Перегляд вихідного коду сторінки Дванадцятигранник

{| class="wikitable floatright" width="485"
|+ Деякі найбільш відомі додекаедри
|- style="text-align:center;"
! colspan="4" |{{Не перекладено|Ікосаедрична симетрія|I{{sub|h}}|en|Icosahedral symmetry}}, порядок 120
|- style="text-align:center; vertical-align:bottom;"
|[[Правильний додекаедр]]
|[[Малий зірчастий додекаедр]]
|[[Великий додекаедр]]
|[[Великий зірчастий додекаедр]]
|- style="text-align:center; vertical-align:bottom;"
|[[Файл:Dodecahedron.png|80пкс]]
|[[Файл:Small stellated dodecahedron.png|80пкс]]
|[[Файл:Great dodecahedron.png|80пкс]]
|[[Файл:Great stellated dodecahedron.png|80пкс]]
|-
!T{{sub|h}}, порядок 24
!T, порядок 12
!{{Не перекладено|Октаедрична симетрія|O{{sub|h}}|en|Octahedral symmetry}}, порядок 48
![[Правильногранний многогранник|Многогранник Джонсона]] (J{{sub|84}})
|- style="text-align:center; vertical-align:bottom;"
|[[Дванадцятигранник#Піритоедр|Піритоедр]]
|[[Дванадцятигранник#Тетартоїд|Тетартоїд]]
|[[Ромбододекаедр]]
|{{Не перекладено|Кирпатий двоклиноїд|Кирпатий двоклиноїд|en|Snub disphenoid}}
|- style="text-align:center; vertical-align:bottom;"
|[[Файл:Pyritohedron.png|80пкс]]
|[[Файл:Tetartoid.png|80пкс]]
|[[Файл:Rhombicdodecahedron.jpg|80пкс]]
|[[Файл:snub_disphenoid.png|80пкс]]
|- align="center"
! colspan="2" |{{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|4h}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 16
! colspan="2" |{{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|3h}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 12
|- align="center"
|{{Не перекладено|Ромбо-шестикутний додекаедр|Ромбо-шестикутний додекаедр|en|Elongated dodecahedron}}
|Ромбо-квадратний додекаедр
|{{Не перекладено|Ромбо-трапецоїдний додекаедр|Ромбо-трапецоїдний додекаедр|en|Trapezo-rhombic dodecahedron}}
|Ромбо-трикутний додекаедр
|- align="center"
|[[Файл:Rhombo-hexagonal dodecahedron.png|80пкс]]
|[[Файл:Squared rhombic dodecahedron.png|80пкс]]
|[[Файл:Trapezo-rhombic dodecahedron.png|80пкс]]
|[[Файл:Triangular square dodecahedron.png|80пкс]]
|}

'''Дванадцятигранник''' або '''додекаедр''' ([[Давньогрецька мова|дав.-гр.]] δωδεκάεδρον (dōdekáedron) ; від {{lang-el|δώδεκα}} (dṓdeka) — дванадцять і {{lang-el|ἕδρα}} (hédra) — грань) — довільний [[многогранник]] із дванадцятьма [[Грань (геометрія)|гранями]].

Існує 6 384 634 топологічно різних [[Опуклий політоп|опуклих]] додекаедрів, не враховуючи тих, що отримані шляхом  дзеркального [[Відбиття (геометрія)|відбиття]], з кількістю вершин від 8 до 20.<ref name=":0">{{Cite web|url=http://www.numericana.com/data/polycount.htm|title=Enumeration of Polyhedra - Numericana|website=www.numericana.com}}</ref> 

(Два многогранники вважають "''топологічно різними''", якщо вони мають різну структуру розташування граней і вершин, так що неможливо перетворити один в інший, просто змінивши довжини ребер або кути між ребрами чи гранями).[[Файл:Dodecahedron.gif|thumb|120px|[[Правильний додекаедр]]|ліворуч]]

Найбільш відомий додекаедр — це [[правильний додекаедр]], всі грані якого є [[Правильний п'ятикутник|правильними п'ятикутниками]]. Він є найбільш симетричним з усіх опуклих додекаедрів, має {{Не перекладено|Ікосаедрична симетрія|ікосаедричну симетрію|en|Icosahedral symmetry}}  I{{sub|h}}, порядок 120.

Деякі додекаедри мають таку ж комбінаторну структуру, як і правильний додекаедр (в сенсі графа, утвореного його вершинами і ребрами), але їх п'ятикутні грані не є правильними:

— '''піритоедр''', поширена [[Проста форма (кристалографія)|кристалічна форма]] [[Пірит|піриту]], має [[:en:Tetrahedral_symmetry#Pyritohedral_symmetry|піритоедричну симетрію]] T{{sub|h}},

— '''тетартоїд''' має хіральну [[Тетраедрична симетрія|тетраедричну симетрію]] T.

