Перегляд вихідного коду сторінки Групи Конвея

{{Теорія груп|expanded=Finite}}
'''Групи Конвея'''&nbsp;— це три введені Конвеєм [[Спорадична група|спорадичні прості групи]] {{Нп|Група Конвея  Co1|Co<sup>1</sup>|en|Conway group Co1}}, {{Не перекладено|Група Конвея Co2|Co<sub>2</sub>|en|Conway group Co2}} і {{Не перекладено|Група Конвея Co3|Co<sub>3</sub>|en|Conway group Co3}} разом зі скінченною групою Co<sub>0</sub>{{Sfn|Conway|1968}}{{Sfn|Conway|1969}}.

Найбільша з груп Конвея, '''Co<sub>0</sub>'''&nbsp;— це [[Автоморфізм|група автоморфізмів]] [[Ґратка Ліча|ґратки Ліча]] <math>\Lambda</math>. Ця група має [[Порядок групи|порядок]]

: {{Val|8315553613086720000|fmt=spaces}}

Вона не є простою групою. Проста група '''Co<sub>1</sub>''' порядку

: {{Val|4157776806543360000|fmt=spaces}}

визначається як [[фактор-група]] групи '''Co<sub>0</sub>''' за її [[Центр групи|центром]], який складається зі скалярних матриць ±1.

'''Скалярний добуток''' на ґратці Ліча визначається як 1/8 [[Скалярний добуток|суми добутків]] відповідних координат двох перемножуваних векторів. Це ціле число. '''Квадратична норма''' вектора дорівнює скалярному добутку вектора на себе, завжди парне ціле число. Часто говорять про '''тип''' вектора ґратки Ліча, що дорівнює половині норми. Підгрупи часто називають згідно з ''типами'' відповідних фіксованих точок. Ґратка не має векторів типу 1.

Групи {{Не перекладено|Група Конвея Co2|'''Co<sub>2</sub>'''|en|Conway group Co2}} (порядку {{Val|42305421312000|fmt=spaces}}) і {{Не перекладено|Група Конвея Co3|'''Co<sub>3</sub>'''|en|Conway group Co3}} (порядку {{Val|495766656000|fmt=spaces}}) складаються з автоморфізмів <math>\Lambda</math>, що зберігають вектори типу 2 і вектори типу 3 відповідно. Оскільки множення на [[скаляр]] −1 не зберігає ніякого ненульового вектора, ці дві групи є ізоморфними підгрупам групи Co<sub>1</sub>.

== Історія ==
Томас Томпсон{{Sfn|Thompson|1983}} розповів, як {{Не перекладено|Джон Ліч (математик)|Джон Ліч|en|John Leech (mathematician)}} приблизно в 1964 році досліджував [[Щільне пакування рівних сфер|щільне пакування сфер]] у евклідових просторах високих розмірностей. Одним із відкриттів Ліча було ґратчасте укладання в 24-вимірному просторі, засноване на тому, що стало називатися ґраткою Ліча <math>\Lambda</math>. Він вирішив дізнатися, чи містить група симетрії ґратки цікаві прості групи, але відчув, що йому потрібна допомога когось, більш обізнаного в теорії груп. Він довго шукав таку людину, але математики були зайняті своїми власними завданнями. Подивитися на це завдання погодився [[Джон Конвей]]. [[Джон Ґріґґз Томпсон|Джон Ґ. Томпсон]] заявив, що візьме участь у роботі, якщо Конвей знайде [[порядок групи]]. Конвей вважав, що витратить на проблему місяці чи роки, але отримав результат за кілька днів.

Вітт{{Sfn|Witt|1998|с=329}} стверджував, що він знайшов ґратку Ліча 1940 року, і натякнув, що обчислив порядок її групи автоморфізмів Co<sub>0</sub>.

== Мономіальна підгрупа N групи Co<sub>0</sub> ==
Конвей розпочав свої дослідження Co<sub>0</sub> з підгрупи, яку він назвав '''N'''. Це {{Не перекладено|Голоморф (математика)|голоморф||holomorph (mathematics)}} (розширеного) [[Двійковий код Голея|двійкового коду Голея]], поданого як набір [[Діагональна матриця|діагональних матриць]] із 1 або -1 на діагоналі, тобто його [[Розширення групи|розширення]] за допомогою {{Не перекладено|Група Матьє M24|групи Матьє M<sub>24</sub>|en|Mathieu group M24}} (елементи якої подано як [[Матриця перестановки|матриці перестановки]]). {{Nobr|'''N''' ≈ 2<sup>12</sup>:M<sub>24</sub>}} .

