Перегляд вихідного коду сторінки Двадцятичотирьохкомірник

{{Поліедр
| name          = Двадцятичотирьохкомірник
| image         = Schlegel wireframe 24-cell.png
| caption       = [[Діаграма Шлегеля]]<br>(вершини та ребра)
| type          = {{нп|опуклий правильний 4-політоп|||Convex regular 4-polytope}}
| euler         = <!--характеристика Ейлера-->
| faces         = 96 [[Трикутник|{3}]]
| edges         = 96
| vertices      = 24
| cell          = 24 [[Октаедр|{3,4}]] [[Файл:Octahedron.png|20px]]
| vertex_config = <!--список граней навколо вершин-->
| schläfli      = {3,4,3}<br/>r{3,3,4} = <math>\left\{\begin{array}{l}3\\3,4\end{array}\right\}</math><br/>{3<sup>1,1,1</sup>} = <math>\left\{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}\right\}</math>
| wythoff       = <!--символ Витофа-->
| coxeter       = {{CDD|node_1|3|node|4|node|3|node}}<br/>{{CDD|node|3|node_1|3|node|4|node}} або {{CDD|node_1|split1|nodes|4a|nodea}}<br/>{{CDD|node|3|node_1|split1|nodes}} або {{CDD|node_1|splitsplit1|branch3|node}}
| symmetry      = <!--група симетрії-->
| surface_area  = <math>S_3 = 8\sqrt{2}a^3</math>
| volume        = <math>V_4 = 2a^4</math>
| angle         = <!--двогранний кут в градусах-->
| dual          = самодвоїстий
| properties    = [[Опуклий політоп|опуклий]], [[Ізогональність|ізогональний]], [[ізотоксальна фігура|ізотоксальний]], [[Ізоедральне тіло|ізоедральний]]
| vertex_figure = <!--тільки назву зображення-->
| net           = Polychoron_24-cell_net.png
}}
[[Файл:24-cell.gif|міні|250x250пкс| Проєкція обертового двадцятичотирьохкомірника в [[тривимірний простір]]]]
[[Файл:Icositetrachoron_rotating.gif|міні|250x250пкс| [[Ортогональна проєкція]] обертового двадцятичотирьохкомірника на [[Площина|площину]]]]
'''Правильний двадцятичотирьохкомірник''', або просто '''двадцятичотирьохкомірник''', або '''ікосітетрахор''' (від {{Lang-grc|εἴκοσι}}&nbsp;— «двадцять», {{Lang-grc2|τέτταρες}}&nbsp;— «чотири» і {{Lang-grc2|χώρος}}&nbsp;— «місце, простір»)&nbsp;— один із шести [[Правильні багатовимірні многогранники|правильних багатокомірників]] у [[Чотиривимірний простір|чотиривимірному просторі]].

Відкрив [[Людвіг Шлефлі]] в середині 1850-х років<ref>[https://web.archive.org/web/20070207021813/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html#Icositetrachoron George Olshevsky. Icositetrachoron] // Glossary for Hyperspace.</ref>. [[Символ Шлефлі]] двадцятичотирьохкомірника&nbsp;— {3,4,3}.

Двоїстий сам собі; двадцятичотирьохкомірник&nbsp;— єдиний самодвоїстий [[Правильні багатовимірні многогранники|правильний]] [[політоп]] розмірності більше 2, що не є [[симплекс]]ом. Цим обумовлена унікальність двадцятичотирьохкомірника: на відміну від п'яти інших правильних двадцятичотирьохкомірників, він не має аналога серед [[Правильний многогранник|платонових тіл]].

== Опис ==
Обмежений 24 тривимірними комірками&nbsp;— однаковими [[октаедр]]ами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює <math>120^\circ.</math>

96 двовимірних граней&nbsp;— рівні [[Правильний трикутник|правильні трикутники]]. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 96 ребер рівної довжини, розташованих так само, як ребра трьох [[тесеракт]]ів зі спільним центром. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.

Має 24 вершини, розташовані так само, як вершини трьох [[шістнадцятикомірник]]ів зі спільним центром. У кожній вершині сходяться по 8 ребер, по 12 граней та по 6 комірок.