[[Файл:Rhombicdodecahedron.gif|thumb|120px|[[Ромбододекаедр]]|ліворуч]][[Ромбододекаедр]] можна розглядати як граничний випадок піритоедра, і він має {{Не перекладено|Октаедрична симетрія|октаедричну симетрію|en|Octahedral symmetry}} O{{sub|h}}. Ромбододекаедр є {{Не перекладено|Паралелоедр|паралелоедром|en|Parallelohedron}}, [[Зоноедр|зоноедром]] а також [[Дуальний многогранник|двоїстим]] до [[Кубооктаедр|кубооктаедра]] (напівправильного [[Архімедове тіло|многогранника Архімеда]]).


{{Не перекладено|Ромбо-шестикутний додекаедр|Ромбо-шестикутний додекаедр|en|Elongated dodecahedron}} (або подовжений додекаедр, або гексоромбододекаедр), {{Не перекладено|Ромбо-трапецоїдний додекаедр|ромбо-трапецоїдний додекаедр|en|Trapezo-rhombic dodecahedron}} а також ромбододекаедр можуть утворювати [[Стільник (геометрія)|стільники]], що [[Теселяція|замощують]] [[тривимірний простір]] без проміжків та накладень.{{Clear}}

== Правильний додекаедр ==
{{main|Правильний додекаедр}}
Опуклий [[правильний додекаедр]] є одним з п'яти [[Правильний многогранник|правильних многогранників Платона]] і може бути представлений своїм [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] як {5, 3}, тобто кожна вершина оточена трьома [[Правильний п'ятикутник|правильними п'ятикутними]] гранями.

[[Двоїстий однорідний многогранник|Двоїстим многогранником]] до правильного додекаедра є [[правильний ікосаедр]] {3, 5}, кожна вершина якого оточена п'ятьма [[Правильний трикутник|правильними трикутними]] гранями.

Опуклий правильний додекаедр має три [[Ззірчення|зірчасті форми]]; всі три є правильними зірчастими [[Тіло Кеплера — Пуансо|многогранниками Кеплера — Пуансо]]. Їх гранями є [[Правильний п'ятикутник|правильні п'ятикутники]] та [[Пентаграма|правильні пентаграми]].

{| class=wikitable align=center
|+ Зірчасті форми правильного додекаедра
|- align=center
|[[Файл:Dodecahedron.png|150пкс]]<br>Опуклий [[правильний додекаедр]]
|[[Файл:Small stellated dodecahedron.png|150пкс]]<br>[[Малий зірчастий додекаедр]] <br/> {5/2, 5}
|[[Файл:Great dodecahedron.png|150пкс]]<br>[[Великий додекаедр]] <br/> {5, 5/2}
|[[Файл:Great stellated dodecahedron.png|150пкс]]<br>[[Великий зірчастий додекаедр]] <br/> {5/2, 3}
|}
Характерною особливістю правильного додекаедра (також і правильного ікосаедра) є наявність в нього осей [[Обертова симетрія|обертової симетрії]] 5-го порядку, які не дозволені правилами [[Кристалографія|кристалографії]] {{Sfn| І.М. Фодчук, О.О. Ткач.||с=108}}{{rp|Стор.41}} , тобто в природі не існує [[Кристал|кристалів]] мінералів, що мають форму правильного додекаедра. Проте можна зустріти [[Квазікристал|квазікристали]] у формі правильного додекаедра (наприклад, квазікристал [[гольмій]] — [[магній]] — [[Цинк|цинку]] (Ho-Mg-Zn)). Також існують мінерали, що мають форму додекаедра з неправильними гранями (наприклад, [[пірит]]).

==Додекаедри з п'ятикутними гранями==
В [[Кристалографія|кристалографії]] в деяких [[Кристалічний клас|класах симетрії]] [[Кубічна сингонія|кубічної кристалічної системи]] можуть траплятися два основних види додекаедрів, які топологічно еквівалентні [[Правильний додекаедр|правильному додекаедру]], але мають менший порядок симетрії (тобто менш симетричні): '''піритоедр''' з [[:en:Tetrahedral_symmetry#Pyritohedral_symmetry|піритоедричною симетрією]] і '''тетартоїд''' з хіральною [[Тетраедрична симетрія|тетраедричною симетрією]]:

===Піритоедр===
{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" align="right" width="370"
! colspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |<span style="color: MediumBlue"><big><big>Піритоедр</big></big> </span>

|-
| style="text-align:center;" colspan="2"|[[File:Polyhedron pyritohedron transparent max.png|210x210пкс]]<br> Натисніть [[c:File:Polyhedron pyritohedron transparent max.gif|тут]] , щоб подивитися обертання моделі
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Властивості'''
|[[Опуклий політоп|Опуклий]], [[Ізоедральне тіло|гране-транзитивний]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center" |<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''
|12 п'ятикутних граней <br/> 30 [[Ребро (геометрія)|ребер]] (6 + 24) <br/> 20 [[Вершина (геометрія)|вершин]] (8 + 12) (3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]])
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''
|12 [[П'ятикутник|Рівнобедрених п'ятикутників]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Характеристика Ейлера]]'''
|<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>

|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center" |<big>'''Класифікація'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]'''
|{{ДКД|node|4|node_fh|3|node_fh}} (або o4p3p )<br>

