Перегляд вихідного коду сторінки Давньогрецька математика

:: ''Ця стаття&nbsp;— частина огляду [[Історія математики]].''
[[Файл:Geometry Genoa Louvre MRSUP67.jpg|thumb|Муза геометрії ([[Лувр]])]]

Поняття '''давньогрецька математика''' охоплює досягнення грекомовних математиків, що жили в період між [[VI століття до н. е.|VI століттям до н.&nbsp;е.]] і [[V століття|V століттям н.&nbsp;е.]]
Математика як наука народилася в Древній Греції<ref> ''Петров Ю. П.'' Історія та філософія науки. Математика, обчислювальна техніка, інформатика. Спб.: БХВ-Петербург, 2005. ISBN 5-94157-689-7, 448 с., Стор. 9. </ref>{{sfn | Башмакова І. Г. | 1958 | с = 232.}}. В країнах-сучасниках Еллади математика використовувалася або для звичайних потреб (підрахунки, вимірювання), або, навпаки, для [[магія|магічних]] ритуалів, що мали мету з'ясувати волю богів ([[астрологія]], [[нумерологія]] тощо). Греки підійшли до справи з іншого боку: вони висунули тезу «''Числа правлять світом''». Або, як сформулював цю ж думку [[Галілео Галілей]] два тисячоліття тому: «''книга природи написана мовою математики''»<ref> {{книга | автор = Шмутцер Е., Шютц В. | назва = Галілео Галілей | місце = М. | Видавництво = Світ | рік = 1987 | сторінок = 140 | сторінки = 116}} </ref>.
Греки перевірили справедливість цієї тези в тих областях, де змогли: [[астрономія]], [[оптика]], [[музика]], [[геометрія]], пізніше&nbsp;— [[механіка]]. Усюди були відзначені вражаючи успіхи: [[математична модель]] володіла беззаперечною провидчою силою. Одночасно греки створили [[методологія|методологію]] математики і завершили перетворення її зі збірки півеврістічесних [[алгоритм]]ів в цілісну систему знань. Основою цієї системи вперше став [[Дедукція|дедуктивний метод]], що показує, як з відомих істин виводити нові, причому логіка виведення гарантує істинність нових результатів. Дедуктивний метод також дозволяє виявити не очевидні зв'язки між поняттями, науковими фактами і областями математики.

== Джерела ==
Велика частина античних творів з математики не дійшла до наших днів і відома лише завдяки спогадам пізніших авторів і коментаторів, в першу чергу [[Папп Олександрійський|Паппа Олександрійського]] (III століття), [[Прокл Діадох|Прокла]] (V століття), [[Сімплікій|Сімплікія]] (VI століття) та ін. Серед збережених праць в першу чергу слід назвати [[Начала Евкліда|«Начала»]] [[Евклід]]а й окремі книги [[Аристотель|Аристотеля]], [[Архімед]]а, [[Аполлоній Пергський|Аполлонія]] і [[Діофант Олександрійський|Діофанта]].

== Початковий період ==
До [[VI століття до н. е.]] грецька математика нічим не вирізнялась. Були освоєні рахунок і вимір. Грецька нумерація (запис чисел), а пізніше і римська, була [[адитивність|адитивною]], тобто числові значення цифр додавались. Перший її варіант (''аттична'', або ''геродіанова'') містили позначки у вигляді літер для 1, 5, 10, 50, 100 і 1000. Відповідно була влаштована і дошка для рахування ([[Абак (рахівниця)|абак]]) з камінчиками. До речі, термін '' калькуляція '' (обчислення) походить від '' calculus ''&nbsp;— камінчик. Особливий дірявий камінчик позначав нуль.

Пізніше (починаючи з V століття до н.&nbsp;е.) замість аттичної нумерації була прийнята алфавітна&nbsp;— перші 9 літер [[Грецький алфавіт|грецького алфавіту]] позначали цифри від 1 до 9, наступні 9 літер&nbsp;— десятки, інші&nbsp;— сотні. Щоб не плутати числа і літери, над числами малювали риску. Числа, більші ніж 1000, записували позиційно, позначаючи додаткові розряди спеціальним штрихом (внизу зліва). Спеціальні позначки дозволяли зображати і числа, що були значно більші від 10000.

