Перегляд вихідного коду сторінки Гіперболічна група

{{Теорія груп}}
У [[Теорія груп|теорії груп]], точніше в [[Геометрична теорія груп|геометричній теорії груп]], '''гіперболічна група''', також відома як ''словникова гіперболічна група'' або ''гіперболічна група Громова'',&nbsp;— скінченнопороджена [[група]] зі [[Словникова метрика на групі|словниковою метрикою]], що задовольняє певним властивостям, абстрагованим від класичної [[Гіперболічна геометрія|гіперболічної геометрії]].

Поняття гіперболічної групи було введено та досліджено {{harvs|first=Михайлом|last=Громовим|year=1987|author-link=Громов Михайло Леонідович|txt=yes}}.

Дослідження Громова опиралися на безліч існуючих математичних теорій: гіперболічну геометрію, а також низькорозмірну топологію (зокрема на результати [[Макс Ден|Макса Дена]] щодо [[Фундаментальна група|фундаментальної групи]] гіперболічної [[Поверхня Рімана|поверхні Рімана]] і набагато складніші поняття [[Топологія|топології]]) і [[Комбінаторна теорія груп|комбінаторну теорію груп]].

У визначній (близько 1000 цитувань<ref>{{cite book |last1=Gromov |first1=Mikhail |editor1-last=Gersten |editor1-first=S.M. |chapter=Hyperbolic Groups |title=Essays in Group Theory. Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol 8. |date=1987 |publisher=Springer |location=New York, NY |pages=75-263 |ref=Gromov_1987 |url=https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=919829 |accessdate=8 червня 2022 |archive-date=22 квітня 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170422012033/http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=919829 }}</ref>) роботі 1987 року Громов запропонував далекосяжну дослідницьку програму.

Ідеї та фундаментальні поняття у теорії гіперболічних груп також беруть свій початок із робіт {{нп|Джордж Мостоу|Джорджа Мостоу||George Mostow}}, [[Вільям Терстон|Вільяма Терстона]], {{нп|Джеймс В. Канон|Джеймса В. Канона||James W. Cannon}}, [[Еліях Ріпс|Еліяха Ріпса]] та багатьох інших.

== Означення ==

Нехай <math>G</math>&nbsp;— скінченнопороджена група, а <math>X</math>&nbsp;— [[граф Келі]] відносно деякої скінченної множини генераторів <math>S</math>.
Множина <math>X</math> з [[Відстань (теорія графів)|метрикою графа]] (в якому ребра мають одиничну довжину, а відстань між двома вершинами&nbsp;— мінімальна кількість ребер на шляху, що їх з'єднує), що перетворює її в [[Внутрішня метрика|простір довжини]].
Тоді група <math>G</math> називається ''гіперболічною'', якщо <math>X</math>&nbsp;— [[гіперболічний простір]] у сенсі Громова.
Коротко це означає, що існує <math>\delta > 0</math> таке, що будь-який геодезичний трикутник в множині <math>X</math> належить <math>\delta</math>-трубці, як це продемонстровано на рисунку (простір тоді називається <math>\delta</math>-гіперболічним).

{{ Annotated image | caption=<math>\delta</math>-трубка для трикутної умови
| image= Delta thin triangle condition.svg|
| width=230
| height = 155
| image-width = 200
| image-left = 30
| annotations =
{{Annotation|105|12|<math>x</math>}}
{{Annotation|45|105|<math>y</math>}}
{{Annotation|205|110|<math>z</math>}}
{{Annotation|0|40|<math>B_\delta([x,y])</math>}}
{{Annotation|150|40|<math>B_\delta([z,x])</math>}}
{{Annotation|80|135|<math>B_\delta([y,z])</math>}}
}}

Здається, що це означення залежить від вибору скінченнопороджуючої множини <math>S</math>.
Що це не так, випливає з двох наступних фактів:

* графи Келі, що відповідають двом породжуючим множини груп, завжди [[квазіізометрія|квазіізометричні]] один одному;
* будь-який геодезичний простір, який є квазіізометричним геодезичному гіперболічному простору Громова, сам є гіперболічним простором Громова.

