Перегляд вихідного коду сторінки Гіперболічна геометрія

[[Файл:Hyperbolic triangle.svg|thumb|Трикутник, занурений у сідлоподібну площину ([[Параболоїд#Гіперболічний параболоїд|гіперболічний параболоїд]]), разом з двома розбіжними ультрапаралельними прямими]]
{{Геометрія}}
'''Гіперболічна геометрія''' (інколи ''геометрія [[Янош Бояї|Бояї]]-[[Лобачевський Микола Іванович|Лобачевського]]'')&nbsp;— одна з [[Неевклідова геометрія|неевклідових геометрій]], геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна [[евклідова геометрія]], за винятком [[Аксіома паралельності Евкліда|аксіоми про паралельність]].

Евклідова аксіома про паралельні твердить:
{{початок цитати}}
через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.
{{кінець цитати}}
[[Файл:Hyperbolic.svg|frame|Дві прямі через задану точку ''P'', [[Асимптотично паралельні прямі|асимптотично паралельні]] прямий ''R''.]]У гіперболічній геометрії замість неї приймається наступна аксіома:
{{початок цитати}}
через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.
{{кінець цитати}}
Гіперболічна геометрія має широке застосування як у математиці, так і у [[фізика|фізиці]]. Її поява ознаменувала нову епоху в розвитку [[Геометрія|геометрії]] та математики загалом.

Коли геометри вперше зрозуміли, що вони працюють із чимось іншим, ніж стандартна евклідова геометрія, вони описували свою геометрію під різними назвами. Врешті [[Фелікс Кляйн]] дав цій галузі назву '''гіперболічна геометрія''', аби включити його у нині рідко вживану послідовність [[Еліптична геометрія|еліптичної геометрії]] ([[сферична геометрія]]), параболічної геометрії ([[евклідова геометрія]]) та гіперболічної геометрії. У [[Пострадянські держави|колишньому]] [[Союз Радянських Соціалістичних Республік|Радянському Союзі]] її часто називають ''геометрією Лобачевського'', аби вшанувати пам'ять [[росія|російського]] геометра Миколи Лобачевського, який був одним з її відкривачів.

== Історія ==
[[Файл:Comparison of geometries-ru.svg.2023 11 01 16 31 11.0.svg|350px|міні|Порівняння [[Еліптична геометрія|еліптичної]], [[Евклідова геометрія|евклідової]] та гіперболічної геометрій]]
Джерелом гіперболічної геометрії слугувало питання аксіоми про [[Паралельність|паралельні прямі]], котра відома також як [[Аксіома паралельності Евкліда|п'ятий постулат Евкліда]] (під цим номером у списку [[постулат]]ів із [[Начала Евкліда|«Начал» Евкліда]] знаходиться твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі). Цей постулат, складніший порівняно з іншими, довгий час викликав спроби довести його на основі інших постулатів.

Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до [[XIX]]&nbsp;ст.:
* давньогрецькі математики [[Клавдій Птолемей|Птолемей]] ([[2 століття|II&nbsp;ст.]]), [[Прокл Діадох]] ([[5 століття|V&nbsp;ст.]]) (доведення Прокла базується на припущенні скінченності відстані між двома паралельними),
* [[Ібн аль-Хайсам]] з [[Ірак]]у (кінець [[10 століття|X&nbsp;ст.]]&nbsp;— початок [[11 століття|XI&nbsp;ст.]]) (Ібн аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляра до прямої описує прямую лінію),
* [[іран]]ський математик [[Омар Хаям]] (друга половина XI&nbsp;— початок [[12 століття|XII]] ст.),
* [[азербайджан]]ський математик [[Насир ад-Дін ат-Тусі|Насиреддин Тусі]] ([[13 століття|XIII&nbsp;ст.]]) (Хаям та Насиреддин при доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),
* німецький математик [[Христофор Клавій]] ([[1574]]),
* італійські математики
** {{нп|П'єтро Катальді|||Pietro Cataldi}} (вперше в [[1603]] надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),
** [[Джованні Альфонсо Бореллі|Дж. Бореллі]] ([[1658]]), Дж. Вітале ([[1680]]),
* англійський математик [[Джон Валліс|Джон Волліс]] ([[1663]], опубліковано в [[1693]]) (Волліс ґрунтує доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує [[Подібність (геометрія)|подібна]] їй, але не рівна фігура).
Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались очевиднішими.

