Перегляд вихідного коду сторінки Гіпергеометрична функція

{{dablink| Термін "гіпергеометрична функція" іноді використовують для {{нп|Узагальнена гіпергеометрична функція|узагальнених гіпергеометричних функцій||Generalized hypergeometric function}}. Щодо інших гіпергеометричних
функцій [[#Див. також|див. також]].}}

У [[Математика|математиці]] функція Гауса або звичайна '''гіпергеометрична функція''' — це [[Спеціальні функції|спеціальна функція]], представлена '''гіпергеометричним рядом''', що включає багато інших спеціальних функцій як [[Частковий випадок (логіка)|часткові]] або {{нп|Граничний випадок (математика)|граничні||limiting case (mathematics)}} випадки, позначається <math>{}_{2} F_{1}(a, b; c;z)</math>. Це розв'язок [[Лінійна функція|лінійного]] [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайного диференціального рівняння]] (ЗДР) другого порядку. Будь-яке лінійне ЗДР другого порядку з трьома {{нп|Регулярна особлива точка|регулярними особливими точками||regular singular point}} може бути зведене до такого рівняння.

Щодо упорядкованих списків деяких із багатьох тисяч опублікованих [[Тотожність|тотожностей]], що стосуються гіпергеометричної функції, див. оглядові роботи Ерделі зі співавторами (1953)<ref>Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz and Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions. Vol. I. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. MR 0058756</ref> та Ольде Даалхуїса (2010)<ref name="Olde Daalhuis">Olde Daalhuis, Adri B. (2010), "Hypergeometric function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), ''NIST Handbook of Mathematical Functions'', Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248</ref>. На сьогодні невідома система організації всіх цих тотожностей; дійсно, не існує відомого алгоритму, який може породжувати всі тотожності; відома лише низка різних алгоритмів, які породжують різні серії тотожностей. Теорія алгоритмічного виявлення тотожностей залишається актуальною темою дослідження.

==Історія==
Термін "гіпергеометричний ряд" вперше був використаний [[Джон Валліс|Джоном Валлісом]] у його книзі ''"Arithmetica Infinitorum"'' в 1655 році.

Гіпергеометричні ряди вивчав [[Леонард Ейлер]], але перше повне та систематичне трактування було проведено [[Карл Фрідріх Гаусс|Карлом Фрідріхом Гаусом]] (1813) <ref>Gauss, Carl Friederich (1813). "Disquisitiones generales circa seriem infinitam <math>1+\frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x+ \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1\cdot2\cdot\gamma(\gamma+1)}xx+etc.</math>". ''Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores'' (in Latin). Göttingen. '''2'''.</ref>.

Дослідження у дев'ятнатнадцятому столітті включали роботу [[Ернст Едуард Куммер|Ернеста Куммера]] (1836)<ref name="Kummer">Kummer, Ernst Eduard (1836). "Über die hypergeometrische Reihe <math>1+\frac{\alpha\beta}{1\cdot\gamma}x+\frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{1\cdot2\cdot\gamma(\gamma+1)}x^2+ \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\beta(\beta+1)(\beta+2)}{1\cdot2\cdot3\cdot\gamma(\gamma+1)(\gamma+2)}x^3+etc.</math>". ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'' (in German). '''15''': 39-83, 127-172. ISSN 0075-4102.</ref> та фундаментальну характеристику [[Бернгард Ріман|Бернгарда Рімана]] (1857)<ref>Riemann, Bernhard (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe <math>F(\alpha, \beta, \gamma, x)</math> darstellbaren Functionen". ''Abhandlungen der Wissenschaften zu Göttingen'' (in German). Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. '''7''': 3-22.</ref> гіпергеометричної функції за допомогою диференціального рівняння, яке вона задовольняє.

Ріман показав, що диференціальне рівняння другого порядку для функції , що розглядається на комплексній площині, може бути охарактеризовано (на [[Сфера Рімана|сфері Рімана]]) за допомогою трьох {{нп|Регулярна особлива точка|регулярних особливих точок||regular singular point}}.

Випадки, коли розв'язки є [[Алгебрична функція|алгебраїчними функціями]], було знайдено [[Герман Шварц|Германом Шварцом]] ({{нп|Список Шварца|список Шварца||Schwarz's list}}).

==Гіпергеометричний ряд==
'''Гіпергеометрична функція'''&nbsp;— [[спеціальна функція]], що є розв'язком гіпергеометричного рівняння
: <math>z(1-z)\frac{{\rm d}^2w}{{\rm d}z^2}+\left[c-(a+b+1)z\right] \frac{{\rm d}w}{{\rm d}z}-abw=0.</math>
 
Гіпергеометрична функція може бути визначена з допомогою [[ряд Гауса|ряду Гауса]]:
: <math>{}_{2} F_{1}(a, b; c; z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}\dfrac{z^n}{n!} =  \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(c+n)} \,\frac {z^n} {n!} ,</math>
де <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>&nbsp;— параметри, що приймають будь-які [[дійсні числа|дійсні]] або [[комплексні числа|комплексні]] значення, а <math>c = 0, -1, -2, \dots, z</math> — комплексна змінна. 

Функція <math>F(a, b; c; z)</math> називається гіпергеометричною функцією першого роду.
 
Гіпергеометрична функція визначається при <math>|z|<1</math> за допомогою [[Степеневий ряд|степеневого ряду]]
: <math>
{}_{2} F_{1}(a, b; c; z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}\dfrac{z^n}{n!}= 1+\dfrac{ab}{c}\dfrac{z}{1!} +\dfrac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}\dfrac{z^2}{2!}+\cdots.
</math>
Цей ряд буде невизначеним (або нескінченним), якщо <math>c</math> дорівнює цілому недодатному числу. Тут <math>(q)_{n}</math> — (зростаючий) {{нп|Символ Похаммера|символ Похаммера||Falling and rising factorials}}, який визначається наступним чином:
: <math>
(q)_{n}=
\begin{cases}
1, &  n=0,\\
q(q+1)\cdots(q+n-1), &  n>0.
\end{cases}
</math>

