Перегляд вихідного коду сторінки Група Лі

{{Алгебричні структури|group}}
{{Теорія груп|expanded=Topological}}
'''Групою Лі''' над [[поле (алгебра)|полем]] <math>K</math> (<math>K=\R</math> або <math>\Complex</math>) називається [[група (математика)|група]] <math>\ G</math>, зі структурою [[диференційовний многовид|диференційовного (гладкого) многовиду]] над <math>K</math>, причому [[відображення]] <math>\operatorname{mul}</math> та <math>\operatorname{inv}</math> визначені :

: <math>\operatorname{mul}\colon G\times G \rightarrow G;\ \operatorname{mul}\,(x, y) = xy</math>,
: <math>\operatorname{inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatorname{inv}\,x=x^{-1}</math>

є [[гладка функція|гладкими]] (у разі поля <math>\mathbb C</math> вимагають [[голоморфна функція|голоморфності]] введених відображень).

Довільна [[комплексне число|комплексна]] <math>n</math>-мірна група Лі є [[дійсне число|дійсною]] групою Лі розмірності <math>2n</math>. Довільна комплексна група Лі за визначенням є аналітичним многовидом, але і в дійсному випадку на будь-якій групі Лі існує аналітичний [[атлас (математика)|атлас]], в якому відображення <math>\operatorname{mul}</math> і <math>\operatorname{inv}</math> записуються [[аналітична функція|аналітичними функціями]].

Групи Лі названі на честь [[Софус Лі|Софуса Лі]]. Вони природно виникають при розгляді [[Неперервна симетрія|неперервних симетрій]]. Наприклад, рухи площини утворюють групу Лі. Групи Лі є в сенсі багатства структури найкращими з многовидів і, як такі, дуже важливі в [[Диференціальна геометрія |диференціальний геометрії]]. Вони також відіграють помітну роль у [[геометрія|геометрії]], [[фізика|фізиці]] і [[математичний аналіз|математичному аналізі]].

== Типи груп Лі ==
Групи Лі класифікуються за своїми алгебраїчними властивостями ([[проста група|простоти]], [[напівпроста група|напівпростоти]], [[розв'язна група|розв'язності]], [[нільпотентна група|нільпотентності]], [[абелева група|комутативності]]), а також за топологічними властивостями ([[зв'язний простір|зв'язності]], [[однозв'язний простір|однозв'язності]] і [[компактна множина|компактності]]).

Цей клас неперервних груп перетворень є сукупність операторів <math>T(a_{1},...,a_{k}),</math> диференційованих по скінченному числу параметрів <math>\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{k}.</math> Умова диференційовуваності є еквівалентною експониненційному представленню елемента групи

<math>T(a_{1},...,a_{k})=\exp[a_{i}x_{i}],</math>

де інфінітезимальні оператори утворюють алгебру

<math>[x_{i}x_{k}]=f^{l}_{ik}x_{l}.</math>

Знаходження незвідних [[Представлення групи|зображень]] зводиться до визначення матричних елементів операторів алгебри, яка має певну структуру. Оператори представлення задовільняють співвідношенню <math>T_{g_{1}g_{2}}=T_{g_{1}}T_{g_{2}},</math> де <math>g_{1},g_{2}</math> - довільні елементи групи. 

Формула, яка пов'язує скінченне перетворення із інфінітезимальними операторами, <math>T=\exp[a_{i}x_{i}],</math> можна отримати, інтегруючи диференціальні рівняння групи, записані відносно параметрів <math>a_{i},</math>

<math>\partial T_{f}/\partial a_{j}(f)=\sum^{m}_{i=1}S_{ij}(f)x_{i}T_{f},</math>

де <math>m</math> - число параметрів групи. За умов <math>S_{ij}(e)=\delta_{ij},</math> де <math>e</math> - ідемпотент, отримуємо

