Перегляд вихідного коду сторінки Гіпербола Кіперта

[[Файл:KiepertHyperbola.svg|міні|300x300пкс| Гіпербола Кіперта трикутника ''ABC.'' Гіпербола Кіперта проходить через вершини ''(A, B, C),'' [[ортоцентр]] ''(H)'' і [[центроїд]] ''(G)'' трикутника.]]
'''Гіпербола Кіперта'''&nbsp;— [[Гіпербола (математика)|гіпербола]], яка визначається за даним [[трикутник]]ом. Якщо останній є трикутником загального положення, то ця гіпербола є єдиним конічним перетином, що проходить через його вершини, [[ортоцентр]] і [[центроїд]].

== Визначення через ізогональне спряження ==
'''Гіпербола Кіперта'''&nbsp;— крива, ізогонально спряжена прямій, що проходить через [[Точка Лемуана|точку Лемуана]] і [[Описане коло|центр описаного кола]] даного трикутника.

* Пряма, що проходить через центр [[Описане коло|описаного кола]] і [[Точка Лемуана|точку Лемуана]], називається '''віссю Брокара'''. На ній лежать [[точки Аполлонія]]. Інакше кажучи, '''гіпербола Кіперта'''&nbsp;— крива, ізогонально спряжена ''осі Брокара'' даного трикутника.

== Визначення через трикутники в трикутних координатах ==
[[Файл:KiepertPoint.svg|праворуч|міні|300x300пкс| Точка на гіперболі Кіперта.]]
Визначення через трикутники в [[Трилінійні координати|трикутних координатах]]{{Sfn|Eddy, Fritsch|1994|с=188—205}}:

: ''Якщо три трикутники <math>XBC</math>, <math>YCA</math> і <math>ZAB</math> побудовані на сторонах трикутника <math>ABC</math>, є [[Подібність (геометрія)|подібними]], [[Рівнобедрений трикутник|рівнобедреними]] з основами на сторонах початкового трикутника, і однаково розташованими (тобто всі вони побудовані або з зовнішнього боку, або з внутрішнього), то прямі <math>AX</math>, <math>BY</math> і <math>CZ</math> перетинаються в одній точці <math>N</math>.'' Тоді гіперболу Кіперта можна визначити, як геометричне місце точок <math>N</math> (див. мал.).

Якщо спільний кут при основі дорівнює <math>\theta</math>, то вершини трьох трикутників мають такі трикутні координати:

* <math>X(-\sin\theta:\sin(C+\theta):\sin(B+\theta))</math>
* <math>Y(\sin(C+\theta):-\sin\theta:\sin(A+\theta))</math>
* <math>Z(\sin(B+\theta):\sin(A+\theta):-\sin\theta)</math>

== Трилінійні координати довільної точки N, що лежить на гіперболі Кіперта ==

: <math>(\operatorname{cosec}(A+\theta):\operatorname{cosec}(B+\theta):\operatorname{cosec}(C+\theta))</math>.

== Рівняння гіперболи Кіперта в трикутних координатах ==
[[Геометричне місце точок]] <math>N</math> при зміненні кута при основі трикутників <math>\theta</math> між <math>-\pi/2</math> і <math>\pi/2</math> є гіперболою Кіперта з рівнянням

: <math>\frac{\sin(B-C)}x+\frac{\sin(C-A)}y+\frac{\sin(A-B)}z=0</math>,

де <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>&nbsp;— ''трилінійні координати'' точки <math>N</math> у трикутнику.

== Відомі точки, що лежать на гіперболі Кіперта ==
Серед точок, що лежать на гіперболі Кіперта, є такі важливі точки трикутника<ref>{{книга-ру|автор={{Автор|Акопян Арсеній Володимирович|Акопян А. В.}}, {{Автор|Заславський Олексій Олександрович|Заславский А. А.}}|том=|isbn=978-5-94057-732-4|серия=|allpages=|pages=|страниц=148|страницы=125-126|год=2011|часть=|издательство=[[МЦНМО]]|место={{М.}}|издание=2-е изд., дополн.|ответственный=|ссылка=|оригинал=|заглавие=Геометрические свойства кривых второго порядка|тираж=}}</ref>:
{| class="wikitable"
!Значення <math>\theta</math>
! Точка <math>N</math>
|-
| <math>0</math>
| <math>G</math>, [[центроїд трикутника]] <math>ABC</math> (X2)
|-
| <math>\pi/2</math> (або <math>-\pi/2</math>)
| <math>O</math>, [[ортоцентр]] трикутника <math>ABC</math> (X4)
|-
| <math>\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(A/2)\operatorname{tg}(B/2)\operatorname{tg}(C/2)]</math><ref name="autogenerated16">{{MathWorld|KiepertHyperbola|Гіпербола Кіперта}}</ref>
| [[Центр Шпікера]] (X10)
|-
| <math>\pi/4</math>
| [[Точки Вектена|Зовнішня точка Вектена]] (X485)
|-
| <math>-\pi/4</math>
| [[Точки Вектена|Внутрішня точка Вектена]] (X486)
|-
| <math>\pi/6</math>
| <math>N_1</math>, [[Точки_Наполеона#Перша_точка_Наполеона|перша точка Наполеона]] (X17)
|-
| <math>-\pi/6</math>
| <math>N_2</math>, [[Точки_Наполеона#Друга_точка_Наполеона|друга точка Наполеона]] (X18)
|-
| <math>\pi/3</math>
| <math>F_1</math>, [[Точка Ферма|перша точка Ферма (X13)]]
|-
| <math>-\pi/3</math>
| <math>F_2</math>, Друга точка Ферма (X14)
|-
| <math>-A</math> (якщо <math>A<\pi/2</math>)<br/><math>\pi-A</math> (якщо <math>A>\pi/2</math>)
| вершина <math>A</math>
|-
| <math>-B</math> (якщо <math>B<\pi/2</math>)<br/><math>\pi-B</math> (якщо <math>B>\pi/2</math>)
| вершина <math>B</math>
|-
| <math>-C</math> (якщо <math>C<\pi/2</math>)

