Перегляд вихідного коду сторінки Дельтоїд

{{Багатокутник
| name = <span style="color: MediumBlue"><big><big>Дельтоїд</big></big> </span>
| image = [[ Файл:Deltoid.svg |300px ]]
| caption = '''Опуклий та неопуклий дельтоїди'''
| type = [[Чотирикутник]]
| edges = 4
| symmetry = {{Не перекладено|Симетрія відбиття|D<sub>1</sub>|en|Reflection symmetry}} (*), порядок 2.<br/>([https://polytope.miraheze.org/wiki/Reflection_symmetry_(2D) Симетрія відбиття])
| schläfli = 
| wythoff = 
| coxeter = 
| area = 
| dual = [[Рівнобічна трапеція]]
| properties = [[Описаний чотирикутник|Тангенціальний]] (Описується навколо кола), [[Ортодіагональний чотирикутник|ортодіагональний]].
}}
В [[Евклідова геометрія|евклідовій геометрії]] '''дельтоїд''' — плоский [[чотирикутник]], у якому дві пари суміжних сторін мають рівні довжини.

Дельтоїд є [[Чотирикутник|чотирикутником]] з [[Симетрія|симетрією відбиття]] відносно однієї з його [[Діагональ|діагоналей]]. Оскільки дельтоїд має щонайменше одну вісь симетрії, що проходить через його діагональ, то він має щонайменше два рівних протилежних кути і дві пари рівних суміжних сторін. 

Дельтоїд може бути [[Опуклий многокутник|опуклим]], а також неопуклим чотирикутником. Неопуклий дельтоїд також має назву '''дарт''' (дротик)<ref name="charter-rogers">{{citation
 | last1 = Charter | first1 = Kevin
 | last2 = Rogers | first2 = Thomas
 | doi = 10.1080/10586458.1993.10504278
 | issue = 3
 | journal = Experimental Mathematics
 | mr = 1273409
 | pages = 209–222
 | title = The dynamics of quadrilateral folding
 | url = https://projecteuclid.org/euclid.em/1062620831
 | volume = 2
 | year = 1993}}</ref>.

Дельтоїди двох типів (опуклий і неопуклий) формують одну з плиток [[Мозаїка Пенроуза|мозаїки Пенроуза]]. 

Також дельтоїди є гранями кількох [[Ізоедральне тіло|гранетранзитивних]] багатогранників, зокрема: [[Тетрагонтриоктаедр|дельтоїдального ікосотетраедра]] (його грані дельтоїди з трома рівними внутрішніми кутами), [[Дельтоїдальний гексеконтаедр|дельтоїдального гексеконтаедра]] та [[Трапецоедр|трапецоедрів]]. <ref name="grunbaum">{{citation|last=Grünbaum|first=B.|journal=Bulletin of the Research Council of Israel|mr=125489|pages=215–218 (1960)|title=On polyhedra in <math>E^3</math> having all faces congruent|volume=8F|year=1960}}</ref>

== Окремі випадки ==
Окремими випадками дельтоїдів є:
*'''[[прямокутний дельтоїд]]''' — [[Опуклий многокутник|опуклий]] дельтоїд, у якого два протилежні рівні [[Прямий кут|кути прямі]];

* '''[[ромб]]''' — опуклий дельтоїд, у якого всі сторони рівні, протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні; ромб також є окремим випадком [[Паралелограм|паралелограма]];