У [[VI століття до н. е.|VI столітті до н.&nbsp;е.]] починається так зване «грецьке диво»: з'являються відразу дві наукові школи&nbsp;— [[іонійці]] ([[Фалес]], [[Анаксимен]], [[Анаксимандр]]) і [[піфагорійці]].

[[Фалес]], заможний купець, добре вивчив [[Вавилонська математика|вавилонську математику]] і астрономію&nbsp;— ймовірно, під час торговельних поїздок. [[Іонійці]], за повідомленням [[Евдем Родоський|Евдема Родоського]], вперше довели декілька простих геометричних [[Теорема|теорем]]&nbsp;— наприклад, про те, що [[вертикальні кути]] рівні {{sfn | Башмакова І. Г. | 1958 | с = 240.}}. Однак головна роль у створенні античної математики належить [[піфагорійці|піфагорійцям]].

== Піфагорійська школа ==
[[Піфагор]], засновник школи&nbsp;— особистість легендарна, достовірність відомостей про нього перевірити неможливо. Мабуть, він, як і Фалес, багато подорожував і теж навчався у [[Стародавній Єгипет|єгипетських]] і [[вавилон]]ських мудреців. Повернувшись близько [[530 до н.е.|530&nbsp;р. до н.&nbsp;е.]] у [[Велика Греція|Велику Грецію]] (район Південної Італії), він у місті [[Кротоне|Кротоні]] заснував щось на зразок таємного духовного ордена. Саме він висунув тезу «''Числа правлять світом''», і з винятковою енергією займався його обґрунтуванням. На початку [[V ст. до н. е.]], після невдалого політичного виступу, піфагорійці були вигнані з Південної Італії, і союз припинив своє існування, проте популярність вчення тільки зросла. Піфагорійські школи з'явилися в [[Афіни|Афінах]], на островах і в грецьких колоніях, а їх математичні знання, що раніше суворо оберігались від сторонніх, стали загальним надбанням.

[[Файл: Sanzio 01 Pythagoras.jpg | thumb | 320px | {{center| Рафаель Санті. Піфагор (деталь ''Афінської школи'') }} | right]]
Багато досягнень, які приписували Піфагору, ймовірно, насправді є заслугою його учнів. [[Піфагорійці]] займалися [[астрономія|астрономією]], [[геометрія|геометрією]], [[арифметика|арифметикою (теорією чисел)]], створили [[Теорія музики|теорію музики]]. Піфагор першим з європейців зрозумів значення [[аксіоматичний метод|аксіоматичного методу]], чітко виділяючи базові припущення ([[Аксіома|аксіоми]], постулати) і дедуктивно виведені з них [[Теорема|теореми]].

Геометрія піфагорійців здебільшого обмежувалася [[планіметрія|планіметрією]] (достатньо повно викладеною, судячи з пізніших робіт, які дійшли до наших днів) і завершувалася доказом «[[теорема Піфагора|теореми Піфагора]]». Хоча вивчалися і [[правильні багатогранники]].

Була побудована математична теорія [[музика|музики]]. Залежність музичної [[Гармонія (музика)|гармонії]] від відносин цілих чисел (довжин струн) була вагомим аргументом піфагорійців на користь споконвічної ''математичної гармонії'' світу, через 2000 років оспіваної [[Йоганн Кеплер|Кеплером]]. Вони були впевнені, що «''елементи чисел є елементами всіх речей … і що весь світ в цілому є гармонією і числом''»<ref> '' Аристотель''. Метафізика. Переклад і примітки А.&nbsp;В.&nbsp;Кубіцького. М.-Л., 1934, стор. 26-27. </ref>. В основі всіх законів природи, вважали піфагорійці, лежить арифметика, і з її допомогою можна проникнути в усі таємниці світу. На відміну від геометрії, арифметика у них будувалася не на аксіоматичній базі, властивості [[Натуральні числа|натуральних чисел]] вважалися самоочевидними, однак докази теорем і тут проводили неухильно. Поняття нуля і [[Від'ємне число|від'ємних чисел]] ще не виникли.

