергій. Світ, в якому ми спостерігаємо частинки, здається нам чотиривимірним. Таким чином, необхідно вибрати спосіб редукції до чотирьох вимірів на звичних нам відстанях. У найреалістичніших теоріях це досягається шляхом процесу [[Теорія струн#компактификація|компактифікації]], в якому додаткові виміри «замикаються» самі на себе в кола<ref name="autogenerated1">Yau and Nadis 2010, Ch. 6</ref>. Якщо ці «згорнуті» додаткові виміри виявляються дуже малими, нам буде здаватися, що простір-час в такій теорії має меншу кількість вимірів. Стандартна аналогія тут&nbsp;— садовий шланг. Якщо дивитися на садовий шланг з досить великої відстані, він справляє враження одновимірного об'єкта. Водночас, якщо до нього наблизитися, буде видно і другий вимір, який відповідає колу. Так, мураха, що повзе по поверхні шланга, насправді пересувається у двох вимірах, а не в одному<ref>Цю аналогію наводить, наприклад, Грін, 2000, стр. 186</ref>.

=== Многовиди Калабі&nbsp;— Яу ===
{{main|Простір Калабі — Яу}}
[[Файл:Calabi yau.jpg|right|thumb|Тривимірна проєкція квінтики [[Простір Калабі — Яу|многовиду Калабі-Яу]]]]
За допомогою [[Компактификація|компактифікації]] можна перетворювати отримувані теоретично багатовимірні простори в ефективно чотиривимірні. Однак не кожен спосіб компактифікації приводить до чотиривимірного простору, який міг би описувати наш світ. Можна прийти до результату, що компактні додаткові розмірності повинні мати форму [[Простір Калабі — Яу|многовиду Калабі&nbsp;— Яу]]<ref name="autogenerated1" />. Многовид Калабі&nbsp;— Яу&nbsp;— (зазвичай комплексно тривимірне) [[Топологічний простір|простір]], головною властивістю якого є тривіальність [[Канонічне розшарування|канонічного розшарування]]. Воно назване на честь [[Еудженіо Калаби]], який сформулював гіпотезу про існування та єдиності відповідної [[Ріманова метрика|метрики]]&nbsp;— [[Гіпотеза Калабі|гіпотезу Калабі]]&nbsp;— і [[Шінтан Яу|Шінтана Яу]], який її довів<ref>Yau and Nadis 2010, p. ix</ref>.

Після того, як многовиди Калабі&nbsp;— Яу увійшли у фізику (як спосіб компактифікувати «зайві» виміри), фізики почали їх інтенсивно вивчати. Наприкінці 80-х [[Кумрун Вафа|Вафа]] та інші помітили, що за отримуваним чотиривимірним простором неможливо однозначно відновити многовид Калабі&nbsp;— Яу, за допомогою якого проводили компактифікацію<ref>Dixon 1988; Lerche, Vafa, and Warner 1989</ref>. Замість цього дві різні теорії струн&nbsp;— [[Теорія суперструн#Варіанти теорії|теорія струн типу IIA і теорія струн типу IIB]]&nbsp;— можуть бути скомпактифіковані за допомогою абсолютно різних многовидів Калабі&nbsp;— Яу таким чином, що це приведе до однієї й тієї самої фізики<ref>Геометрію того чи іншого многовиду Калабі&nbsp;— Яу описують за допомогою [[Гомологічна дзеркальна симетрія#Ромб Ходжа|ромба Ходжа]]&nbsp;— чисел Ходжа, що записані у вигляді ромба. Ромби Ходжа дзеркально симетричних многовидів переходять один в одного при повороті на 90 градусів. For more information, see Yau and Nadis 2010, p. 160-3.</ref>. Такі два многовиди Калабі&nbsp;— Яу називаються дзеркально симетричними, і відповідність між двома вихідними теоріями струн (точніше, [[Конформна теорія поля|конформними теоріями поля]], якими вони описуються) називається дзеркальною симетрією<ref>Aspinwall et al. 2009, p. 13</ref>.

Дзеркальна симетрія&nbsp;— окремий випадок того, що фізики називають [[Дуальності в теорії струн|дуальністю]]. ''Дуальностями'' називаються ситуації, коли дві різні фізичні теорії виявляються нетривіальним способом еквівалентними. Якщо можна зробити таке перетворення, що рівняння однієї теорії збігаються з рівняннями іншої теорії, то дві такі теорії називають дуальними стосовно цього перетворення. Можна сказати по-іншому: дві дуальні теорії є математично різними описами одного і того самого явища<ref>Hori et al. 2003, p. xvi</ref>. Такі дуальності часто виникають у сучасній фізиці, особливо в теорії струн<ref>Приклади інших дуальності, які виникають у теорії струн&nbsp;— [[S-дуальність]], [[T-дуальність]], [[AdS/CFT-відповідність]].</ref>.