* '''[[квадрат]]''' — опуклий дельтоїд, у якого всі сторони рівні, всі кути рівні і прямі; квадрат є окремим випадком ромба.
[[Файл:Reuleaux kite.svg|міні|Рівнодіагональний дельтоїд, що вписується в [[трикутник Рело]]]]
* Серед усіх [[Чотирикутник|чотирикутників]], чотирикутник, що має [[Екстремум|максимальне]] відношення [[Периметр|периметра]] до [[Діаметр|діаметра]] (максимальна відстань між двома точками даної фігури), — це рівнодіагональний дельтоїд з кутами 60°, 75°, 150°, 75°. Його чотири вершини лежать у трьох кутах і середині однієї із сторін [[Трикутник Рело|трикутника Рело]].<ref name="ball">{{citation|last=Ball|first=D. G.|doi=10.2307/3616052|issue=402|journal=The Mathematical Gazette|jstor=3616052|pages=298–303|title=A generalisation of <math>\pi</math>|volume=57|year=1973|s2cid=125396664}}</ref> <ref name="griffiths-culpin">{{citation|last1=Griffiths|first1=David|last2=Culpin|first2=David|doi=10.2307/3617699|issue=409|journal=The Mathematical Gazette|jstor=3617699|pages=165–175|title=Pi-optimal polygons|volume=59|year=1975|s2cid=126325288}}</ref> 
Коли рівнодіагональний дельтоїд має довжину сторін, меншу або рівну його діагоналям (наприклад, як цей дельтоїд або [[квадрат]]), то він є одним із чотирикутників із найбільшим співвідношенням [[Площа|площі]] до [[Діаметр|діаметра]].<ref name="audet-hansen-svrtan">{{citation|last1=Audet|first1=Charles|last2=Hansen|first2=Pierre|last3=Svrtan|first3=Dragutin|doi=10.1007/s10898-020-00908-w|issue=1|journal=Journal of Global Optimization|mr=4299185|pages=261–268|title=Using symbolic calculations to determine largest small polygons|volume=81|year=2021|s2cid=203042405}}</ref>{{-}}
== Властивості ==
[[Файл:GeometricKite.svg|міні|Властивості дельтоїда]]
* Дельтоїд, який не є [[Ромб|ромбом]], має одну вісь симетрії.
* Кути між сторонами різної довжини рівні.
* Прямі, що містять [[Діагональ|діагоналі]] дельтоїда [[перпендикулярність|перпендикулярні]], тобто дельтоїди є [[Ортодіагональний чотирикутник|ортодіагональними чотирикутниками]].
* Точка перетину діагоналей [[дельтоїда]] ділить одну з них навпіл. Друга діагональ (та, що є віссю симетрії) є [[Бісектриса|бісектрисою]] протилежних кутів. У ромба обидві діагоналі точкою перетину діляться навпіл і є бісектрисами протилежних кутів.
* Одна діагональ ділить дельтоїд на два рівні [[Трикутник|трикутники]]. Друга діагональ ділить дельтоїд на два [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутники]], якщо він опуклий, і добудовує його рівнобедреним трикутником до рівнобедреного трикутника, якщо він неопуклий.
{{-}}
[[Файл:Kite bimedians and tangent cords 001.png|ліворуч|міні|311x311пкс|Бімедіани дельтоїда (GE і HF) та хорди вписаного кола, що сполучають точки дотику (MQ і NR)]]

* [[Теорема Варіньона (геометрія)|Паралелограм Вариньона]] дельтоїда, вершини якого збігаються із серединами сторін дельтоїда (EFGH на мал.), є [[Прямокутник|прямокутником]], сторони якого паралельні діагоналям дельтоїда. Зокрема, якщо цей прямокутник є [[Квадрат|квадратом]], то діагоналі дельтоїда рівні, а відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін перпендикулярні між собою.
* Точка перетину бімедіан дельтоїда (відрізки, що сполучають середини протилежних сторін) лежить на його діагоналі.
* Чотирикутник, вершинами якого є точки дотику вписаного кола зі сторонами дельтоїда (MNQR на мал.), є [[Рівнобічна трапеція|рівнобедреною трапецією]].
* Хорди [[Описаний чотирикутник|вписаного кола]], що сполучають його точки дотику зі сторонами дельтоїда, перетинаються в точці перетину діагоналей дельтоїда. Також вони мають однакову довжину.
{{-}}
[[Файл:Зовні-описаний +описаний чотирикутник.png|ліворуч|міні|315x315пкс|Дельтоїд є описаним та зовні-описаним чотирикутником]]
* У будь-який опуклий дельтоїд [[описаний чотирикутник|можна вписати коло]]; крім цього, якщо дельтоїд не є [[ромб]]ом, то існує  коло, яке дотикається до продовжень всіх чотирьох сторін. Тобто будь-який опуклий дельтоїд (окрім ромба) є одночасно [[Описаний чотирикутник|описаним]] та [[Зовні-описаний чотирикутник|зовні-описаним чотирикутником]]. Центри вписаного та зовні-вписаного кіл лежать на прямій, що містить діагональ дельтоїда. 
Для неопуклого дельтоїда можна побудувати коло, що дотикається до двох більших сторін і продовжень двох менших сторін і коло, що дотикається до двох менших сторін і продовжень двох більших сторін.{{-}}
[[Файл:Bicentric kite 001.svg|міні|Прямокутний дельтоїд є біцентричним чотирикутником.]]
* [[Прямокутний дельтоїд]] (у якого два протилежні кути — [[Прямий кут|прямі]]) є [[Біцентричний чотирикутник|біцентричним чотирикутником]], тобто є одночасно вписаним та описаним чотирикутником; а також і зовні-описаним чотирикутником. Центри вписаного, описаного та зовні-вписаного кіл лежать на діагоналі дельтоїда. 
{{-}}