Ряд [[абсолютна збіжність|збігається абсолютно]] і [[рівномірна збіжність|рівномірно]] при <math>|z|<1</math>; збіжність розповсюджується і на одиничне [[коло]], якщо <math>\operatorname{Re}(a+b-c)<0</math>; при <math>\leq \operatorname{Re}(a+b-c) < 1</math> збігається в усіх точках одиничного кола, окрім <math>z=l</math>. Проте існує [[аналітичне продовження]] гіпергеометричної функції у зовнішність одиничного кола <math>|z|>l</math> з розрізом <math>(1, \infty)</math>. Функція <math>F(a, b;c;z)</math>&nbsp;— однозначна [[аналітична функція|аналітична]] в [[комплексна площина|комплексній площині]] <math>z</math> з розрізом <math>(1, \infty)</math>. Якщо <math>a</math> або <math>b</math>&nbsp;— нуль або [[ціле число|ціле]] від'ємне число, то ряд обривається на скінченному числі членів і гіпергеометрична функція зводиться до полінома:
: <math>
{}_{2} F_{1}(-m, b; c; z)=\sum_{n=0}^{m}(-1)^n\binom{m}{n}\dfrac{(b)_{n}}{(c)_{n}}z^n.
</math>

Якщо <math>c \to -m</math>, де <math>m</math> — ціле невід'ємне число, то <math>{}_{2} F_{1}(z) \to \infty</math>. Якщо функцію поділити на значення [[Гамма-функція|гамма-функції]] <math>\Gamma(c)</math>, то отримаємо границю:
: <math>
\lim_{c\to -m}\dfrac{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma(c)}=\dfrac{(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}z^{m+1}\, {}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z).
</math>
<math>{}_{2} F_{1}(z)</math> — найпоширеніший тип {{нп|Узагальнений гіпергеометричний ряд|узагальнених гіпергеометричних рядів||Generalized hypergeometric function}} <math>{}_{p} F_{q}</math> і його часто позначають просто як <math>F(z)</math>.

== Формули диференціювання ==

Використовуючи тотожність <math>(a)_{n+1}=a(a+1)_n</math>, можна показати, що
: <math>
\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}z}\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\dfrac{ab}{c}\,{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),
</math>
і у загальному випадку
: <math>
\dfrac{\operatorname{d}^n}{\operatorname{d}z^n}\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\dfrac{(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}\,{}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z).
</math>

У частинному випадку, при <math>c=a+1</math>, отримаємо
: <math>
\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}z}\, {}_{2}F_{1}(a,b;a+1;z)=\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}z}\, {}_{2}F_{1}(b,a;a+1;z)=\dfrac{a((1-z)^{-b}- {}_{2}F_{1}(a,b;1+a;z))}{z}.
</math>

== Частинні випадки ==

Багато загальновідомих математичних функцій можна виразити через гіпергеометричну функцію або через її граничні випадки. Деякі типові приклади:
: <math>{}_{2}F_{1}(1,1;2;-z)=\dfrac{\ln(1+z)}{z}</math>;
: <math>{}_{2}F_{1}(a,b;b;z)=(1-z)^{-a},\quad{} (\forall b)</math>;
: <math>{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};z^2\right)=\dfrac{\arcsin(z)}{z}</math>;
: <math>{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{2};-\dfrac{27x^2}{4}\right)=\dfrac{\sqrt[3]{\frac{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4}}}}{x\sqrt{3}}</math>.

{{нп|Вироджена гіпергеометрична функція|Вироджена гіпергеометрична функція||Confluent hypergeometric function}} (або функція Куммера) може бути представлена як границя гіпергеометричної функції
:<math>
M(a,c,z)=\lim_{b \to \infty} {}_{2}F_{1}\left(a,b;c;b^{-1}z\right).
</math>
Тому всі функції, які є частинними випадками функції Куммера, такі як [[Функції Бесселя|функції Бесселя]], також можуть бути представлені як границі гіпергеометричних  функцій.
Це стосується більшості загальновживаних функцій [[Математична фізика|математичної фізики]].

[[Функції Лежандра]] — розв'язок диференціального рівняння другого порядку з <math>3</math> регулярними особливими точками, тому їх можна виразити через гіпергеометричну функцію різними способами, наприклад,
:<math>
{}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma(c)z^{\frac{1-c}{2}}(1-z)^{\frac{c-1}{2}}P^{1-c}_{-a}(1-2z).
</math>
Деякі ортогональні многочлени, зокрема, [[поліноми Якобі]] <math>P^{(\alpha,\beta)}_{n}</math> і їх частинні випадки: [[поліноми Лежандра]], [[поліноми Чебишова]], [[поліноми Ґеґенбауера]], можна записати у термінах гіпергеометричних функцій за допомогою формули
: <math>
{}_{2}F_{1}(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x)=\dfrac{n!}{(\alpha+1)_n}P_{n}^{(\alpha,\beta)}(1-2x).
</math>
А також інші поліноми, які є частинними випадками: [[поліноми Кравчука]], {{нп|Поліноми Мейкснера|поліноми Мейкснера||Meixner polynomials}}, {{нп|Поліноми Мейкснера–Поллачека|поліноми Мейкснера–Поллачека||Meixner–Pollaczek polynomials}}.

[[J-інваріант|Еліптичні модулярні функції]] іноді можна представити як обернені функції відношень гіпергеометричних функцій, аргументи яких <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> дорівнюють 1, 1/2, 1/3, … або 0. Наприклад, якщо
: <math>
\tau={\rm i}\dfrac{{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2};1;1-z\right)}{{}_{2}F_{1}\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2};1;z\right)},
</math>
то
: <math>
z=\kappa^2(\tau)=\dfrac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4}
</math>
— еліптична модулярна функція змінної <math>\tau</math>.

