Перегляд вихідного коду сторінки Гіпербола (математика)

{{Otheruses|Гіпербола}}
{{Універсальна картка}}
[[Файл:Hyperbola_(PSF).png|thumb|250px|right|Гіпербола є відкритою кривою з двома гілками, що утворюється внаслідок перетину конічної поверхні [[площина|площиною]].]]

'''Гіпербола''' ({{lang-el|ὑπερβολή}})&nbsp;— [[Криві другого порядку|крива другого порядку]] з [[ексцентриситет]]ом більшим за одиницю. Гіпербола є одним із трьох видів [[Конічні перетини|конічних перетинів]], що утворені перетином подвоєного [[конус]]а [[Площина|площиною]]. (Іншими конічними перетинами є [[парабола]] і [[еліпс]]. [[Коло]] є особливим випадком еліпса.) Якщо площина перетинає обидві половини подвоєного конуса, але не проходить через верхівку конусів, тоді крива, по якій перетинається конус є гіперболою.

Гіпербола зустрічається у багатьох випадках застосування:
* це крива що задається функцією <math>f(x) = 1/x</math> на [[Декартова система координат|декартовій площині]],
* це шлях, який описує тінь кінчика вказівника [[Сонячний годинник|сонячного годинника]],
* це форма [[Орбіта|не замкненої відкритої орбіти]] (що відрізняється від замкненої еліптичної орбіти), якій буде слідувати космічний апарат який перевищив [[Друга космічна швидкість|другу космічну швидкість]] в зоні дії гравітації найближчого астрономічного тіла,
* в {{нп|Гіперболічна навігація|радіо навігації|en|hyperbolic navigation}}, коли можливо визначити різницю в відстані між двома точками, але не значення самої відстані, та ін.

== Етимологія і історія ==
Слово «гіпербола» походить від [[Грецька мова|грецького]] слова {{lang|grc|ὑπερβολή}}, що означає «кидати над» або «надмірний». Гіперболу відкрив математик [[Менехм]] при досліджені задачі [[подвоєння куба]], а лише потім була пов'язана із перетином конусів.<ref>{{citation |title=Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections with Introductions Including an Essay on Earlier History on the Subject |first=Sir Thomas Little |last=Heath |publisher=Cambridge University Press |year=1896 |contribution=Chapter I. The discovery of conic sections. Menaechmus |pages=xvii–xxx |url=https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=B0k0AQAAMAAJ&pg=PR17 |accessdate=16 січня 2018 |archive-date=9 жовтня 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161009095006/https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=B0k0AQAAMAAJ&pg=PR17 }}.</ref> Термін гіпербола вважають було започатковане [[Аполлоній Перзький|Аполлонієм Перзьким]] (c. 262–c. 190 до н.&nbsp;е.) у його роботі по дослідженню [[Конічні перетини|конічних перетинів]], ''Конуси''.<ref>{{citation |title=A History of Mathematics |first=Carl B. |last=Boyer |first2=Uta C. |last2=Merzbach |publisher=Wiley |year=2011 |isbn=9780470630563 |url=https://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=RA2-PT73 |page=73 |quote=It was Apollonius (possibly following up a suggestion of Archimedes) who introduced the names "ellipse" and "hyperbola" in connection with these curves. |accessdate=16 січня 2018 |archive-date=27 червня 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140627000952/http://books.google.com/books?id=bR9HAAAAQBAJ&pg=RA2-PT73 }}</ref>
Назви двох інших конічних перетинів, [[еліпс]]а і [[парабола|параболи]], були утворені від відповідних грецьких слів «неповнота» і «прикладний»; всі ці назви були запозичені із ранньої піфагорійської термінології, які мали відношення до порівняння сторін прямокутників однакової площі із заданим прямим відрізком. Прямокутник може бути «прикладений» рівно до сегменту (що означає, має таку ж довжину), бути коротшим за сегмент, або перевищувати його.<ref>{{citation|pages=30–31|first=Howard|last=Eves|title=A Survey of Geometry (Vol. One)|year=1963|publisher=Allyn and Bacon}}</ref>