Піфагорійці далеко просунулися в [[Подільність|теорії подільності]], але надмірно захопилися «[[Трикутне число|трикутними]]», «[[Квадратне число|квадратними]]», «[[Досконале число|досконалими]]» тощо числами, яким, судячи з усього, надавали містичне значення. Мабуть, правила побудови «[[Числа Піфагора|піфагорових трійок]]» були відкриті вже тоді; вичерпні формули для них навів [[Діофант Олександрійський|Діофант]]. Теорія [[Найбільший спільний дільник|найбільших спільних дільників]] і [[Найменше спільне кратне|найменших спільних кратних]] теж, мабуть, має піфагорійське походження. Вони побудували загальну теорію дробів (що розуміються як відносини ([[Пропорція (математика)|пропорції]]), так як одиниця вважалася неподільною), навчилися виконувати з дробами порівняння (приведенням до спільного знаменника) і всі 4 арифметичні операції. Піфагорійці знали, задовго до «[[Начала Евкліда|Начал Евкліда]]», ділення цілих чисел із залишком і «[[алгоритм Евкліда]]» для практичного знаходження [[Найбільший спільний дільник|найбільшого загального дільника]]. [[Ланцюговий дріб|Ланцюгові дроби]] як самостійний об'єкт виділили тільки в Новий час, хоча їх неповні частки природним шляхом виходять в алгоритмі Евкліда.

Першою тріщиною в піфагорійській моделі світу став ними ж отриманий доказ [[Ірраціональне число|ірраціональності]] <math>\sqrt{2}</math>, сформульований як відношення діагоналі квадрата до його сторони (V століття до н.&nbsp;е.). Неспроможність виразити довжину відрізка числом ставила під сумнів головний принцип піфагорійства. Навіть Аристотель, який не поділяв їхні погляди, висловлював своє здивування з приводу того, що є речі, які «не можна виміряти найменшою мірою»<ref> ''Аристотель''. Метафізика. Переклад і примітки А.&nbsp;В.&nbsp;Кубицького. М.—Л., 1934, стр. 22.</ref>.

Положення спробував врятувати талановитий піфагорієць {{Не перекладено|Теетет||ru|Теэтет Афинский}}. Він (і пізніше [[Евдокс Кнідський|Евдокс]]) запропонували нове розуміння числа, яке тепер формулювалося геометричною мовою, і проблем сумірності не виникало. Теетет розробив також повну теорію подільності і класифікацію ірраціональностей. Мабуть, йому також були відомі поняття [[Просте число|простого числа]] і [[основна теорема арифметики]] {{sfn | Башмакова І. Г. | 1958 | с = 260.}}.

Згодом, вже в Новий час, з'ясувалося, що побудова числової алгебри на основі геометрії була стратегічною помилкою піфагорійців. Наприклад, з точки зору геометрії вираз <math>x^2+x</math> і навіть <math>x^4</math> не мали геометричного тлумачення, і тому не мали сенсу; те ж стосується від'ємних чисел. Пізніше [[Декарт]] вчинив навпаки, побудувавши геометрію на основі алгебри, і досяг величезного прогресу.

[[Нумерологія|Нумерологічна]] містика піфагорійців також нерідко призводила до довільних і спекулятивних висновків. Наприклад, вони були впевнені в існуванні невидимої Антиземлі, так як без неї число небесних сфер (нижнє небо, Сонце, Місяць і 6 планет) не становить досконалого числа 10. В цілому, незважаючи на велику кількість містики і ексцентричних забобонів, досягнення піфагорійців у розвитку та систематизації античних математичних знань неоціненні.

== V століття до н.&nbsp;е.&nbsp;— Зенон, Демокріт ==

В [[V століття до н. е.|V столітті до н.&nbsp;е.]] з'явились нові положення, протиставлені оптимізму піфагорійців.