[[Бета-функція|Неповні бета-функції]] <math>B_x(p,q)</math> пов'язані з  гіпергеометричними функціями наступним чином:
: <math>
B_x(p,q)=\dfrac{x^p}{p}\, {}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).
</math>

[[Еліптичні інтеграли|Повні еліптичні інтеграли]] <math>K</math> та <math>E</math> можна представити як
: <math> K(k)=\frac{\pi}{2}\,{}_{2}F_{1}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right),</math>
: <math>E(k)=\frac{\pi}{2}\, {}_{2}F_{1}\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right). </math>

== Гіпергеометричне диференціальне рівняння ==

Гіпергеометрична функція є розв'язком гіпергеометричного диференціального рівняння Ейлера
:<math>
z(1-z){\frac {\operatorname{d}^{2}w}{\operatorname{d}z^{2}}}+ [c-(a+b+1)z ]{\frac {\operatorname{d}w}{\operatorname{d}z}}-ab w=0,
</math>
яке має три {{нп|Регулярна особлива точка|регулярні особливі точки||regular singular point}}: 0, 1 і <math>\infty</math>.
Узагальнення цього рівняння на три довільні регулярні особливі точки задається {{нп|Диференціальне рівняння Рімана|диференціальним рівнянням Рімана||Riemann's differential equation}}.
Будь-яке диференціальне рівняння другого порядку з трьома регулярними особливими точками може бути зведене до гіпергеометричного диференціального рівняння шляхом заміни змінних.

===Розв'язки в особливих точках===

Розв'язки гіпергеометричного диференціального рівняння будуються за допомогою гіпергеометричного ряду <math>{}_{2} F_{1}(a, b; c;z)</math>.
Рівняння має два [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежних]] розв'язки.
У кожній з трьох особливих точок 0, 1, <math>\infty</math>, зазвичай є два спеціальні розв'язки вигляду <math>x^{s}</math>, помножені на голоморфну функцію змінної <math>x</math>, де <math>s</math> — один з двох коренів визначального рівняння (однорідного [[Лінійне диференціальне рівняння|лінійного диференціального рівняння]] в особливій точці), а <math>x</math> — локальна змінна, що зануляється в регулярній особливій точці.
Це дає <math>3\cdot 2=6</math> спеціальних розв'язків, як показано нижче.

Якщо <math>c</math> не є цілим недодатним числом, то в околі точки <math>z=0</math> є два незалежні розв'язки:
:<math>
{}_{2} F_{1}(a, b; c;z)
</math>
і, за умови, що <math>c</math> не є цілим числом,
:<math>
z^{1-c}\,{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z).
</math>
Якщо <math>c</math> не є додатним цілим числом <math>1-m</math>, тоді перший з цих розв'язків не існує, і його слід замінити на <math>z^{m}\,F(a+m, b+m; 1+m; z)</math>.
Другий розв'язок не існує, якщо <math>c</math> є цілим числом, більшим за 1, і дорівнює першому розв'язку або його заміні, якщо <math>c</math> є будь-яким іншим цілим числом.
Отже, якщо <math>c</math> є цілим числом, то для другого розв'язку необхідно використовувати більш складніше співвідношення, що дорівнюють першому розв'язку помноженому на <math>\ln(z)</math> плюс інший ряд за степенями <math>z</math> та включає [[Дигамма-функція|дигамма-функцію]].
Детальніше див. Ольде Даалхуїс (2010)<ref name="Olde Daalhuis" />.

Якщо <math>c-a-b</math> не є цілим числом, то в околі <math>z=1</math> є два незалежних розв'язки:
:<math>
{}_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)
</math>
і
:<math>
(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).
</math>

Якщо <math>a-b</math> не є цілим числом, то в околі <math>z=\infty</math> є два незалежних розв'язки:
:<math>
z^{-a}\,{}_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)
</math>
і
:<math>
z^{-b}\,{}_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).
</math>

Знову ж таки, якщо умови нецілості не виконуються, то існують інші розв'язки, які є більш складними.

Будь-які 3 із вищезазначених 6 розв'язків задовольняють лінійне співвідношення, оскільки простір розв'язків є двовимірним, що дає <math>\binom{6}{3}=20</math> лінійних співвідношень між ними, які називаються ''формулами зв'язку''.

===24 розв'язки Куммера===

{{нп|Рівняння Фукса|Рівняння Фукса||Fuchsian equation}} другого порядку з <math>n</math> особливими точками має групу симетрій, що діє (проєктивно) на його розв'язках, і яка ізоморфна [[Група Коксетера|групі Коксетера]] <math>D_n</math> порядку <math>n!2^{n-1}</math>.
Отже, для гіпергеометричного рівняння <math>n=3</math> така група має порядок 24 та ізоморфна симетричній групі на 4 точках, і була вперше описана [[Ернст Едуард Куммер|Куммером]].
Ізоморфізм з симетричною групою є несподіваним і не має аналога для більш ніж 3 особливих точок, і іноді краще думати про цю групу як про продовження симетричної групи на 3 точки (яка діє як перестановки 3-х особливих точок) за допомогою [[4-група Клейна|4-групи Клейна]] (елементи якої змінюють знаки різниць експонент у парній кількості особливих точок).
Група Куммера з 24 перетворень породжується трьома перетвореннями, що перетворють розв'язок <math>F(a,b;c;z)</math> до одного з виглядів:
:<math> (1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\dfrac {z}{z-1}}\right),</math>
:<math>F(a,b;1+a+b-c;1-z),</math>
:<math>(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\dfrac {z}{z-1}}\right),</math>
які відповідають транспозиціям (12), (23) та (34) при ізоморфізмі з симетричною групою на 4 точках 1, 2, 3, 4.
(Перший та третій розв'язок з них насправді дорівнюють <math>F(a,b;c;z)</math>, тоді як другий є незалежним розв'язком диференціального рівняння.)