Стандартне подання двійкового коду Голея, використане в цій статті, упорядковує 24 координати так, що 6 послідовних блоків по 4 (тетрад) утворюють {{Не перекладено|Група Матьє M24|секстет|en|Mathieu group M24}}.

Матриці групи Co<sub>0</sub> [[Ортогональна матриця|ортогональні]]. Тобто вони залишають скалярний добуток незмінним. [[Обернена матриця]] є її [[Транспонована матриця|транспонованою]]. Co<sub>0</sub> не містить матриць із [[визначник]]ом −1.

Ґратку Ліча можна визначити як '''Z'''-[[Модуль над кільцем|модуль]], породжений множиною <math>\Lambda_2</math> всіх векторів типу 2, що складаються з: (4, 4, 0<sup>22</sup>): (2<sup>8</sup>, 0<sup>16</sup>): (−3, 1<sup>23</sup>)

та їх образів під дією '''N'''. <math>\Lambda_2</math> під дією '''N''' розпадається на 3 [[Дія групи#Орбіти елементів|орбіти]] розміру 1104, 97152 та 98304. Тоді <math>|\Lambda_2|= 196560=2^4\cdot 3^3\cdot 5 \cdot 7 \cdot 13</math>. Конвей дуже підозрював, що Co<sub>0</sub> [[Дія групи|транзитивна]] на <math>\Lambda_2</math>, більш того, він виявив нову матрицю, не {{Не перекладено|Узагальнена матриця перестановок|мономіальну|en|generalized permutation matrix}} і не цілочисельну.

Нехай <math>\eta</math>&nbsp;— матриця 4×4

: <math>\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
  1 & -1 & -1 & -1 \\
 -1 &  1 & -1 & -1 \\
 -1 & -1 & 1 & -1 \\
 -1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix}</math>

Тепер нехай <math>\zeta</math>&nbsp;— 6-блокова матриця з непарним числом <math>\eta</math> і <math>-\eta</math>{{Sfn|Griess|1998|с=97}}{{Sfn|Thompson|1983|с=148–152}}. <math>\zeta</math> є [[Симетрична матриця|симетричною]] та ортогональною матрицею, а отже, являє собою [[Інволюція (математика)|інволюцію]]. Вона подає вектор між різними орбітами групи '''N'''.

Щоб обчислити <math>|\mathrm{Co}_0|</math>, найкраще розглянути <math>\Lambda_4</math>, множину векторів типу 4. Будь-який вектор типу 4 є точно одним з 48 векторів типу 4, порівнянних один з одним за модулем <math>2\Lambda</math>, які розпадаються на 24 ортогональні пари <math>\{v, -v\}</math>. Набір зі 48 таких векторів називають '''каркасом''' ({{Lang-en|frame}}). '''N''' має [[Дія групи|орбітою]] стандартний каркас зі 48 векторів вигляду (±8, 0<sup>23</sup>). Підгрупа, що фіксує заданий каркас, [[Підгрупа|спряжена]] з '''N'''. Група 2<sup>12</sup>, ізоморфна коду Голея, діє як зміна знака векторів каркаса, тоді як M<sub>24</sub> переставляє 24 пари каркаса. Co<sub>0</sub>, як можна показати, [[Дія групи|транзитивна]] на <math>\Lambda_4</math>. Конвей перемножив порядок <math>2^{12}|\mathrm{M}_{24}|</math> група '''N''' і число каркасів, останнє дорівнює відношенню <math>|\Lambda_4|/48=8252375 =3^6\cdot 5^3\cdot 7\cdot 13</math>. Цей добуток є порядком ''будь-якої'' підгрупи групи Co<sub>0</sub>, яка строго містить '''N'''. Отже, '''N''' є максимальною підгрупою групи Co<sub>0</sub> і містить [[Теореми Силова|силовські 2-підгрупи]] групи Co<sub>0</sub>. '''N''' також є підгрупою Co<sub>0</sub> всіх матриць із цілими елементами.

Оскільки <math>\Lambda</math> включає вектор вигляду {{Nobr|(±8, 0<sup>23</sup>)}}, Co<sub>0</sub> складається з раціональних матриць, у яких всі знаменники ділять 8.

Найменше нетривіальне подання групи Co<sub>0</sub> над будь-яким полем є 24-вимірним, що виникає з ґратки Ліча, і воно точно над полями з характеристикою, відмінною від 2.