Двадцятичотирьохкомірник можна розглядати як {{Нп|Повне зрізання|повністю зрізаний|en|Rectification (geometry)}} шістнадцятикомірник.

Двадцятичотирьохкомірник можна зібрати з двох рівних тесерактів, розрізавши один з них на 8 однакових [[Кубічна піраміда|кубічних пірамід]], основи яких&nbsp;— 8 комірок тесеракта, а вершини збігаються з його центром, і потім приклавши ці піраміди до 8 кубічних комірок іншого тесеракта. У тривимірному просторі аналогічно можна з двох рівних [[куб]]ів зібрати [[ромбододекаедр]]&nbsp;— який, однак, не є [[Правильний многогранник|правильним]].

== У координатах ==

=== Перший спосіб розташування ===
Двадцятичотирьохкомірник можна розмістити в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] так, щоб 8 з його вершин мали координати <math>(\pm2;0;0;0),</math> <math>(0;\pm2;0;0),</math> <math>(0;0;\pm2;0),</math> <math>(0;0;0;\pm2)</math> (ці вершини розташовані так само, як вершини [[шістнадцятикомірник]]а), а решта 16 вершин&nbsp;— координати <math>(\pm1;\pm1;\pm1;\pm1)</math> (вони розташовані так само, як вершини [[тесеракт]]а; крім того, ті 8 з них, серед координат яких непарна кількість від'ємних, утворюють вершини іншого шістнадцятикомірника, а інші 8&nbsp;— вершини третього шістнадцятикомірника).

При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких усі чотири координати різняться на <math>1</math> або одна з координат відрізняється на <math>2,</math> а решта збігаються.

Початок координат <math>(0;0;0;0)</math> буде центром симетрії двадцятичотирьохкомірника, а також центром його вписаної, описаної та напіввписаних [[3-сфера|тривимірних гіперсфер]] .

=== Другий спосіб розташування ===
Крім того, двадцятичотирьохкомірник можна розмістити так, щоб координати всіх його 24 вершин були всілякими перестановками чисел <math>(\pm1;\pm1;0;0)</math> (Ці точки&nbsp;— центри 24 комірок багатокомірника, описаного в попередньому розділі).

При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких якісь дві координати різняться на <math>1,</math> а інші дві збігаються.

Центром багатоосередника знову буде початок координат.

== Ортогональні проєкції на площину ==
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:24-cell_t0_F4.svg|170x170пкс]]</div><div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:4-cube_t0_B3.svg|170x170пкс]]</div><div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:24-cell_t3_B3.svg|170x170пкс]]</div><div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:24-cell_t0_B4.svg|170x170пкс]]</div><div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:24-cell_t0_B2.svg|170x170пкс]]</div>{{Clear}}

== Метричні характеристики ==
Якщо двадцятичотирьохкомірник має ребро довжини <math>a,</math> то його чотиривимірний [[гіпероб'єм]] і тривимірна гіперплоща поверхні становлять відповідно

: <math>V_4 = 2a^4 = 2{,}0000000a^4,</math>
: <math>S_3 = 8\sqrt{2}a^3 \approx 11{,}3137085a^3.</math>

Радіус описаної [[3-сфера|тривимірної гіперсфери]] (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнюватиме.

: <math>R = a = 1{,}0000000a,</math>

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

: <math>\rho_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\;a \approx 0{,}8660254a,</math>

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

: <math>\rho_2 = \frac{\sqrt{6}}{3}\;a \approx 0{,}8164966a,</math>

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) -

: <math>r = \frac{\sqrt{2}}{2}\;a \approx 0{,}7071068a.</math>

== Заповнення простору ==
Двадцятичотирьохкомірниками можна замостити чотиривимірний простір без проміжків і накладень.

== Див. також ==
* [[Кирпатий двадцятичотирьохкомірник]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=24-Cell|title=Двадцятичотирьохкомірник}}
{{Багатогранники}}
{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}
[[Категорія:Многогранники]]
[[Категорія:Багатовимірна евклідова геометрія]]