|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Список груп сферичної симетрії#Симетрії_многогранників|Група симетрії]]'''
|[[Тетраедрична симетрія|T<sub>h</sub>]],[4,3<sup>+</sup>], (3*2), порядок 24 <br/> ([https://polytope.miraheze.org/wiki/Pyritohedral_symmetry Піритоедрична симетрія])
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Ортогональна група|Група обертань]]'''
|T, [3,3]<sup>+</sup>, (332), порядок 12
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий многогранник]]'''
|[[:en:Icosahedron#Pyritohedral_symmetry|Ікосаедр з піритоедричною симетрією]]<br/> [[Файл:Uniform polyhedron-43-h01.svg|94x94пкс]]

|- align=center
|colspan=2|'''[[Розгортка]]'''<br>[[Файл:Pyritohedron flat.png|220x200px]]
|}

'''Піритоедр''' <ref>{{Cite book
|title=Chemical Applications of Group Theory, 3rd ed.
|last=Cotton, F. A.
|year=1990
|publisher=New York: Wiley
|url=https://byjusexamprep.com/liveData/f/2021/5/group_theory_cotton_54.pdf
|pages= 63
|language=англ.
}}</ref> <ref>{{MathWorld|urlname=Pyritohedron|title=Pyritohedron}} </ref> <ref>{{Polytope Wiki|urlname=Pyritohedron|title=Pyritohedron}} </ref> (або '''пентагондодекаедр''' {{Sfn|Л. О. Бірюкович||с=234}}{{rp|Стор.80-81}}  {{Sfn|Wadsworth, M. Edward||с=400}}{{rp|Стор.136}} ,) — це додекаедр з [[:en:Tetrahedral_symmetry#Pyritohedral_symmetry|піритоедричною симетрією]] (T<sub>h</sub>). Має 12 [[Конгруентність (геометрія)|конгруентних]] [[П'ятикутник|п'ятикутних]] дзеркально-симетричних граней (тобто симетричних відносно осі, що проходить через вершину і середину протилежної сторони). 

Має 20 вершин, розділених на два типи; в кожній вершині сходяться три грані.

Його 30 ребер також розділені на два типи — 24 і 6 ребер однакової довжини. 

Єдиними осями [[Обертова симетрія|обертової симетрії]] є три взаємно перпендикулярні [[Вісь симетрії|осі]] 2-го порядку та чотири осі 3-го порядку. Осі симетрії п'ятого порядку відсутні, що дозволяє цьому многограннику бути [[Проста форма (кристалографія)|формою для кристалів]]. Зокрема, форму піритоедру має кристал мінералу [[Пірит|піриту]].

====Кристал піриту====
Кристал [[Пірит|піриту]] найчастіше зустрічається у двох поширених [[Проста форма (кристалографія)|кристалічних формах]] — піритоедр та [[куб]]. У піриту, що має форму піритоедру, грані мають [[Індекси Міллера|індекс Міллера]] {2,1,0}, що означає, що [[двогранний кут]] становить  2·arctan(2) ≈ 126.87°, а кути кожної п'ятикутної грані становлять: кут  ≈ 121,6° розташований між двома кутами ≈ 106,6° і навпроти двох кутів ≈ 102,6°. Наступні формули описують розміри граней ідеального кристала (який рідко зустрічається в природі).

<math>\text{Висота} = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot L</math>

<math>\text{Ширина} = \frac{4}{3} \cdot L</math>

<math>l = \sqrt{\frac{7}{12}} \cdot L</math>

де <math>l</math> — довжина короткого ребра многогранника; <math>L</math> — довжина довгого ребра.

{{multiple image
 | align = left  | total_width = 380
 | image1 = Pyrite-184681.jpg
 | image2 = Pyrite-193871_angles.jpg
 | footer = Природний пірит (На правому зображенні показано кути грані)
}}
{{clear}}



====Декартові координати вершин====
Вісім вершин, що формують вершини куба, вписаного в многогранник, мають координати: (±1, ±1, ±1). При цьому довжина ребер куба дорівнює 2. 

Координати інших дванадцяти вершин:

<big>(</big>0, ±(1 + ''h''), ±(1 − ''h''<sup>2</sup>)<big>)</big>, <big>(</big>±(1 + ''h''), ±(1 − ''h''<sup>2</sup>), 0<big>)</big>  та <big>(</big>±(1 − ''h''<sup>2</sup>), 0, ±(1 + ''h'')<big>)</big>.

''де h'' — висота [[Клин (геометрія)|клиноподібного]] "даху" над гранями куба.



При ''h'' = 0 отримаємо вироджений піритоедр, що має форму [[Куб|куба]], але з додатковими вершинами та ребрами на його гранях.

При ''h'' = {{sfrac|1|2}} (чверть довжини ребра куба), отримаємо «бездоганний» (з геометричної точки зору) кристал природного піриту.Також в цьому випадку многогранник є піритоедром у {{Не перекладено|Модель Вейра — Фелана|моделі Вейра — Фелана|en|Weaire–Phelan structure}}.

