Перегляд вихідного коду сторінки Десятковий логарифм

{{unibox}}
'''Десятковий логарифм'''&nbsp;— [[логарифм]] з основою [[10]]. Десятковий логарифм числа <math>b</math> є розв'язком [[рівняння]] <math>~10^x=b.</math>

Десятковий логарифм числа <math>b</math> існує, якщо <math>~b>0.</math> Позначається <math>~\lg\,b</math> (специфікація ISO 31-11).

Приклади:
:<math>\lg\,1=0, \quad \lg\,10=1, \quad \lg\,100=2</math>
:<math>\lg\,1000000=6, \quad \lg\,0{,}1=-1, \quad \lg\,0{,}001=-3</math>

У зарубіжній літературі, а також на клавіатурі [[калькулятор]]ів зустрічаються й інші позначення десяткового логарифма:<math>~\operatorname{log}, \operatorname{Log}, \operatorname{Log10}</math>, причому слід мати на увазі, що перші 2 варіанти можуть відноситися і до [[Натуральний логарифм|натурального логарифма]].

== Алгебраїчні властивості ==

У нижченаведеній таблиці передбачається, що всі значення позитивні {{sfn|Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики|1978|с=187. }}:
{| class="wikitable"
|-
! !! Формула !! Приклад
|-
| Добуток || <cite id=labelLogarithmProducts><math> \lg(x y) = \lg (x) + \lg (y) \,</math></cite>|| <math> \lg (10000) = \lg(100 \cdot 100) = \lg (100) + \lg (100) = 2 + 2 = 4 \,</math>
|-
| Частка від ділення || <math>\lg \!\left(\frac x y \right) = \lg (x) - \lg (y) \,</math>|| <math> \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3</math>
|-
| Степінь || <cite id=labelLogarithmPowers><math>\lg(x^p) = p \lg (x) \,</math></cite>|| <math> \lg (10000000) = \lg (10^7) = 7 \lg (10) = 7 \,</math>
|-
| Корінь || <math>\lg \sqrt[p]{x} = \frac {\lg (x)} p \, </math>|| <math> \lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1{,}5 </math>
|}
Існує очевидне узагальнення наведених формул на випадок, коли допускаються негативні змінні, наприклад:
: <math>\lg |x y| = \lg (|x|) + \lg (|y|),</math>
: <math>\lg \!\left|\frac x y \right| = \lg (|x|) - \lg (|y|),</math>
Формула для логарифма добутку легко узагальнюється на довільну кількість співмножників:
: <math> \lg(x_1 x_2 \dots x_n) = \lg (x_1) + \lg (x_2) + \dots + \lg (x_n)</math>

Вищеописані властивості пояснюють, чому застосування логарифмів (до винаходу калькуляторів) істотно полегшувало обчислення. Наприклад, множення багатозначних чисел <math>x, y</math> за допомогою логарифмічних таблиць {{перехід|#Логарифмічні таблиці}} вироблялося за наступним алгоритмом:
# Знайти в таблицях логарифми чисел <math>x, y</math>.
# Скласти ці логарифми, отримуючи (відповідно до першої властивості) логарифм добутку <math>x \cdot y</math>.
# За логарифмом добутку знайти в таблицях сам добуток.
Ділення, яке без допомоги логарифмів набагато трудомісткіше, ніж множення, виконувалося за тим же алгоритмом, лише із заміною складання логарифмів&nbsp;— відніманням. Аналогічно здійснювалися [[піднесення до степеня]] і знаходження [[Корінь (математика)|кореня]].

Зв'язок десяткового і натурального логарифмів {{sfn|Вигодський М. Я. Довідник з елементарної математики|1978|с = 189. }}:
: <math>\ln x \approx 2{,}30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x</math>


Знак логарифма залежить від логарифмуємого числа: якщо воно більше 1, логарифм позитивний, якщо воно між 0 і 1, то від'ємний. Приклад:
: <math>\lg\,0{,}012=\lg\,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg\,1{,}2\approx-2+0{,}079181=-1{,}920819</math>
Щоб уніфікувати дії з позитивними і негативними логарифмами, в останніх [[Ціла частина числа|ціла частина]] (''характеристика'') надкреслюється зверху:
: <math>\lg\,0{,}012\approx-2+0{,}079181=\bar{2}{,}079181</math>
Мантиса логарифма, обрана з таблиць, при такому підході завжди позитивна.

== Функція десяткового логарифма ==

Якщо розглядати логарифмуєме число як змінну, ми отримаємо функцію десяткового логарифма: <math>~y = \lg\,x.</math>. Вона визначена при всіх <math>~x>0.</math> [[Область значень]]: <math>E(y)=(-\infty; + \infty )</math>. Графік цієї кривої часто називається ''логарифмікою''<ref name=MATENC>{{книга|частина=Логарифмічна функція.|Заголовок=Математична енциклопедія (в 5 томах)|місце=М.|рік=1982|том=3|посилання=
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t3.djvu|видавництво=[[Велика російська енциклопедія (видавництво)|Радянська Енциклопедія]]}}</ref>.