Таким чином, можна правомірно говорити про скінченнопороджену групу <math>G</math>, як про гіперболічну групу без посилання на породжуючу множину.
З іншого боку, простір, який є квазіізометричним <math>\delta</math>-гіперболічному простору, є сам <math>\delta'</math>-гіперболічним для деякого <math>\delta' > 0</math>, але останнє залежить як від початкового <math>\delta</math>, так і від квазіізометрії, таким чином, нема необхідності говорити, що група <math>G</math> є <math>\delta</math>-гіперболічною.

== Зауваження ==

[[Лема Шварца–Мільнора]]{{sfn|Bowditch|2006|Theorem 3.6}} стверджує, що якщо група <math>G</math> діє [[Дія групи|цілком розривно]] та компактно факторизована (така дія зазвичай називається ''геометричною'') на просторі власної довжини <math>Y</math>, тоді ця група є скінченнопородженою, і будь-який граф Келі групи <math>G</math> є квазіізометричним простору <math>Y</math>.
Отже, група є (скінченнопородженою і) гіперболічною, тоді й лише тоді, коли вона має геометричну дію на власному гіперболічному просторі.

Якщо <math>G' \subset G</math> є підгрупою скінченного індексу (тобто множина <math>G/G'</math>&nbsp;— скінченна), тоді включення індукує квазіізометрію на вершинах будь-якого локально-скінченного графа Келі <math>G'</math> в будь-який локальний скінченний граф Келі <math>G</math>.
Таким чином, підгрупа <math>G'</math> є гіперболічною тоді й лише тоді, якщо група <math>G</math> сама є гіперболічною.
Більше того, якщо дві групи є {{нп|Співвимірність|співвимірними||Commensurability (group theory)}}, то одна є гіперболічною тоді й лише тоді, коли друга також є гіперболічною.

== Приклади ==

=== Елементарні гіперболічні групи ===

Найпростішими прикладами гіперболічних груп є [[Скінченна група|скінченні групи]] (графи Келі яких мають скінченний діаметр, а тому є <math>\delta</math>-гіперболічними з <math>\delta</math>, що дорівнює діаметру).

Іншим простим прикладом є скінченна циклічна група <math>\Z</math>: граф Келі для <math>\Z</math> відносно породжучої множини <math>\{ \pm 1 \}</math> є прямою такою, що всі трикутники є відрізками прямих і граф є <math>0</math>-гіперболічним.
З цього випливає, що довільна [[Циклічна група|майже циклічна група]] (містить копію групи <math>\Z</math> скінченного індексу) також є гіперболічною, наприклад, {{нп|Нескінченна діедральна група|нескінченна діедральна група||Infinite dihedral group}}.

Члени такого класу груп часто називаються ''елементарними гіперболічними групами'' (назва адаптована з термінології дій на гіперболічній площині).

=== Вільні групи і групи, що діють на деревах ===

Нехай <math>S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}</math> &nbsp;— скінченна множина і <math>F</math>&nbsp;— [[вільна група]] з породжуючою множиною <math>S</math>.
Тоді граф Келі групи <math>F</math> відносно множини <math>S</math> &nbsp;— локально скінченне [[Дерево (теорія графів)|дерево]] і, отже, <math>0</math>&nbsp;— гіперболічний простір.
Таким чином, <math>F</math>&nbsp;— гіперболічна група.

У більш загальному випадку, будь-яка група <math>G</math>, яка діє цілком розривно на локально скінченному дереві (в даному контексті це означає, що стабілізатори групи <math>G</math> у вершинах є скінченними), є гіперболічною.
Дійсно, це випливає з факту, що група <math>G</math> має інваріантне піддерево, на якому група діє з компактним впорядкуванням, і леми Шварца–Мільнора.
Такі групи насправді майже вільні (тобто, містять скінченно породжену вільну підгрупу скінченного індексу), що і дає інше доведення їх гіперболічності.

Цікавим прикладом є [[модулярна група]] <math>G={\rm SL}_{2}(\mathbb{Z})</math>: вона діє на дерево, яке задане 1-комплексом пов'язаної [[Модулярна група|мозаїки гіперболічної площини]], і вільну підгрупу (на двох генераторах) скінченного індексу 6 (наприклад, такою підгрупою є множина матриць в групі <math>G</math>, які зводяться до одиничної за модулем&nbsp;2).
Звернемо увагу на особливість цього прикладу: група діє цілком розривно на гіперболічний простір ([[гіперболічна геометрія|гіперболічну площину]]), проте дія не є кокомпактною (і дійсно група <math>G</math> не є квазіізометричною до гіперболічної площини).