Безвідносно до того, чи мають стосунок компактифікації теорії струн за допомогою многовидів Калабі&nbsp;— Яу до реального світу, існування дзеркальної симетрії має суттєві математичні наслідки<ref>Zaslow 2008, p. 523</ref>. Многовиди Калабі&nbsp;— Яу є об'єктом вивчення [[Чиста математика|чистої математики]] і за допомогою дзеркальної симетрії дозволяють математикам вирішувати завдання [[Обчислювальна геометрія|обчислювальний алгебраїчної геометрії]]. Типова задача обчислювальний геометрії&nbsp;— підрахувати число [[Раціональна крива|раціональних кривих]] на многовиді Калабі&nbsp;— Яу (наприклад, на такому, яке зображене вище). Користуючись дзеркальною симетрією, математики показали, що у цієї задачі є еквівалентна їй для дзеркально симетричного многовиду, яку простіше розв'язати<ref>Yau and Nadis 2010, p. 168</ref>.

Фізики отримали дзеркальну симетрію не вдаючись до математичних міркувань<ref name="autogenerated10">Hori and Vafa 2000</ref>. Водночас математиків зазвичай цікавлять математично строгі докази&nbsp;— докази, в яких немає місця фізичній інтуїції. З математичної точки зору, описана вище версія дзеркальної симетрії є все ще припущенням, але існує інша версія дзеркальної симетрії&nbsp;— версія, що пов'язана з [[Топологічна теорія струн|топологічною теорією струн]], спрощеною теорією струн, яку ввів [[Едвард Віттен|Віттен]]<ref name="autogenerated9">Witten 1990</ref> і строго довели математии<ref>Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000</ref>. Мовою топологічної теорії струн, дзеркальна симетрія&nbsp;— це твердження про еквівалентність [[Топологічна теорія струн#A-модель|A-моделі]] та [[Топологічна теорія струн#B- модель|B-моделі]]; вони еквівалентні в тому сенсі, що пов'язані дуальністю<ref name="autogenerated5">Zaslow 2008, p. 531</ref>. Нині математики активно працюють над розвитком математичного розуміння дзеркальної симетрії, яку виявили фізики у вигляді мови, якою зручніше думати фізикам<ref>Hori et al. 2003, p. xix</ref>. Зокрема, математики поки що не цілком розуміють, як будувати нові приклади дзеркально симетричних многовидів Калабі&nbsp;— Яу, попри певний прогрес у цій галузі<ref>Zaslow 2008, p. 537</ref>.

== Історія ==
Витоки дзеркальної симетрії слід шукати в середині 1980-х, коли помітили, що замкнута струна, яка розповсюджується по колу радіуса <math>R</math>, фізично еквівалентна замкнутій струні, що розповсюджується по колу радіуса <math>1/R</math> (в деякій [[Система одиниць|системі одиниць]])<ref>This was first observed in Kikkawa and Yamasaki 1984 and Sakai and Senda 1986.</ref>. Це явище називається [[Дуальності в теорії струн|T-дуальністю]] і тісно пов'язане з дзеркальною симетрією<ref name="autogenerated3">Strominger, Yau, and Zaslow 1996</ref>. У статті 1985 року Канделас, Горовіц, [[Ендрю Стромінджер|Стромінджер]] і Віттен показали, що, компактифікуючи теорію струн многовидом Калабі&nbsp;— Яу, можна одержати теорію, схожу на [[Стандартна модель|стандартну модель фізики частинок]]<ref>Candelas et al. 1985</ref>. Йдучи за цим міркуванням, фізики почали вивчати компактифікації многовидів Калабі&nbsp;— Яу сподіваючись побудувати фізику частинок, що описує реальний світ, яка була б наслідком теорії струн. [[Кумрун Вафа|Вафа]] та інші помітили, що за цією моделлю чотиривимірної фізики частинок можна однозначно відновити многовид Калабі&nbsp;— Яу, за допомогою якого відбувалася компактифікація. Замість цього є два многовиди Калабі&nbsp;— Яу, які приводять до однакових чотиривимірних теорій фізики частинок<ref>This was observed in Dixon 1988 and Lerche, Vafa, and Warner 1989.</ref>.

Вивчаючи відповідності між многовидами Калабі&nbsp;— Яу і визначеними [[Конформна теорія поля|конформними теоріями поля]] ([[Моделі Гепнера|моделями Гепнера]]), [[Браян Рендолф Грін|Браян Грін]] і Ронен Плессер знайшли нетривіальні приклади дзеркальної відповідності<ref>Green and Plesser 1990; Yau and Nadis 2010, p. 158</ref>. Подальшого розвитку це питання набуло дещо пізніше, коли Філіп Канделас і два його студенти перевірили велику кількість многовидів Калабі&nbsp;— Яу на комп'ютері і виявили, що кожне з них є «дзеркально симетричною парою» для якого-небудь іншого<ref>Candelas, Lynker, and Schimmrigk 1990; Yau and Nadis 2010, p. 163</ref>.