При ''h'' = {{sfrac|1|[[Золотий перетин |φ]]}} = {{sfrac|{{radic|5}} − 1|2}}= 0.618..., отримаємо [[правильний додекаедр]].

При ''h'' = 1 отримаємо вироджений піритоедр, у якого деякі вершини збігаються, а ребра між ними зменшуються до нульової довжини; він приймає форму [[Ромбододекаедр | ромбдодекаедра]].

{|
|
{{multiple image |align=left |total_width=440
| image1 = Polyhedron pyritohedron from yellow max.png
| image2 = Polyhedron pyritohedron from red max.png
| image3 = Polyhedron pyritohedron from blue max.png
| footer = [[Ортографічна проєкція|Ортографічні проєкції]] піритоедру з висотою h = {{sfrac|1|2}}
}}
|
{{multiple image |align=right |total_width=278
| image1 = Polyhedron pyritohedron max.png
| image2 = Polyhedron 12 pyritohedral max.png
| footer = Піритоедри з висотою h = {{sfrac|1|2}} та h = {{sfrac|1|[[Золотий перетин |''φ'']]}}
}}
|
|}
{{Clear}}
====Геометричні варіації====
Піритоедр має деякий ступінь свободи у геометричній будові; при цьому на одній межі маємо [[куб]], коли певні ребра стають колінеарними одне до одного, а на іншій межі маємо [[ромбододекаедр]], коли 6 ребер вироджуються до нульової довжини. [[Правильний додекаедр]] являє собою особливий проміжний випадок, коли всі ребра і кути рівні.

Можна перетнути ці граничні випадки, та отримати при цьому неопуклі піритоедри. 

Перетнувши нижню межу опуклого піритоедру, що має вигляд куба, отримаємо неопуклі його форми; неопуклий піритоедр з рівними сторонами (ендо-додекаедр) в поєднанні з опуклим правильним додекаедром може утворювати [[Стільник (геометрія)|стільники]], що [[Теселяція|замощують]] [[тривимірний простір]] без проміжків та накладень. 

Продовжуючи деформацію многогранника у цьому напрямку, ми проходимо через вироджений випадок, коли дванадцять вершин збігаються в центрі, і переходимо до правильного  [[Великий зірчастий додекаедр|великого зірчастого додекаедра]], в якого всі ребра і кути знову рівні, а грані приймають форму [[Пентаграма|правильних пентаграм]].

Перетнувши верхню межу опуклого піритоедру, що має вигляд ромбододекаедра, отримаємо неопуклий рівносторонній додекаедр з рибоподібними рівносторонніми п'ятикутними гранями з самоперетином.
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
! colspan="2" | Анімації
|- style="background-color: white;"
| style="width: 350px;" | [[File:Endo-dodecahedron honeycomb.gif|200px]]
| style="width: 350px;" | [[File:Pyritohedron animation.gif|200px]]
|-
| [[Стільник (геометрія)|Стільники]] з чергуванням опуклих і увігнутих піритоедів з висотами h в межах ±{{sfrac|1|[[Золотий перетин|φ]]}}
| Піритоедри з висотами між h = 0 ([[куб]])<br>та h = 1 ([[ромбододекаедр]])
|}

<gallery>
Pentagon Dodekaedr 3.png|[[Індекси Міллера|Індекс грані]] {10,9,0}
Pentagon Dodekaedr 2.png|І[[Індекси Міллера|ндекс грані]] {2,1,0}
Pentagon Dodekaedr 1.png|[[Індекси Міллера|Індекс грані]] {7,1,0}
</gallery>

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan="8"| Окремі випадки піритоедрів
|-
|colspan="8"| Версії з висотами, що рівні по модулю але з протилежними знаками спільно утворюють [[Стільник (геометрія)|стільники]]. (Див. [[:File:Endo-dodecahedron honeycomb.gif|анімацію]]).
Показано співвідношення довжин ребер, а саме тих, що належать до набору з 24 ребер (що перетинаються в вершинах куба) до тих, що належать до набору з 6 ребер (відповідають граням куба).
|-
! Відношення
!1 : 1
!0 : 1
!1 : 1
!2 : 1
!1 : 1
!0 : 1
!1 : 1
|-
!rowspan="2"| ''h''
! −{{sfrac|{{radic|5}} + 1|2}}
!rowspan="2"| −1
! {{sfrac|−{{radic|5}} + 1|2}}
!rowspan="2"| 0
! {{sfrac|{{radic|5}} − 1|2}}
!rowspan="2"| 1
! {{sfrac|{{radic|5}} + 1|2}}
|-
! −1.618...
! −0.618...
! 0.618...
! 1.618...
|- style="text-align: center; vertical-align: top;"
!style="vertical-align: middle;"| Зображення
|[[Файл:Great stellated dodecahedron.png|120пкс]]<br/> [[Великий зірчастий додекаедр]], грані якого є правильними [[Пентаграма|пентаграмами]] 
|[[Файл:Degenerate-pyritohedron.png|120пкс]]<br/>Вироджений випадок з 12-ма вершинами многогранника в його центрі
|[[Файл:Concave pyritohedral dodecahedron.png|120пкс]]<br/>Неопуклий рівносторонній піритоедр (додекаедр).
|[[Файл:Pyritohedron cube.png|120пкс]]<br/>Куб з додатковими вершинами та ребрами на його ребрах та гранях відповідно (як показано на рисунку) є граничним випадком опуклого піритоедра.
|[[Файл:Dodecahedron.png|120пкс]]<br/>Правильний додекаедр є проміжним випадком з рівними ребрами та кутами.
|[[Файл:Rhombicdodecahedron.jpg|120пкс]]<br/>Ромбододекаедр є граничним випадком опуклого піритоедра, коли 6 його ребер зменшуються до нульової довжини.
|[[Файл:exo-dodecahedron.png|120пкс]]<br/>Рівносторонній додекаедр з гранями, що мають самоперетин.
|}