== Інволюції в Co<sub>0</sub> ==
Будь-яка [[Інволюція (математика)|інволюція]] в Co<sub>0</sub> як можна показати, [[Клас спряженості|спряжена]] елементу в коді Голея. Co<sub>0</sub> має 4 класи спряженості інволюцій.

Можна показати, що матриця перестановок вигляду 2<sup>12</sup> спряжена [[Двійковий код Голея|додекадам]]. Її централізатор<ref>[[Централізатор]]ом матриці називають множину матриць, які комутують з нею {{Harvard citation|Арнольд|1999}}.</ref> має вигляд 2<sup>12</sup>:M<sub>12</sub> і має спряження всередині мономіальної підгрупи. Будь-яка матриця в цьому спряженому класі має слід 0.

Можна показати, що матриця перестановок вигляду 2<sup>8</sup>1<sup>8</sup> спряжена [[Двійковий код Голея|октаді]]. Вона має слід 8. Вона та протилежна їй (слід −8) мають спільний централізатор вигляду <math>(2^{1+8}\times 2).\mathrm{O}_8^+(2)</math>, максимальна підгрупа Co<sub>0</sub>.

== Групи підґраток ==
Конвей і Томпсон виявили, що чотири недавно знайдені спорадичні прості групи, описані в доповіді на конференції{{Sfn|Brauer, Sah|1969}}, ізоморфні підгрупам або фактор-групам підгруп Co<sub>0</sub>.

Конвей сам використовував нотацію для стабілізаторів точок і підпросторів, ставлячи на початку префікс у вигляді крапки. Винятками були '''•0''' та '''•1''', відомі нині як Co<sub>0</sub> та Co<sub>1</sub>. Для цілого <math>\mathbf{n} \geqslant 2</math> нехай <math>\boldsymbol\cdot\mathbf{n}</math> означає стабілізатор точок типу '''n''' (див. вище) у ґратці Ліча.

Конвей потім ввів назви для стабілізаторів площин, визначених трикутниками, які мають вершиною [[початок координат]]. Нехай '''•hkl''' буде поточковим стабілізатором трикутника з ребрами (різниці вершин) типу '''h''', '''k''' і '''l'''. У найпростіших випадках Co<sub>0</sub> транзитивна на точках або трикутниках і групи стабілізаторів визначено з точністю до спряженості.

Конвей ототожнив '''•322''' з {{Не перекладено|Спорадична група Маклафліна|'''групою Маклафліна'''|en|McLaughlin group (mathematics)}} McL (порядок {{Val|898128000|fmt=spaces}}), а '''•332''' з {{Не перекладено|Група Гігмана — Сімса|'''групою Гігмана — Сімса'''|en|Higman–Sims group}} HS (порядок {{Val|44352000|fmt=spaces}}). Обидві нещодавно виявлено.

У таблиці наведено{{Sfn|Conway, Sloane|1999|с=291}}{{Sfn|Griess|1998|с=126}} деякі групи підґраток:
{| class="wikitable" style="margin:1em auto;"
!Назва
!Порядок
!Структура
!Приклад вершин
|-
|•2
|2<sup>18</sup> 3<sup>6</sup> 5<sup>3</sup> 7 11 23
|Co<sub>2</sub>
|(−3, 1<sup>23</sup>)
|-
|•3
|2<sup>10</sup> 3<sup>7</sup> 5<sup>3</sup> 7 11 23
|Co<sub>3</sub>
|(5, 1<sup>23</sup>)
|-
|•4
|2<sup>18</sup> 3<sup>2</sup> 5 7 11 23
|2<sup>11</sup>:M<sub>23</sub>
|(8, 0<sup>23</sup>)
|-
|•222
|2<sup>15</sup> 3<sup>6</sup> 5 7 11
|PSU<sub>6</sub>(2) ≈ Fi<sub>21</sub>
|(4, −4, 0<sup>22</sup>), (0, −4, 4, 0<sup>21</sup>)
|-
|•322
|2<sup>7</sup> 3<sup>6</sup> 5<sup>3</sup> 7 11
|McL
|(5, 1<sup>23</sup>), (4, 4, 0<sup>22</sup>)
|-
|•332
|2<sup>9</sup> 3<sup>2</sup> 5<sup>3</sup> 7 11
|HS
|(5, 1<sup>23</sup>), (4, −4, 0<sup>22</sup>)
|-
|•333
|2<sup>4</sup> 3<sup>7</sup> 5 11
|3<sup>5</sup> M<sub>11</sub>
|(5, 1<sup>23</sup>), (0, 2<sup>12</sup>, 0<sup>11</sup>)
|-
|•422
|2<sup>17</sup> 3<sup>2</sup> 5 7 11
|2<sup>10</sup>:M<sub>22</sub>
|(8, 0<sup>23</sup>), (4, 4, 0<sup>22</sup>)
|-
|•432
|2<sup>7</sup> 3<sup>2</sup> 5 7 11 23
|M<sub>23</sub>
|(8, 0<sup>23</sup>), (5, 1<sup>23</sup>)
|-
|•433
|2<sup>10</sup> 3<sup>2</sup> 5 7
|2<sup>4</sup>.A<sub>8</sub>
|(8, 0<sup>23</sup>), (4, 2<sup>7</sup>, −2, 0<sup>15</sup>)
|-
|•442
|2<sup>12</sup> 3<sup>2</sup> 5 7
|2<sup>1+8</sup>.A<sub>7</sub>
|(8, 0<sup>23</sup>), (6, −2<sup>7</sup>, 0<sup>16</sup>)
|-
|•443
|2<sup>7</sup> 3<sup>2</sup> 5 7
|M<sub>21</sub>:2 ≈ PSL<sub>3</sub>(4):2
|(8, 0<sup>23</sup>), (5, −3, −3, 1<sup>21</sup>)
|}