Перший з них&nbsp;— ''три класичні задачі давнини'': [[подвоєння куба]], [[трисекція кута]] і [[квадратура круга]]. Греки строго дотримувалися вимоги: всі геометричні побудови повинні виконуватися за допомогою циркуля і лінійки, тобто за допомогою досконалих ліній&nbsp;— прямих і кіл. Однак для перерахованих завдань знайти рішення канонічними методами не вдавалося. Алгебраїчно це означало, що не всяке число можна отримати за допомогою 4 арифметичних операцій і квадратного кореня.

[[Квадратура кола|Квадратурою кола]] безуспішно займався видатний геометр-піфагорієць, автор доевклідових «''Начал''», першої збірки геометричних знань, [[Гіппократ Хіоський]].

Перші дві задачі зводяться до [[Кубічне рівняння|кубічних рівнянь]]. [[Архімед]] пізніше сформував загальне рішення таких рівнянь за допомогою [[Конічні перетини|конічних перетинів]], однак багато коментаторів продовжували вважати подібні методи неприйнятними. [[Гіппій Елідський]] ([[V століття до н. е.]]) показав, що для [[Трисекція кута|трисекції кута]] корисна [[квадратриса]] (перша [[Крива|трансцендентна крива]] в історії математики); вона ж, до речі, вирішує і завдання квадратури кола ([[Дінострат]], IV століття до н.&nbsp;е.).

Крім вище зазначених задач, греки активно досліджували «завдання розподілу кола»: які [[Правильний багатокутник|правильні багатокутники]] можна побудувати циркулем і лінійкою. Найлегше вдавалося розділити коло на 3, 4, 5, 15 частин, а також подвоїти перераховані значення. Але побудувати циркулем і лінійкою семикутник нікому не вдалося. Як виявилося, в цьому випадку також виходить кубічне рівняння. Повну теорію опублікував тільки [[Карл Фрідріх Гаус|Гаус]] в XIX столітті.

[[Файл: Diogenis Laertii De Vitis (1627) - Zenon of Elea or Zenon of Citium.jpg | thumb | left | {{center| Зенон Елейський }}]]
Наступний удар по піфагореїзму завдав [[Зенон Елейський]], запропонувавши ще одну тему для багатовікових роздумів математиків. Він висловив більше 40 [[Апорії Зенона|парадоксів (апорій)]], з яких найбільш знамениті три апорії про рух. Всупереч багаторазовим спробам їх спростувати і навіть висміяти, вони, тим не менш, до цих пір служать предметом серйозного аналізу. В них порушені найделікатніші питання основ математики&nbsp;— скінченність і [[нескінченність]], [[Неперервна функція|неперервність]] і [[дискретність]]. Математика тоді вважалася засобом [[пізнання]] реальності, і суть суперечок можна було виразити як неадекватність безперервної, нескінченно ділимої математичної моделі фізично дискретної матерії<ref> Див. докладніше [[Апорії Зенона#Сучасне трактування]].</ref>.

Наприкінці [[V століття до н. е.]] жив ще один видатний мислитель&nbsp;— [[Демокріт]]. Він знаменитий не тільки створенням концепції ''атомів''. [[Архімед]] писав, що Демокріт знайшов об'єм [[Піраміда (геометрія)|піраміди]] і [[конус]]а, але доказів своїх формул не дав. Імовірно, Архімед мав на увазі доказ [[метод вичерпування|методом вичерпування]], якого тоді ще не існувало.

== IV століття до н.&nbsp;е.&nbsp;— Платон, Евдокс ==
[[Файл:La scuola di Atene.jpg|thumb|400px|{{center|'''Рафаель Санті. Афінська школа'''}}|right]]
Вже до початку [[IV століття до н. е.]] грецька математика далеко випередила всіх своїх вчителів, і її бурхливий розвиток тривав. В [[389 до н. е.|389 році до н. е]] [[Платон]] засновує в [[Афіни|Афінах]] свою школу&nbsp;— знамениту ''Академію''. Математиків, що приєдналися до Академії, можна розділити на дві групи: на тих, хто отримав свою математичну освіту поза Академією, і на учнів Академії. До числа перших належали {{Не перекладено|Теетет||ru|Теэтет Афинский}}, [[Архіт Тарентський]] і пізніше [[Евдокс Кнідський]]; до числа інших&nbsp;— брати [[Менехм]] і [[Дінострат]].