<math>d/da_{j}\ln T_{f}=\sum^{m}_{i=1}S_{ij}x_{i}.</math>

Рішення системи рівнянь

<math>\begin{cases}d/da_{1}\ln T_{f}(a_{1},0,...,0)=\sum^{m}_{i=1}S_{i1}(a_{1},...,0)x_{i};\\...........................................\\ d/da_{m}\ln T_{f}(0,...,a_{m})=\sum^{m}_{i=1}S_{im}(0,...,a_{m})x_{i}    \end{cases}</math>

приводить до експониненційної форми зображення з визначення інфінітезимального оператора

<math>[\partial T_{f}/\partial a_{j}]_{j=1}=x_{j}.</math>

Щоб запевнитися, що <math>T</math> утворює групу, достатньо запевнитися, у справедливості рівності:

<math>T(a_{1},...,a_{m})T(-a_{1},...,-a_{m})=I,</math>

<math>I</math> - одиничний оператор. Операторний вираз <math>e^{A+B}</math> можна представити у вигляді

<math>e^{\int^{1}_{0}(A_{S}+B_{S})ds}=e^{\int^{1}_{0}A_{s}ds}e^{\int^{1}_{0}B_{S}ds},</math>

де за допомогою <math>s</math> здійснюється впорядкування операторних співмножників за допомогою умови <math>A_{S}B_{S'},</math> якщо <math>s>s',</math> та <math>B_{S'}A_{S},</math> коли <math>s'>s,</math> причому <math>A_{S},B_{S'}</math> розглядаються як <math>c</math>-числа. Цей метод використовувався при розплутуванні виразу для [[Матриця розсіяння|матриці розсіяння]], причому роль індексу <math>s</math> відігравав час<ref>{{Cite book|title=Г.А.Соколик - Групповые методы в теории элементарных частиц.|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref>. 

<br />

== Підгрупи Лі ==
Підгрупа <math>H</math> групи Лі <math>G</math> називається її ''підгрупою Лі'', якщо вона є підмноговидом в многовиді <math>G</math>. Не всяка підгрупа є підгрупою Лі: наприклад, підгрупа пар виду <math>(e^{ix}, e^{i\pi x})</math> у торі <math>\{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in\R\}</math> не є підгрупою Лі. Підгрупа Лі завжди замкнута. У дійсному випадку вірно і зворотне: замкнута підгрупа є підгрупою Лі. У комплексному випадку це не так: бувають дійсні підгрупи Лі комплексної групи Лі, що мають непарну розмірність, наприклад, [[унітарна матриця|унітарні матриці]] в групі оборотних комплексних матриць <math>2\times 2</math>.

Нехай <math>H</math>&nbsp;— підгрупа Лі групи Лі <math>G</math>. Множину <math>G/H</math> суміжних класів (байдуже, лівих або правих) можна єдиним чином наділити структурою диференційовного многовиду, так, щоб канонічна проєкція була диференційовним відображенням. При цьому одержується [[локально тривіальне розшарування]], і якщо <math>H</math>&nbsp;— [[нормальна підгрупа]], то [[факторгрупа]] буде групою Лі.

== Гомоморфізми і ізоморфізми ==
Нехай <math>G</math> і <math>H</math>&nbsp;— групи Лі над одним і тим же полем. ''Гомоморфізмом'' груп Лі називається відображення <math>f\colon G\to H</math>, що є [[гомоморфізм груп|гомоморфізмом груп]] і одночасно аналітичним відображенням многовидів. (Можна показати, що для виконання останньої умови досить неперервності <math>f</math>.) Композиція гомоморфізмів груп Лі знову буде гомоморфізмом груп Лі. Класи всіх дійсних і всіх комплексних груп Лі разом з відповідними гомоморфізмами утворюють категорії <math>\operatorname{Lie}_\R</math> і <math>\operatorname{Lie}_\Complex</math>. Гомоморфізм груп Лі називається ''ізоморфізмом'', якщо існує обернений гомоморфізм. Дві групи Лі, між якими існує ізоморфізм, як завжди в [[Абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]], називаються ізоморфними. Як завжди, групи Лі розрізняють лише з точністю до ізоморфізму. Наприклад, група Лі <math>SO(2)</math> поворотів площини з операцією композиції і група Лі <math>U(1)</math> [[комплексне число|комплексних чисел]], рівних за модулем одиниці, з операцією [[множення]], є ізоморфними.