Застосування <math>24=6\cdot4</math> перетворень Куммера до гіпергеометричної функції дає <math>6=2\cdot3</math> розв'язків, що відповідають кожному з 2 можливих експонент у кожній з 3 особливих точок, кожний з яких з'являється 4 рази з огляду на тотожності
:<math> {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}\left(c-a,c-b;c;z\right) \qquad</math> (перетворення Ейлера);
:<math> {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right) \qquad</math> (перетворення Пфаффа);

===Q-форма===

Гіпергеометричне диференціальне рівняння можна звести до <math>Q</math>-форми
:<math>
\dfrac{\operatorname{d}^{2}u}{\operatorname{d}z^{2}}+Q(z)u(z)=0
</math>
за допомогою заміни <math>w=uv</math> та виключенням першої похідної.
Отримуємо
:<math>
Q={\dfrac{z^{2}\left[1-(a-b)^{2}\right]+z\left[2c(a+b-1)-4ab\right]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}},
</math>
а <math>v</math> визначається як розв'язок диференціального рівняння
:<math>
\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}z}\log v(z)=-\dfrac{c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}=-\dfrac {c}{2z}-\dfrac{1+a+b-c}{2(z-1)},
</math>
тобто
:<math>
v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.
</math>
<math>Q</math>-форма є важливою через її зв'язок з {{нп|Похідна Шварца|похідною Шварца||Schwarzian derivative}} (Hille 1976<ref>Hille, Einar (1976). ''Ordinary differential equations in the complex domain.''Dover. ISBN 0-486-69620-0.</ref>, с. 307-401).

===Трикутні відображення Шварца===
{{Див. також|{{нп|Трикутна функція Шварца|Трикутна функція Шварца||Schwarz triangle function}} }}

''Трикутні відображення Шварца'' або ''<math>s</math>-функції Шварца'' є відношеннями пар розв'язків:
:<math>
s_{k}(z)={\dfrac{\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}},
</math>
де <math>k</math> — одна з точок 0, 1, <math>\infty</math>.
Іноді також використовується позначення
:<math>
D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z).
</math>
Зауважимо, що коефіцієнти зв'язку стають [[Перетворення Мебіуса|перетвореннями Мебіуса]] при трикутних відображеннях.

Кожне трикутне відображення є {{нп|Регулярна особлива точка|регулярним||regular singular point}} при <math>z \in \{0,1,\infty\}</math> відповідно до
:<math>s_{0}(z)=z^{\lambda}(1+{\mathcal{O}}(z)),</math>
:<math> s_{1}(z)=(1-z)^{\mu}(1+{\mathcal{O}}(1-z))</math>
і
:<math>
s_{\infty}(z)=z^{\nu}\left(1+{\mathcal{O}}\left({\tfrac{1}{z}}\right)\right).
</math>

У частинному випадку з дійсними <math>\lambda</math>, <math>\mu</math> та <math>\nu</math>, причому <math>0\leq \lambda, \mu, \nu <1</math>, <math>s</math>-відображення є [[Конформне відображення|конформними відображеннями]] [[Верхня півплощина|верхньої півплощини]] <math>\mathbf{H}</math> у трикутники на [[Сфера Рімана|сфері Рімана]], що обмежені дугами кіл.
Це відображення є {{нп|Конформне відображення многокутників дуги кола|узагальненням||Schwarzian_derivative#Conformal_mapping_of_circular_arc_polygons}} {{нп|відображення Шварца – Крістоффеля|||Schwarz–Christoffel mapping}} у трикутники з круговими дугами.
Особливі точки 0, 1 і <math>\infty</math> відображаються  у вершини трикутника.
Кути трикутника дорівнюють <math>\pi\lambda</math>, <math>\pi\mu</math> та <math>\pi\nu</math> відповідно.

Крім того, у випадку, якщо <math>\lambda=1/p</math>, <math>\mu=1/q</math> та <math>\nu=1/r</math> для цілих чисел <math>p</math>, <math>q</math>, <math>r</math>, то трикутники замощують сферу, комплексну площину або верхню напівплощину відповідно, якщо <math>\lambda+\mu+\nu-1>0</math>, <math>\lambda+\mu+\nu-1=0</math> або <math>\lambda+\mu+\nu-1<0</math>; а <math>s</math>-відображення — обернені функції {{нп|Автоморфних функцій|автоморфних функцій||Automorphic function}} для {{нп|Групи трикутника|групи трикутника||Triangle group}} <math>\langle p,q,r\rangle = \Delta(p,q,r)</math>.

===Група монодромії===

Монодромія гіпергеометричного рівняння описує як змінюються фундаментальні розв'язки, якщо їх аналітично продовжувати у <math>z</math>–площині навколо траєкторій, що повертаються до тієї самої точки.
Тобто, коли траєкторія обертається навколо сингулярної точки гіпергеометричної функції <math>{}_{2}F_{1}</math>, то значення розв'язків у кінцевій точці буде відрізнятися від значення у початковій точці.

Два фундаментальних розв'язки гіпергеометричного рівняння пов'язані між собою лінійним перетворенням; таким чином, монодромія є відображенням (груповий гомоморфізм):
:<math>
\pi _{1}(\mathbb{C}\setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbb{C}),
</math>
де <math>\pi _{1}</math> — [[фундаментальна група]].
Іншими словами, монодромія — це двовимірне лінійне представлення фундаментальної групи.
[[Монодромія|Група монодромії]] рівняння є образом цього відображення, тобто групою, породженою матрицями монодромії.
Представлення монодромії фундаментальної групи можна обчислити явно у термінах експонент в особливих точках<ref>Ince 1944, pp. 393–393</ref>. Якщо <math>(\alpha, \alpha')</math>, <math>(\beta, \beta')</math> та <math>(\gamma, \gamma')</math> є експонентами в 0, 1 та <math>\infty</math>, то, вибираючи <math>z_0</math> в околі 0, петлі навколо 0 та 1 мають матриці монодромії наступного вигляду:
:<math>
g_ {0} = {\begin{pmatrix} {\rm e}^{2\pi {\rm i}\alpha}&0\\0&{\rm e}^{2\pi {\rm i}\alpha'}\end{pmatrix}}\qquad</math> та <math>\qquad
g_{1}={\begin{pmatrix}\frac{\mu {\rm e}^{2\pi {\rm i}\beta}-{\rm e}^{2\pi {\rm i}\beta'}}{\mu-1}&\frac{\mu({\rm e}^{2\pi {\rm i}\beta}-{\rm e}^{2\pi {\rm i}\beta'})}{(\mu-1)^{2}}\\ {\rm e}^{2\pi {\rm i}\beta'}-{\rm e}^{2\pi {\rm i}\beta}&\frac{\mu {\rm e}^{2\pi {\rm i}\beta'}-{\rm e}^{2\pi {\rm i}\beta}}{\mu-1}\end{pmatrix}},
</math>
де
:<math>
\mu=\frac{\sin \pi(\alpha+\beta'+\gamma')\sin \pi(\alpha'+\beta+\gamma')}{\sin \pi(\alpha'+\beta'+\gamma')\sin \pi(\alpha+\beta+\gamma')}.
</math>
Якщо <math>1-a</math>, <math>c-a-b</math>, <math>a-b</math> — не цілі раціональні числа зі знаменниками <math>k</math>, <math>l</math>, <math>m</math>, то група монодромії є скінченною тоді й лише тоді, коли <math>1/k+1/l+1/m>1</math>, див. {{нп|Список Шварца|список Шварца||Schwarz's list}} або {{нп|Алгоритм Ковачича|алгоритм Ковачича||Picard–Vessiot theory}}.