Сам Платон конкретних математичних досліджень не вів, але опублікував глибокі міркування по [[філософія|філософії]] та методології математики. А учень Платона, [[Аристотель]], залишив безцінні для нас записки з історії математики.

[[Евдокс Кнідський]] перший створив геоцентричну модель руху світил з 27 сферами. Пізніше ця конструкція була розвинена [[Аполлоній Пергський|Аполлонієм]], [[Гіппарх]]ом і [[Клавдій Птолемей|Птолемеєм]], які збільшили число сфер до 34 і ввели епіцикли. Йому ж належать два видатних відкриття: [[Евдокс Кнідський # Загальна теорія відносин|загальна теорія відносин]] (геометрична модель дійсних чисел) і античний аналіз&nbsp;— [[метод вичерпування]].

== III століття до н.&nbsp;е.&nbsp;— Евклід, Архімед, Аполлоній ==
[[Файл: EuclidStatueOxford.jpg | thumb | 200px | {{center| Евклід. Оксфордський університетський музей природної історії }}]]
Після завоювань [[Олександр Македонський|Олександра Македонського]] науковим центром стародавнього світу стає Олександрія Єгипетська. [[Птолемей I Сотер|Птолемей I]] заснував в ній Мусейон (Будинок Муз) і запросив туди найвизначніших вчених. Це була перша в грекомовному світі державна академія, з багатою бібліотекою (основою якої послужила бібліотека Аристотеля), яка до [[I століття до н. е.]] налічувала 70 тисяч томів.

Вчені Олександрії об'єднали обчислювальну потужність і давні знання вавилонських і єгипетських математиків з науковими моделями еллінів. Значно розвинулися плоска і сферична тригонометрія, статика і гідростатика, оптика, музика та ін. [[Ератосфен]] уточнив довжину [[меридіан]]а і винайшов своє славнозвісне «[[Решето Ератосфена|решето]]». В історії математики відомі ''три великих геометра давнини'', і насамперед&nbsp;— [[Евклід]] з його «''[[Начала Евкліда|Началами]]''». Тринадцять книг ''Начал''&nbsp;— основа античної математики, результат її 300-річного розвитку та база для подальших досліджень. Вплив і [[авторитет]] цієї книги були величезні протягом двох тисяч років.

Фундамент математики, описаний Евклідом, розширив інший великий учений&nbsp;— [[Архімед]], один з небагатьох математиків античності, які однаково охоче займалися і теоретичною, і прикладною наукою. Він, зокрема, розвинувши [[метод вичерпування]], зумів обчислити площі та об'єми багатьох фігур і тіл, що раніше не піддавалися зусиллям математиків.

Останнім з трійки великих був [[Аполлоній Перзький]], автор глибокого дослідження [[Конічні перетини|конічних перетинів]].
{{clear}}

== Занепад античної науки ==
Після Аполлонія (з [[II століття до н. е.]]) в античній науці почався спад. Нових глибоких ідей не з'являється. В [[146 до н. е.|146 році до н.&nbsp;е.]] Рим захоплює Грецію, а в [[31 до н. е.|31 році до н.&nbsp;е.]]&nbsp;— Олександрію.

Серед нечисленних досягнень:
* Відкриття [[конхоїда|конхоїди]] ([[Нікомед (математик)]]);
* Відома [[формула Герона]] для площі трикутника ([[I століття]] н.&nbsp;е.);
* Змістовне дослідження [[сферична геометрія|сферичної геометрії]] [[Менелай Александрійський|Менелаєм Александрійським]];
* Завершення геоцентричної моделі світу Птолемея ([[II століття]] н.&nbsp;е.), для чого і була потрібна глибока розробка плоскої і сферичної [[тригонометрія|тригонометрії]].

Необхідно відзначити діяльність [[Папп Александрійський|Паппа Александрійського]] ([[III століття]]). Тільки завдяки йому до нас дійшли відомості про античних вчених і їхніх працях.

На тлі загального застою і занепаду різко виділяється гігантська фігура [[Діофант Александрійський|Діофанту]]&nbsp;— останнього з великих античних математиків, «батька алгебри».