Приклад ірраціональної обмотки тора показує, що образ підгрупи Лі при гомоморфізмі не завжди є підгрупою Лі. Проте прообраз підгрупи Лі при гомоморфізмі завжди є підгрупою Лі.

Гомоморфізм групи Лі <math>G</math> над полем <math>K</math> у групу <math>GL(V)</math> невироджених [[лінійне відображення|лінійних перетворень]] [[векторний простір|векторного простору]] <math>V</math> над полем <math>K</math> називається ''представленням групи <math>G</math> у просторі <math>V</math>''.

== Дії груп Лі ==
Групи Лі часто виступають як симетрії якої-небудь структури на деякому многовиді, а тому природно, що вивчення [[дія групи|дій]] груп на різних многовидах є важливим розділом теорії. Говорять, що група Лі ''G'' ''діє'' на гладкому многовиді ''M'', якщо заданий [[гомоморфізм груп]] ''a'': ''G'' &rarr; ''Diff M'', де ''Diff M''&nbsp;— група [[дифеоморфізм]]ів ''M''. Таким чином, кожному елементу ''g'' групи ''G'' повинне відповідати дифеоморфне перетворення ''a<sub>g</sub>'' многовиду ''M'', причому добутку елементів і зворотному елементу відповідають відповідно композиція дифеоморфізмів і обернений дифеоморфізм. Якщо з контексту зрозуміло, про яку дію йде мова, то образ ''a''<sub>''g''</sub>(''m'') точки ''m'' при дифеоморфізмі, що визначається елементом ''g'', позначається просто ''gm''.

Група Лі природно діє на собі множенням справа і зліва, а також спряженнями. Ці дії традиційно позначаються ''l'', ''r'' і ''a'':

: ''l''<sub>''g''</sub>(''h'') = ''gh'',
: ''r''<sub>''g''</sub>(''h'') = ''hg'',
: ''a''<sub>''g''</sub>(''h'') = ''ghg''<sup>−1</sup>.

Іншим прикладом дії є дія групи Лі ''G'' на множині [[клас суміжності групи |класів суміжності]] цієї групи Лі по деякій підгрупі ''N'' ≤ ''G'':

: ''g'' (''hN'') = (''gh'')''N''

[[Дія групи Лі]] ''G'' на диференційовному многовиді ''M'', називається ''транзитивною'', якщо будь-яку точку ''M'' можна перевести в будь-яку іншу за допомогою дії деякого елементу ''G''. Многовид, на якому задано транзитивну дію групи Лі називається [[Однорідний простір|однорідним простором]] цієї групи. Однорідні простори відіграють важливу роль в багатьох розділах геометрії. Однорідний простір групи ''G'' дифеоморфний ''G'' / st ''x'', де st ''x''&nbsp;— [[Дія групи|стабілізатор]] довільної точки.

== Алгебра Лі ==
З довільною групою Лі можна пов'язати деяку [[алгебра Лі|алгебру Лі]], яка повністю відображає локальну структуру групи, в усякому разі, якщо група Лі зв'язна.

[[Векторне поле]] на групі Лі ''G'' називається ''лівоінваріантним'', якщо воно комутує з лівим множенням, тобто
: ''V''(''l<sub>g</sub>''<sup>*</sup> ''f'')= ''l<sub>g</sub>''<sup>*</sup> (''Vf'') для всіх ''g'' з ''G'', і будь-якої диференційовної функції ''f''.
Еквівалентно
: ''dl<sub>g</sub>'' (''V<sub>x</sub>'') = ''V<sub>gx</sub>'' для всіх ''x'', ''y'' з G.

Очевидно, будь-яке ''лівоінваріантне'' векторне поле ''V'' на групі Лі повністю визначається своїм значенням ''V<sub>e</sub>'' в одиниці. Навпаки, задавши довільний вектор ''V'' в дотичному просторі ''G<sub>e</sub>'' до одиниці, можна поширити його лівим множенням по всій групі. Одержується взаємно однозначна відповідність між дотичним простором до групи в одиниці і простором лівоінваріантних векторних полів.