== Дві інші спорадичні підгрупи ==
Дві спорадичні підгрупи можна визначити як фактор-групи стабілізаторів структур на ґратці Ліча. Ототожнення '''R'''<sup>24</sup> з '''C'''<sup>12</sup> і <math>\Lambda</math> з

: <math>\mathbf{Z}\left[e^{\frac{2}{3}\pi i}\right]^{12},</math>

результуючою групою автоморфізмів (тобто групою автоморфізмів ґратки Ліча, що зберігають {{Не перекладено|Лінійна комплексна структура|комплексну структуру|en|Linear complex structure}}), коли ділиться на шестиелементну групу комплексних скалярних матриць, дає {{Не перекладено|Спорадична група Судзукі|'''групу Судзукі'''|en|Suzuki sporadic group}} Suz (порядку {{Val|448,345,497,600|fmt=commas}}). Цю групу виявив 1968 року {{Нп|Мітіо Сузукі|3=en|4=Michio Suzuki (mathematician)}}.

Подібна побудова дає {{Нп|Група Янко J2|групу Янко|en|Janko group J2}} J<sub>2</sub> (порядок {{Val|604800}}) як фактор-групу [[Кватерніони|кватерніонних]] автоморфізмів <math>\Lambda</math> за групою скалярів ±1.

Сім простих груп, описаних вище, включають те, що Роберт Гріс назвав ''другим поколінням щасливої родини'', яке складається з 20 простих спорадичних груп, знайдених у [[Монстр (група)|монстрі]]. Деякі з семи груп містять щонайменше деякі з п'яти [[Група Матьє|груп Мат'є]], які становлять ''перше покоління''.

== Ланцюжок Сузукі добутку груп ==
Co<sub>0</sub> має 4 класи суміжності елементів порядку 3. В M<sub>24</sub> елемент вигляду 3<sup>8</sup> утворює групу, нормальну в копії S<sub>3</sub>, яка комутує з простою підгрупою порядку 168. [[Двійковий код Голея|Прямий добуток]] <math>\mathrm{PSL}(2,7) \times \mathrm{S}_3</math> M<sub>24</sub> переставляє октади {{Не перекладено|Група Матьє M24|тріо|en|Mathieu group M24}} і переставляє 14 додекадних діагональних матриць у мономіальній підгрупі. У Co<sub>0</sub> цей мономіальний нормалізатор <math>2^4\colon\mathrm{PSL}(2,7) \times \mathrm{S}_3</math> розширено до максимальної підгрупи вигляду <math>2.\mathrm{A}_9 \times \mathrm{S}_3</math> де 2.A<sub>9</sub> є подвійним накриттям знакозмінної групи A<sub>9</sub>{{Sfn|Wilson|2009|с=27}}.

Джон Томпсон вказав на те, що було б плідним вивчення нормалізаторів малих груп вигляду 2.A<sub>n</sub>{{Sfn|Conway|1971|с=242}}. В такий спосіб знайдено деякі максимальні підгрупи Co<sub>0</sub>. Більш того, дві спорадичні групи з'являються в результуючому ланцюжку.