Після [[III століття]] н.&nbsp;е. александрійська школа проіснувала близько 100 років&nbsp;— прихід християнства і негаразди в імперії різко знизили інтерес до науки. Окремі наукові праці ще з'являються в Афінах, але в [[529 рік|529 році]] [[Юстиніан I]] закрив Афінську академію як розсадник язичництва.

Частина вчених переїхала до Персії або Сирію і продовжувала праці там. Від них вцілілі скарби античного знання отримали науковці країн ісламу (див. [[Математика ісламського Середньовіччя]]).

== Висновок ==
Грецька математика вражає насамперед [[Краса математики|красою]] і багатством змісту. Багато вчених Нового часу відзначали, що мотиви своїх відкриттів перейняли у давніх. Зачатки аналізу помітні у Архімеда, коріння алгебри&nbsp;— у Діофанта, аналітична геометрія&nbsp;— у Аполлонія і&nbsp;т.&nbsp;д. Але головне навіть не в цьому. Два досягнення грецької математики далеко пережили своїх творців {{sfn | Башмакова І. Г. | 1958 | с = 436-437.}}.

Перше&nbsp;— греки побудували математику як цілісну науку з власною методологією, заснованою на чітко сформульованих законах логіки.

Друге&nbsp;— вони наголосили, що закони природи збагненні для людського розуму, і математичні моделі&nbsp;— ключ до їх пізнання.

В цих двох відносинах антична математика цілком сучасна.

== Література ==
* {{стаття |автор=Башмакова І. Г. |посилання_на_автора=Башмакова Ізабелла Григорівна |заголовок=Лекції з історії математики в Давній Греції.
  |видання=[[Историко-математичні дослідження]] |номер=11 |видавництво=Физматгиз
  |місце=М. |рік=1958 |сторінки=225-440 |ref=Башмакова І. Г. }}
* ''Ван дер Варден.'' [http://www.astro-cabinet.ru/library/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm Наука, що пробуджується. Математика давнього Єгипта, Вавилона і Греції.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150607114413/http://www.astro-cabinet.ru/library/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm |date=7 червня 2015 }} М.: Физматгиз, 1959, 456 с.
* ''Вигодський М. Я.'' Арифметика і алгебра в давньому світі. М., 1967.
* {{книга |автор=Глейзер Г. І. |заголовок=Історія математики в школі
  |посилання = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm
  |видавництво=Просвещение |місце=М. |рік=1964 |сторінок=376}}
* ''Депман И. Я.'' [http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm Історія арифметики.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170514025435/http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm |date=14 травня 2017 }} Пособник для вчителів. Вид.друге. М.: Просвещение, 1965.
* {{книга |заголовок=Історія математики
  |відповідальний = Під редакцією [[Юшкевич Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]], в трьох томах
  |посилання=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm
  |місце=М. |видавництво=[[Наука (видавництво)|Наука]] |рік=1970 |том=I |ref=Історія математики }}
* ''Клайн М.'' [https://web.archive.org/web/20070212044129/http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/673fd31efac2253c4781be62fb9ba2fc.djvu Математика. Втрата визначеності.] М., Мир, 1984.
* ''Нейгебауэр О.'' Точні науки давнини. М., 1968.
* ''Розенфельд Б. А.'' [http://ilib.mccme.ru/pdf/ap_of_pe.htm Аполлоній Пергський. (2004)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180708054110/http://ilib.mccme.ru/pdf/ap_of_pe.htm |date=8 липня 2018 }}
* ''Рибников К. А.'' Історія математики. М., 1994.
* Хрестоматія з історії математики. Арифметика і алгебра. Теорія чисел. Геометрія. Під ред. А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича. М., 1976.

== Посилання ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Математика}}

== Примітки ==
{{Примітки | 2}}

{{Історія математики}}
{{Стародавня Греція в темах | state = collapsed}}
[[Категорія:Математика за цивілізаціями| ]]
[[Категорія:Наука в Стародавній Греції]]
[[Категорія:Антична наука]]
[[Категорія:Давньогрецька математика| ]]