== Визначення ==

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:<ref name="korn">{{cite book|
автор=Корн Г., Корн Т.|
рік=1984|
назва=Справочник по математике для научних работников и инженеров| розділ=2.4-8|
видання=друге|
мова=рос.|
видавництво=Наука| розміщення=Москва}}</ref>
: <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
де <math>a > 0</math> та <math>b > 0</math>&nbsp;— параметри. Таке рівняння називається ''канонічним рівнянням'' гіперболи.<ref name=postnikov>{{cite book|title=Аналитическая геометрия|author=Постников М. М.|publisher=«Наука»|year=1979}}</ref>

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:
: <math>y^2 = 2px - (1 - \varepsilon^2)x^2.</math>
В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких <math>\varepsilon \ge 0</math> ('''ексцентриситет''') від заданої точки ('''фокуса''') та від заданої прямої ('''директриса''') незмінна. Крива є гіперболою, якщо <math>\varepsilon > 1</math>.<ref name="korn"/> Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює <math>2a</math> (фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до однойменної директриси дорівнює <math>e</math>.<ref name=postnikov/>

== Властивості ==
<gallery perrow="3">
Файл:Giperbola.png|Гіпербола та її фокуси.
Файл:Giperbola-koord.png|Гіпербола та її напіввіссі та асимптоти.
Файл:Giperbola-ravnoboch.png|Рівнобічна гіпербола.
</gallery>

Якщо в канонічному рівнянні гіперболи <math>a = b</math>, то гіпербола називається ''рівнобічною''. В координатах
: <math>u = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - y), \qquad v = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y),</math>
рівняння рівнобічної гіперболи
: <math>x^2 - y^2 = a^2</math>
матиме вигляд:
: <math>uv = 2a^2</math>
звідки випливає, що по відношенню до координат <math>u</math> та <math>v</math> рівнобічна гіпербола являє собою графік ''звортньо-пропорційної залежності''. В координатах <math>x</math> та <math>y</math> маємо такий саме графік обернений на кут <math>\frac{\pi}{4}</math>.<ref name="postnikov"/>

При <math>u \to \pm \infty</math> (а також при <math>v \to \pm \infty</math>) графік зворотньо-пропорційної залежності щільніше притіскається до осі абсцис <math>v=0</math> (відповідно, до осі ординат <math>u=0</math>), оскільки ці осі є ''асимптотами'' (двобічними) графіку. В канонічних координатах <math>x</math>, <math>y</math> ці асимптоти є [[бісектриса]]ми <math>y = x</math> та <math>y = -x</math> координатних кутів.<ref name="postnikov"/>

З гіперболою пов'язані такі числові властивості:
* число <math>a</math>, що зветься ''дійсною напіввіссю'';
* число <math>b</math>, що зветься ''уявною напіввіссю'';
* число <math>c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>, що зветься ''лінійним ексцентриситетом'';
* число <math>2c</math>, що зветься ''фокусною відстаню'';
* число <math>e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}</math>, що називається ''числовим ексцентриситетом'';
* число <math>p=\frac{b^2}{a}</math>, що зветься ''фокальним параметром'';
* вісь абсцис, що зветься ''дійсною'' (або ''фокальною'') віссю;
* вісь ординат, що зветься ''уявною віссю'';
* точка <math>O(0,0)</math>, що зветься ''центром'';
* точки <math>(\pm a, 0)</math>, що звуться ''вершинами'';
* точки <math>(\pm c, 0)</math>, що звуться ''фокусами'';
* прямі <math>x = \pm \frac{a}{e}</math>, що звуться ''директрисами''.

== Полярні координати ==
[[Файл:Hyperbel-pold-f-s.svg|thumb|Гіпербола: Полярні координати в яких полюс = фокусу]]
[[Файл:Hyperbel-pold-m-s.svg|thumb|Гіпербола: Полярні координати в яких полюс = центру]]
'''полюс = фокус:'''

Полярні координати для гіперболи зазвичай використовуються для декартової системи координат, таким чином що їх ''початок координат знаходиться у фокусі'' а вісь x направлена в початок «канонічної системи координат» як показано на першому графіку.<br/>
В такому випадку кут <math>\varphi</math> називають '''справжньою аномалією'''.