=== Групи Фукса ===

''Основна стаття: [[Група Фукса]]''

[[Група Фукса]], яка узагальнює приклад модулярної групи,&nbsp;— група, що допускає цілком розривну дію на гіперболічній площині (еквівалентно, дискретна підгрупа групи <math>\mathrm {SL} _{2}(\mathbb{R})</math>).
Гіперболічна площина є <math>\delta</math>-гіперболічним простором і, отже, згідно леми Шварца–Мільнора, кокомпактні групи Фукса є гіперболічними.

Прикладами таких гіперболічних груп є [[Фундаментальна група|фундаментальні групи]] [[Поверхня|замкнених поверхонь]] від'ємної [[Характеристика Ейлера|характеристики Ейлера]].
Насправді, ці поверхні можна отримати як фактор-структури гіперболічної площини, що випливає з [[Теорема уніформізації|теореми уніформізації Пуанкаре–Кебе]].

Інша сім'я прикладів кокомпактних груп Фукса&nbsp;— {{нп|Група трикутника|групи трикутника||Triangle group}}: усі, окрім деякої скінченної кількості, є гіперболічними.

=== Від'ємна кривина ===

Узагальнюючи приклад замкнутих поверхонь, фундаментальні групи компактних [[Ріманів многовид|ріманових многовидів]] зі строго від'ємними [[Секційна кривина|кривинами у двовимірному напрямку]] є гіперболічними.
Наприклад, кокомпактні {{нп|Гратки|ґратки||Lattice (discrete subgroup)}} в [[Ортогональність|ортогональній]] або [[Унітарна група|унітарній]] групі з сигнатурою <math>(n,1)</math> є гіперболічними.

Подальше узагальнення визначається групами, які допускають геометричну дію на {{нп|CAT(k) простір|CAT(k) просторі||CAT(k) space}}.<ref>for a proof that this includes the previous examples see: https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220331063410/https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/ |date=31 березня 2022 }}</ref>
Існують приклади, які неспіввимірні з жодною з попередніх конструкцій (наприклад, групи, що діють геометрично на гіперболічних {{нп|Конструкція(математика)|конструкціях||Building (mathematics)}}).

=== Групи малого скорочення ===

''Основна стаття: {{нп|Теорія малого скорочення|Теорія малого скорочення||Small cancellation theory}}''

Групи, що мають представлення, які задовольняють умовам {{нп|Малі скорочення|малих скорочень||Small cancellation theory}} &nbsp;— гіперболічні.
Це дає джерело прикладів, які не мають геометричного походження, як ті, що були наведені вище.
Насправді одним із стимулів для початкового розвитку гіперболічних груп було надати більше геометричних інтерпретацій малого скорочення.

=== Випадкові групи ===

''Основна стаття: {{нп|Випадкова група|Випадкова група||Random group}}''

У деякому сенсі «більшість» скінченно представлених груп з великими визначальними співвідношеннями є гіперболічними.
Для кількісного означення того, що це означає, див. {{нп|Випадкова група|Випадкова група||Random group}}.

=== Приклади негіперболічних груп ===

* Найпростішим прикладом групи, яка не є гіперболічною, є [[Вільна абелева група|вільна абелева група рангу 2]] <math>\mathbb Z^{2}</math>. Насправді, ця група є [[Квазіізометрія|квазіізометрична]] до [[Двовимірний простір|евклідового простору]], який, очевидно, не є гіперболічною (оскільки, наприклад, існують [[Гомотетія|гомотетії]]).