== Формули ==
{| class="wikitable" width="580"

|[[Файл:Drachenviereck mit Seiten.svg|280x280 пкс]] 
|[[Файл:Pfeilviereck mit Seiten.svg|200x200пкс]]
|}

Для  дельтоїда справедливі наступні формули:
{| class="wikitable"
! colspan="2" |Формули для дельтоїда
|-
|'''Довжини сторін'''
|<math>a = d, \quad b = c</math>
|-
|'''[[Периметр]]'''
|<math>P = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b)</math>
|-
| rowspan="4" |'''[[Площа]]'''
|<math>S = \frac{e \cdot f}{2}</math>  <ref name="beamer">{{citation|last=Beamer|first=James E.|date=May 1975|doi=10.5951/at.22.5.0382|issue=5|journal=The Arithmetic Teacher|jstor=41188788|pages=382–386|title=The tale of a kite|volume=22}}</ref>
|-
|<math>S = a \cdot b \cdot \sin(\beta)</math> 
|-
|<math>S = \left(a+b\right)r</math> <br/> де r — радіус вписаного кола.
|-
|<math>S = \dfrac{1}{2} \cdot \left ( a^2\sin \alpha + b^2\sin \gamma \right ) </math>

|-
| rowspan="3" |'''Довжини [[Діагональ|діагоналей]]'''
|<math>e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\beta)}</math> <br/> (за [[Теорема косинусів|теоремою косинусів]])
|-
|<math>f =  \frac{2 \cdot S}{e} =  \frac{4 \cdot S_{ABC}}{e} = \frac{4 \cdot \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - e)}}{e}</math>,<br/> де <math>s = \frac{a + b + e}{2}</math>
|-
|<math>f = 2 \cdot a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2 \cdot b \cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right)</math>
|-
|'''Радіус [[Описаний чотирикутник|вписаного кола]]'''
|<math>r = \frac{2 \cdot S}{P} = \frac{e \cdot f}{2 \cdot (a + b)}</math>
|-
|'''Радіус зовні-вписаного кола'''
|<math>\rho  = \frac{e \cdot f}{2 \cdot \left \vert  a - b  \right \vert }</math>  <ref name="alsina-nelson">{{citation|last1=Alsina|first1=Claudi|last2=Nelsen|first2=Roger B.|contribution=Section 3.4: Kites|contribution-url=https://books.google.com/books?id=CGDSDwAAQBAJ&pg=PA73|isbn=978-1-4704-5312-1|location=Providence, Rhode Island|mr=4286138|pages=73–78|publisher=MAA Press and American Mathematical Society|series=The Dolciani Mathematical Expositions|title=A Cornucopia of Quadrilaterals|volume=55|year=2020}}; see also antiparallelograms, p. 212</ref>
|-
| rowspan="3" |'''[[Внутрішній та зовнішній кути|Внутрішні кути]]'''
(див. [[Теорема косинусів|теорему косинусів]])
|<math>\alpha = \arccos\left(\frac{2 \cdot a^2 - f^2}{2 \cdot a^2}\right)</math>
|-
|<math>\gamma = \arccos\left(\frac{2 \cdot b^2 - f^2}{2 \cdot b^2}\right)</math>
|-
|<math>\beta = \delta = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - e^2}{2 \cdot a \cdot b}\right)</math>
|}

== Двоїстість ==
[[Файл:Kite_isotrap_duality.svg|міні|Дельтоїд та двоїста до нього [[рівнобічна трапеція]].]]
Дельтоїди та [[Рівнобічна трапеція|рівнобедрені трапеції]] є двоїстими один до одного чотирикутниками, що означає, що між ними існує відповідність, яка змінює елементи їх частин на протилежні, перетворюючи вершини на сторони, а сторони — на вершини. 