== Інтегральні формули ==
===Тип Ейлера===
Якщо <math>\rm B</math> — це [[бета-функція]], то має місце формула Ейлера: 
:<math>\Beta(b,c-b)\,_2F_1(a,b;c;z) = \int_0^1 x^{b-1} (1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a} \, {\rm d}x, \qquad \operatorname{Re}(c) > \operatorname{Re}(b) > 0, </math>
за умови, що <math>z</math> не є дійсним числом, таке що воно більше або дорівнює 1 (при <math>|z|<1</math> чи <math>|z|=1</math> за умови визначеності обох сторін.
Розкладаючи <math>(1-zx)^{-a}</math> у біноміальний ряд і застосовуючи контурні інтеграли для функції бети, можна одержати інші інтегральні представлення. Якщо <math>z</math> є дійсним числом, більшим або рівним <math>1</math>, то слід використовувати аналітичне продовження, оскільки <math>(1-zx)</math> дорівнює нулю в певній точці визначення інтеграла, тому значення інтегралу може бути погано визначеним.
Цей результат було отримано Ейлером в 1748 р. з використанням гіпергеометричних перетворень Ейлера та Пфаффа.

Інші представлення, що відповідають іншим {{нп|Головні гілки|головним гілкам||Principal branch}}, даються для того ж самого підінтегрального виразу, але як шлях інтегрування обирається замкнений {{нп|Цикл Похаммера|цикл Похаммера||Pochhammer contour}}, що обходить особливості в різних порядках.
Такі шляхи відповідають дії [[Монодромія|монодромії]].

===Інтеграл Барнса===

Барнс використовував теорію [[Лишок|лишків]] для оцінки {{нп|Інтеграл Барнса|інтеграла Барнса||Barnes integral}}:
:<math>
\frac{1}{2\pi {\rm i}} \int_{-{\rm i}\infty}^{{\rm i}\infty}  \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)} (-z)^{s}\,\operatorname{d}s,
</math>
як
:<math>
\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)}\,{}_{2}F_{1}(a, b; c; z),
</math>
де контур обрано так, щоб відокремити полюси <math>0, 1, 2,\dots</math> від полюсів <math>-a, -a-1, \dots, -b, -b-1, \dots</math>.
Це справедливо до тих пір, поки <math>z</math> не є невід'ємним дійсним числом.

===Перетворення Джона===

Гіпергеометричну функцію Гауса можна записати у вигляді {{нп|Перетворення Джона|перетворення Джона||X-ray transform}} (Gelfand, Gindikin & Graev 2003<ref>Gelfand, I. M.; Gindikin, S.G. & Graev, M.I. (2003) [2000]. ''Selected topics in integral geometry''. Translations of Mathematical Monographs. 220. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2932-5. MR 2000133.</ref>, 2.1.2).

== Суміжні співвідношення Гауса ==

Шість функцій 
:<math>{}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)</math> 
називаються суміжними з гіпергеометричною функцією <math>F(a,b;c;z)</math>. Ця функція визначається як сума степеневого ряду

<math>F(a,b;c;z)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}k!}z^{k},\quad\quad |z|<1, c\neq 0,-1,...,</math>

де <math>a,b,c</math> параметри з <math>\mathbb{C}.</math> Якщо <math>\mathrm{Re}\,c>\mathrm{Re}\,b>0</math>  та <math>|z|<1,</math> то справедлива формула Ейлера

:<math>F(a,b;c;z)=\frac{1}{B(b,c-b)}\int^{1}_{0}t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-tz)^{-a}{\rm d}t.</math>
З цієї формули випливає (див. [[Гамма-функція]])
:<math>\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)\lim_{z \to 1-0}F(a,b;c;z)=\Gamma(c)\Gamma(c-a-b),</math>
за умови <math>\mathrm{Re}(c-a-b)>0.</math>

Функція <math>F(a,b;c;z)</math> є [[лінійна комбінація|лінійною комбінацією]] будь-яких двох суміжних з нею функцій. 15 формул такого типа вперше були знайдені [[Карл Гаус|Гаусом]]. Вони одержуються при порівнянні правих частин:

:<math>\begin{align} z\dfrac{\operatorname{d}F}{\operatorname{d}z}=z\dfrac{ab}{c}F(a+,b+,c+)&=a(F(a+)-F)=\\
&=b(F(b+)-F)=\\
&=(c-1)(F(c-)-F)=\\
&=\dfrac{(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}=\\
&=\dfrac{(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}=\\
&=z\dfrac{(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}. \end{align} 
</math>

У рівностях використано позначення <math>F={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)</math>, <math>F(a+)={}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)</math> і т. д.

Асоційовані функції <math>{}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z)</math>, де <math>m</math>, <math>n</math>, <math>l</math> — цілі числа, можуть бути одержані повторними застосуваннями співвідношень Гауса. Мають місце формули [[диференціювання]] 

:<math>\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}F(a,b;c;z) = \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} F(a + n,b + n; c + n;z). </math>

Гіпергеометричне рівняння має 24 розв'язки виду 
:<math>z^{\rho}(1-z)^{\sigma}F(a',b';c';z'),\,</math> 
де <math>\rho, \sigma, a',b',c'</math> — [[лінійна функція|лінійні функції]] <math>a,b,c</math>, а <math>z</math> і <math>z'</math> пов'язані [[Дробово-лінійне перетворення|дробово-лінійним перетворенням]]. Будь-які три розв'язки лінійно залежні. Існують квадратичні, кубічні і перетворення вищого порядку. 