<math>\pi-C</math> (якщо <math>C>\pi/2</math>)
| вершина <math>C</math>
|}

== Перелік точок, що лежать на гіперболі Кіперта ==
Гіпербола Кіперта проходить через такі [[Енциклопедія центрів трикутника|центри трикутника]] X(i):

* i=2, ([[центроїд трикутника]]),
* i=4 ([[ортоцентр]]),
* i=10 ([[центр Шпікера]]; тобто, інцентр трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника ABC{{Sfn|Eddy, Fritsch|1994|с=188—205}}),
* i=13 (перша [[точка Ферма]]), i = 14 (друга точка Ферма),
* i=17 ([[Точки_Наполеона#Перша_точка_Наполеона|перша точка Наполеона]]), i = 18 ([[Точки_Наполеона#Друга_точка_Наполеона|друга точка Наполеона]]),
* i=76 (третя [[Точки Брокара|точка Брокара]]),
* i=83 (точка, ізогонально спряжена серединній точці між точками Брокара{{Sfn|Eddy, Fritsch|1994|с=188—205}}),
* i=94, 96,
* i=98 ({{Нп|точка Таррі|3=ru|4=Точка Тарри}}),
* i=226, 262, 275, 321,
* i=485 (зовнішня [[Точки Вектена|точка Вектена]]), i = 486 (внутрішня точка Вектена),
* i = 598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
* i = 1139 (внутрішня точка п'ятикутника, {{lang-en|inner pentagon point}}), i = 1140 (зовнішня точка п'ятикутника, {{lang-en|outer pentagon point}}),
* i = 1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
* i = 2671 (перша точка золотого арбелоса, {{lang-en|first golden arbelos point}}),
* i = 2672 (друга точка золотого арбелоса, {{lang-en|second golden arbelos point}}),
* i = 2986, 2996

== Узагальнення теореми Лестер у вигляді теореми Б. Гіберта (2000) ==
{{Див. також|Теорема Лестер}}
Теорема Б. Гіберта (2000) узагальнює теорему про [[Теорема Лестер|коло Лестер]], а саме: будь-яке окружність, [[діаметр]] якого є хордою гіперболи Кіперта трикутника і [[Перпендикулярність|перпендикулярний]] до його [[Лінія Ейлера|прямої Ейлера]], проходить через [[Точка Ферма|точки Ферма]]<ref>B. Gibert (2000): ''[ Message 1270]''. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.</ref><ref>Paul Yiu (2010), ''[http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201020.pdf The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211007130241/https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201020.pdf |date=7 жовтня 2021 }}''. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. {{MathSciNet|2868943}}</ref>.

== Історія ==
Назву ця гіпербола отримала на честь німецького математика {{Нп|Людвіг Кіперт|Фрідріха Вільгельма Августа Людвіга Кіперта|de|Ludwig Kiepert}} (1846—1934), який відкрив її.{{Sfn|Eddy, Fritsch|1994|с=188—205}}

== Властивості ==

* Гіпербола Кіперта&nbsp;— рівностороння або рівнобічна (тобто її асимптоти перпендикулярні), отже, її центр, позначений в [[Енциклопедія центрів трикутника|енциклопедії центрів трикутника]] як Х (115), лежить на [[Коло дев'яти точок|колі Ейлера]].

== Див. також ==
* [[Трикутник]]
* [[Парабола Кіперта]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{H|Eddy, Fritsch|1994}} {{Книга
|автор = Eddy R. H., Fritsch R. 
|частина = The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle
|заголовок = ''Math Magazine'', 1994, '''67'''
|pages = 188—205
}}
{{Трикутник}}
[[Категорія:Планіметрія]]
[[Категорія:Криві]]