Існує підгрупа <math>2.\mathrm{A}_8 \times \mathrm{S}_4</math>, єдина в цьому ланцюжку не максимальна в Co<sub>0</sub>. Далі йде підгрупа <math>(2.\mathrm{A}_7 \times \mathrm{PSL}_2(7))\colon{2}</math>. Наступною йде <math>(2.\mathrm{A}_6 \times \mathrm{SU}_3(3)):2</math>. [[Унітарна група]] <math>\mathrm{SU}_3(3)</math> (порядок {{Val|6048|fmt=commas}}) пов'язана з групою автоморфізмів графа з 36 вершинами, передбачаючи наступну підгрупу. Ця підгрупа&nbsp;— <math>(2. \mathrm{A}_5 \circ\mathrm{ 2.HJ}):2</math>, де з'являється [[група Янко J2]]. Згаданий граф розширюється до [[Граф Голла — Янко|графа Голла&nbsp;— Янко]] зі 100 вершинами. Наступною йде <math>(2. \mathrm{A}_4 \circ 2. \mathrm{G}_2(4)):2</math>, група G<sub>2</sub>(4), яка є винятковою [[G₂|групою лієвого типу]]{{Sfn|Wilson|2009|с=219}}{{Ref+|Тут двокрапка означає розщеплюване [[розширення групи]] ([[напівлупрямий добуток]]){{sfn|Wilson|2009|p=9}}, знак ◦ означає {{нп5|центральний добуток груп|||Central product}}&nbsp;— фактор-групу прямого добутку груп за підгрупою (зазвичай діагональною) його [[Центр групи|центру]]{{sfn|Wilson|2009|p=82}}.}}.

Ланцюжок завершує 6.Suz:2 (Suz={{Не перекладено|спорадична група Судзукі||en|Suzuki sporadic group}}), котра, як згадано вище, зберігає комплексне подання ґратки Ліча.

== Узагальнений Monstrous moonshine ==
Конвей і Нортон припустили в статті 1979 року, що для інших груп можливий аналог [[Monstrous moonshine]]. Лариса Квін та інші послідовно виявили, що можна побудувати розширення багатьох головних модулів (в [[Англійська література|англійській літературі]] використовується запозичений з німецької мови термін Hauptmodul, буквально&nbsp;— головний модуль) із простих комбінацій розмірностей спорадичних груп. Для груп Конвея відповідні ряди Маккея&nbsp;— Томпсона&nbsp;— це <math>T_{2B}(\tau)</math> ={1, 0, 276, {{Val|−2048}}, {{Val|11202}}, {{Val|−49152}}, …} ({{OEIS2C|id=A007246}}) і <math>T_{4A}(\tau)</math> ={1, 0, 276, {{Val|2048}}, {{Val|11202}}, {{Val|49152}}, …} ({{OEIS2C|id=A097340}}), де постійний член {{Nobr|1=a(0)=24}} ,

: <math>\begin{align}
 j_{4A}(\tau)
  &= T_{4A}(\tau) + 24 \\
  &= \left(\frac{\eta^2(2\tau)}{\eta(\tau)\,\eta(4\tau)}\right)^{24} \\
  &= \left(\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(4\tau)}\right)^4 + 4^2 \left(\frac{\eta(4\tau)}{\eta(\tau)}\right)^4\right)^2 \\
  &= \frac{1}{q} + 24 + 276q + 2048q^2 + 11202q^3 + 49152q^4 + \dots
\end{align}</math>

і <math>\eta(\tau)</math> є {{Не перекладено|Ета-функція Дедекінда|ета-функцією Дедекінда|en|Dedekind eta function}}.

