Перегляд вихідного коду сторінки Гіпоциклоїда

[[Файл:Hypocycloid-01.gif|frame|Червона крива&nbsp;— гіпоциклоїда: <math>r=1,0</math>, <math>R=3,0</math>. Для цієї гіпоциклоїди <math>k=R/r=3</math>.]]

'''Гіпоцикло́їда''' (від {{lang-el|ὑπό}}&nbsp;— під, внизу і {{lang-el|κύκλος}}&nbsp;— круг, коло)&nbsp;— [[плоска крива]], що утворюється фіксованою точкою [[коло|кола]], яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називається '''твірним''', нерухоме коло&nbsp;— '''напрямним'''.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.806}}

Якщо радіус <math>r</math> рухомого кола більший за радіус <math>R</math> нерухомого кола, то в цьому випадку гіпоциклоїду називають '''перициклоїдою'''. Будь-яка перициклоїда з параметрами <math>(R, r)</math> еквівалентна епіциклоїді з параметрами <math>(R, r-R)</math>. {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.811; 816}}

'''Початковою точкою''' гіпоциклоїди називають таку її точку <math>P</math>, що лежить на прямій, яка проходить через центр <math>C</math> рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від <math>C</math>, що і точка опори.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.805}}

Початкові точки є [[касп]]ами (простими точками звороту) гіпоциклоїди. Початкові точки гіпоциклоїди лежать на напрямному колі і збігаються з точками опори твірного кола.

'''Вершиною''' гіпоциклоїди називають таку її точку <math>V</math>, що лежить на прямій, яка проходить через центр <math>C</math> рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від <math>C</math>.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.806}}

Будь-яка гіпоциклоїда має однакову кількість вершин і каспів.

Гіпоциклоїда є окремим випадком [[Гіпотрохоїда|гіпотрохоїди]] а також [[Рулета|рулети]]&nbsp;— кривої, що отримана як траекторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Окремими випадками гіпоциклоїди є [[дельтоїда]] (гіпоциклоїда з трьома [[касп]]ами) та [[астроїда]] (гіпоциклоїда з чотирма [[касп]]ами).

Граничні випадки гіпоциклоїди:
* Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченности (<math>R \to \infty</math>), крива стає [[Циклоїда|циклоїдою]] з тим же радіусом твірного кола.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.814}}
* Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченности (<math>r \to \infty</math>), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою цієї прямої, є ''евольвентою кола''.

== Рівняння ==

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в [[Початок координат|початку координат]], його [[радіус]] дорівнює <math>R</math>, а радіус кола, що котиться по ньому дорівнює <math>r</math>, то гіпоциклоїда описується [[Параметричне рівняння|параметричними рівняннями]] відносно <math>\varphi</math>:
: <math>\begin{cases}
x(\varphi) = (R - r)\cos\varphi + r\cos(\frac{R - r}{r}\varphi) \\
y(\varphi) = (R - r)\sin\varphi - r\sin(\frac{R - r}{r}\varphi)
\end{cases} \qquad \begin{align}
& 0 \le \varphi \le 2\pi \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} = k - \text{натуральне число} ;\\
& 0 \le \varphi \le 2r \cdot \pi \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} =  \frac{p}{q} - \text{раціональне число} ; \\ 
& 0 \le \varphi \le \infty \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} - \text{ірраціональне число}.
\end{align} </math>

При цьому початкова точка гіпоциклоїди, її [[касп]], з якого починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі <math>Ox</math>.

Кут <math>\varphi</math>&nbsp;— параметр, а саме&nbsp;— це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі <math>Ox</math>.

[[Параметричне рівняння]] повернутої відносно початку координат гіпоциклоїди має вигляд:
: <math>\begin{cases}
x(\varphi) = (R - r)\cos\varphi + r\cos(\frac{R - r}{r}\varphi -\alpha) \\
y(\varphi) = (R - r)\sin\varphi - r\sin(\frac{R - r}{r}\varphi-\alpha)
\end{cases} \qquad \begin{align}
& \frac{r}{R} \cdot \alpha \le \varphi \le 2\pi + \frac{r}{R} \cdot \alpha \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} = k - \text{натуральне число} ;\\
& \frac{r}{R} \cdot \alpha \le \varphi \le 2r \cdot \pi + \frac{r}{R} \cdot \alpha \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} =  \frac{p}{q} - \text{раціональне число} ; \\ 
& \frac{r}{R} \cdot \alpha \le \varphi \le \infty \ , \text{якщо} \ , \frac{R}{r} - \text{ірраціональне число}.
\end{align} </math>

При цьому гіпоциклоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут <math>\beta=\frac{r}{R} \cdot \alpha</math> (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку гіпоциклоїди (її касп, з якого починається утворення кривої) з початком координат, та віссю <math>Ox</math> дорівнює <math>\frac{r}{R} \cdot \alpha</math>.

