Перегляд вихідного коду сторінки Гіпотеза Ферма — Каталана

'''Гіпотеза Ферма Каталана'''&nbsp;— теоретико-числова гіпотеза, яка узагальнює [[Велика теорема Ферма|велику теорему Ферма]] і [[Гіпотеза Каталана|гіпотезу Каталана]]. Вона стверджує, що рівняння

: <math>a^m + b^n = c^k</math>

має не більше ніж скінченне число розв'язків <math>a,b,c,m,n,k</math> з різними трійками значень <math>a^m,b^n,c^k</math>, де <math>a,b,c</math>&nbsp;— взаємно прості натуральні числа, а <math>m,n,k</math>&nbsp;— натуральні числа, що задовольняють співвідношенню

: <math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.</math>

== Відомі розв'язки ==

На 2014-й рік відомо всього 10 розв'язків цього рівняння:<ref name="pcm">{{Citation|first=Carl|last=Pomerance|contribution=Computational Number Theory|pages=361–362|title=The Princeton Companion to Mathematics|editor1-first=Timothy|editor1-last=Gowers|editor2-first=June|editor2-last=Barrow-Green|editor3-first=Imre|editor3-last=Leader|year=2008|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-11880-2}}.</ref>

: <math>1^m+2^3=3^2</math>
: <math>2^5+7^2=3^4</math>
: <math>13^2+7^3=2^9</math>
: <math>2^7+17^3=71^2</math>
: <math>3^5+11^4=122^2</math>
: <math>33^8+1549034^2=15613^3</math>
: <math>1414^3+2213459^2=65^7</math>
: <math>9262^3+15312283^2=113^7</math>
: <math>17^7+76271^3=21063928^2</math>
: <math>43^8+96222^3=30042907^2</math>

Розв'язок <math>1^m+2^3=3^2</math>&nbsp;— це єдиний розв'язок, у якому одне з <math>a,b,c</math> дорівнює 1. У цьому полягає [[гіпотеза Каталана]], доведена у 2006 році {{Не перекладено|Преда Михайлеску|Михайлеску|en|Preda Mihăilescu}}.

Всі розв'язки знайдено для трійок показників <math>m,n,k,</math> рівних <math>(2,3,7), (n,n,n), (2,3,8), (2,3,9), (2,4,5), (2,4,6), (3,3,4), (3,3,5), (2,4,7), (2,n,n), (3,n,n), (2n,2n,5), (2,4,n)</math>.

== Часткові результати ==
За [[Гіпотеза Морделла|теоремою Фальтингса]] для будь-яких фіксованих натуральних <math>m,n,k</math>, які задовольняють нерівності <math>\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1</math>, існує не більше ніж скінченне число трійок <math>a,b,c</math>, що задовольняють рівнянню <math>a^m + b^n = c^k</math>,<ref>{{cite journal |first1=H. |last1=Darmon |first2=A. |last2=Granville |title=On the equations ''z''<sup>''m''</sup> = ''F''(''x'', ''y'') and ''Ax''<sup>''p''</sup> + ''By''<sup>''q''</sup> = ''Cz''<sup>''r''</sup> |journal=Bulletin of the London Mathematical Society |volume=27 |pages=513–43 |year=1995 |doi=10.1112/blms/27.6.513 }}</ref><ref name=Elkies>{{cite journal | last = Elkies | first = Noam D. | title = The ABC's of Number Theory | journal = The Harvard College Mathematics Review | year = 2007 | volume = 1 | issue = 1 | url = http://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/2793857/Elkies%20-%20ABCs%20of%20Number%20Theory.pdf?sequence=2 | accessdate = 12 січня 2021 | archive-date = 10 березня 2016 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160310095211/https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/2793857/Elkies%20-%20ABCs%20of%20Number%20Theory.pdf?sequence=2 }}</ref>{{rp|p. 64}} але гіпотеза Ферма&nbsp;— Каталана строгіша, оскільки стверджує скінченність числа розв'язків для нескінченної множини трійок <math>m,n,k</math>.

[[abc-гіпотеза]] тягне гіпотезу Ферма&nbsp;— Каталана<ref name="pcm"/>.

[[Гіпотеза Біла]] полягає в тому, що всі розв'язки рівняння Ферма&nbsp;— Каталана мають один з показників рівний 2.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==

* {{MathWorld|title=Fermat-Catalan Conjecture|urlname=Fermat-CatalanConjecture}}

== Література ==

* {{Книга
|автор = [[Єн Стюарт|Иэн Стюарт]]
|заголовок = 
|місце = М.
|видавництво = «[[Альпина нон-фикшн]]»
|рік = 2016
|сторінок = 460
|ISBN = 978-5-91671-507-1
|ref = Стюарт
|назва = Величайшие математические задачи
}}
[[Категорія:Діофантові рівняння]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Математичні гіпотези]]