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{Книга
|автор = Арнольд В. И.
|ref = Арнольд
|заголовок = Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений
|видавництво = МЦНМО, ВКМ НМУ
|місце = Ижевск
|видання = Издание второе
|рік = 1999
|ISBN = 5-89806-028-4
}}
* {{Стаття|ref=Conway|author=[[Джон Конвей|John Horton Conway]]|title=A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups|рік=1968|видання=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|том=61|pages=398–400|doi=10.1073/pnas.61.2.398|issue=2}}
* {{Книга
|відповідальний = Brauer R., Chih-han Sah
|ref = Brauer, Sah
|заголовок = Theory of finite groups: A symposium
|посилання = https://books.google.com/books?id=YRdCAAAAIAAJ
|видавництво = W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam
|рік = 1969
}}
* {{Стаття|ref=Conway|author=[[Джон Конвей|John Horton Conway]]|title=A group of order 8,315,553,613,086,720,000|рік=1969|видання=The Bulletin of the London Mathematical Society|issn=0024-6093|том=1|pages=79–88|doi=10.1112/blms/1.1.79}}
* {{Книга
|ref = Conway
|автор = [[Джон Конвей|John Horton Conway]]
|відповідальний = Powell M. B., Higman G.
|посилання = https://books.google.com/books?id=TPPkAAAAIAAJ
|видавництво = [[Academic Press]]
|місце = Boston, MA
|серія = Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.
|ISBN = 978-0-12-563850-0
|рік = 1971
|частина = Three lectures on exceptional groups
|сторінки = 215–247
|назва = Finite simple groups
}} Передруковано в Conway, Sloane (1999, 267—298)
* {{Книга
|ref = Conway, Sloane
|автор = [[Джон Конвей|John Horton Conway]], [[Ніл Слоун|Neil Sloane]]
|посилання = https://books.google.com/books?id=upYwZ6cQumoC
|видавництво = [[Springer-Verlag]]
|місце = Berlin, New York
|видання = 3rd
|серія = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
|ISBN = 978-0-387-98585-5
|рік = 1999
|том = 290
|назва = Sphere Packings, Lattices and Groups
}}
* {{Книга
|ref = Thompson
|автор = Thomas M. Thompson
|заголовок = From error-correcting codes through sphere packings to simple groups
|посилання = https://books.google.com/books?id=ggqxuG31B3cC
|видавництво = [[Mathematical Association of America]]
|серія = Carus Mathematical Monographs
|ISBN = 978-0-88385-023-7
|рік = 1983
|том = 21
}}
* {{Книга
|ref = Conway, Parker, Norton, Curtis, Wilson
|автор = [[Джон Конвей|John Horton Conway]], Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis R. T. , Robert A. Wilson
|посилання = https://books.google.com/books?id=38fEMl2-Fp8C
|видавництво = [[Oxford University Press]]
|ISBN = 978-0-19-853199-9
|рік = 1985
|назва = Atlas of finite groups
}}
* {{Книга
|автор = Robert L. Griess Jr.
|ref = Griess
|заголовок = Twelve sporadic groups
|видавництво = [[Springer-Verlag]]
|місце = Berlin, New York
|серія = Springer Monographs in Mathematics
|ISBN = 978-3-540-62778-4
|рік = 1998
}}
* [https://web.archive.org/web/20051110090124/http://web.mat.bham.ac.uk/atlas/v2.0/spor/Co1/ Atlas of Finite Group Representations: Co<sub>1</sub>] version 2
* [http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/Co1/ Atlas of Finite Group Representations: Co<sub>1</sub>] (Архивная копия от 27 марта 2008 на Wayback Machine) version 3
* {{Стаття|author=Robert A. Wilson|title=The maximal subgroups of Conway's group Co₁|doi=10.1016/0021-8693(83)90122-9|рік=1983|видання=Journal of Algebra|issn=0021-8693|том=85|issue=1|pages=144–165}}
* {{Стаття|author=Robert A. Wilson|title=On the 3-local subgroups of Conway's group Co₁|doi=10.1016/0021-8693(88)90192-5|рік=1988|видання=Journal of Algebra|issn=0021-8693|том=113|issue=1|pages=261–262}}
* {{Книга
|ref = Wilson
|автор = Robert A. Wilson
|заголовок = The finite simple groups
|видавництво = [[Springer-Verlag]]
|місце = Berlin, New York
|серія = Graduate Texts in Mathematics 251
|ISBN = 978-1-84800-987-5
|doi = 10.1007/978-1-84800-988-2
|рік = 2009
}}
* {{Книга
|ref = Witt
|автор = Ernst Witt
|заголовок = Collected papers. Gesammelte Abhandlungen
|видавництво = [[Springer-Verlag]]
|місце = Berlin, New York
|ISBN = 978-3-540-57061-5
|рік = 1998
}}
* {{Стаття|author=R. T. Curtis, B. T. Fairburn|ref=Curtis, Fairburn|рік=2009|title=Symmetric Representation of the elements of the Conway Group •0|видання=Journal of Symbolic Computation|issue=44|pages=1044—1067}}

[[Категорія:Джон Конвей]]
[[Категорія:Спорадичні групи]]