Перегляд вихідного коду сторінки Дельта-функція Дірака

[[Файл:Dirac distribution PDF.svg|325px|thumb|схематичне зображення дельта функції як лінії з якої виступає стрілка. Висота стрілки відображає число, яке можна розцінювати як [[площа|площу]] під [[графік функції|графіком функції]].]]
[[Файл:Dirac function approximation.gif|right|frame|Дельта функція Дірака як границя (в сенсі границі за [[розподіл]]ом) послідовності гаусівських функцій розподілу <math>\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}</math> as <math>a\to 0.</math>]]
'''δ-функція'''&nbsp;— це [[узагальнена функція]], формально визначається як неперервний [[лінійний функціонал]] у просторі [[диференційована функція|диференційовних функцій]].
δ-функція не є функцією в класичному розумінні.

Введена англійським [[фізик]]ом [[Дірак]]ом. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини ([[маса]], [[електричний заряд]], інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в точці <math>a</math>, [[евклідів простір|евклідового простору]] <math>\R^n</math>, записується за допомогою δ-функції у вигляді <math>\ m\delta(x-a)</math>.

== Означення ==
δ-функція визначається формальним співвідношенням

: <math>(\delta;f)\;=\;\int_{\R^n}\delta(x-a)f(x)\;dx = f(a)</math>

для будь-якої [[неперервна функція|неперервної функції]] <math>f(x)\,</math>.

== Властивості ==
Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння:
* <math>\delta(x) = 0,\qquad\forall x \not= 0 </math>.
* <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1</math>.
* <math>x\delta^\prime(x)=-\delta(x)</math>.
* <math>\delta(f(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|f'(x_k)|}</math>, де <math>x_k</math>&nbsp;— нулі функції <math>f(x)</math>.

== Інтегральне представлення ==
У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:

Розглянемо інтеграл

: <math>I(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\, d\omega</math>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)

який можна інтерпретувати як границю

: <math>I(t) = \lim_{N = \infty} \int_{-N}^N e^{i\omega t}\, d\omega = \lim_{N = \infty} 2 \pi N \frac{\sin{tN}}{\pi tN}</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)

Відомо, що

: <math>\int\limits_{-\infty}^ \infty \frac{\sin{t}}{t}\,dt = \pi</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3)

Як наслідок з (3) для будь-якого <math>N\,</math> справедлива рівність:

: <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} 2N \frac{\sin{tN}}{tN}\, dt = 2 \pi </math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(4)

Можна показати, що при необмеженому зростанні <math>N\,</math> виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до <math>\delta(t)\,</math>; це дозволяє зробити висновок, що:

: <math>I(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t}\, d\omega = 2\pi \delta(t)</math>.

== Похідна дельта-функції ==
Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції
<math>\delta(x)</math>:

: <math>\int f(x)\delta^{[n]}(x)\,dx=-\int\frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(x)\;dx</math>.

Підставивши <math>f(x)=xg(x)\,\!</math>, одержимо вираз:

: <math>\int xg(x)\delta^\prime (x)\;dx=-\int\delta(x)\frac{\partial}{\partial x}[xg(x)]\;dx</math>.

Після перетворення маємо:

: <math>-\int\delta(x)[g(x)+xg^\prime(x)]\;dx=-\int g(x)\delta(x)\;dx</math>.

Оскільки <math>\int xg^\prime(x)\delta(x)\;dx=0</math>, одержуємо остаточний вираз

: <math>x\delta^\prime(x)=-\delta(x)</math>.

У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:

: <math>\int [x^{n}f(x)]\delta^{n}(x)\;dx=(-1)^{n}\int\frac{\partial^{n}[x^{n}f(x)]}{\partial x^{n}}\delta(x)\;dx</math>.

Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:

: <math>\delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x)</math>;

: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\;dx=-f^\prime(a)</math>;

: <math>\int\limits_{-1}^{1}\delta\left(\frac{1}{x}\right)\;dx=0</math>.