У будь-якого дельтоїда вписане в нього коло дотикається до чотирьох його сторін у точках, що є вершинами рівнобедреної трапеції. 

Для будь-якої рівнобедреної трапеції дотичні лінії до [[Описане коло|описаного кола]] в чотирьох вершинах утворюють чотири сторони дельтоїда. Цю відповідність також можна розглядати як приклад [[Полюс і поляра|полярного перетворення]], загального методу для відповідності точок лініям і навпаки, якщо задано фіксоване коло. Чотири вершини дельтоїда в цьому сенсі взаємні чотирьом сторонам [[Рівнобічна трапеція|рівнобедреної трапеції]]. <ref name="robertson">{{citation|last=Robertson|first=S. A.|doi=10.2307/3617441|issue=415|journal=The Mathematical Gazette|jstor=3617441|pages=38–49|title=Classifying triangles and quadrilaterals|volume=61|year=1977|s2cid=125355481}}</ref>

Характеристики дельтоїдів і [[Рівнобічна трапеція|рівнобедрених трапецій]], які відповідають одна одній за цієї двоїстості, порівнюються в таблиці нижче.<ref name="devilliers-adventures">{{citation|last=De Villiers|first=Michael|isbn=978-0-557-10295-2|pages=16, 55|title=Some Adventures in Euclidean Geometry|url=https://books.google.com/books?id=R7uCEqwsN40C|year=2009|publisher=Dynamic Mathematics Learning}}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! scope="col" |Рівнобічна трапеція
! scope="col" |Дельтоїд
|-
|Дві пари рівних сусідніх кутів
|Дві пари рівних сусідніх сторін
|-
|Дві рівні протилежні сторони
|Два рівних протилежних кута
|-
|Дві протилежні сторони мають спільний перпендикуляр, що проходить через їх середини
|Два протилежні кути мають спільну бісектрису
|-
|Вісь симетрії проходить через протилежні сторони
|Вісь симетрії проходить через протилежні кути
|-
|Має описане коло
|Має вписане коло
|}

== Паркети з дельтоїдами ==
{{multiple image|image1=AnimSun2k.gif|caption1=Рекурсивна конструкція мозаїки Пенроуза з опуклого та неопуклого дельтоїдів|image2=Fractal Penrose kite rosette.svg|caption2=Фрактальна розетка дельтоїдів Пенроуза|total_width=540}}
Опуклий дельтоїд з кутами 72°, 72°, 72°, 144° та неопуклий дельтоїд з кутами 36°, 72°, 36°, 216° формують одну з плиток [[Мозаїка Пенроуза|мозаїки Пенроуза]], аперіодичної плоскої мозаїки, відкритої фізиком-математиком [[Роджер Пенроуз|Роджером Пенроузом]]. <ref name="gardner">{{citation|last=Gardner|first=Martin|bibcode=1977SciAm.236a.110G|date=January 1977|department=Mathematical Games|doi=10.1038/scientificamerican0177-110|issue=1|jstor=24953856|magazine=[[Scientific American]]|pages=110–121|title=Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles|volume=236}}</ref>