Ввівши величину <math>\textstyle k=\frac{R}{r}</math>, отримаємо [[параметричне рівняння]] звичайної (неповернутої) гіпоциклоїди у вигляді:
: <math>\begin{cases}
& x (\varphi) = r \cdot \left( (k - 1) \cos \varphi +  \cos \left( (k - 1) \varphi \right) \right) \\
& y (\varphi) = r \cdot \left( (k - 1) \sin \varphi - \sin \left( (k - 1) \varphi \right) \right).
\end{cases}</math>

де <math>R</math>&nbsp;— [[радіус]] нерухомого кола, <math>r</math>&nbsp;— радіус кола, що котиться.
Величина <math>k</math> визначає форму гіпоциклоїди (див. нижче).
При <math> k = 2 </math> гіпоциклоїда є [[діаметр]]ом нерухомого кола, при <math> k = 4 </math> є [[Астроїда|Астроїдою]].
{{Hider|
  title = Доведення |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Нехай у початковий момент кола дотикаються в точці А, що лежить на осі OX, де т.О - центр великого кола. Координати т.А при цьому - (kr, 0), де R / r = k. Розглянемо, як змінюються координати т.А, прив'язаної до кола, що котиться (т.А переходить у т.A'). 
Нехай маленьке коло прокотилося так, що його центр перейшов з т.C в т.C' і повернувся щодо т.O на кут t. По-перше, можна показати, що поворот маленького кола щодо свого центру при цьому (тобто кут між CA і C'A') дорівнює t - kt = - (k-1) t. По-друге, координати т.C' будуть такими: ((k-1) r cos (t), (k-1) r sin (t)). Тоді, знаючи, куди перейде центр кола, що  котиться, і на який кут воно повернулося щодо цього центру, можна записати координати т.А': 
: X = (k-1) r cos (t) + r cos ((k-1) t) 
: Y = (k-1) t sin (t) - r sin ((k-1) t)
}}

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:<ref>[https://mathcurve.com/courbes2d.gb/hypocycloid/hypocycloid.shtml Hypocycloid] на сайті [https://mathcurve.com Mathcurve]</ref>

: <math>z(\varphi) = r \cdot \left( (k-1)e^{ i \varphi} + e^{-i(k-1) \varphi} \right) </math> .

де
* кут <math>\varphi \in [0, 2\pi]</math> ;
* радіус твірного (рухомого) кола <math>r</math>;
* радіус напрямного (нерухомого) кола <math>R = kr</math>.

{{Не перекладено|Рівняння Чезаро||en|Cesàro equation}} для гіпоциклоїди має вигляд:{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.819}}
: <math>\frac{\rho^2}{a^2} + \frac{(\ell- b)^2}{b^2} = 1 </math>
де <br/>
<math>a = \frac{4r \cdot (R-r)}{R-2r} </math> , <math>b = \frac{4r \cdot (R-r)}{R} </math> <br/>
<math> \rho </math>&nbsp;— радіус кривини гіпоциклоїди в певній точці; <br/>
<math> \ell </math>&nbsp;— довжина дуги гіпоциклоїди від її початку до цієї точки.

Це рівняння виражає наступну властивість гіпоциклоїди:<br/>

Якщо дуга гіпоциклоїди котиться без ковзання по прямій <math>AB</math>, то центр кривини точки дотику рухається по еліпсу; центр останнього лежить в тій точці прямої <math>AB</math>, через яку прокочується вершина гіпоциклоїди; одна з напіввісей збігається з прямою <math>AB</math> і по довжині дорівнює половині арки гіпоциклоїди, а саме: <math>\left| \frac{4r \cdot (R - r)}{R} \right| </math>.

