Перегляд вихідного коду сторінки Двовимірні гіперкомплексні числа

'''Двовимірні гіперкомплексні числа''' — [[гіперкомплексні числа]] з однією [[уявна одиниця|уявною одиницею]].

Тобто числа виду <math>\ a + bI,</math> де <math>\ a,b</math> — [[дійсні числа]]; <math>\ I</math> &nbsp;— уявна одиниця.

Визначимо операції:
* <math>\ \overline{a + bI} \equiv a - bI</math> — спряжене число,
* <math>\lVert z \rVert \equiv z \bar{z} = \bar{z} z = a^2 - b^2I^2</math> — [[норма (функціонал)|норма]] числа,
* <math> {z_1 \over z_2} \equiv {z_1 \bar{z_2} \over \lVert z_2 \rVert}</math> — ділення чисел.


==Формальне визначення==
'''Двовимірні гіперкомплексі числа''' — двовимірні [[алгебра над кільцем|алгебри]] з [[нейтральний елемент|одиницею]] над [[поле (алгебра)|полем]] дійсних чисел.'''

==Підвиди==
Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з [[чотири арифметичні дії|традиційним додаванням і множенням дійсних чисел]].

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд <math>\ a + 0I.</math>

*<math>\ (a_1+b_1I)+(a_2+b_2I) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)I</math> — додавання,
*<math>\ (a_1+b_1I)\cdot(a_2+b_2I) = a_1a_2 + (a_1b_2 + a_2b_1)I + b_1b_2I^2</math> — множення буде [[комутативність|комутативним]].

Залишилось тільки визначити, чому буде дорівнювати <math>\ I^2.</math>

Оскільки система має бути замкнута, то можемо позначити: <math>\ I^2 = p + qI, \quad p,q \in \mathbb{R}.</math>

Розв'язуватимемо [[квадратне рівняння]] так, щоб зліва був повний квадрат, а справа тільки дійсна частина: <math>\ (2I - q)^2 = 4p + q^2.</math>

В залежності від знака правої частини отримаємо:
<math>\begin{matrix}
4p + q^2 < 0, & & 4p + q^2 \equiv -k^2, & & i \equiv (2I-q)/k, & & i^2 = -1; \\
4p + q^2 > 0, & & 4p + q^2 \equiv +k^2, & & j \equiv (2I-q)/k, & & j^2 = +1; \\
4p + q^2 = 0, & & & & \epsilon \equiv 2I-q, & & \epsilon^2 = 0. \\
\end{matrix}</math>

===Множення===
Отже, в залежності від випадку, замінивши <math>\ I</math> на одну з одиниць <math>\ i,j,\epsilon</math> отримаємо:
*<math>\ (a_1+b_1i) (a_2+b_2i) = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i</math> — [[комплексні числа]],
*<math>\ (a_1+b_1j) (a_2+b_2j) = (a_1a_2+b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)j</math> — [[подвійні числа]],
*<math>\ (a_1+b_1\epsilon) (a_2+b_2\epsilon) = a_1a_2 + (a_1b_2 + a_2b_1)\epsilon</math> — [[дуальні числа]].

===Норма===
*<math>\lVert a+bi \rVert = a^2+b^2, \qquad \lVert a+bj \rVert = a^2-b^2, \qquad \lVert a+b\epsilon \rVert = a^2.</math>

Для всіх підвидів виконується
*<math>\overline{z_1 z_2} = \bar{z_2} \cdot \bar{z_1},</math>
*<math>\lVert z_1 z_2 \rVert = (z_1 z_2)\overline{(z_1 z_2)} = (z_1 z_2)(\bar{z_2} \bar{z_1}) = z_1 (z_2 \bar{z_2}) \bar{z_1} = \lVert z_1 \rVert \cdot \lVert z_2 \rVert.</math>

===Ділення===
*<math>{a+bi \over c+di} = {(ac+bd) + (bc - ad)i \over c^2+d^2}</math> — [[дільник нуля|дільників нуля]] немає;
*<math>{a+bj \over c+dj} = {(ac-bd) + (bc - ad)j \over c^2-d^2}</math> — існують дільники нуля виду <math>\ c \pm cj;</math>
*<math>{a+b\epsilon \over c+d\epsilon}= {ac + (bc - ad)\epsilon \over c^2}</math> — існують дільники нуля виду <math>\ 0+d\epsilon.</math>

===Матричне представлення===
Кожній з уявних одиниць можна поставити у відповідність [[квадратна матриця|квадратну матрицю]] 2*2 яка є [[квадратний корінь матриці|квадратним коренем]] [[одинична матриця|<math>-I</math>]], <math>+I</math> та [[нульова матриця|<math>O</math>]] відповідно, і в неї нулі на [[головна діагональ|головній діагоналі]].

Зазвичай для <math>1, i, j</math> вибирають [[одинична матриця|одиничну матрицю]], [[матриця повороту|матрицю повороту]] на <math>\pi\over2</math> та [[матриці Паулі|матриці Паулі]] <math>\sigma_1</math>:
:<math>
1 \mapsto \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, \qquad \qquad
i \mapsto \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, \qquad \qquad
j \mapsto \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, \qquad \qquad
\epsilon \mapsto \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.</math>

Відповідно:

<math>
a+bi \mapsto \begin{bmatrix}a & -b \\ b & a\end{bmatrix}, \qquad
a+bj \mapsto \begin{bmatrix}a & b \\ b & a\end{bmatrix}, \qquad
a+b\epsilon \mapsto \begin{bmatrix}a & b \\ 0 & a\end{bmatrix}.</math>

Така відповідність задає [[ізоморфізм]], якщо додаванню та множенню гіперкомплексних чисел поставити у відповідність додавання та множення матриць.

В такому представлені:
* норма числа відповідає [[детермінант]]у матриці;
* спряження відповідає [[транспонування матриці|транспонуванню матриці]].

== Див. також ==
* [[Чотиривимірні гіперкомплексні числа]]

==Джерела==
* {{Кантор.Солодовников}}

{{Quantity}}

[[Категорія:Гіперкомплексні числа]]