[[Дужка Лі векторних полів|Дужка Лі]] [''X'',''Y''] лівоінваріантних векторних полів буде лівоінваріантним векторним полем. Тому ''G<sub>e</sub>'' є [[алгебра Лі|алгеброю Лі]]. Ця алгебра називається ''алгеброю Лі групи G''. Звичайно вона позначається відповідною малою готичною буквою <math>\mathfrak{g}.</math>

== Приклади ==

* Будь-яка абстрактна (дискретна топологічна) група э групою Лі по відношенню до гладкості, у якій вона є нульвимірним многовидом.
* Будь-який [[Скінченновимірний простір|скінченновимірний]] лінійний простір є групою Лі по додаванню.
* Одинична окружність <math>\mathbb{S}^{1}:\,\,|z|=1,</math> точками якої є комплексні числа <math>z=e^{i\theta},</math> є групою Лі по добуткові. 
* Одинична сфера <math>\mathbb{S}^{3}</math> кватерніонів, точками якої є кватерніони <math>\mathfrak{q},</math> для яких <math>|\mathfrak{q}|=1.</math>
* Якщо сфера <math>\mathbb{S}^{n}</math> є групою Лі, то необхідно <math>n=1 </math> або <math>n=3</math>, тому <math>\mathbb{S}^{1}</math>та <math>\mathbb{S}^{3}</math> є єдиними сферами, які припускають структуру групи Лі. 
* [[Прямий добуток груп|Прямий добуток]] <math>G\times H</math> топологічни (гладких) груп <math>G,H</math> є топологічною (гладкою) групою. Зокрема, будь-який тор <math>T^{n},\,\,n\geq1.</math>
* Групою Лі є повна лінійна група <math>\mathrm{GL}(n),</math> а також ізоморфна їй група <math>\mathrm{Aut}\,\mathfrak{G}</math> усіх автоморфізмів (невироджених лінійних операторів) довільного n-вимірного лінійного простору <math>\mathfrak{G}.</math>
<br />
[[Файл:Reberberhe.tif|ліворуч|міні|560x560пкс|'''[[Позначення Шенфліса]] та симетрії: T<sub>d</sub>''' (E, 8C<sub>3</sub>, 3C<sub>2</sub>, 6S<sub>4</sub>, 6σ<sub>d</sub>);  '''O<sub>h</sub>''': E, 8C<sub>3</sub>, 6C<sub>2</sub>', 6C<sub>4</sub>, 3C<sub>2</sub>, ''i'', 6S<sub>4</sub>, 8S<sub>6</sub>]]
<br />
[[Файл:Herherher.tif|міні|395x395пкс|Приклади симетрії молекул (D<sub>n</sub> , D<sub>nd</sub> за Шенфлісом)]]
{{clear}}

=== Дійсні групи Лі ===
{| border="0"  align="center" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|-align="center" bgcolor="#CCCCCC"
! Група Лі
! Опис
! Властивості
! Алгебра Лі
! Розмірність
|-
| <math>\R^n</math> || [[Евклідовий простір]] з операцією додавання || Комутативність; однозв'язність, некомпактність || <math>\R^n</math> ||  ''n''
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| <math>\R^*</math> || Ненульові дійсні числа з операцією множення || Комутативність; незв'язність, некомпактність || <math>\R</math> ||  1
|-
| <math>\R^*_+</math> || Додатні дійсні числа з операцією множення || Комутативність; однозв'язність, некомпактність || <math>\R</math> ||  1
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| <math>S^1=\R/\Z</math> || Комплексні числа з модулем 1 і операцією множення || Комутативність; зв'язність, неоднозв'язність, компактність || <math>\R</math> ||  1
|-
| <math>GL(n,\R)</math> || [[Загальна лінійна група]]: дійсні [[оборотна матриця|оборотні матриці]] розмірності ''n''×''n'' || незв'язність, некомпактність || <math>\mathcal M_n(\R)</math> ||  ''n''²
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| <math>GL^{+}(n,\R)</math> || Дійсні матриці розмірності ''n''×''n'' з додатним визначником || Однозв'язність, некомпактність || <math>\mathcal M_n(\R)</math> ||  ''n''²
|-
| <math>SL(n,\R)</math> || [[Спеціальна лінійна група]]: Дійсні матриці розмірності ''n''×''n'' з визначником 1 || Однозвязність, некомпактність для ''n'' > 1 || <math>sl(n,\R)</math> ||  ''n''²-1
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| <math>O(n,\R)</math> || [[Ортогональна група]]: [[Ортогональна матриця|Ортогональні]] дійсні матриці || Незв'язність, компактність || <math>so(n,\R)</math> ||  ''n''(''n''&nbsp;— 1)/2
|}