== Моделі гіперболічної геометрії ==

Моделлю гіперболічної геометрії називається поверхня або [[Гіперболічний простір|простір]], в якому виконуються аксіоми гіперболічної геометрії.

Оскільки всі реалізації гіперболічної геометрії ізоморфні<ref>Погорелов А. В., с. 84</ref>, твердження, доведене в одній моделі гіперболічної геометрії, буде дійсне в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в [[Конформно-евклідова модель|конформних моделях Пуанкаре]], кут між кривими дорівнює евклідовому куту.

=== Модель Кляйна ===
{{Докладніше|Проєктивна модель}}
[[Файл:Klein model.svg|thumb|240px|right|Прямі в моделі Кляйна. Через точку ''P'' проходить нескінченно багато прямих, які не перетинають пряму ''a''.]]
Точками [[Проєктивна модель|моделі Кляйна]] є [[Внутрішня точка|внутрішні точки]] [[круг]]а одиничного радіуса з центром у початку координат. Відстань між точками <math>a</math> і <math>b</math> визначається за допомогою подвійного відношення, а саме як
: <math> \frac 12\left|\ln {\left(\frac {x-a}{x-b}: \frac{y-a}{y-b}\right) }\right|</math>
для інтервалу <math>(x, y)</math>, де <math>x</math> і <math>y</math>&nbsp;— точки перетину прямої <math>ab</math> з граничним колом круга.

Зазначимо, що точки граничного кола будуть нескінченно віддаленими точками гіперболічної площини. Граничне коло називають абсолютом або ідеальною межею.

У моделі Кляйна прямими є хорди кола<ref>Прасолов В. В., Тихомиров В. М., с. 184</ref>. Тому в цій моделі зручно розглядати питання пов'язані з [[Опукла множина|опуклими множинами]] гіперболічної геометрії.

[[Перша квадратична форма|Перша фундаментальна форма]] гіперболічної площини в моделі Кляйна має вигляд<ref name=":0">Ефимов Н. В., с. 525</ref>
: <math>  ds^2=\frac{(1-y^2)\,dx^2+2xy\,dx\,dy+(1-x^2)\,dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}.</math>

Аналогічним чином влаштована модель багатовимірного гіперболічного простору. Точками простору будуть внутрішні точки кулі одиничного радіуса, та точно так само, як і на площині, задається відстань подвійним відношенням.

=== Модель Пуанкаре в кулі ===
[[Файл:Poincare_disc_hyperbolic_parallel_lines.svg|thumb|250px|Через точку площини проходять прямі, паралельні заданій прямій]]
Точками в моделі Пуанкаре в кулі <math>\Delta^n</math> будуть внутрішні точки кулі, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гранична сфера. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл та відрізки, ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цієї моделі будуть евклідові сфери, які лежать в кулі <math>\Delta^n</math> (зауважимо, що взагалі центри сфер зміщені відносно центрів евклідових сфер).

Це конформна модель гіперболічної геометрії, тобто кут між кривими в цій моделі збігається з евклідовим кутом.
 