Відповідно до цієї системи координат маємо
* <math>r = \frac{p}{1 \mp e \cos \varphi}, \quad p=\tfrac{b^2}{a}</math>
і
: <math>-\arccos \left(-\frac 1 e\right) < \varphi < \arccos \left(-\frac 1 e\right). </math>

'''полюс = центр:'''

Якщо полярні координати відповідають «канонічній системі координат» (див другий графік)
будемо мати
* <math>r =\frac{b}{\sqrt{e^2 \cos^2 \varphi -1}} .\,</math>
Для правої гілки гіперболи діапазон для <math> \varphi </math> становить
: <math>-\arccos \left(\frac 1 e\right) < \varphi < \arccos \left(\frac 1 e\right).</math>

== Еліптичні координати ==
Сукупність конфокальних гіпербол утворюють базис системи {{нп|Еліптичні координати|еліптичних координат|en|elliptic coordinates}} для двох вимірів. Гіперболи описуються наступним рівнянням

: <math>
\left(\frac x {c \cos\theta}\right)^2 - \left(\frac y {c \sin\theta}\right)^2 = 1
</math>

де фокуси знаходяться на відстані ''c'' від початку осі ''x'', і де θ є кутом асимптоти утвореним із віссю ''x''. Кожна гіпербола в цій родині гіпербол є ортогональною до кожного еліпса що мають спільні фокуси. Ортогональність можна показати за допомогою [[Конформне відображення|конформного відображення]] Декартової системи координат ''w'' = ''z'' + 1/''z'', де ''z''= ''x'' + ''iy'' є початковими декартовими координатами, а ''w''=''u'' + ''iv'' є координатами, що отримані після перетворення.

Іншу ортогональні двовимірні системи координат, що мають справу з гіперболами можна отримати за допомогою іншого конформного відображення. Наприклад, відображення ''w'' = ''z''<sup>2</sup> перетворює декартову систему координат на дві сукупності ортогональних гіпербол.

== Параметричні рівняння ==
Гіпербола представлена рівнянням <math>\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}= 1 </math> може бути задана за допомогою декількох параметричних рівнянь:
: '''1:''' <math>\left\{\begin{matrix}\quad \; x \, = \, \pm a \cosh t \\ y \, = \, b \sinh t \end{matrix}\right. \quad ,\ t \in \R \ .</math>
: '''2:''' <math>\left\{\begin{matrix} \quad \ x \, = \, \pm a\, \tfrac{t^2+1}{2t} \\ y \, = \, b\, \tfrac{t^2-1}{2t} \end{matrix}\right. \quad ,\ t >0 \ .</math> (''раціональне'' представлення)
: '''3:''' <math>\left\{\begin{matrix}\quad \ x \, = \, \frac{a}{\cos t}=a\sec t \\ y \, = \, \pm b \tan t \end{matrix}\right. \ , \quad 0 \le t < 2\pi; \; t \ne \frac{\pi}{2}; \; t \ne \frac{3}{2}\pi \ .</math>

== Ортогональні дотичні&nbsp;— ортоптика ==
[[Файл:Orthoptic-hyperbola-s.svg|thumb|Гіпербола і її ортоптика (фіолетовим)]]
Для гіперболи <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \, a>b</math> точки перетину ''ортогональних'' дотичних лежать на колі <math>x^2+y^2=a^2-b^2</math>. <br/>
Це коло називають ''{{нп|Ортоптика (геометрія)|ортоптикою|en|Orthoptic (geometry)}}'' даної гіперболи.

Дотичні можуть проходити через точки різних гілок гіперболи.

У випадку <math>a\le b</math> не існує жодної пари ортогональних дотичних.