Функція [[Монотонна функція|монотонно]] зростає, [[Неперервна функція|неперервна]] і [[Диференційована функція|диференційована]] усюди, де вона визначена. [[Похідна]] для неї знаходиться за формулою:
: <math>\frac {d} {dx} \lg\, x = \frac {\lg\, e} {x}</math>

Вісь ординат <math>(x=0)</math> є лівою [[Асимптота|вертикальною асимптотою]], оскільки:
: <math>\lim_{x \to 0+0} \lg\, x = - \infty</math>

== Застосування ==
[[Файл:Slide rule example2.svg|thumb|500px|Десяткова логарифмічна шкала на логарифмічній лінійці]]
Логарифми за основою 10 до винаходу в 1970-і роки компактних електронних [[калькулятор]]ів широко застосовувалися для обчислень. Як і будь-які інші логарифми, вони дозволяли багаторазово спростити і полегшити трудомісткі розрахунки, замінюючи множення на додавання, а ділення на віднімання; аналогічно спрощувались [[піднесення до степеня]] і знаходження кореня. Але десяткові логарифми мали перевагу перед логарифмами за іншою основою: цілу частину <math>L</math> логарифма числа <math>x</math> ('''характеристику логарифма''') легко визначити.

* Якщо <math>x>1,</math> то <math>L</math> на 1 менше числа цифр в цілій частині числа <math>x</math>. Наприклад, відразу очевидно, що lg&nbsp;345 знаходиться в проміжку (2,&nbsp;3).
* Якщо <math>x<1,</math> то найближче до <math>L</math> ціле (в меншу сторону) дорівнює загальній кількості нулів в <math>x</math> перед першою ненульовий цифрою, взятому зі знаком мінус. Наприклад, lg&nbsp;0,0014 знаходиться в інтервалі (-3,&nbsp;-2).

Крім того, при перенесенні десяткової коми в числі на <math>n</math> розрядів значення десяткового логарифма цього числа змінюється на <math>n.</math> Наприклад:
: <math>\lg 8314{,}63 = \lg 8{,}31463 + 3</math>
Звідси випливає, що досить скласти [[Логарифмічна таблиця|таблицю]] [[Дробова частина числа|мантис]] (дробових частин) десяткових логарифмів для чисел в діапазоні від 1 до 10. Такі таблиці, починаючи з XVII століття, випускалися великим тиражем і служили незамінним розрахунковим інструментом вчених та інженерів.

Оскільки застосування логарифмів для розрахунків з появою обчислювальної техніки майже припинилося, в наші дні десятковий логарифм в значній мірі витіснений натуральним {{sfn|Клейн Ф. Елементарна математика з точки зору вищої|1987|с=406. }}. Він зберігається в основному в тих математичних моделях, де історично вкоренився&nbsp;— наприклад, при побудові [[Логарифмічна шкала|логарифмічних шкал]].

{| class="wikitable" style="text-align:center;" border="1" cellpadding=5px
|+Десяткові логарифми для чисел виду 5 × 10<sup>''n''</sup>
!Число
!логарифм
!характеристика
!мантиса
!запис
|-
!'''n'''
!lg(''n'')
!''C'' = floor(lg(''n''))
!M = (lg(''n'') − характеристика)
!
|-
|5 000 000
|6.698 970…
|6
|0.698 970…
|6.698 970…
|-
|50
|1.698 970…
|1
|0.698 970…
|1.698 970…
|-
|5
|0.698 970…
|0
|0.698 970…
|0.698 970…
|-
|0.5
|−0.301 029…
|−1
|0.698 970…
|{{overline|1}}.698 970…
|-
|0.000 005
|−5.301 029…
|−6
|0.698 970…
|{{overline|6}}.698 970…
|-
|}

Зверніть увагу, що у всіх наведених у таблиці чисел одна і та ж мантиса.

== Історія ==
{{Докладніше|Історія логарифмів}}
Перші таблиці десяткових логарифмів опублікував в [[1617]] році [[оксфорд]]ський професор математики [[Генрі Бріґґз]] для чисел від 1 до 1000, з вісьмома (пізніше&nbsp;— з чотирнадцятьма) знаками. Тому за кордоном десяткові логарифми часто називають ''брігсовимі''. Але в цих і в наступних виданнях таблиць виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць [[Георг Вега|Георга Веги]] ([[1783 в науці|1783]]) з'явилося тільки в [[1857 в науці|1857]] в Берліні (таблиці Бремікера, ''Carl Bremiker'') {{sfn|Історія математики, тому II|1970|с=62. }}.

У Росії перші таблиці логарифмів були видані в 1703 році за участю [[Магницький Леонтій Пилипович|Л.&nbsp;П.&nbsp;Магницького]]<ref>{{книга |автор=Гнеденко Б. В. |назва=Нариси з історії математики в Росії, видання 2-е. |місце=М. |видавництво=КомКнига |рік=2005 |сторінок=296 |isbn=5-484-00123-4 |сторінки=66. }}</ref>. У СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів<ref>{{книга|назва=Логарифмічні таблиці //Велика радянська енциклопедія |посилання=http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/104256/Логаріфміческіе }}</ref>:
# [[Брадіс Володимир Модестович|''Брадис В. М.'']] Чотиризначні [[математичні таблиці]]. {{М.}}: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. [[Таблиці Брадіса]], що видаються з 1921 року, використовувалися в навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не вимагають великої точності. Вони містили [[Експоненціальна запис|мантиси]] десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
# ''[[Георг Вега|Вега Г.]]'' Таблиці семизначних логарифмів, 4-е видання, {{М.}}: Надра, 1971. Професійний збірник для точних обчислень.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* ''Выгодский М. Я.'' Справочник по элементарной математике.&nbsp;— изд. 25-е.&nbsp;— М.: Наука, 1978.&nbsp;— ISBN 5-17-009554-6.
* {{Корн.Корн.Справочник}}

[[Категорія:Логарифми]]