Математики зацікавилися дзеркальною симетрією близько 1990 року, коли фізики Філіп Канделас, Ксенія де ла Осса, Пол Грін і Лінда Паркс показали, що з її допомогою можна вирішувати задачі з [[обчислювальна геометрія|обчислювальної геометрії]], що не піддавалися десятиліттями<ref>Candelas et al. 1991</ref><ref name="autogenerated7">Yau and Nadis 2010, p. 165</ref>. Ці результати були представлені на конференції в [[Берклі (Каліфорнія)|Берклі]] в травні 1991-го. Під час цієї конференції було відмічено, що одне з чисел, які отримав Канделас при підрахунку раціональних кривих не збіглося з числом, яке отримали норвезькі математики Гайрі Еллінгсруд і Стейн Арілд Стромме, які використовували, мабуть, більш строгі міркування<ref>Yau and Nadis 2010, pp. 169—170</ref>. Більшість математиків на конференції вважало, що робота Канделаса містила помилку, оскільки базувалася на математично нестрогих судженнях. Однак незабаром Еллінгсруд і Стромме знайшли помилку у своїй комп'ютерній програмі і, виправивши код, отримали відповідь, що збіглася з відповіддю Канделаса і його співавторів<ref>Yau and Nadis 2010, p. 170</ref>.

1990 року Едвард Віттен представив топологічну теорію струн<ref name="autogenerated9" />&nbsp;— спрощену версію теорії струн, і фізики показали, що для неї теж є своя дзеркальна симетрія<ref>Vafa 1992; Witten 1992</ref><ref>Hori et al. 2003, p. xviii</ref>. У посланні до [[Міжнародний конгрес математиків|Міжнародного математичного конгресу]] в 1994 році [[Концевич Максим Львович|Максим Концевич]] представив математичну гіпотезу, яка заснована на виявленому на фізичній мові явищі дзеркальної симетрії в топологічній теорії струн. Ця гіпотеза відома як [[Гомологічна дзеркальна симетрія|гіпотеза гомологічної дзеркальної симетрії]] і формалізує поняття дзеркальної симетрії як твердження про еквівалентність двох похідних категорій: [[Похідна категорія|похідної категорії]] [[Когерентний пучок|когерентних пучків]] на многовиді Калабі&nbsp;— Яу і похідної [[Категорія Фука|категорії Фука]], побудованої по дзеркально симетричному многовиду<ref>Kontsevich 1995a</ref>.

Також близько 1995 року Концевич проаналізував роботу Канделаса, яка давала загальну формулу для підрахунку раціональних кривих на [[Тривимірна квінтика|тривимірній квінтиці]], і переформулював ці результати у вигляді строгої математичної гіпотези<ref>Kontsevich 1995b</ref>. 1996 року [[Гівенталь Олександр Борисович|Гівенталь]] опублікував роботу, в якій, на думку самого Гівенталя, наведений доказ цієї гіпотези Концевича<ref>Givental 1996, 1998</ref>. Спочатку велика кількість математиків вважали цю роботу надзвичайно незрозумілою, через що сумнівалися в її коректності. Дещо пізніше Ліан, Ліу і Яу в серії робіт незалежно опублікували її доказ<ref>Lian, Liu, Yau 1997, 1999a, 1999b, 2000</ref>. Безвідносно суперечок про те, хто опублікував доказ першим, ці роботи нині широко визнані як математичний доказ результатів, що отримані з використанням дзеркальної симетрії на мові фізиків<ref name="autogenerated13">Yau and Nadis 2010, p. 172</ref>. У 2000 році [[Хорі Кентаро]] і Кумрун Вафа представили фізичний доказ дзеркальної симетрії, засноване на T-дуальності<ref name="autogenerated10" />.

== Застосування ==

=== Обчислювальна геометрія ===
{{main|Обчислювальна геометрія}}

[[Файл:Apollonius8ColorMultiplyV2.svg|thumb|right|[[Задача Аполлонія]]: рівно вісім кольорових кіл торкаються до трьох чорних]]

Дзеркальну симетрію активно застосовують в обчислювальний геометрії&nbsp;— галузі математики, яка цікавиться питаннями виду «скільки існує тих чи інших геометричних конструкцій»; основним інструментом обчислювальної геометрії є техніки, що напрацьовані в [[Алгебраїчна геометрія|алгебраїчній геометрії]]. Одну з перших задач обчислювальної геометрії поставив приблизно в 200&nbsp;р. [[Наша ера|до н.&nbsp;е.]] давньогрецький математик [[Аполлоній Пергський]]. «[[Задача Аполлонія|Скільки кіл на площині торкаються до трьох даних?]]»&nbsp;— Запитав Аполлоній. Відповідь дав ще сам Аполлоній; вона такий: у випадку, якщо задані три кола, то кіл, що до них торкаються, вісім<ref name="autogenerated8">Yau and Nadis 2010, p. 166</ref>.