== Інші математичні визначення ==

=== Квадратичне рівняння ===
Гіперболу можна задати за допомогою рівняння другого степеня у декартовій системі координат (''x'', ''y'') на [[Площина|площині]],

: <math>
A_{xx} x^2 + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^2 + 2 B_x x + 2 B_y y + C = 0,
</math>

за умови, що константи ''A''<sub>''xx''</sub>, ''A''<sub>''xy''</sub>, ''A''<sub>''yy''</sub>, ''B''<sub>''x''</sub>, ''B''<sub>''y''</sub>, і ''C'' задовольняють умову детермінанта

: <math>
D := \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy}\\A_{xy} & A_{yy} \end{vmatrix} < 0.\,
</math>

Цей детермінант зазвичай називають [[Дискримінант#Discriminant of a conic section|дискримінантом]] конічного перетину.<ref>{{citation
|title=Math refresher for scientists and engineers
|first1=John R.
|last1=Fanchi
|publisher=John Wiley and Sons
|year=2006
|isbn=0-471-75715-2
|pages=44–45
|url=https://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C
|accessdate=18 січня 2018
|archive-date=29 травня 2016
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160529050525/https://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C
}}, [https://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C&pg=PA45 Section 3.2, page 45] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160426071543/https://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C&pg=PA45 |date=26 квітня 2016 }}</ref>

Особливим випадком гіперболи є ''{{нп|Вироджений конічний перетин|вироджена гіпербола|en|degenerate conic}}'', що є двома прямими, що перетинаються у випадку коли детермінант дорівнює нулю:

: <math>
\Delta := \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy} & B_x \\A_{xy} & A_{yy} & B_y \\ B_x & B_y & C \end{vmatrix} = 0.
</math>

Детермінант позначають як Δ і іноді називають дискримінантом конічного перетину.<ref>Korn, Granino A. and Korn, Theresa M. ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review'', Dover Publ., second edition, 2000: p. 40.</ref>

Із заданої загальної параметризації гіперболи у декартовій площині, ексцентриситет можна знайти використовуючи формулу.

: <math>e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}},</math>

Центр (''x''<sub>''c''</sub>, ''y''<sub>''c''</sub>) гіперболи можна знайти за допомогою формули:

: <math>
x_c = -\frac{1}{D} \begin{vmatrix} B_x & A_{xy} \\ B_y & A_{yy} \end{vmatrix};
</math>

: <math>
y_c = -\frac 1 D \begin{vmatrix} A_{xx} & B_x \\A_{xy} & B_y \end{vmatrix}.
</math>

В рамках цих нових координат, {{nowrap|''ξ'' {{=}} ''x'' &minus; ''x''<sub>''c''</sub>}} і {{nowrap|''η'' {{=}} ''y'' &minus; ''y''<sub>''c''</sub>}}, рівняння для визначення гіперболи можна записати наступним чином:

: <math>
A_{xx} \xi^2 + 2A_{xy} \xi\eta + A_{yy} \eta^2 + \frac \Delta D = 0.
</math>

Головні осі гіперболи утворюють кут ''&phi;'' із додатною частиною осі ''x'', який визначається рівнянням

: <math>
\tan 2\varphi = \frac{2A_{xy}}{A_{xx} - A_{yy}}.
</math>

Поворот координатних осей таким чином, що вісь ''x'' буде вирівняна із поперечною віссю приводить це рівняння у відому '''канонічну форму'''

: <math>
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.
</math>

Велика і мала півосі ''a'' і ''b'' визначаються рівняннями

: <math>
a^2 = -\frac \Delta {\lambda_1 D} = -\frac \Delta {\lambda_1^2 \lambda_2},
</math>

: <math>
b^{2} = -\frac{\Delta}{\lambda_{2}D} = -\frac{\Delta}{\lambda_{1}\lambda_{2}^{2}},
</math>

де λ<sub>1</sub> and λ<sub>2</sub> є [[Корінь функції|коренями]] [[Квадратне рівняння|квадратного рівняння]]

: <math>
\lambda^2 - \left( A_{xx} + A_{yy} \right)\lambda + D = 0.
</math>

Для порівняння, відповідне рівняння для виродженої гіперболи (що складається із двох прямих, які перетинаються) є наступним

: <math>
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0.
</math>

Дотична пряма у заданій точці (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>), що належить гіперболі визначається рівнянням