===Неперервний (ланцюговий) дріб Гауса===
{{Основна стаття|{{нп|Неперервний дріб Гауса|||Gauss continued fraction}} }}

Гаус використовував суміжні співвідношення, щоб дати декілька способів запису частки двох гіпергеометричних функцій у вигляді неперервного дробу, наприклад,
:<math>
{\dfrac{{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}
={\cfrac{1}{1+{\cfrac{{\dfrac{(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac{{\dfrac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}
{1+{\cfrac{{\dfrac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac{{\dfrac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots}}}}}}}}}}
</math>

== Формули перетворення ==

Формули перетворення пов'язують дві гіпергеометричні функції при різних значеннях аргументу <math>z</math>.

===Дробові лінійні перетворення===

Перетворення Ейлера
:<math>
{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)
</math>
є комбінацією двох перетворень Пфаффа:
:<math>{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right),</math>
:<math> {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right),</math>
які в свою чергу випливають з інтегрального представлення Ейлера.
Про узагальнення першого та другого перетворень Ейлера див. Раті й Паріс (2007)<ref>Rathie, Arjun K.; Paris, R.B. (2007). "An extension of the Euler's-type transformation for the 3F2 series". ''Far East J. Math. Sci.'' '''27''' (1): 43–48.</ref> та Раха і Раті (2011)<ref>Rakha, M.A.; Rathie, Arjun K. (2011). "Extensions of Euler's type-II transformation and Saalschutz's theorem". ''Bull. Korean Math. Soc.'' '''48''' (1): 151–156.</ref>.
Також гіпергеометричну функцію можна записати як лінійну комбінацію:
:<math>
\begin{align}
{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)+\\[6pt]
& {}+{\frac{\Gamma(c)\Gamma(a+b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).
\end{align}
</math>

===Квадратичні перетворення===

Якщо два з чисел <math>1-c</math>, <math>c-1</math>, <math>a-b</math>, <math>b-a</math>, <math>a+b-c</math>, <math>c-a-b</math> рівні або один з них дорівнює 1/2, то існує ''квадратичне перетворення'' гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням <math>z</math>, пов'язаним квадратним рівнянням.
Перші приклади отримав Куммер (1836)<ref name="Kummer" />, а повний перелік — [[Едуар Ґурса|Ґурса]] (1881)<ref name="Goursat">Goursat, Édouard (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique". ''Annales Scientifiques de l'école Normale Supérieure'' (in French). '''10''': 3–142. Retrieved 2008-10-16.</ref>. Типовим прикладом є
:<math>
{}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-\frac {a}{2}}{}_{2}F_{1}\left(\frac{1}{2}a,b-\frac{1}{2}a;b+\frac{1}{2};\frac{z^{2}}{4z-4}\right).
</math>

===Перетворення вищого порядку===

Якщо <math>1-c</math>, <math>a-b</math>, <math>a+b-c</math> відрізняються за знаком, або два з них дорівнюють <math>1/3</math> або <math>-1/3</math>, то існує ''кубічне перетворення'' гіпергеометричної функції, що з'єднує її з іншим значенням <math>z</math>, пов'язаним кубічним рівнянням.
Перші приклади отримав [[Едуар Ґурса|Ґурса]] (1881)<ref name="Goursat" />.
Типовим прикладом є
:<math>
{}_{2}F_{1}\left(\frac{3}{2}a,\frac{1}{2}(3a-1);a+\frac{1}{2};-\frac{z^{2}}{3}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-\frac{1}{3},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right).
</math>
Існують також деякі перетворення 4 та 6 степенів.
Перетворення інших степенів існують лише в тому випадку, якщо <math>a</math>, <math>b</math> та <math>c</math> є певними раціональними числами (Відунас 2005<ref>Vidunas, Raimundas (2005). "Transformations of some Gauss hypergeometric functions". ''Journal of Symbolic Computation''. '''178''': 473–487.</ref>). Наприклад,
:<math>
{}_{2}F_{1}\left(\frac{1}{4},\frac{3}{8};\frac{7}{8};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left(\frac{1}{48},\frac{17}{48};\frac{7}{8};\frac{-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}\right).
</math>

== Значення в спеціальних точках ''z'' ==

Перелік формул підсумовування в спеціальних точках див. в монографії Слейтер (1966, додаток ІІІ)<ref>Slater, Lucy Joan (1966). ''Generalized hypergeometric functions''. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688.</ref>, більшість з яких вперше з'являються в роботі Бейлі (1935)<ref>Bailey, W.N. (1935). ''Generalized Hypergeometric Series''. Cambridge University Press. Archived from the original on 2017-06-24. Retrieved 2016-07-23.</ref>.
Гессель та Стентон (1982)<ref name="Gessel">Gessel, Ira & Stanton, Dennis (1982). "Strange evaluations of hypergeometric series". ''SIAM Journal on Mathematical Analysis''. '''13''' (2): 295–308. ISSN 0036-1410. MR 0647127.</ref> дають подальші оцінки в більшій кількості точок.
Коепф (1995)<ref name="Koepf">Koepf, Wolfram (1995). "Algorithms for m-fold hypergeometric summation". ''Journal of Symbolic Computation''. '''20''' (4): 399–417. ISSN 0747-7171. MR 1384455.</ref> показав як більшість із цих тотожностей можна перевірити за допомогою комп'ютерних алгоритмів.

===Спеціальні значення при ''z''=1===

Теорема про підсумовування Гауса, названа на честь [[Карл Фрідріх Гаусс|Карла Фрідріха Гауса]], є тотожністю
:<math>
{}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \operatorname{Re}(c)>\operatorname{Re}(a+b),
</math>
яка випливає з інтегральної формули Ейлера, якщо взяти <math>z=1</math>.
Вона включає [[Тотожність Вандермонда|тотожність Вандермонда]] як частинний випадок.