[[Файл:Clebsch Cubic.png|thumb|right|[[Кубика Клебша]]]]
Обчислювальні задачі в математиці&nbsp;— це зазвичай задачі про кількість наявних [[Алгебраїчний многовид|алгебраїчних многовидів]], які визначаються як множини рішень систем поліноміальних рівнянь. Приміром, [[кубика Клебша]] (див. рисунок) визначається за допомогою деякого полінома [[Многочлен#Пов'язані визначення|ступеня]] трьох від чотирьох змінних. [[Артур Келі]] та [[Джордж Сальмон]] отримали свого часу чудовий результат&nbsp;— на такій поверхні можна провести рівно 27 прямих<ref>Yau and Nadis 2010, p. 167</ref>.

Узагальнюючи цю задачу, можна запитати себе, скільки прямих можна провести на квінтиці Калабі&nbsp;— Яу (див. рисунок вище). Цю задачу розв'язав [[Герман Шуберт]], який показав, що існує рівно 2875 таких прямих. 1986 року Шелдон Кац довів, що число коник, які належать цій квінтиці, дорівнює 609250<ref name="autogenerated8" />.

До 1991 року більшість класичних проблем обчислювальний геометрії було вирішено і цікавість до обчислювальної геометрії почала вщухати. Як сказав математик Марк Гросс, «Коли класичні задачі були розв'язані, люди зайнялися перевичисленням чисел Шуберта за допомогою сучасних методів, але це не виглядало чимось свіжим.»<ref name="autogenerated6">Yau and Nadis 2010, p. 169</ref>. Фізики Філіп Канделас, Ксенія де ла Осса, Пол Грін і Лінда Паркс вдихнули життя в цю сферу в травні 1991-го, коли показали, що за допомогою дзеркальної симетрії можна підрахувати кількість кривих ступені три на квінтиці, яка є многовидом Калабі&nbsp;— Яу. Канделас і співавтори отримали, що комплексно тривимірні многовиди Калабі&nbsp;— Яу містять рівно 317206375 кривих ступені три<ref name="autogenerated6" />.

Крім підрахунку кривих ступені три на тривимірній квінтиці, Канделас і співавтори отримали набагато загальні результати щодо підрахунку раціональних кривих&nbsp;— набагато сильніші, ніж відомі на той момент математикам<ref>Yau and Nadis 2010, p. 171</ref>. Хоча методи, які використав Канделас, ґрунтувалися на нестрогих ідеях з теоретичної фізики, математики змогли довести деякі передбачення дзеркальної симетрії, зроблені на фізичному рівні строгості&nbsp;— зокрема, всі заново отримані результати у сфері обчислювальної геометрії<ref name="autogenerated13" />.

=== У теоретичній фізиці ===
Крім застосувань у обчислювальній геометрії, дзеркальна симетрія є одним з основних інструментів обчислень у теорії струн. У A-моделі топологічної теорії струн фізично цікаві величини ([[Корелятор(теорія поля)|корелятори]], які визначають ймовірність тих чи інших процесів взаємодії) виражаються через [[інваріанти Громова - Віттена]], яких нескінченно багато і які вкрай складні для обчислення. У B-моделі обчислення можуть бути зведені до класичних [[інтеграл]]ів («періоди») і тому набагато простіші<ref>Zaslow 2008, pp. 533-4</ref>. Користуючись дзеркальною симетрією, можна замість складних обчислень в A-моделі проробляти еквівалентні, але технічно простіші обчислення в B-моделі. Також можна використовувати інші [[Дуальності в теорії струн|дуальності теорії струн]], комбінувати дзеркальну симетрію з ними&nbsp;— з метою виконувати еквівалентні обчислення в тій теорії, де вони найбільш прості. Підбираючи придатну теорію, фізики можуть вираховувати величини, обчислення яких неможливе або вкрай важке без використання дуальності.<ref>Zaslow 2008, sec. 10</ref>.

За рамками теорії струн дзеркальну симетрію застосовують, щоб зрозуміти аспекти [[Квантова теорія поля|квантової теорії поля]], формалізм, за допомогою якого фізики пояснюють поширення і взаємодію [[Елементарна частинка|елементарних частинок]]. Деякі [[Калібрувальні теорії поля|калібрувальні теорії]], які не є частиною Стандартної моделі, але не менш важливі теоретично, отримуються із струн, що розповсюджуються вздовж майже сингулярних поверхонь. У таких теоріях дзеркальна симетрія є важливою обчислювальною технікою<ref>Hori et al. 2003, p. 677</ref>. Справді, за допомогою дзеркальної симетрії можна виконувати обчислення в чотиривимірний калібрувальній теорії, що було вивчено [[Натан Зайберг|Натаном Зайбергом]] і Едвардом Віттеном, і про що добре відомо в математиці в контексті [[Інваріанти Дональдсона|інваріантів Дональдсона]]<ref>Hori et al. 2003, p. 679</ref>.