===Тетартоїд===
{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" align="right" width="370"
! colspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |<span style="color: MediumBlue"><big><big>Тетартоїд</big></big> </span><br/>Тетрагональний п'ятикутний додекаедр

|-
| style="text-align:center;" colspan="2"|[[Файл:Tetartoid perspective.png|210x210пкс]]<br/> Натисніть [[c:Файл:Tetartoid perspective.gif|тут]], щоб подивитися обертання моделі
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Властивості'''
|[[Опуклий політоп|Опуклий]], [[Ізоедральне тіло|гране-транзитивний]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center" |<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''
|12 п'ятикутних граней <br/> 30 [[Ребро (геометрія)|ребер]] (6+12+12)<br/> 20 [[Вершина (геометрія)|вершин]] (4+4+12) (3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]])
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''
|12 [[П'ятикутник|п'ятикутників]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Характеристика Ейлера]]'''
|<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>

|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center" |<big>'''Класифікація'''</big>
|-
|bgcolor="#e7dcc3" |'''Позначення'''
|gT (в {{Не перекладено|Нотація Конвея для многогранників|нотації Конвея|en|Conway polyhedron notation}} )
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]'''
|{{ДКД|node_fh|3|node_fh|3|node_fh}} (або p3p3p )

|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Список груп сферичної симетрії#Симетрії_многогранників|Група симетрії]]'''
|[[Тетраедрична симетрія|T]],[3,3]<sup>+</sup>, (332), порядок 12 
(Хіральна тетраедрична симетрія)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий многогранник]]'''
|[[:en:Icosahedron#Pyritohedral_symmetry|Ікосаедр з тетраедричною симетрією]] (або кирпатий тетраедр)<br/> [[Файл:Snub tetrahedron.png|94x94пкс]]
|}

'''Тетартоїд''' (також '''тетрагональний п'ятикутний додекаедр''' {{Sfn|Wadsworth, M. Edward||с=400}}{{rp|Стор.140-141; 144}} , '''пентагонтритетраедр''' {{Sfn|Л. О. Бірюкович||с=234}}{{rp|Стор.79}}  і '''тетраедричний пентагондодекаедр''') — це додекаедр з хіральною [[Тетраедрична симетрія|тетраедричною симетрією]] (Т).

Має 12 [[Конгруентність (геометрія)|конгруентних]] [[П'ятикутник|п'ятикутних]] граней.

Має 20 вершин, розділених на три типи; в кожній вершині сходяться три грані.

Його 30 ребер також розділені на три типи — 12, 12 і 6 ребер однакової довжини. 

Осі [[Обертова симетрія|обертової симетрії]] 5-го порядку відсутні, що дозволяє цьому многограннику бути [[Проста форма (кристалографія)|формою для кристалів]]. 

Назва ''тетартоїд'' має грецьке коріння, та означає "четверта частина", оскільки він має одну четверту від повної {{Не перекладено|Октаедрична симетрія|октаедричної симетрії|en|Octahedral symmetry}} і половину [[:en:Tetrahedral_symmetry#Pyritohedral_symmetry|піритоедричної симетрії]]. <ref>{{Cite book
|title=The 48 Special Crystal Forms
|last=Dutch, Steve.
|year=1997
|publisher=University of Wisconsin-Green Bay, U.S.
|url=https://breakthelight.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/08/48-special-crystal-forms.pdf
|language=англ.
}}</ref>

Таку форму симетрії (пентагон-тритетраедричну) може мати мінерал [[кобальтин]].<ref>{{Cite web|url=http://www.galleries.com/minerals/property/crystal.htm#dodecahe|title=CRYSTAL HABIT|website=www.galleries.com}}</ref>

Тетартоїд має два вироджених граничних випадки, які топологічно еквівалентні самому многограннику та мають його симетрію. Вони являють собою з одного боку — куб з додатковими ребрами на гранях (але не колінеарними до його ребер) та додатковими вершинами на ребрах куба; з іншого боку — тетраедр, кожне ребро якого поділено на три частини і кожна з двох нових вершин з'єднується з центром грані. (В {{Не перекладено|Нотація Конвея для многогранників|нотації многогранників Конвея|en|Conway polyhedron notation}}  це є скручений тетраедр). {{multiple image |align=left |total_width=440
| image1 = Tetartoid from red.png
| image2 = Tetartoid from green.png
| image3 = Tetartoid from yellow.png
| footer = [[Ортографічна проєкція | Ортографічні проєкції ]] , центровані по осям симетрії 2-го та 3-го порядку
}} <br/>