Коли дельтоїд має кути, які при його вершинах на одній стороні сумарно дорівнюють <math>\pi(1-\tfrac1n)</math>  для деякого [[Натуральні числа|натурального числа]] 𝑛 , тоді масштабованими копіями цього дельтоїда можна замостити площину [[Фрактал|фрактальною]] розеткою, у якій центральна точка  послідовно оточується все більшими кільцями з 𝑛 дельтоїдів. <ref name="fathauer">{{citation|last=Fathauer|first=Robert|editor1-last=Torrence|editor1-first=Eve|editor1-link=|editor2-last=Torrence|editor2-first=Bruce|editor3-last=Séquin|editor3-first=Carlo|editor3-link=|editor4-last=Fenyvesi|editor4-first=Kristóf|contribution=Art and recreational math based on kite-tiling rosettes|contribution-url=https://archive.bridgesmathart.org/2018/bridges2018-15.html|isbn=978-1-938664-27-4|location=Phoenix, Arizona|pages=15–22|publisher=Tessellations Publishing|title=Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture|year=2018}}</ref> Ці розетки можна використовувати для вивчення явища непружного колапсу, коли система рухомих частинок, що стикаються при непружних зіткненнях, об’єднується в одній точці.<ref name="chazelle-karntikoon-zheng">{{citation|last1=Chazelle|first1=Bernard|last2=Karntikoon|first2=Kritkorn|last3=Zheng|first3=Yufei|doi=10.20382/jocg.v13i1a7|issue=1|journal=Journal of Computational Geometry|mr=4414332|pages=197–203|title=A geometric approach to inelastic collapse|volume=13|year=2022}}</ref>{{-}}
[[Файл:Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg|ліворуч|міні|V4.3.4.6 ]]
[[Файл:Aperiodic monotile smith 2023.svg|міні|286x286пкс|Виявлений у 2023 році аперіодичний монопаркет, що розв’язує [[Задача однієї плитки|задачу однієї плитки]], складається з 8 дельтоїдів із дельтоїдальної тригексагональної плитки. <ref>{{Cite news|title=An aperiodic monotile|url=http://arxiv.org/abs/2303.10798|work=arXiv:2303.10798 [cs, math]|date=2023-03-19|accessdate=2023-03-27|first=David|last=Smith|first2=Joseph Samuel|last2=Myers|first3=Craig S.|last3=Kaplan|first4=Chaim|last4=Goodman-Strauss}}</ref>]]
Дельтоїд з кутами 60°, 90°, 120°, 90° також може утворити паркет, яким можна [[Теселяція|замостити площину]]; при відзеркаленні дельтоїда  відносно його ребер утворюється дельтоїдальна тригексагональна плитка, що [[Теселяція|замощує]] площину [[Правильний шестикутник|правильними шестикутниками]] та [[Правильний трикутник|рівносторонніми трикутниками]]. <ref name="alsina-nelson" />




{{-}}
== Примітки ==
<references />

== Література ==
* {{citation
 | last = Josefsson | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | pages = 165–174
 | title = When is a tangential quadrilateral a kite?
 | url = https://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201117.pdf
 | volume = 11
 | year = 2011}}
* {{citation
 | last = Josefsson | first = Martin
 | journal = Forum Geometricorum
 | mr = 2990945
 | pages = 237–241
 | title = Maximal area of a bicentric quadrilateral
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FGvolume12.pdf#page=241
 | volume = 12
 | year = 2012}}
* {{citation
 | last1 = Jepsen | first1 = Charles H.
 | last2 = Sedberry | first2 = Trevor
 | last3 = Hoyer | first3 = Rolf
 | doi = 10.2140/involve.2009.2.89
 | issue = 1
 | journal = Involve: A Journal of Mathematics
 | mr = 2501347
 | pages = 89–93
 | title = Equidissections of kite-shaped quadrilaterals
 | volume = 2
 | year = 2009
 | url = https://msp.org/involve/2009/2-1/involve-v2-n1-p07-s.pdf
 | doi-access = free
 }}
*{{citation
 | last1 = Suay | first1 = Juan Miguel
 | last2 = Teira | first2 = David
 | doi = 10.1163/18253911-02902004
 | issue = 2
 | journal = Nuncius (journal)
 | pages = 439–463
 | title = Kites: the rise and fall of a scientific object
 | url = https://philsci-archive.pitt.edu/18148/1/KitesFinalVersion.pdf
 | volume = 29
 | year = 2014}}
== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53396/9971.html Дельтоїд]}}
* {{MathWorld|urlname=Kite|title=Kite}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Kite|title=Kite}}
* [https://www.mathopenref.com/kite.html Kite] ([[Англійська мова|англ.]]) 
* [https://www.mathopenref.com/kitearea.html Area of a Kite] ([[Англійська мова|англ.]]) Формули площі та інтерактивна анімація.

[[Категорія:Чотирикутники]]
[[Категорія:Типи чотирикутників]]