Перегляд вихідного коду сторінки Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії

'''Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії'''<ref>Гіпотезу іноді плутають із {{Iw|Гіпотеза Ердеша — Турана про адитивні бази|гіпотезою Ердеша — Турана|en|Erdős–Turán conjecture on additive bases}}</ref>&nbsp;— припущення в [[Адитивна комбінаторика|адитивній комбінаториці]], сформульоване [[Пал Ердеш|Палом Ердешем]], згідно з яким у випадку, якщо сума обернених величин додатних натуральних чисел деякої множини розбіжна, то множина містить як завгодно довгі [[Арифметична прогресія|арифметичні прогресії]].

Формально, якщо:

: <math> \sum_{n\in A} \frac{1}{n} = \infty </math> ,

тобто <math>A</math>&nbsp;— {{Iw|велика множина|велика множина|en|Large set (combinatorics)}}, то <math>A</math> містить арифметичну прогресію будь-якої наперед заданої довжини.

За доведення гіпотези [[Пал Ердеш|Ердеш]] обіцяв свого часу премію 3 тис. [[Долар США|доларів США]]<ref>{{Стаття|title=To Prove and Conjecture: Paul Erdős and His Mathematics|видання=[[The American Mathematical Monthly|American Mathematical Monthly]]|том=105|номер=3|pages=233|language=en|тип=journal|author=[[Бела Боллобаш|Bollobás, Béla]]|місяць=3|date=1988}}</ref>; станом на 2008 рік було встановлено премію 5 тис. доларів США<ref>Soifer, Alexander (2008); The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators; New York: Springer. p. 354. ISBN 978-0-387-74640-1</ref>.

== Зв'язок з іншими твердженнями ==

=== Наслідки з гіпотези ===
Гіпотеза Ердеша є узагальненням [[Теорема Семереді|теореми Семереді]] (оскільки ряд <math>\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{kn} = \frac{1}{k} \left({ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }\right)</math> розбіжний як [[Гармонічний ряд|гармонійний]]), а також [[Теорема Ґріна — Тао|теореми Ґріна&nbsp;— Тао]] (оскільки сума <math>\sum \limits_{p} \frac{1}{p}</math>, де підсумовування ведеться за простими числами, також розбіжна<ref>М. Айгнер, Г. Циглер, «Доказательства из книги»&nbsp;— М. «Мир», 2006, стр. 13</ref>).

=== Твердження, з яких випливає гіпотеза ===
Через еквівалентність розбіжності <math>\sum \limits_{t=1}^{\infty} {{a_k}(4^t)}</math>, гіпотезу Ердеша можна буде довести, якщо буде доведено, що <math>\forall k \ge 3:\ \forall \varepsilon > 0:\ a_k(N) = O\left({\frac{1}{(\log{N})^{1 + \varepsilon}}}\right)</math>.

Однак на даний момент{{Коли?}} доведено лише{{Sfn|Шкредов|2006|с=115—116}}, що <math>a_k(N) = O\left({\frac{1}{(\log{\log{n}})^{c_k}}}\right)</math>, де <math>c_k=2^{-2^{k+9}}</math>, а також, в окремому випадку <math>k=3</math>, що <math>a_3(N) = O\left({\sqrt{\frac{\log{\log{N}}}{\log{N}}}}\right)</math>.

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Посилання ==
* P. Erdős: [http://www.renyi.hu/~p_erdos/1973-24.pdf Résultats et problèmes en théorie de nombres], ''Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres'', Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7. {{Wayback|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1973-24.pdf|date=20160428182731}}
* P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., ''Congress Numer.'' '''XVIII'''(1977), 35-58.
* P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, ''Combinatorica'', '''1'''(1981), 28. {{DOI|10.1007/BF02579174}}
* {{Публікація|назва=Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях|стаття|автор=И. Д. Шкредов|видання=УМН|рік=2006|випуск=6(372)|сторінки=111—178}}
[[Категорія:Математичні гіпотези]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Комбінаторика]]