Перегляд вихідного коду сторінки Гіпотеза Рімана

{{Проблеми тисячоліття}}

'''Гіпотезу Рі́мана''' про розподіл нулів [[дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]] сформулював [[Бернгард Ріман]] [[1859]] року.

==Формулювання ==
Гіпотеза стверджує, що:
{{Цитата|[[комплексні числа|Дійсна частина]] всіх нетривіальних нулів дзета-функції <math>\zeta(s)</math> дорівнює <math>{1\over2}</math>}}
Функція <math>\zeta(s)</math> визначена для всіх [[комплексні числа|комплексних]] <math>s\ne 1</math>, і має нулі для від'ємних цілих <math>s=-2,-4,-6\dots</math>. Із функціонального рівняння <math>\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s)</math>, і явного виразу <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math> при <math>\operatorname{Re}\,s>1</math> випливає, що всі інші нулі, які називаються «нетривіальними», розташовані у смузі <math>0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant1</math> симетрично щодо так званої «критичної лінії» <math>{1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}</math>.

Гіпотеза Рімана входить до списку семи «[[Проблеми тисячоліття|проблем тисячоліття]]». За доведення цієї гіпотези [[Математичний інститут Клея]] (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) обіцяв виплатити приз розміром 1&nbsp;млн. [[долар США|доларів США]]. Цікаво, що ''спростування гіпотези'' (тобто обчислення нетривіального нуля поза «критичною лінією») не дає права отримання призу.

== Історія ==
[[1896]] року [[Адамар]] і [[Шарль Жан де ла Валле-Пуссен|Валле-Пуссен]] незалежно довели, що нулі дзета-функції не можуть лежати на прямих <math>\operatorname{Re}\,s=0</math> і <math>\operatorname{Re}\,s=1</math>.

[[1900]] року [[Давид Гільберт]] включив гіпотезу Рімана до списку [[Проблеми Гільберта|23 нерозв'язаних проблем]] як частину восьмої проблеми, спільно з [[гіпотеза Гольдбаха|гіпотезою Гольдбаха]].

[[1914]] року [[Ґодфрі Гарольд Гарді|Гарді (Харді) Ґодфрі Гарольд]] довів, що на критичній лінії знаходиться нескінченно багато нулів, а пізніше Харді і [[Літлвуд Джон Ідензор|Літлвуд]] дали оцінку знизу частки нулів, що лежать на критичній лінії, яку потім покращували різні математики.

Деякі нетривіальні нулі розташовуються екстремально близько один до одного. Ця властивість відома як «{{не перекладено|Лемерове явище|Лемерове явище|en|Lehmer sieve}}» ({{не перекладено|Лемер Деррік Генрі|Деррік Лемер|en|Derrick Norman Lehmer}}).

Титчмарш, Ворос [[1987]] року довели, що дзета-функція може бути розкладена у добуток через свої нетривіальні нулі ([[Добуток Адамара|розклад Адамара]]).

[[2004]] року група математиків університету Пардьє (Purdue University, USA) під керівництвом Луі де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) запропонувала доведення гіпотези Рімана<ref>{{Cite web |url=http://news.uns.purdue.edu/UNS/html4ever/2004/040608.DeBranges.Riemann.html |title=Purdue mathematician claims proof for Riemann hypothesis |accessdate=19 червня 2009 |archive-date=22 квітня 2009 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090422234437/http://news.uns.purdue.edu/UNS/html4ever/2004/040608.DeBranges.Riemann.html }}</ref>, яке, однак, виявилося помилковим<ref name=MathWorld>{{Cite web
| url = http://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis.html
| title = Riemann Hypothesis
| accessdate = 2010-07-12
| author = [http://mathworld.wolfram.com/topics/Goodman.html Goodman, Len]
| coauthors = [http://mathworld.wolfram.com/about/author.html Weisstein, Eric W.]
| work = From [http://mathworld.wolfram.com/ MathWorld]--A Wolfram Web Resource
| archive-date = 12 лютого 2009
| archive-url = https://web.archive.org/web/20090212162747/http://mathworld.wolfram.com/RiemannHypothesis.html
}}</ref>.

Чергове повідомлення про доведення гіпотези Рімана надійшло у 2018 р. від математика [[Майкл Атья|Майкла Атья]]. Це відбулося під час конференції Heidelberg Laureate Forum у [[Гейдельберзький університет|Гейдельберзькому університеті]].<ref>{{Cite web |url=https://www.unian.ua/science/10273962-britanskiy-matematik-zayaviv-pro-rishennya-zavdannya-tisyacholittya.html |title=Математик Майкл Атья представив «простий доказ» гіпотези Рімана |accessdate=27 вересня 2018 |archive-date=28 вересня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180928003415/https://www.unian.ua/science/10273962-britanskiy-matematik-zayaviv-pro-rishennya-zavdannya-tisyacholittya.html }}</ref>

== Еквівалентні формулювання ==
[[1901]] року [[Хельге фон Кох]] показав, що гіпотеза Рімана еквівалентна наступному твердженню про розподіл [[просте число|простих чисел]]:
: <math>\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right)</math> якщо <math>x\rightarrow\infty</math>

== Цікаві факти ==
*Знаменита відповідь [[Давид Гільберт|Гільберта]] на питання про те, що б він зробив, якби він з якої-небудь причини заснув на п'ятсот років і раптом прокинувся. Математик відповів, що в першу чергу він запитає, чи була доведена гіпотеза Рімана.
* У 2015 р. прес-службою Математичного інституту Клея повідомлено, що нігерійський математик [[Опіємі Енох]] з Федерального університету в м. Оє-Екіті  зумів довести гіпотезу Рімана, яку учені безуспішно намагаються вирішити протягом останніх 156 років. Разом з тим, у Математичному інституті Клея (м. [[Кембридж]], штат [[Массачусетс]]) заявили, що досягнення буде зафіксовано тільки після його публікації в міжнародному журналі з високою репутацією, тобто після верифікації науковою спільнотою.<ref>{{Cite web |url=http://radio24.ua/news/showSingleNews.do?objectId=42582 |title=Нігерійський математик Опіємі Енох з Федерального університету в м. Оє-Екіті заявив, що зумів довести гіпотезу Рімана |accessdate=22 листопада 2015 |archive-date=22 листопада 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151122125523/http://radio24.ua/news/showSingleNews.do?objectId=42582 }}</ref>

== Примітки ==
{{reflist}}


{{refimprove|дата=листопад 2015}}
{{математика-доробити}}

[[Категорія:Математичні гіпотези]]
[[Категорія:Проблеми тисячоліття]]
[[Категорія:Нерозв'язані проблеми математики]]
[[Категорія:Дзета- і L-функції]]