* У загальному випадку, будь-яка група, що містить <math>\mathbb Z^{2}</math> як [[Підгрупа|підгрупу]], не є гіперболічною{{sfn|Ghys|de la Harpe|1990|loc=Ch. 8, Th. 37}}{{sfn|Bridson|Haefliger|1999|loc=Chapter 3.Γ, Corollary 3.10.}}. Зокрема, {{нп|Гратки|ґратки||Lattice (discrete subgroup)}} [[Напівпроста алгебра Лі|напівпростих груп Лі]] вищого рангу та [[Фундаментальна група|фундаментальні групи]] <math>\pi _{1}(S^{3}\setminus K)</math> нетривіальних доповнень [[Вузол (математика)|вузла]] потрапляють до цієї категорії і тому не є гіперболічними. Це також буде у випадку {{нп|Відображення класів груп|відображення класів груп||Mapping class group}} замкнених гіперболічних поверхонь.

* [[Група Баумслага — Солітера|Групи Баумслага–Солітара]] <math>B(m,n)</math> і будь-яка група, що містить підгрупу ізоморфну деякій групі <math>B(m,n)</math>, не є гіперболічними (оскільки <math>B(1,1) = \mathbb Z^{2}</math>, то це є узагальненням попереднього прикладу).

* Нерівномірна ґратка в простій групі Лі рангу 1 є гіперболічною тоді й лише тоді, коли група [[Ізогенія|ізогенна]] групі <math>{\rm SL}_{2}(\mathbb {R})</math> (або еквівалентно, асоційований симетричний простір є гіперболічною площиною). Прикладом цього є [[Гіперболічне зачеплення|гіперболічні]] [[Група вузла|груп вузлів]]. Іншим прикладом є {{нп|Група Бьянкі|групи Бьянкі||Random group}}, наприклад, група <math>\mathrm{SL}_{2}({\sqrt {-1}})</math>.

== Властивості ==

=== Алгебраїчні властивості ===

* Гіперболічні групи задовольняють [[Альтернатива Тітса|альтернативу Тітса]]: вони, або майже розв'язні (цю можливість задовольняють лише елементарні гіперболічні групи), або вони мають підгрупу ізоморфну неабелевій вільній групі.
* Неелементарні гіперболічні групи не є [[Проста група|простими]] в дуже сильному сенсі: якщо група <math>G</math>&nbsp;— неелементарна гіперболічна, то існує нескінченна підгрупа <math>H\triangleleft G</math> така, що <math>H</math> і <math>G/H</math> є нескінченними.
* Невідомо чи існують гіперболічні групи, які не є [[Залишково скінченна група|залишково скінченними]].

=== Геометричні властивості ===
* Неелементарні (нескінченні і не майже циклічні) гіперболічні групи мають завжди експоненційну [[Ступінь зростання групи|швидкість зростання]] (це наслідок альтернативи Тітса).
* Гіперболічні групи задовольняють лінійну [[Ізопериметрична нерівність|ізопериметричну нерівність]].{{sfn|Bowditch|2006|loc=(F4) in paragraph 6.11.2}}

=== Гомологічні властивості ===
* Гіперболічні групи є завжди [[Задання групи|скінченно представленими]]. У дійсності, можна явно побудувати комплекс {{нп|Комплекс Ріпа|комплекс Ріпа||Vietoris–Rips complex}}, який є [[Стягуваний простір|стяжним]] і на який група діє геометрично{{sfn|Ghys|de la Harpe|1990|loc=Chapitre 4}}, тому це комплекс типу {{нп|Властивості безкінечних груп|<math>F_{\infty}</math>||Finiteness properties of groups}}. Якщо група є беззакрутовою і з вільною дією, то це показує, що група має скінченну [[Когомологічна розмірність|когомологічну розмірність]].
* У 2002, І. Мінеєв довів, що гіперболічні групи&nbsp;— це в точності ті скінченно породженні групи, для яких відображення порівняння між обмеженою когомологією та [[Когомологія груп|звичайною когомологією]] є сюр'єктивним для всіх степенів або еквівалентно для степеня 2.{{sfn|Mineyev|2002}}