: <math>
E x + F y + G = 0
</math>

де ''E'', ''F'' і ''G'' задаються як

: <math>
E = A_{xx} x_0 + A_{xy} y_0 + B_x,
</math>

: <math>
F = A_{xy} x_0 + A_{yy} y_0 + B_y,
</math>

: <math>
G = B_x x_0 + B_y y_0 + C.
</math>

Пряма [[Нормаль (геометрія)|нормалі]] відносно гіперболи в тій самій точці буде задаватися даним рівнянням

: <math>
F(x - x_0) - E(y - y_0) = 0.
</math>

Нормаль перпендикулярна дотичній прямій, і обидві вони проходять через одну задану точку (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>).

Із рівняння
: <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad 0 < b \leq a,</math>
лівим фокусом є <math>(-ae,0)</math> і правим фокусом є <math>(ae,0), </math> де {{math|''e''}} є ексцентриситетом. Позначимо відстані від точки (''x, y'') до лівого і правого фокусів як <math> r_1 \,\!</math> і <math> r_2 . \,\!</math> Для точки на правій гілці,

: <math> r_1 - r_2 =2 a, \, \!</math>

для точки лівої гілки,

: <math> r_2 - r_1 =2 a. \, \!</math>

Це можна довести наступним чином: Якщо (''x'',''y'') є точкою, що належить гіперболі, відстань до точки лівого фокусу буде

: <math> r_1^2 =(x+a e)^2 + y^2 = x^2 + 2 x a e + a^2 e^2 + (x^2-a^2)(e^2-1)=
(e x + a)^2.</math>

Точка правого фокусу буде на відстані
: <math> r_2^2 = (x-a e)^2 + y^2 = x^2 - 2 x a e + a^2 e^2 + (x^2-a^2)(e^2-1)=
(e x - a)^2.</math>

Якщо (''x, y'') є точкою правої гілки гіперболи, тоді <math>e x > a\,\!</math> і
: <math> r_1 =e x + a,\,\!</math>
: <math> r_2 =e x - a.\,\!</math>

Віднімаючи ці рівняння, отримуємо

: <math> r_1 - r_2 =2 a.\,\!</math>

Якщо (''x, y'') є точкою лівої гілки гіперболи, тоді <math>e x < -a\,\!</math> і
: <math> r_1 = -e x - a,\,\!</math>
: <math> r_2 = -e x + a.\,\!</math>

Віднімаючи ці рівняння, отримуємо

: <math> r_2 - r_1 =2 a.\,\!</math>

== Аналіз конічних перетинів гіперболічного представлення кіл ==
[[Файл:Zp-Kugel-Augp-innen.svg|350px|thumb|[[Проєкції|Центральна проєкція]] кіл на сфері: Центр проєкції O знаходиться в середині сфери, площина проєктування показана червоним. <br/>
При проєктування кіл може бути отримане коло (фіолетове), еліпси, гіперболи і прямі. Особливий випадок&nbsp;— парабола, не показана в цьому прикладі.<br/>
(Якби центр O знаходився б ''на'' сфері, всі проєкції кіл були б колами або лініями; див. [[стереографічна проєкція|стереографічні проєкції]]).]]
Крім забезпечення загального описання для кіл, еліпсів, парабол і гіпербол, конічні перетини можна розуміти як природну модель для вивчення геометрії перспективи, якщо вважати, що сцена яку спостерігають складається із кіл, або в більш загальному вигляді із еліпсів. Спостерігач, зазвичай це камера або око людини, проєктують сцену у вигляді центральної проєкції на площину проєктування (зображення), тобто всі промені проєкції проходять через одну фіксовану точку O, що є центром. '''Площиною лінзи''' є площина паралельна площині зображення і що проходить через центр лінзи O.

Проєкцією кола c буде: a) '''коло''', якщо коло c має особливу позицію, наприклад знаходиться паралельно до площини проєктування або інші (див. стереографічні проєкції),
: b) '''еліпс''', якщо c ''не має'' спільної точки із площиною лінзи,
: c) '''парабола''', якщо c має ''одну'' спільну точку із площиною лінзи і: d) '''гіпербола''', якщо c має ''дві'' спільні точки із площиною лінзи.