== Перетворення Фур'є ==
До дельта-функції <math>x(t)=\delta(t)</math> можна застосувати [[перетворення Фур'є]]:

: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) \cdot e^{-i 2\pi f t}\,dt = e^{-i 2\pi f \cdot 0}=1</math>

в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: <math>F(\delta)=1</math>.

Доведено, що похідна [[Функція Гевісайда|функції Гевісайда]] дорівнює дельта-функції. Тобто Функція Гевісайда&nbsp;— [[первісна]] дельта-функції:

: <math>H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} \delta(t)\,dt</math>.

Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції

: <math>\sqrt{2\pi}H(t)</math>,

одержимо її образ у вигляді:

: <math>\frac{1}{i\omega}+{\pi}\delta(t)</math>.

== Представлення в різних координатах і системах відліку ==
У двовимірному просторі:

: <math>\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^{2}(x,\;y)\,dx\,dy=1</math>;

: <math>\delta(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^{2}(x,\;y)</math>;

: <math>\delta^{2}(x,\;y)=\delta(x)\delta(y)\,\!</math>.

У полярних координатах:

: <math>\delta^{2}(x,\;y)=\frac{\delta(r)}{\pi\left|r\right|}</math>.

У тривимірному просторі:

: <math>\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^{3}(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1</math>;

: <math>\delta^{3}(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)\,\!</math>.

У циліндричній системі:

: <math>\delta^{3}(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{\pi r}</math>.

У сферичній системі відліку:

: <math>\delta^{3}(r,\;\theta,\;\phi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2}\,\!</math>.

== Фізична інтерпретація ==
[[Файл:Dirac distribution CDF.svg|right|thumb|300px|Графік [[Функція Гевісайда|функції Гевісайда]], похідна від якої&nbsp;— дельта-функція]]
[[Файл:Dirac distribution PDF.svg|right|thumb|300px|Графік дельта-функції]]

=== Миттєве прискорення ===
Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.

Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:

: <math>a(t)=\nu\delta(t-t_a)</math>.

=== Функція Гріна ===
Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В [[квазікласичне наближення|квазікласичному наближенні]] <math>h \rightarrow 0</math> хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траєкторіях за [[Закони Ньютона|рівняннями Ньютона]]. Через дельта-функцію, також записується [[функція Гріна]] лінійного оператора <math>L</math>, що діє на узагальнені функції над [[многовид]]ом <math>M</math> в точці <math>x_0</math>. Рівняння має вигляд <math>(\nabla^2f)(x)= \delta (x-x_0)</math>.

де <math>\nabla^2</math>&nbsp;— [[оператор Лапласа]].

Важливо відмітити наступну формулу

: <math>\nabla^2 G=-4\pi\delta</math>,

де

: <math>G = \frac{1}{r}</math>&nbsp;— [[функція Гріна]].

Цей вираз випливає з того, що <math>\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)</math> веде себе подібно до дельта-функції.<ref>{{Cite web |url=http://promsiu.narod.ru/files/belova/19.doc |title=Доведення властивостей функції Гріна для точкового джерела |accessdate=13 квітня 2008 |archive-date=5 березня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160305001520/http://promsiu.narod.ru/files/belova/19.doc }}</ref>. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для [[скалярний потенціал|скалярного потенціала]]:

: <math>\Phi(x)=\int{\varrho(x^\prime)\over\left|x-x^\prime\right|} \,d^3x^\prime</math>

задовольняє [[рівняння Пуасона|рівнянню Пуасона]]:

: <math>\nabla^2\Phi=4\pi\varrho</math>.

Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.

== Див. також ==
* [[Функція Гевісайда]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1}}
* {{публікація|книга
|автор=Кучерук І. М., Горбачук І. Т., Луцик П. П.
|назва=Загальний курс фізики
|інфо = навч. посібник у 3-х т
|том назва = Електрика і магнетизм
|том=2
|рік=2006
|видавництво=Техніка
|місце=Київ
}}

== Примітки ==
{{примітки}}

{{Розподіли ймовірності}}

[[Категорія:Теорія міри]]
[[Категорія:Функції та відображення]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]