== Підходи ==

=== Гомологічна дзеркальна симетрія ===
{{main|Гомологічна дзеркальна симетрія}}

[[Файл:D3-brane et D2-brane.PNG|thumb|right|Відкрита струна, приєднана до пари [[D-Брани|D-бран]] (також зображено кілька замкнутих струн)]]

У теорії струн спливає поняття ''[[Брана|брани]]''&nbsp;— об'єкта, що узагальнює поняття частинки (0-мірного об'єкта) до більш високих розмірностей. Так, точкову частинку можна сприймати як брану розмірності 0, струну можна сприймати як брану розмірності 1. Можна розглядати брани вищих розмірностей. Слово «брана» є скороченням від «мембрана», яке іноді вживають для позначення двовимірної поверхні, що є наступним за розмірністю узагальненням точкової частинки після струни<ref>Moore 2005, p. 214</ref>.

У теорії струн розглядають відкриті і замкнуті струни. [[D-Брани]]&nbsp;— важливий клас бран, що з'являється при розгляді відкритих струн. Буква «D» у назві '' D-брана '' означає граничну умову, яку така брана повинна задовольняти&nbsp;— [[Граничні умови Діріхле|граничну умову Дирихле]]<ref>Moore 2005, p. 215</ref>. Згідно з цими граничним умовами, кінці відкритої струни повинні перебувати на D-бранах.

Математично Брани можна описати з використанням поняття [[Теорія категорій#Визначення|категорії]]<ref>Aspinwall et al. 2009</ref>. Категорія&nbsp;— це, за визначенням, сутність, що складається з ''об'єктів'' і, для кожної пари об'єктів, ''[[морфізм]]ів'' між ними. Об'єкти є математичними структурами (такими як [[Множина|множини]], [[Векторний простір|векторні простори]], або [[Топологічний простір|топологічні простори]]), а морфізм є [[віддзеркалення]]ми між цими структурами<ref>Класична література в галузі теорії категорій&nbsp;— книжка Маклейна 1998 року.</ref>. Також можна розглянути категорію, об'єктами в якій будуть D-брани, а морфізмами&nbsp;— [[Хвильова функція|стани]] відкритих струн, що натягнуті між двома різними D-бранами<ref name="autogenerated11">Zaslow 2008, p. 536</ref>

У B-моделі топологічної теорії струн [[D-брани]]&nbsp;— [[Комплексний многовид|комплексні підмноговиди]] многовид Калабі&nbsp;— Яу з додатковою умовою закріплених на них кінців струни<ref name="autogenerated7" /><ref name="autogenerated11" />. [[Теорія категорій|Категорія]], об'єктами якої є такі Брани, відома як похідна категорія когерентних пучків на многовиді Калабі&nbsp;— Яу<ref name="autogenerated2">Aspinwal et al. 2009, p. 575</ref>. В A-моделі D-брани також можна розглядати як підмноговиди многовиду Калабі&nbsp;— Яу. Грубо кажучи, це те, що математики називають спеціальними [[Спеціальний лагранжевий підмноговид|спеціальними лагранжевими підмноговидами]]<ref name="autogenerated2" />. Серед іншого, це означає, що їх розмірність дорівнює половині розмірності того простору, куди вони вкладаються і що вони є підмноговидами мінімального об'єму<ref name="autogenerated12">Yau and Nadis 2010, p. 175</ref>. Категорія, об'єктами якої є ці Брани, називається [[Категорія Фука|категорією Фука]]<ref name="autogenerated2" />.

Похідна категорія когерентних пучків будується, використовуючи інструменти [[Комплексна геометрія|комплексної геометрії]]<ref>Yau and Nadis 2010, pp. 180-1</ref>. Що стосується A-сторони, то категорія Фукаї явно використовує [[Симплектична геометрія|симплектичну геометрію]], галузь математики, що виросла з [[Класична механіка|класичної механіки]]. Симплектична геометрія вивчає простори, на яких задана [[симплектична форма]]&nbsp;— сутність, за допомогою якої можна обчислювати [[Площа|площу]] в двовимірних ситуаціях<ref name="autogenerated5" />.

Гіпотеза [[Гомологічна дзеркальна симетрія|гомологічної дзеркальної симетрії]], яку проголосив у такій формі [[Концевич Максим Львович|Максим Концевич]], стверджує, що [[похідна категорія]] [[Когерентний пучок|когерентних пучків]] на деякому многовиді Калабі&nbsp;— Яу еквівалентна похідній категорії Фука на многовиді, що дзеркально симетричне відносно заданого многовиду Калабя&nbsp;— Яу<ref>Aspinwall et al. 2009, p. 616</ref>. Ця еквівалентність, мабуть, є точним математичним формулюванням дзеркальної симетрії в топологічній теорії струн. Вона несподіваним чином пов'язує комплексну і симплектичну геометрії<ref>Yau and Nadis 2010, p. 181</ref>.