{{multiple image |align=left |total_width=350
| image1 = Tetartoid cube.png
| image2 = Tetartoid tetrahedron.png
| footer = Вироджені форми тетартоїда — кубічна та тетраедрична
}} 

<br/>

[[Файл:Cobaltite-d05-67a.jpg|143пкс|ліворуч|Мінерал [[кобальтин]]|альт=Мінерал кобальтин|міні]]

{{Clear}}

{| class="wikitable collapsible collapsed"
! Зв'язок з {{Не перекладено|Диакіс додекаедр|диакіс-додекаедром|en|Dyakis dodecahedron}} 
|-
| style="width: 760px;" |
Тетартоїд можна утворити, збільшивши розміри 12 з 24 граней диакіс додекаедра. {{Sfn|Wadsworth, M. Edward||с=400}}{{rp|Стор.137}} , 

(Зображений тут тетартоїд отримано шляхом збільшення розмірів 24 з 48 граней {{Не перекладено|Гекзакісоктаедр|'''гекзакісоктаедра'''|en|Disdyakis dodecahedron}} (або '''дисдакіс додекаедра''')).
{|
|
{{multiple image |align=left |total_width=550
| image1 = Tetartoid dark vertical (with traces of dyakis 12).png
| image2 = Disdyakis 12 untruncated to dyakis 12 vertical.png
| image3 = Tetartoid light vertical (with traces of dyakis 12).png
| footer = [[Хіральність (математика)|Хіральні]] тетартоїди, базовою основою яких є диакіс додекаедр.
}}
|
[[Файл:Crystal model of tetartoid around dyakis dodecahedron (mirrored).jpg|thumb|right|155px|Модель кристалу]]
|}Модель кристалу праворуч являє собою тетартоїд, утворений шляхом збільшення синіх граней ядра дисдакіс додекаедра. Тому ребра між синіми гранями покрито червоними каркасними ребрами.
|}

====Декартові координати вершин====
Наступні точки є вершинами п'ятикутника тетартоїда з [[Тетраедрична симетрія|тетраедричною симетрією]]:
:(''a'', ''b'', ''c''); (−''a'', −''b'', ''c''); (−{{sfrac|''n''|''d''<sub>1</sub>}}, −{{sfrac|''n''|''d''<sub>1</sub>}}, {{sfrac|''n''|''d''<sub>1</sub>}}); (−''c'', −''a'', ''b''); (−{{sfrac|''n''|''d''<sub>2</sub>}}, {{sfrac|''n''|''d''<sub>2</sub>}}, {{sfrac|''n''|''d''<sub>2</sub>}}),
при наступних умовах:<ref>[http://demonstrations.wolfram.com/TheTetartoid/ The Tetartoid]. Demonstrations.wolfram.com. Retrieved on 2016-12-02.</ref>
:{{nowrap|1=0 ≤ ''a'' ≤ ''b'' ≤ ''c''}},
:''n'' = ''a''<sup>2</sup>''c'' − ''bc''<sup>2</sup>,
:''d''<sub>1</sub> = ''a''<sup>2</sup> − ''ab'' + ''b''<sup>2</sup> + ''ac'' − 2''bc'',
:''d''<sub>2</sub> = ''a''<sup>2</sup> + ''ab'' + ''b''<sup>2</sup> − ''ac'' − 2''bc'',
:{{nowrap|1=''nd''<sub>1</sub>''d''<sub>2</sub> ≠ 0}}.

====Геометричні варіації====

[[Правильний додекаедр]] є тетартоїдом, всі грані якого [[Правильний п'ятикутник|правильні п'ятикутники]], тобто він має більш розширену симетрію, ніж необхідно для тетартоїда.

[[Триакістетраедр|Триакіс тетраедр]] є виродженим тетартоїдом, у якого 12 ребер зменшені до нульової довжини. (На рисунку основної таблиці вище: білі вершини і зелені ребра поглинуться зеленими вершинами.)

{| class="wikitable collapsible collapsed"
! colspan="8" | Варіації тетартоїда від [[Правильний додекаедр|правильного додекаедра]] до [[Триакістетраедр|триакіс тетраедра]]
|- style="background-color: white;"
|[[File:Dodecahedron.png|140px]]
|[[File:Tetartoid-010.png|150px]]
|[[File:Tetartoid-020.png|150px]]
|[[File:Tetartoid-040.png|150px]]
|[[File:Tetartoid-060.png|150px]]
|[[File:Tetartoid-080.png|150px]]
|[[File:Tetartoid-095.png|150px]]
|[[File:Triakistetrahedron.jpg|100px]]
|}
{{Clear}}

=== Двоїстий многогранник до скрученого трисхилого біантикупола ===
[[Файл:Dual_triangular_gyrobianticupola.png|праворуч|160x160пкс]]
Ще одним прикладом додекаедра з п'ятиткутними гранями є [[Дуальний многогранник|двоїстий многогранник]] до трисхилого повернутого біантикупола, тобто многогранника, що отриманий шляхом з'єднання двох трисхилих [[Купол (геометрія)#Антикуполи|антикуполів]] основами в повернутій орієнтації. 