=== Алгоритмічні властивості ===

* Гіперболічні групи мають розв'язну {{нп|Проблема еквівалентності|проблему еквівалентності||Word problem for groups}}. Вони бувають {{нп|Автоматична група|двоавтоматичними||Automatic group}} та {{нп|Автоматична група|автоматичними||Automatic group}}.{{sfn|Charney|1992}} Насправді, вони є {{нп|Автоматична група|сильно геодезично автоматичні||Automatic group}}, тобто на групі є автоматична структура, де мова прийнята акцептором [[Слово (теорія груп)|слів]], є сукупністю всіх геодезичних слів.
* У 2010 році було показано, що гіперболічні групи мають [[Алгоритмічна розв'язність|алгоритмічно розв'язну]] проблему маркованого ізоморфізму.{{sfn|Dahmani|Guirardel|2011}} Слід відмітити, що це означає, що проблема ізоморфізму, проблеми орбіти (зокрема проблема спряженості) і проблема Уайтхеда є алгоритмічно розв'язними.
* Каннон і Свенсон показали, що гіперболічні групи з 2-сферою на нескінченності мають природне {{нп|Правило підрозділення|правило підрозділення||Finite subdivision rule}}.{{sfn|Cannon|Swenson|1998}} Це пов'язано з {{нп|Гіпотеза Кеннона|гіпотезою Кеннона||Finite subdivision rule}}.

== Узагальнення ==

=== Відносно гіперболічні групи ===
''Основна стаття: {{нп|Відносно гіперболічні групи|Відносно гіперболічні групи||Relatively hyperbolic group}}''

{{нп|Відносно гіперболічні групи|Відносно гіперболічні групи||Relatively hyperbolic group}}&nbsp;— це клас узагальнених гіперболічних груп. Грубо кажучи{{sfn|Bowditch|2012}}, група <math>G</math> є гіперболічною відносно набору підгруп <math>\mathcal{G}</math>, якщо вона допускає (''не обов'язково кокомпактну'') цілком розривну дію на власному гіперболічному просторі <math>X</math>, який є ''гарним'' на межі простору <math>X</math> і таким, що стабілізатори в групі <math>G</math> в точках на межі є підгрупами <math>\mathcal{G}</math>. Це є цікавим, якщо простір <math>X</math> і дія групи <math>G</math> на просторі <math>X</math> не є елементарними (зокрема, якщо <math>X</math>&nbsp;— нескінченний простір: наприклад, будь-яка група є гіперболічною відносно самої себе через її дію на одну точку!).

Цікавими прикладами у цьому класі є, зокрема, нерівномірні ґратки на напівпростих групах Лі рангу 1, наприклад, фундаментальні групи некомпактних гіперболічних многовидів скінченного об'єму. Прикладами не будуть ґратки на групах Лі вищого рангу та групах класів відображень.

=== Ациліндрично гіперболічні групи ===
Ще більш загальним є поняття ациліндрично гіперболічної групи.{{sfn|Osin|2016}} Ациліндричність дії групи <math>G</math> на метричному просторі <math>X</math> є послабненням цілком розривної дії.<ref>Детальніше: для будь-якого <math>\varepsilon >0</math> існують <math>R,N>0</math> такі, що для будь-яких двох точок <math>x, y \in X</math>, які знаходяться на відстані не менше <math>R</math> одна від одної, існує не більше <math>N</math> елементів <math>g\in G</math>, які задовольняють нерівності <math>d(x,gx)<\varepsilon</math> та <math>d(y,gy)<\varepsilon</math>.</ref>

Група називається ациліндрично гіперболічною, якщо вона допускає неелементарну ациліндричну дію на (''не обов'язково власний'') гіперболічний простір Громова. Це поняття включає відображення груп класів через їхні дії на {{нп|Комплекси кривих|комплекси кривих||Curve complex}}. Ґратки на групах Лі вищого рангу (все ще!) не є ациліндрично гіперболічними.

=== CAT(0) групи ===
В іншому напрямку можна послабити припущення про кривину у вище наведених прикладах: група CAT(0)&nbsp;— це група, яка допускає геометричну дію на {{нп|Простор CAT(0)|просторі CAT(0)||CAT(0) space}}. Це включає [[Просторова група|евклідові кристалографічні групи]] та однорідні ґратки на групах Лі вищого рангу.