=== SYZ-гіпотеза ===
{{main|SYZ-гіпотеза}}
[[Файл:torus cycles.png|thumb|right|Тор можна розуміти як об'єднання нескінченно великої кількості «червоних» кіл. Для кожної точки «рожевої» окружності є тільки одна відповідна їй «червона».]]
Інший підхід до розуміння дзеркальної симетрії запропонували [[Ендрю Стромінджер|Стромінджер]], [[Шінтан Яу|Яу]] і [[Ерік Заслоу|Заслоу]] в 1996 році<ref name="autogenerated3" />. Згідно з їх пропозицією, відомою нині як SYZ-гіпотеза, дзеркальну симетрію можна розуміти, розбиваючи вихідне многовид Калабі&nbsp;— Яу на простіші шматки і потім збираючи з них дзеркально симетричне відносно вихідного многовиду Калабі&nbsp;— Яу<ref>Yau and Nadis 2010, p. 174</ref>. Спробуємо пояснити, про що йдеться.

Найпростіший приклад многовиду Калабі&nbsp;— Яу&nbsp;— [[Тор (поверхня)|двовимірний тор]] (поверхня бублика)<ref>Zaslow 2008, p. 533</ref>. Розглянемо нестягувану окружність на поверхні тора, яка містить внутрішню частину бублика (червона окружність на малюнку). Таких кіл на торі нескінченно багато; насправді весь тор можна розуміти як [[Об'єднання множин|об'єднання]] таких кіл<ref>Yau and Nadis 2010, p.&nbsp;175-6</ref>. Виберемо довільну рожеву окружність <math>B</math> на малюнку. Будемо ''параметризувати'' точками цієї рожевої окружності червоні&nbsp;— в тому сенсі, що є [[біекція]] між точкою рожевої окружності і відповідною червоною окружністю<ref name="autogenerated12" />.

Ідею про розбиття тора на шматки, які параметризовані довільним простором, можна узагальнити. Подумаємо про комплексно двовимірні многовиди Калабі&nbsp;— Яу&nbsp;— [[K3-поверхня|K3-поверхні]]. Так само, як тор був розкладений на окружності, чотиривимірну K3-поверхню можна розкласти на двовимірний тор і двовимірну [[Сфера|сферу]]. Кожній точці сфери, за винятком двадцяти чотирьох, відповідає двовимірний тор; цим двадцяти чотирьом точкам відповідають [[Особливий многовид|особливі]] тори<ref name="autogenerated12" />.

У теорії струн основний інтерес становлять многовид Калабі&nbsp;— Яу комплексної розмірності 3 (відповідно, дійсної розмірності 6). Їх можна представити у вигляді 3-торів (тривимірним узагальненням тора, <math>\mathbb{T}^3 \cong S^1 \times S^1 \times S^1</math>), параметризованих [[Гіперсфера|тривимірною сферою]] <math>B</math> (тривимірним узагальненням сфери). Кожна точка <math>B</math> відповідає 3-тору, за винятком нескінченної кількості «поганих» точок, які утворюють «ґратку» на Калабі&nbsp;— Яу і які відповідають особливим Торам<ref>Yau and Nadis 2010, pp. 175-7.</ref>.

За допомогою таких розкладань дзеркальну симетрію можна представляти інтуїтивно. Розглянемо приклад з двовимірним тором. Уявімо собі, що цей тор описує простір-час якоїсь фізичної теорії. Фундаментальним об'єктом такої теорії будуть струни, що поширюються в просторі-часі згідно із законами [[Квантова механіка|квантової механіки]]. Однією з базових дуальностей у теорії струн є T-дуальність, згідно з якою замкнута струна, що поширюється вздовж циліндра радіуса <math>R</math>, еквівалентна замкнутій струні, що розповсюджується вздовж циліндра радіуса <math>1/R</math> в тому сенсі, що між усіма спостережуваними в кожному з описів можна встановити взаємнооднозначну відповідність<ref name="autogenerated4">Zaslow 2008, p. 532</ref>. Наприклад, струна, що розповсюджується, має [[імпульс]], і струна також може намотуватися навколо циліндра деяку кількість разів (див. [[Кількість намоток]]). Для імпульсу <math>p</math> і кількості намоток <math>n</math> при поширенні уздовж циліндра вихідного радіуса, при поширенні вздовж циліндра зворотного радіуса струна матиме імпульс <math>n</math> і кількість намоток <math>p</math><ref name="autogenerated4" />. Застосування T-дуальності одночасно до всіх кіл, на які ми розбили тор, дає обертання радіусів цих кіл, і ми отримуємо новий тор, який «товщий» або «тонший» від початкового. Цей тор і буде дзеркально симетричним вихідному<ref>Yau and Nadis 2010, p. 178</ref>.

