Перегляд вихідного коду сторінки Група класів ідеалів

'''Група класів ідеалів'''&nbsp;— [[абелева група]], що виникає в [[комутативна алгебра|комутативній алгебрі]] і [[алгебраїчна теорія чисел|алгебраїчній теорії чисел]]. Вона певною мірою визначає наскільки деяке [[кільце Дедекінда]] (чи, більш загально, [[кільце Круля]]) близьке до того щоб бути [[факторіальне кільце|факторіальним]]. Для факторіальних кілець і тільки для них дана група є тривіальною.

== Визначення ==
Нехай <math>A</math>&nbsp;— кільце Дедекінда і <math>K</math>&nbsp;— його [[поле часток]]. Група класів ідеалів <math>C_A</math> кільця <math>A</math> визначається як [[факторгрупа]]
: <math>C_A=J_A/P_A.\,</math>
У визначенні використані позначення
* <math>J_A</math>&nbsp;— [[група (алгебра)|група]] [[дробовий ідеал|дробових ідеалів]], з операцією множення
:: <math>IJ=\left\{\left.\sum_{i=1}^n a_ib_i\right|a_i\in I,b_i\in J\right\},</math>
: Група <math>J_A</math> є [[вільна абелева група|вільною абелевою групою]], базисом якої є [[простий ідеал|прості ідеали]] кільця <math>A</math>.
* <math>P_A</math>&nbsp;— підгрупа головних дробових ідеалів, тобто дробових ідеалів виду
:: <math>(a)=A\cdot a\subset K</math>
: для <math>a\in K</math>.

Також групу класів можна визначити за допомогою [[відношення еквівалентності]]: ідеали <math>\ I</math> та <math>\ J</math> дедекіндового кільця є еквівалентними, якщо, для деяких <math> \alpha, \beta \in A</math> виконується <math>\ \alpha I=\beta J</math>.

== Приклади ==
* Кільця <math>\Z, </math> [[цілі числа Ейзенштейна|<math>\Z[\omega]</math>]], [[Гаусові числа|<math>\Z[i]</math>]], де ω&nbsp;— кубічний корінь з 1, ''i''&nbsp;— [[квадратний корінь]] з −1, є факторіальним і тому їх групи класів ідеалів є тривіальними.
* Для кільця <math>A = \Z [\sqrt {-5}]</math> група класів ідеалів має два елементи.

== Властивості ==
* Група класів ідеалів є тривіальною тоді і тільки тоді, коли кільце <math>A</math>&nbsp;— факторіальне.
* Якщо <math>K</math>&nbsp;— [[алгебраїчне числове поле]], <math>A</math>&nbsp;— його [[кільце цілих чисел]], то відповідна група класів ідеалів є скінченною.
* Довільна абелева група є групою класів ідеалів деякого кільця Дедекінда.

== Посилання ==
* [http://www.imath.kiev.ua/~drozd/numth.pdf Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150117035939/http://www.imath.kiev.ua/~drozd/numth.pdf |date=17 січня 2015 }}

[[Категорія:Алгебраїчна теорія чисел]]