Перша фундаментальна форма гіперболічного простору в моделі Пуанкаре в кулі має вигляд<ref name=":0"/>
: <math> ds^2=\frac{4(dx_1^2+\dots+dx_n^2)}{(1-x_1^2-\dots-x_n^2)^2}.</math>

=== Модель Пуанкаре у півпросторі ===

Точками в [[Модель Пуанкаре у верхній півплощині|моделі Пуанкаре у верхній півплощині]] <math>\mathbb{H}^n</math> будуть внутрішні точки [[Півпростір|півпростору]] <math>\mathbb{H}^n=\{(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n |\ x_n>0 \}</math>, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гіперплощина <math>x=0 \cup \infty</math>. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл і промені ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цій моделі будуть звичайні евклідові сфери.

Перша фундаментальна форма гіперболічного простору в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд<ref>Бердон А., с. 118</ref>
: <math> ds^2=\frac{dx_1^2+\dots+dx_n^2}{x_n^2}.</math>

Як і модель Пуанкаре в кулі, це також конформна модель гіперболічної геометрії. Існує [[Конформне відображення|конформне перетворення]], яке перетворює одну модель в іншу.

== Див. також ==
* [[Орисфера]]
* [[Орицикл]]
* [[Сферична геометрія]]
* [[Гіперболічний простір]]
* [[Ідеальний трикутник]]
* [[Кут паралельності]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) ''Notes on hyperbolic geometry'', in: Strasbourg Master class on Geometry, pp.&nbsp;1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN {{isbn|978-3-03719-105-7}}, DOI 10.4171–105.
* [[Гарольд Коксетер|Coxeter, H. S. M.]], (1942) ''Non-Euclidean geometry'', University of Toronto Press, Toronto
* {{cite book
 | last=Fenchel
 | first=Werner |author-link=
 | title=Elementary geometry in hyperbolic space
 | series=De Gruyter Studies in mathematics
 | volume=11
 | publisher=Walter de Gruyter & Co.
 | location=Berlin-New York
 | year=1989
}}
* {{cite book
 | last= Fenchel
 | first=Werner |author-link=
 |author2=Nielsen, Jakob |editor=Asmus L. Schmidt
 | title=Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane
 | series=De Gruyter Studies in mathematics
 | volume=29
 | publisher=Walter de Gruyter & Co.
 | location=Berlin
 | year=2003
}}
* Lobachevsky, Nikolai I., (2010) ''Pangeometry'', Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, {{isbn|978-3-03719-087-6}}/hbk
* [[Джон Мілнор|Milnor, John W.]], (1982) ''[http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548588 Hyperbolic geometry: The first 150 years]'', Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp.&nbsp;9–24.
* Reynolds, William F., (1993) ''Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid'', [[American Mathematical Monthly]] 100:442–455.
* {{Cite book | last1=Stillwell | first1=John | author1-link=| title=Sources of hyperbolic geometry | url=https://books.google.com/books?id=ZQjBXxxQsucC | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=History of Mathematics | isbn=978-0-8218-0529-9 | year=1996 | volume=10 | mr=1402697}}
* Samuels, David, (March 2006) ''Knit Theory'' Discover Magazine, volume 27, Number 3.
* James W. Anderson, ''Hyperbolic Geometry'', Springer 2005, {{isbn|1-85233-934-9}}
* James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) ''[http://www.msri.org/communications/books/Book31/files/cannon.pdf Hyperbolic Geometry]'', MSRI Publications, volume 31.
* {{книга
 |автор             = Лаптев Борис Лукич
 |частина           = 
 |посилання частина = 
 |заголовок         = Геометрия Лобачевского, её история и значение
 |оригінал          = 
 |посилання         = 
 |відповідальний    = 
 |видання           = 
 |місце             = Москва
 |видавництво       = «[[Знание (видавництво, Москва)|Знание]]»
 |рік               = 1976
 |том               = 9
 |сторінки          = 
 |сторінок          = 64
 |серія             = Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика»
 |тираж             = 45 250
 |isbn              = 
 |doi               = 
 |bibcode           = 
 |pmid              = 
 |archiveurl        = 
 |archivedate       =
 |ref               =
}} {{ref-ru}}