Друга напіввісь є радіусом кривини в вершині і дорівнює: <math> \left| \frac{4r \cdot (R - r)}{R - 2r} \right| </math>.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.819}}

== Властивості та особливості форми ==
* Будь-яка гіпоциклоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами <math>|R - 2r|</math> та <math>R</math>.<br/>
На першому з них лежать вершини, а на другому&nbsp;— каспи гіпоциклоїди.
* При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) <math> O </math> на кут, кратний <math>2 \pi \cdot \frac{r}{R} </math>, гіпоциклоїда суміщається сама з собою.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.812}}
* Якщо <math>k = \frac{R}{r}</math>&nbsp;— [[натуральне число]], то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою <math>2 (k-1)</math> порядку; <br/>
Крива складається з <math>k</math> конгруентних арок, а отже, має <math>k</math> вершин та [[касп]]ів (тобто точок звороту).<br/> Точок самоперетину не має.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить {{math|(''k'' - 1)}} повних обертів навколо свого центру.
* Якщо <math>k = \frac{R}{r} = \frac{p}{q}</math>&nbsp;— [[раціональне число]], виражене у вигляді нескоротного дробу, то гіпоциклоїда є замкненою алгебричною кривою <math>2 \cdot |p - q|</math> порядку; <br/>
Крива складається з <math>p</math> конгруентних арок, а отже, має <math>p</math> вершин та [[касп]]ів.<br/>
Крива має <math>p \cdot (q-1)</math> точок самоперетину, якщо <math>q < \frac{p}{2} </math> та ''p'' i ''q''&nbsp;— взаємопрості числа.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить {{math||''p'' - ''q''|}} повних обертів навколо свого центру.

* Якщо <math>k</math>&nbsp;— [[ірраціональне число]], то гіпоциклоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість арок, вершин та каспів.
* Гіпоциклоїда має однакову кількість вершин та каспів;
* Будь-яка гіпоциклоїда з радіусами нерухомого та рухомого кіл <math>R</math> та <math>r</math> за формою тотожна з гіпоциклоїдою з радіусами нерухомого та рухомого кіл <math>R</math> та <math>R - r</math>.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.815}}<br/>
Відмінність полягає у розмірі твірного кола, а отже і верхньому значенні параметра <math> \varphi </math>, при якому крива замикається.
* Властивість нормалі та дотичної <br/>
Нормаль, що проведена через будь-яку точку <math>M</math> гіпоциклоїди, проходить через відповідну точку дотику <math>E</math> твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.<br/>
Дотична до гіпоциклоїди в деякій її точці <math>M</math>, проходить через точку <math>E'</math> напрямного кола, діаметрально протилежну до точки <math>E</math>.{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.817}}

== Метричні характеристики ==
* Довжина дуги гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам <math>0 \le \varphi \le \varphi_1</math>: {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.818}}
: <math>\ell =  \frac{8r \cdot (R-0r)}{R} \cdot \sin^2 \left( \frac{R}{4r} \cdot \varphi_1 \right) .</math>

Зокрема, довжина дуги однієї повної арки гіпоциклоїди дорівнює:
: <math>\ell =  8r \cdot \left( 1 - \frac{r}{R} \right) </math>

Якщо <math>k= \frac{R}{r}</math>&nbsp;— [[натуральне число]], то довжина <math>\ell</math> однієї арки:
: <math>\ell =  8r \cdot \left( \frac{k-1}{k} \right) </math>
а довжина всієї гіпоциклоїди:
: <math>\ell = 8(k-1) \cdot r = 8 \frac{k-1}{k} \cdot R</math>

* Площа сектора гіпоциклоїди між точками, що відповідають кутам <math>0 \le \varphi \le \varphi_1</math>: {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.820}}
: <math>S =  \frac{(R-r)(R-2r)}{2} \cdot \left( \varphi_1 - \frac{r}{R} \cdot \sin \left( \frac{R}{r} \cdot \varphi_1 \right) \right) .</math>

Площа сектора, що описується полярним радіусом <math>OM</math> гіпоциклоїди, коли точка <math>M</math> пробігає одну її арку: {{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.820}}
: <math>S_1 =  \frac{\pi \cdot r (R-r)(R-2r)}{R}</math>
Площа відповідного сектора напрямного (нерухомого) круга: <math>S_2 =  \pi \cdot r \cdot R</math>.

Таким чином, площа фігури, що обмежена однією аркою гіпоциклоїди та відповідною дугою напрямного кола, дорівнює
: <math>S = |S_1- S_2| = \pi  r^2 \cdot |3 - 2 \frac{r}{R}|</math>

Якщо <math>k = \frac{R}{r}</math>&nbsp;— [[натуральне число]], то площа <math>S</math>
сектора, що відповідає одній арці гіпоциклоїди, дорівнює
: <math> S = \frac{(k-1)(k-2)}{k} \cdot \pi r^2 </math>
а фігури, що обмежена повною гіпоциклоїдою:
: <math> S = (k-1)(k-2) \cdot \pi r^2= \frac{(k-1)(k-2)}{k^2} \cdot \pi R^2</math>

Це означає, що фігура, обмежена гіпоциклоїдою в <math> \left( 1- \frac{r}{R} \right) \left( 1- 2 \frac{r}{R} \right) </math> разів менша за площею, від площі напрямного круга.