Для частинного випадку, де <math>a=-m</math>,
:<math>
{}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)=\frac{(c-b)_{m}}{(c)_{m}}.
</math>
{{нп|Формула Дугалла|Формула Дугалла||Bilateral hypergeometric series}} узагальнює це співвідношення до {{нп|Двосторонній гіпергеометричний ряд|двостороннього гіпергеометричного ряду||Bilateral hypergeometric series}} при <math>z=1</math>.

===Теорема Куммера (''z''=-1)===

Є багато випадків, коли гіпергеометричні функції можна обчислити при <math>z=-1</math>, використовуючи квадратичне перетворення для заміни <math>z=-1</math> на <math>z=1</math>, а потім використовуючи теорему Гауса для обчислення результату.
Типовим прикладом є теорема Куммера, яка була названа на честь [[Ернст Едуард Куммер|Ернста Куммера]]:
:<math>
{}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(1+{\tfrac{1}{2}}a\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+{\tfrac{1}{2}}a-b\right)},
</math>
яка випливає з квадратичних перетворень Куммера
:<math>\begin{align}
_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac{a}{2}},{\frac{1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac{4z}{(1-z)^{2}}}\right)=\\
&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac{a}{2}},{\frac{a+1}{2}};1+a-b;{\frac{4z}{(1+z)^{2}}}\right),
\end{align}</math>
і теореми Гауса, якщо покласти <math>z=-1</math> в першій тотожності.
Про узагальнення підсумовування Куммера див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)<ref name="Lavoie">Lavoie, J. L.; Grondin, F.; Rathie, A.K. (1996). "Generalizations of Whipple's theorem on the sum of a <math>{}_{3}F_{2}</math>". ''J. Comput. Appl. Math''. '''72''': 293-300.</ref>.

===Значення при ''z''=1/2===

Друга теорема Гауса про підсумовування:
:<math>
_{2}F_{1}\left(a,b;\tfrac{1}{2}\left(1+a+b\right);\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\Gamma(\tfrac{1}{2})\Gamma(\tfrac{1}{2}\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac{1}{2}\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac{1}{2}\left(1+b\right))}.
</math>
Теорема Бейлі:
:<math>
_{2}F_{1}\left(a,1-a;c;\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\Gamma(\tfrac{1}{2}c)\Gamma(\tfrac{1}{2}\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac{1}{2}\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac{1}{2}\left(1+c-a\right))}.
</math>
Щодо узагальнення другої теореми Гауса про підсумовування та теореми Бейлі про підсумовування див. Лавуа, Грондін та Раті (1996)<ref name="Lavoie" />.

===Інші точки===

Існує багато інших формул, що представляють гіпергеометричну функцію у вигляді алгебраїчного числа для спеціальних раціональних значень параметрів, деякі з яких наведені в роботах Гесселя і Стентона (1982)<ref name="Gessel" /> та Коепфа (1995)<ref name="Koepf" />.
Деякі типові приклади:
:<math>
{}_{2}F_{1}\left(a,-a;\tfrac{1}{2};\tfrac{x^{2}}{4(x-1)}\right)=\frac{(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2},
</math>
які можна представити як
:<math>
T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2}(1-\cos x)\right)=\cos(ax),
</math>
де <math>-\pi<x<\pi</math>, а <math>T</math> — (узагальнений) [[Поліноми Чебишова|поліном Чебишова]].

== Асимптотична поведінка гіпергеометричної функції ==

При великих значеннях <math>|z|</math> гіпергеометрична функція повністю описується з допомогою формул, що дають [[аналітичне продовження]] в околі точки <math>z = \infty</math>. Якщо <math>a,b,z</math> — фіксовані числа і <math>|c|</math> достатньо велике <math>|\operatorname{arg} c|<  \pi - \epsilon</math>, <math>\epsilon>0</math>, то при <math>|z|<l</math>: 
:<math>F(a,b;c;z) =  \sum_{n=0}^k \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {z^n} {n!} + O\left(|c|^{-k+1}\right).
</math> 

При <math>|z|>l</math> є аналогічний вираз. 

== Представлення функцій через гіпергеометричну функцію ==

* <math>\left(1+x\right)^n = F\left(-n,\beta,\beta;-x\right),</math>
* <math> x^n = F\left(-n,\beta,\beta;1-x\right),</math>
* <math> {1 \over x} \ln(1+x) = F(1,1,2;-x),</math>
* <math> {\rm e}^x = \lim_{n \to \infty} F\left (1,n,1;{x \over n}\right), </math>
* <math> \cos x = \lim_{\alpha,\;\beta \to \infty} F\left(\alpha,\beta,\frac{1}{2}; -\frac{x^2}{4 \alpha \beta}\right),</math>
* <math> \cosh x = \lim_{\alpha,\;\beta \to \infty} F\left(\alpha,\beta,\frac{1}{2};{ x^2 \over 4 \alpha \beta}\right),</math>
* Повний [[еліптичний інтеграл]] першого роду:
*: <math> K(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{{\rm d}\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}} = \frac{\pi}{2} F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;k^2\right), </math>
* Повний [[еліптичний інтеграл]] другого роду:
*: <math> E(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}\,{\rm d}\varphi = \frac{\pi}{2} F\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;k^2\right), </math>
* [[Многочлени Лежандра]]:
*: <math> P_n(x)= F\left(n+1,-n,1;\frac{1-x}{2}\right), </math>
* [[Многочлени Лежандра|Приєднана функція Лежандра]]:
*: <math> P_{n,\;m}(x) = \left(1-x^2\right)^{\frac{m}{2}} { \Gamma(n+m+1) \over 2^m\Gamma(n-m+1)\Gamma(m+1) } F\left(n+m+1,m-n,m+1;\frac{1-x}{2}\right), </math>
* [[Функції Бесселя]]:
*: <math> J_\nu(x)= \lim_{\alpha,\;\beta \to \infty} \left[ \frac{\left(\dfrac{x}{2}\right)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} F\left(\alpha,\beta,\nu+1; -\frac{x^2}{4 \alpha \beta}\right) \right].</math> 