== Джерела ==
* {{книга
 |автор          = Бердон А.
 |частина        = 
 |заголовок      = Геометрія дискретних груп
 |оригінал       = Геометрия дискретных групп: Пер. з англ.
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Москва
 |видавництво    = Наука
 |рік            = 1986
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 304
 |isbn           = 
}}
* {{книга
 |автор          = Ефимов Н.В.
 |частина        = 
 |заголовок      = Вища геометрія
 |оригінал       = Высшая геометрия
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Москва
 |видавництво    = Наука
 |рік            = 1978
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 576
 |isbn           = 
}}
* {{книга
 |автор          = [[Погорєлов Олексій Васильович|Погорелов А.В.]]
 |частина        = 
 |заголовок      = Лекції з основ геометрії
 |оригінал       = Лекции по основаниям геометрии
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Харків
 |видавництво    = ХДУ
 |рік            = 1964
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 138
 |isbn           = 
}}
* {{книга
 |автор          = Прасолов В.В., Тихомиров В.М.
 |частина        = 
 |заголовок      = Геометрія
 |оригінал       = Геометрия
 |посилання      = 
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Москва
 |видавництво    = МЦНМО
 |рік            = 1997
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 352
 |isbn           = 
}} ([http://www.mccme.ru/prasolov/ Книга в *.pdf та *.ps форматі.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150109155057/http://www.mccme.ru/prasolov/ |date=9 січня 2015 }})

== Посилання ==
{{commonscat|Hyperbolic geometry}}
* [http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html Javascript freeware for creating sketches in the Poincaré Disk Model of Hyperbolic Geometry] University of New Mexico
* [https://www.youtube.com/watch?v=B16YjC9OS0k&mode=user&search= «The Hyperbolic Geometry Song»] A short music video about the basics of Hyperbolic Geometry available at YouTube.
* {{springer|title=Lobachevskii geometry|id=p/l060030}}
* {{mathworld|urlname=Gauss-Bolyai-LobachevskySpace|title=Gauss–Bolyai–Lobachevsky Space}}
* {{mathworld|urlname=HyperbolicGeometry|title=Hyperbolic Geometry}}
* [https://web.archive.org/web/20140303111006/http://www.geom.uiuc.edu/~crobles/hyperbolic/ More on hyperbolic geometry, including movies and equations for conversion between the different models] University of Illinois at Urbana-Champaign
* [https://arxiv.org/abs/0903.3287 Hyperbolic Voronoi diagrams made easy, Frank Nielsen]
* {{Cite journal|first=Wilson|last=Stothers|title=Hyperbolic geometry|url=http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/hyperbolic/hyperbolic0.html|publisher=[[Університет Глазго|University of Glasgow]]|year=2000 |website=maths.gla.ac.uk}}, interactive instructional website.
* [http://www.plunk.org/~hatch/HyperbolicTesselations/ Hyperbolic Planar Tesselations]
* [http://www.roguetemple.com/z/hyper/models.php Models of the Hyperbolic Plane]
* А.&nbsp;С.&nbsp;Смогоржевский, [http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a23.htm «Про геометрію Лобачевського»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130516052544/http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a23.htm |date=16 травня 2013 }}, [http://plm.mccme.ru Популярні лекції з математики] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220121050905/https://plm.mccme.ru/ |date=21 січня 2022 }}, Випуск 23, Гостехиздат 1957 г., 68 ст. {{ref-ru}}
* Ф. Клейн, [http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neeuclid.htm «Неевклідова геометрія.»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304133154/http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neeuclid.htm |date=4 березня 2016 }}, М.-Л., ОНТИ, 1936, 356 с. {{ref-ru}}
* Н.&nbsp;Н.&nbsp;Іовлев, [http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/iovlev.htm «Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141005010718/http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/iovlev.htm |date=5 жовтня 2014 }}, М. -Л., Гиз, 1930 г., 67 с. {{ref-ru}}

{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Гіперболічна геометрія|*]]
[[Категорія:Основи геометрії]]