T-дуальність можна розширити до випадку n-мірного тора, який виникає при розкладанні комплексно n-мірного многовиду Калабі&nbsp;— Яу. У загальному випадку SYZ-гіпотеза стверджує наступне: дзеркальна симетрія еквівалентна одночасному застосуванню T-дуальності до цих Торів. У кожному випадку простір <math>B</math>&nbsp;— це деякий відбиток, що показує, як з цих торів «зібрати» многовид Калабі&nbsp;— Яу<ref>Yau and Nadis 2010, p. 178-9</ref>.

== Див. також ==
* [[Гомологічна дзеркальна симетрія]]
* [[Дуальності в теорії струн]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
{{refbegin|2}}
* {{книга-ру |автор= Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H., eds.|заглавие= Dirichlet Branes and Mirror Symmetry|ссылка= |место= |издательство= American Mathematical Society|год= 2009|isbn= 978-0-8218-3848-8}}
* {{статья |автор= Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda.|заглавие= A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory|ссылка= |издание= Communications in Mathematical Physics|год= 2007|volume= 276|номер= 3|pages= 671-689|bibcode= 2007CMaPh.276..671W}}
* {{статья |автор= Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward|заглавие= Vacuum configurations for superstrings|ссылка= |издание= Nuclear Physics B|год= 1985|volume= 258|номер= |pages= 46–74|doi = 10.1016/0550-3213(85)90602-9|bibcode= 1985NuPhB.258...46C}}
* {{статья |автор= Candelas, Philip; Lynker, Monika; Schimmrigk, Rolf.|заглавие= Calabi–Yau manifolds in weighted <math>\mathbb{P}_4</math>|ссылка= |издание= Nuclear Physics B|год= 1990|volume= 341|номер= 1|pages= 383–402|bibcode= 1990NuPhB.341..383C}}
* {{статья |автор= Dixon, Lance.|заглавие= Some world-sheet properties of superstring compactifications, on orbifolds and otherwise|ссылка= |издание= ICTP Ser. Theoret. Phys.|год= 1988|volume= 4|pages= 67–126}}
* {{статья |автор= Givental, Alexander.|заглавие= Equivariant Gromov-Witten invariants|ссылка= |издание= International Mathematics Research Notices|год= 1996|volume= 1996|номер= 13|pages= 613–663|doi=10.1155/S1073792896000414}}
* {{статья |автор= Givental, Alexander.|заглавие= A mirror theorem for toric complete intersections|ссылка= |издание= Topological field theory, primitive forms and related topics|год= 1998|volume= |номер= |pages= 141–175|doi=10.1007/978-1-4612-0705-4_5}}
* {{книга-ру |автор= Greene, Brian.|заглавие= The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory|ссылка= |место= |издательство= Random House|год= 2000|isbn= 978-0-9650888-0-0}}
* {{статья |автор= Greene, Brian; Plesser, Ronen.|заглавие= Duality in Calabi–Yau moduli space|ссылка= |издание= Nuclear Physics B|год= 1990|volume= 338|номер= 1|pages= 15–37|bibcode= 1990NuPhB.338...15G|doi= 10.1016/0550-3213(90)90622-K}}
* {{книга-ру|автор= Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, eds.|заглавие= Mirror Symmetry|ссылка= http://math.stanford.edu/~vakil/files/mirrorfinal.pdf|место= |издательство= American Mathematical Society|год= 2003|isbn= 0-8218-2955-6}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060919020706/http://math.stanford.edu/~vakil/files/mirrorfinal.pdf |date=19 вересня 2006 }}
* {{статья |автор= Hori, Kentaro; Vafa, Cumrun.|заглавие= Mirror Symmetry|год= 2000|arxiv= hep-th/0002222}}
* {{статья |автор= Kikkawa, Keiji; Yamasaki, Masami.|заглавие= Casimir effects in superstring theories|ссылка= |издание= Physics Letters B|год= 1984|volume= 149|номер= 4|pages= 357–360|bibcode= 1984PhLB..149..357K|doi= 10.1016/0370-2693(84)90423-4}}
* {{статья |автор= Kontsevich, Maxim.|заглавие= Enumeration of Rational Curves Via Torus Actions|ссылка= |издание= The Moduli Space of Curves|год= 1995a|volume= |номер= |pages= 335-368}}
* {{статья |автор= Kontsevich, Maxim.|заглавие= Homological algebra of mirror symmetry|ссылка= |издание= Proceedings of the International Congress of Mathematicians|год= |volume= |номер= |pages= 120-139|arxiv= alg-geom/9411018|bibcode= 1994alg.geom.11018K}}
* {{статья |автор= Lerche, Wolfgang; Vafa, Cumrun; Warner, Nicholas.|заглавие= Chiral rings in <math>N = 2</math> superconformal theories|ссылка= |издание= Nuclear Physics B|год= 1989|volume= 324|номер= 2|pages= 427–474|bibcode = 1989NuPhB.324..427L |doi = 10.1016/0550-3213(89)90474-4}}
* {{статья |автор= Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung.|заглавие= Mirror principle, I|ссылка= |издание= Asian Journal of Math|год= 1997|volume= 1|номер= |pages= 729–763|bibcode=1997alg.geom.12011L |arxiv=alg-geom/9712011}}
* {{статья |автор= Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung.|заглавие= Mirror principle, II|ссылка= |издание= Asian Journal of Math|год= 1999a|volume= 3|номер= |pages= 109–146|bibcode=1999math......5006L |arxiv=math/9905006}}
* {{статья |автор= Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung.|заглавие= Mirror principle, III|ссылка= |издание= Asian Journal of Math|год= 1999b|volume= 3|номер= |pages= 771–800|bibcode=1999math.....12038L |arxiv=math/9912038}}
* {{статья |автор= Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung.|заглавие= Mirror principle, III|ссылка= |издание= Surveys in Differential Geometry|год= 2000|volume= 3|номер= |pages= 475–496|bibcode=1999math.....12038L |arxiv=math/9912038}}
* {{Книга:Категории для работающего математика}}
* {{статья |автор= Moore, Gregory|заглавие= What is&nbsp;... a Brane?|ссылка= http://www.ams.org/notices/200502/what-is.pdf|издание= Notices of the AMS|год= 2005|volume= 52|номер= |pages= 214}}
* {{статья |автор= Sakai, Norisuke; Senda, Ikuo.|заглавие= Vacuum energies of string compactified on torus|ссылка= |издание= Progress of Theoretical Physics|год= 1986|volume= 75|номер= 3|pages= 692–705|bibcode = 1986PThPh..75..692S |doi = 10.1143/PTP.75.692}}
* {{статья |автор= Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric.|заглавие= Mirror symmetry is T-duality|ссылка= |издание= Nuclear Physics B|год= 1996|volume= 479|номер= 1|pages= 243–259|arxiv = hep-th/9606040 |bibcode = 1996NuPhB.479..243S |doi = 10.1016/0550-3213(96)00434-8}}
* {{статья |автор= Vafa, Cumrun.|заглавие= Topological mirrors and quantum rings|ссылка= |издание= Essays on mirror manifolds|год= 1992|volume= |номер= |pages= 96-119|bibcode=1991hep.th...11017V |arxiv=hep-th/9111017}}
* {{статья |автор= Witten, Edward.|заглавие= On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity|ссылка= |издание= Nuclear Physics B|год= 1990|volume= 340|номер= 2-3|pages= 281–332|bibcode = 1990NuPhB.340..281W |doi = 10.1016/0550-3213(90)90449-N}}
* {{статья |автор= Witten, Edward.|заглавие= Mirror manifolds and topological field theory|ссылка= |издание= Essays on mirror manifolds|год= 1992|volume= |номер= |pages= 121-160}}
* {{книга-ру |автор= Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve.|заглавие= The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions|ссылка= |издательство= Basic Books|год= 2010|isbn= 978-0-465-02023-2}}
* {{книга-ру |автор= Zaslow, Eric.|заглавие= Mirror Symmetry|ссылка= |место= |издание= In Gowers, Timothy. The Princeton Companion to Mathematics.|год= 2008|allpages= |isbn= 978-0-691-11880-2}}
* {{книга-ру |автор= Zwiebach, Barton|заглавие= A First Course in String Theory|ссылка= |издательство= Cambridge University Press|год= 2009|isbn= 978-0-521-88032-9}}
{{refend}}