(Особливий випадок, коли площина кола містить точку O опускається.)

Ці висновки можна зрозуміти якщо уявити, як процес проєктування можна розбити на два кроки: 1) коло c і точка O утворюють конус який 2) зрізаний площиною проєктування, для того, щоб утворити зображення.

Спостерігач буде бачити гіперболу, коли бачить частину кола, яке перетинає площина лінзи. Не можливість побачити досить велику частину розгалужених гілок гіперболи, не дає фактично людській системі зору ідентифікувати зв'язок із гіперболами.

== Застосування ==
[[Файл:Akademia Ekonomiczna w Krakowie Pawilon C.JPG|thumb|right|Гіперболічні лінії відхилення на сонячному годиннику]]

=== Сонячний годинник ===
Гіперболу можна побачити при використанні багатьох [[Сонячний годинник|сонячних годинників]]. У будь-який день, Сонце проходить коло по [[Небесна сфера|небесній сфері]], а його промені що потрапляють на вказівник сонячного годинника виписують конус світла. Перетин цього конуса із горизонтальною площиною землі утворює конічний перетин. У більш населених широтах і в більшій частині року цей конічний перетин утворює гіперболу. В більш простих термінах, тінь кінчика вказівника описує гіперболу на землі із проходом дня (цю траєкторію називають ''лінією відхилення''). Форма цієї гіперболи змінюється в залежності від географічної широти і з періодом року, оскільки ці фактори впливають на те, як буде падати конус сонячних променів відносно горизонту. Сукупність таких гіпербол для всього року для даної місцевості грецькою мовою називається ''пелекінон'', оскільки вона нагадує подвійну сокиру.

=== Мультилатерація ===
Гіпербола є основою для розв'язання задачі [[Мультилатерація|мультилатерації]] - визначення точки місцезнаходження за різницею відстаней до заданої множини точок, або, еквівалентно, за різницею часу надходження синхронізованих сигналів між точкою місцезнаходження і заданими точками. Ця задача важлива для навігації, зокрема на воді; коли корабель може визначити своє місцезнаходження за різницею часу проходження сигналу від передавачів [[LORAN]] або [[GPS]].

=== Траєкторія руху частинки ===
Шлях, по якому рухається частинка в класичній [[Задача Кеплера|задачі Кеплера]] є [[Конічні перетини|конічним перетином]]. Зокрема, загальна енергія ''E'' частинки є більшою за нуль (коли частинка є вільною), траєкторією руху такої частинки буде гіпербола. Ця властивість є корисною для вивчення атомних і суб-атомних сил за допомогою розсіювання частинок, що мають високу енергію; наприклад, [[Експеримент Гейгера — Марсдена|експеримент Гейгера&nbsp;— Марсдена]] який продемонстрував існування [[Ядро атома|ядра атома]] через дослідження розсіювання [[Альфа-частинка|альфа-частинок]] атомами [[Золото|золота]]. Якщо ігнорувати ядерну взаємодію на короткій відстані, атомні ядра і альфа-частинки взаємодіють лише через сили відштовхування за [[Закон Кулона|законом Кулона]], що відповідає вимогам [[Закон обернених квадратів|закону обернених квадратів]] для задачі Кеплера.

=== Рівняння Кортевега&nbsp;— де Фріза ===
Гіперболічна тригонометрична функція <math>\operatorname{sech}\, x</math> є одним із розв'язків [[Рівняння Кортевега — де Фріза|рівняння Кортевега]][[Експеримент Гейгера — Марсдена|&nbsp;]]— де Фріза, яке описує рух солітонної хвилі в каналі.

== Інші криві другого порядку ==
* [[Парабола]]
* [[Еліпс]]

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Трисектриса Маклорена]]

== Примітки ==
{{reflist}}

=== Література ===
* {{cite book|title=Аналитическая геометрия|author=Постников М. М.|publisher=«Наука»|year=1979}}

== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Гіпербола|сторінки=110-112}}
{{Криві}}
[[Категорія:Конічні перетини]]