Цей многогранник має {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|3d}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}} симетрію, порядку 12. Його [[Грань (геометрія)|грані]] —  дві групи з трьох [[Конгруентність (геометрія)|конгруентних]] [[П'ятикутник|п'ятикутних]] граней розділені поясом з  6-ти конгруентних п'ятикутних граней, які поєднані між собою з чергуванням орієнтації. 

{{Clear}}

== Ромбододекаедр ==
{{main|Ромбододекаедр}}
[[Файл:Rhombicdodecahedron.jpg|міні|160x160пкс|Ромбододекаедр]]
'''Ромбододекаедр''' — це додекаедр, що має дванадцять [[Ромб|ромбічних]] граней та володіє {{Не перекладено|Октаедрична симетрія|октаедричною симетрією|en|Octahedral symmetry}}. Він є [[Зоноедр|зоноедром]], а також [[Двоїстий однорідний многогранник|двоїстим]] до квазіправильного [[Кубооктаедр|кубооктаедра]] ([[Архімедове тіло|архімедового тіла]]); зустрічається в природі у вигляді [[Кристал|кристалів]]. Ромбододекаедр утворює [[Стільник (геометрія)|стільники]], що заповнюють [[тривимірний простір]] без проміжків та накладень.

Ромбододекаедр можна розглядати як вироджений піритоедр, у якого 6 певних ребер зменшені до нуля, а отже, п'ятикутники перетворюються на ромбічні грані.

Ромбододекаедр має кілька [[Ззірчення|зірчастих форм]], {{Не перекладено|Перша зірчаста форма ромбододекаедра|перша|en|First stellation of the rhombic dodecahedron}} з яких також утворює [[Стільник (геометрія)|стільник]] для [[Теселяція|замощення]] простору.

Інший важливий ромбододекаедр — {{Не перекладено|Додекаедр Білінського|'''додекаедр Білінського'''|en|Bilinski dodecahedron}}, має дванадцять граней, що конгруенті граням [[Ромботриаконтаедр|ромботриаконтаедра]], тобто діагоналі знаходяться у співвідношенні [[Золотий перетин|золотого перетину]]. Він також є зоноедром і був описаний Білінським у 1960 році. <ref>Hafner, I. and Zitko, T. [http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/hafner2/IntrodRhombic.html Introduction to golden rhombic polyhedra]. Faculty of Electrical Engineering, [[University of Ljubljana]], Slovenia.</ref> Цим многогранником можна замостити простір без проміжків та накладень, а також він може зустрічатися в неперіодичних [[Стільник (геометрія)|стільниках]] разом з [[Ромботриаконтаедр|ромботриаконтаедром]], {{Не перекладено|Ромбоікосаедр|ромбоікосаедром|en|Rhombic icosahedron}} і ромбогексаедром.<ref>{{cite journal|author1=Lord, E. A.|author2=Ranganathan, S.|author3=Kulkarni, U. D.|year=2000|title=Tilings, coverings, clusters and quasicrystals|url=http://met.iisc.ernet.in/~lord/webfiles/tcq.html|journal=Curr. Sci.|volume=78|pages=64–72}}</ref>
==Деякі інші додекаедри==
Як було зазначено вище, існує  6 384 634 топологічно різних [[Опуклий політоп|опуклих]] додекаедрів, не враховуючи тих, що отримані шляхом  дзеркального [[Відбиття (геометрія)|відбиття]], з кількістю вершин від 8 до 20.<ref name=":0" />