Невідомо чи існує гіперболічна група, яка не є CAT(0) групою.<ref>{{cite web |title=Are all <math>\delta</math>-hyperbolic groups CAT(0)? |date=10 лютого 2015 |work=[[Stack Exchange]] |url=https://math.stackexchange.com/q/1141526 }}</ref>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{cite book
| last1 = Bridson
| first1 = Martin R.
| last2 = Haefliger
| first2 = André
| title = Metric spaces of non-positive curvature
| series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]
| volume = 319
| publisher = Springer-Verlag
| location = Berlin
| year = 1999
| isbn = 3-540-64324-9
| mr = 1744486
| doi = 10.1007/978-3-662-12494-9
}}

* {{cite book
| last = Bowditch
| first = Brian
| title = A course on geometric group theory
| series = MSJ Memoirs
| volume = 16
| publisher = Mathematical Society of Japan
| location= Tokyo
| year = 2006
| mr = 2243589
| isbn = 4-931469-35-3
| doi = 10.1142/e003
| url = http://www.warwick.ac.uk/~masgak/papers/bhb-ggtcourse.pdf
}}

* {{cite journal 
| first = Brian 
| last = Bowditch 
| title = Relatively hyperbolic groups 
| journal = International Journal of Algebra and Computation
| year = 2012 
| volume = 22 
| issue = 3 
| pages = 1250016, 66 pp. 
| url = http://homepages.warwick.ac.uk/~masgak/papers/rhg.pdf 
| doi = 10.1142/S0218196712500166 
| mr = 2922380 
| accessdate = 9 червня 2022 
| archive-date = 20 січня 2022 
| archive-url = https://web.archive.org/web/20220120064413/http://homepages.warwick.ac.uk/~masgak/papers/rhg.pdf 
}}

* {{cite journal | first1=James W. | last1=Cannon | first2=Eric L. | last2=Swenson | title=Recognizing constant curvature discrete groups in dimension 3  | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | volume=350 | year=1998 | issue=2 | pages=809–849 | mr=1458317 | doi=10.1090/S0002-9947-98-02107-2 | doi-access=free }}
* {{cite journal | last=Charney | first=Ruth | title=Artin groups of finite type are biautomatic | url=https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1992-04_292_4/page/671 | journal=[[Mathematische Annalen]] | volume= 292 | year=1992 | doi=10.1007/BF01444642 | pages=671–683 | mr=1157320 | issue=4 }}
* {{cite journal | last1=Dahmani | first1=François | last2=Guirardel | first2=Vincent | title=The isomorphism problem for all hyperbolic groups | journal=Geometric and Functional Analysis | arxiv=1002.2590 | year=2011 | volume=21 | issue=2 | pages=223–300 | doi=10.1007/s00039-011-0120-0 }}
* {{cite book | editor1-first=Étienne | editor1-last=Ghys | editor2-first=Pierre | editor2-last=de la Harpe | title=Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov | trans-title=Hyperbolic groups in the theory of Mikhael Gromov | language=fr | series=Progress in Mathematics | volume=83 | publisher=Birkhäuser Boston, Inc. | location=Boston, MA | year=1990 | isbn=0-8176-3508-4 | mr=1086648 | doi=10.1007/978-1-4684-9167-8 }}
* {{cite book | first=Mikhail | last=Gromov | chapter=Hyperbolic groups | title=Essays in group theory | pages=75–263 | series=Mathematical Sciences Research Institute Publications | volume=8 | publisher=Springer | location=New York | year=1987 | doi=10.1007/978-1-4613-9586-7_3 | mr=919829 | editor-last=Gersten | editor-first=Steve M. | isbn=0-387-96618-8 }}
* {{cite journal | first=Igor | last=Mineyev | title=Bounded cohomology characterizes hyperbolic groups | journal=Quarterly Journal of Mathematics | year=2002 | volume=53 | issue=1 | pages=59–73 | mr=1887670 | doi=10.1093/qjmath/53.1.59 }}
* {{cite journal 
| first = Denis
| last = Osin 
| title =  Acylindrically hyperbolic groups 
| journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
| year = 2016 
| volume = 368 
| issue = 2
| pages = 851–888
| arxiv = 1304.1246
| doi = 10.1090/tran/6343
| mr = 3430352
}}

[[Категорія:Геометрична теорія груп]]
[[Категорія:Метрична геометрія]]
[[Категорія:Властивості груп]]
[[Категорія:Комбінаторика слів]]
[[Категорія:Гіперболічна геометрія]]