==Див. також==
* {{нп|Ряд Аппеля|Ряд Аппеля||Appell series}}, узагальнення гіпергеометричного ряду двох змінних
* {{нп|Основний гіпергеометричний ряд|Основний гіпергеометричний ряд||Basic hypergeometric series}}, де відношення членів є періодичною функцією індексу
* {{нп|Двосторонній гіпергеометричний ряд|Двосторонній гіпергеометричний ряд||Bilateral hypergeometric series}} <math>{}_{p}H_{p}</math>, що подібний до узагальненого гіпергеометричного ряду, але підсумовування за всіма цілими числами
* [[Біноміальний ряд]] <math>{}_{1}F_{0}</math>
* {{нп|Вироджений гіпергеометричний ряд|Вироджений гіпергеометричний ряд||Confluent hypergeometric function}} <math>{}_{1}F_{1}(a;c;z)</math>
* {{нп|Еліптичний гіпергеометричний ряд|Еліптичний гіпергеометричний ряд||Elliptic hypergeometric series}}, де відношення доданків є еліптичною функцією індексу
* [[Гіпергеометричний інтеграл Ейлера]], інтегральне подання для <math>{}_{2}F_{1}</math>
* {{нп|H-функція Фокса|H-функція Фокса||Fox H-function}}, узагальнення <math>G</math>-функції Мейєра
* {{нп|Функція Фокса–Райта|Функція Фокса–Райта||Fox–Wright function}}, узагальнення {{нп|узагальненої гіпергеометричної функції|узагальненої гіпергеометричної функції||Generalized hypergeometric function}}
* {{нп|Розв'язок Фробеніуса гіпергеометричного рівняння|Розв'язок Фробеніуса гіпергеометричного рівняння||Frobenius solution to the hypergeometric equation}}
* {{нп|Загальна гіпергеометрична функція|Загальна гіпергеометрична функція||General hypergeometric function}}, введена [[Гельфанд Ізраїль Мойсейович|І.М. Гельфандом]]
* {{нп|Узагальнений гіпергеометричний ряд|Узагальнений гіпергеометричний ряд||Generalized hypergeometric function}} <math>{}_{p}F_{q}</math>, де відношення доданків є раціональною функцією індексу
* [[Геометричний ряд]], де відношення членів є сталою
* {{нп|Функція Гойна|Функція Гойна||Heun function}}, розв'язки ЗДР другого порядку з чотирма регулярними особливими точками
* {{нп|Функція Горна|Функція Горна||Horn function}}, 34 різні збіжні гіпергеометричні ряди з двома змінними
* {{нп|Ряд Гумберта|Ряд Гумберта||Humbert series}}, 7 гіпергеометричні функції двох змінних
* [[Гіпергеометричний розподіл]], дискретний розподіл ймовірностей
* {{нп|Гіпергеометрична функція матричного аргументу|Гіпергеометрична функція матричного аргументу||Hypergeometric function of a matrix argument}}, багатовимірне узагальнення гіпергеометричного ряду
* {{нп|Функція Кампе де Феріє|Функція Кампе де Феріє||Kampé de Fériet function}}, гіпергеометричний ряд двох змінних
* {{нп|Гіпергеометричний ряд Лаурічелла|Гіпергеометричний ряд Лаурічелла||Lauricella hypergeometric series}}, гіпергеометричний ряд трьох змінних
* {{нп|E-функція МакРоберта|E–функція МакРоберта||MacRobert E function}}, узагальнення узагальненого гіпергеометричного ряду <math>{}_{}pF_{q}</math> на випадку <math>p>q+1</math>
* [[G-функція Мейєра]], узагальнення узагальненого гіпергеометричного ряду <math>{}_{p}F_{q}</math> на випадку <math>p>q+1</math>
* {{нп|Модулярний гіпергеометричний ряд|Модулярний гіпергеометричний ряд||Elliptic hypergeometric series}}, скінченна форма еліптичного гіпергеометричного ряду
* {{нп|Тета гіпергеометричний ряд|Тета гіпергеометричний ряд||Elliptic hypergeometric series}}, спеціальний випадок еліптичного гіпергеометричного ряду
* {{нп|Конформний блок Вірасоро|Конформний блок Вірасоро||Virasoro conformal block}}, спеціальна функція в {{нп|двовимірній конформній теорії поля|двовимірній конформній теорії поля||Two-dimensional conformal field theory}}, яка в деяких випадках зводиться до гіпергеометричної функції

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:«Высшая школа», 1962
* Бейтмен Г., Эрдейи А.:Высшие трансцендентные функции, том 1, 2-е изд. — М.:«Наука», 1973
* Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6. MR 168895
* Beukers, Frits (2002), Gauss' hypergeometric function. (lecture notes reviewing basics, as well as triangle maps and monodromy)
* Gasper, George & Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4
* Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonic Analysis and Special Functions on Symmetric Spaces. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2. (part 1 treats hypergeometric functions on Lie groups)
* Ince, E. L. (1944). Ordinary Differential Equations. Dover Publications
* Klein, Felix (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (in German). 39. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN978-3-540-10455-1. MR0668700
* Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. & Flannery, B.P. (2007). "Section 6.13. Hypergeometric Functions". [[Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing]] (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8
* Slater, Lucy Joan (1966). Generalized hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688. (there is a 2008 paperback with ISBN 978-0-521-09061-2)
* Wall, H.S. (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. D. Van Nostrand Company, Inc.
* Whittaker, E.T. & Watson, G.N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge, UK: Cambridge University Press
* Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometric Functions, My Love: Modular Interpretations of Configuration Spaces. Braunschweig – Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. MR 1453580

== Примітки ==
<references />

==Зовнішні лінки==
* {{springer|title=Hypergeometric function|id=p/h048450}}
* John Pearson, [http://people.maths.ox.ac.uk/porterm/research/pearson_final.pdf Computation of Hypergeometric Functions] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210507013830/http://people.maths.ox.ac.uk/porterm/research/pearson_final.pdf |date=7 травня 2021 }} ([[University of Oxford]], MSc Thesis)
* Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, [https://web.archive.org/web/20060129095451/http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html The book "A = B"] (freely downloadable)
* {{MathWorld |title=Hypergeometric Function |urlname= HypergeometricFunction}}

[[Категорія:Спеціальні функції]]
[[Категорія:Звичайні диференціальні рівняння]]
[[Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти]]
[[Категорія:Ряди]]