== Подальше читання ==

=== Популярно ===
* {{книга-ру |автор= Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve.|заглавие= The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions|ссылка= |издательство= Basic Books|год= 2010|isbn= 978-0-465-02023-2}}
* {{статья |автор= Zaslow, Eric.|заглавие= Physmatics|ссылка= |издание= |год= 2005|arxiv= physics/0506153}}
* {{книга-ру |автор= Zaslow, Eric.|заглавие= Mirror Symmetry|ссылка= |место= |издание= In Gowers, Timothy. The Princeton Companion to Mathematics.|год= 2008|allpages= |isbn= 978-0-691-11880-2}}

=== Навчальна література ===
* {{книга-ру |автор= Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H., eds.|заглавие= Dirichlet Branes and Mirror Symmetry|ссылка= |место= |издательство= American Mathematical Society|год= 2009|isbn= 978-0-8218-3848-8}}
* {{книга-ру |автор= Cox, David; Katz, Sheldon.|заглавие= Mirror symmetry and algebraic geometry|ссылка= |место= |издательство= American Mathematical Society|год= 1999|allpages= |isbn= 978-0-8218-2127-5}}
* {{книга-ру|автор= Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, eds.|заглавие= Mirror Symmetry|ссылка= http://math.stanford.edu/~vakil/files/mirrorfinal.pdf|место= |издательство= American Mathematical Society|год= 2003|isbn= 0-8218-2955-6}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060919020706/http://math.stanford.edu/~vakil/files/mirrorfinal.pdf |date=19 вересня 2006 }}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Алгебраїчна геометрія]]
[[Категорія:Теорія струн]]