* Радіус кривини будь-якої гіпоциклоїди в деякій її точці <math>M</math>, що відповідає куту <math>\varphi</math>:
: <math>\rho =  \frac{4r \cdot |R-r|}{|R-2r|} \cdot \sin \left( \frac{R}{2r} \cdot \varphi \right) .</math>

Цю формулу можна записати у вигляді:{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.817}}
: <math>\rho = 2\cdot ME \cdot \left| \frac{R-r}{R- 2r} \right| </math>
де <math>ME</math>&nbsp;— відрізок, що сполучає точку <math>M</math> гіпоциклоїди і точку опори <math>E</math> твірного кола.

В точках звороту гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює <math>\rho = 0 ,</math> <br/>
В вершинах гіпоциклоїди радіус кривини дорівнює <math>\rho = \frac{4r \cdot |R-r|}{|R- 2r|} .</math>
* Гіпоциклоїда та її [[еволюта]] [[Подібність (геометрія)|подібні]].<ref>[https://mathworld.wolfram.com/HypocycloidEvolute.html Hypocycloid Evolute&nbsp;— from Wolfram MathWorld]</ref>

Відношення подібності складає{{Sfn|Выгодский М.Я.|1973}} {{rp|стор.818}} <math>R : (R-2r).</math>
Еволюта має той же центр, що і початкова гіпоциклоїда. Каспи еволюти збігаються з вершинами початкової кривої. Отже, еволюту можна отримати, повернувши дану гіпоциклоїду на кут <math>\pi \cdot  \frac{r}{R}</math>, а потім відповідно маштабувавши її.

== Приклади гіпоциклоїд ==
<gallery caption="">
Image:Hypocycloid-3.svg| k=3 — [[Дельтоїда]]
Image:Hypocycloid-4.svg| k=4 — [[Астроїда]]
Image:Hypocycloid-5.svg| k=5
Image:Hypocycloid-6.svg| k=6
Image:Hypocycloid-2-1.svg| k=2,1
Image:Hypocycloid-3-8.svg| k=3,8
Image:Hypocycloid-5-5.svg| k=5,5
Image:Hypocycloid-7-2.svg| k=7,2
</gallery>

== Див. також ==
* [[Рулета]]
* [[Циклоїда]]
* [[Епіциклоїда]]
* [[Гіпотрохоїда]]
* [[Список періодичних функцій]]

{{-}}

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=[https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/168 168,171–173] | url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/168 }}
* {{Книга| автор= Выгодский М.Я.
| заголовок= Справочник по высшей математике
| видання= изд.10
| видавництво= Наука| рік=1973
| isbn=
| місце= москва
| посилання= http://flibusta.site/b/744132
| ref= Выгодский М.Я.}}

* {{cite book | author= Robert C. Yates 
| title=A Handbook on Curves and their Properties 
| publisher=digital reprint by www.CircuitousRoot.com 
| year=1947 
| isbn=
| pages= 198
| url=https://archive.org/details/YatesHandbookCurves1947/page/n123/mode/1up }}
* {{cite book | author= Lockwood E. H. (Edward Harrington)
| title=A Book of Curves
| publisher=Cambridge, Eng. : University Press 
| year=1961
| isbn= 9780511569340
| pages= 198
| url= https://books.google.com.ua/books/about/Book_of_Curves.html?id=VI8MwwEACAAJ&redir_esc=y }}

== Посилання ==
{{commons category|Hypocycloid}}
* {{MathWorld|Hypocycloid|Hypocycloid}}
* {{springer|title=Hypocycloid|id=p/h048530}}
* {{MacTutor | class=Curves | id=Hypocycloid | title=Hypocycloid}}
* [https://web.archive.org/web/20081211012241/http://www.carloslabs.com/node/21 Гіпоциклоїда на Javascript]
* [http://www.v-jaekel.de/animate-trochoid-en.html Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids]

{{Криві}}
[[Категорія:Рулети (криві)]]
[[Категорія:Трансцендентні криві]]