Деякі топологічно різні додекаедри (за винятком додекаедрів з п'ятикутними та ромбічними гранями):
*'''[[Однорідний многогранник|Однорідні многогранники]]''':
**Десятикутна [[Призма (математика)|призма]] — грані: 10 [[Квадрат|квадратів]], 2 [[Правильний десятикутник|правильних десятикутників]]; симетрія: {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|10h}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 40.
**[[П'ятикутна антипризма]] — грані: 10 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]], 2 [[Правильний п'ятикутник|правильних п'ятикутників]]; симетрія: {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|5d}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 20
*'''[[Правильногранний многогранник|Многогранники Джонсона]]''' (правильногранні):
**{{Не перекладено|П'ятисхилий купол|П'ятисхилий купол|en|Pentagonal cupola}}  — грані: 5 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]], 5 [[Квадрат|квадратів]], 1 [[правильний п'ятикутник]], 1 правильний десятикутник; симетрія: {{Не перекладено|Циклічна симетрія в тривимірному просторі|C{{sub|5v}}|en|Cyclic symmetry in three dimensions}}, порядок 10
**[[Кирпатий двоклиноїд|Кирпатий двоклиноїд]] — грані: 12 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]], симетрія: {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|2d}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 8
**{{Не перекладено|Подовжена чотирикутна біпіраміда|Подовжена чотирикутна біпіраміда|en|Elongated square dipyramid}} — грані: 8 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]] та 4 [[Квадрат|квадратів]]; симетрія: {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|4h}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 16
**{{Не перекладено|Двічі косо відсічений ікосаедр|Двічі косо відсічений ікосаедр|en|Metabidiminished icosahedron}}  — грані: 10 [[Правильний трикутник|правильних трикутників]] та 2 [[Правильний п'ятикутник|правильних п'ятикутників]]; симетрія: {{Не перекладено|Циклічна симетрія в тривимірному просторі|C{{sub|2v}}|en|Cyclic symmetry in three dimensions}}, порядок 4
*'''З конгруентними неправильними гранями''': ([[Ізоедричне тіло|гране-транзитивні]])
**{{Не перекладено|Шестикутна біпіраміда|Шестикутна біпіраміда|en|Hexagonal bipyramid}} — грані: 12 [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]]; симетрія: {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|6h}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 24 — [[Двоїстий однорідний многогранник|двоїстий]] до шестикутної призми.
**{{Не перекладено|Шестикутний трапецоедр|Шестикутний трапецоедр|en|Hexagonal trapezohedron}} — грані: 12 [[Дельтоїд|дельтоїдів]]; симетрія: {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|6d}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 24 — [[Двоїстий однорідний многогранник|двоїстий]] до шестикутної антипризми.
**[[Триакістетраедр|Триакіс тетраедр]] —  грані:12 [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]]; симетрія: [[Тетраедрична симетрія|T{{sub|d}}]] , порядок 24 — [[Двоїстий однорідний многогранник|двоїстий]] до [[Зрізаний тетраедр|зрізаного тетраедра]] ([[Архімедове тіло|многогранника Архімеда]]).
*'''Інші додекаедри''' з меншою кількістю правильних граней:
**Одинадцятикутна [[Піраміда (геометрія)|піраміда]] — грані: 11 [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедрених трикутників]] та 1 правильний одинадцятикутник; симетрія: {{Не перекладено|Циклічна симетрія в тривимірному просторі|C{{sub|11v}}|en|Cyclic symmetry in three dimensions}},  порядок 11
**{{Не перекладено|Ромбо-трапецоїдний додекаедр|Ромбо-трапецоїдний додекаедр|en|Trapezo-rhombic dodecahedron}} — грані: 6 [[Ромб|ромбів]], 6 [[Трапеція|трапецій]]; симетрія: {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|3h}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 12 — двоїстий до [[Трисхилий прямий бікупол|трисхилого прямого бікупола]] (многогранника Джонсона '''J'''<sub>27</sub>).
**{{Не перекладено|Ромбо-шестикутний додекаедр|Ромбо-шестикутний додекаедр|en|Elongated dodecahedron}}  або ''подовжений додекаед''р — грані: 8 [[Ромб|ромбів]] та 4 [[Правильний шестикутник|правильних шестикутників]]; симетрія: {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|4h}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 16
**{{Не перекладено|Зрізаний трапецоедр|Зрізаний п'ятикутний трапецоедр|en|Truncated trapezohedron}} —  симетрія: {{Не перекладено|Діедрична симетрія в тривимірному просторі|D{{sub|5d}}|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, порядок 20, топологічно еквівалентний до [[Правильний додекаедр|правильного додекаедра]].

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{Книга
|автор =  І.М. Фодчук, О.О. Ткач.
|ref =  І.М. Фодчук, О.О. Ткач.
|заголовок = Основи кристалографії: навчальний посібник
|рік = 2007
|серія = 
|посилання = https://shron1.chtyvo.org.ua/Fodchuk_Ihor/Osnovy_krystalohrafii.pdf
|місце = Чернівці
|видавництво = ЧНУ ім. Юрія Федьковича
|том = 
|тираж = 
|сторінок = 108
|ISBN =
}}

* {{Книга
|автор = Л. О. Бірюкович
|ref = Л. О. Бірюкович
|заголовок = Кристалографія, Кристалохімія та Мінералогія. Підручник
|рік = 2018
|серія = 
|посилання = https://ela.kpi.ua/server/api/core/bitstreams/94c2992a-a768-4ef6-a122-28441f2e85d5/content
|місце = Київ
|видавництво = КПІ ім. Ігоря Сікорського
|том = 
|тираж = 
|сторінок = 234
|ISBN =
}}

* {{Книга
|автор = Wadsworth, M. Edward
|ref = Wadsworth, M. Edward
|заголовок = Crystallography : an elementary manual for the laboratory
|рік = 1909
|серія = 
|посилання = https://archive.org/details/crystallographye00wadsrich/page/n5/mode/2up
|місце = 
|видавництво = Philadelphia : J.J. McVey
|том = 
|тираж = 
|сторінок = 400
|ISBN =
|мова = англ.
}}

== Посилання ==

* {{MathWorld|urlname=Pyritohedron|title=Pyritohedron}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Pyritohedron|title=Pyritohedron}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Tetartoid|title=Tetartoid}}

[[Категорія:Многогранники]]
[[Категорія:12 (число)]]