=== Комплексні групи Лі ===
Розмірність подано в <math>\Complex</math>.

{| border="0"  align="center" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|-align="center" bgcolor="#CCCCCC"
! Група Лі
! Опис
! Властивості
! Алгебра Лі
! Розмірність
|-
| <math>\Complex^n</math> || Евклідовий простір з операцією додавання || Комутативність; однозв'язність, некомпактність || <math>\Complex^n</math> || ''n''
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| <math>\Complex^*</math> || Ненульові комплексні числа з операцією множення || Комутативність; неоднозв'язність, некомпактність || <math>\Complex</math> ||  1
|-
| <math>GL(n,\Complex)</math> || [[Загальна лінійна група]]: дійсні оборотні матриці розмірності ''n''×''n'' || Однозвязність, некомпактність; || <math>\mathcal M_n(\Complex)</math> ||  ''n''²
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| <math>SL(n,\Complex)</math> || [[Спеціальна лінійна група]]: комплексні матриці розмірності ''n''×''n'' з визначником 1 || Однозв'язність, некомпактність для ''n''≥2 ||<math>sl(n,\Complex)</math> || (''n''²-1)
|-
| <math>O(n,\Complex)</math> || [[Ортогональна група]]: Ортогональні комплексні матриці || Незв'язність, некомпактність для ''n''≥2 || <math>so(n,\Complex)</math> || ''n''(''n''-1)
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| <math>SO(n,\Complex)</math> || [[Спеціальна ортогональна група]]: комплексні ортогональні матриці з визначником 1 ||  Неоднозв'язність, некомпактність для ''n''≥2 || <math>so(n,\Complex)</math> || ''n''(''n''-1)
|-
| <math>U\left(n\right)</math> || [[Унітарна група]]: унітарні комплексні матриці розмірності ''n''×''n'' ||  Неоднозв'язність, компактність; || <math>u\left(n\right)</math> || ''n''²
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| <math>SU\left(n\right)</math> || [[Спеціальна унітарна група]]: унітарні комплексні матриці розмірності ''n''×''n'' з визначником 1 || Однозв'язність, компактність || <math>su\left(n\right)</math> ||  ''n''²-1
|}

== Див. також ==
* [[Алгебра Лі]]
* [[Алгебрична група]]
* [[Компактна група Лі]]
* [[Лінійна алгебрична група]]

== Примітки ==
{{reflist}}

==Література ==
* {{Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії}}
* {{Бурбакі.Групи і алгебри Лі.г1-3}}
* {{книга
|автор        = [[Софус Лі]]
|назва        = Теория групп преобразований
|рік          = 2011-2012
|видавництво  = РХД
|місто        = Ижевск
|сторінок     = 712+640
}}
* Винберг Э. Б., Онищик А.&nbsp;Л.&nbsp;Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995
* Адамс Дж. Ф., Лекции по группам Ли, «Наука», 1979
* Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, ISBN 0-387-40122-9
* Helgason Sigurdur (1978), «Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces», Academic Press,
* Rossmann, Wulf (2001), Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0198596837
* P. Basarab-Horwath, [[Лагно Віктор Іванович|V. Lahno]], R. Zhdanov (2000) The Structure of Lie Algebras and the Classification Problem for Partial Differential Equations

[[Категорія:Групи Лі|*]]
[[Категорія:Симетрія]]
[[Категорія:Многовиди]]