Перегляд вихідного коду сторінки Група (математика)

{{Otheruses|Група}}
{{Алгебричні структури|group}}
[[Файл:Rubik's cube.svg|thumb|right|Сукупність маніпуляцій над цим [[Кубик Рубіка|кубиком Рубіка]] утворюють [[Група кубика Рубіка|групу кубика Рубіка]].]]
'''Гру́па'''&nbsp;— одне з найважливіших понять сучасної [[абстрактна алгебра|алгебри]], яке має численні застосування у багатьох суміжних дисциплінах. Здебільшого група виникає як множина всіх перетворень (симетрій) деякої структури. Результатом послідовного застосування двох перетворень буде знову деяке перетворення. Поняття абстрактної групи є узагальненням груп симетрій і визначається як множина із [[бінарна операція|операцією]] множення (композиції), що задовольняє певним аксіомам ([[асоціативність|асоціативності]], існування [[нейтральний елемент|нейтрального]] та [[обернений елемент|оберненого]] елемента)<ref name="korn">{{cite book|
автор=Корн Г., Корн Т.|
рік=1984|
назва=Справочник по математике для научних работников и инженеров| розділ=12.2-1|
видання=друге|
мова=рос.|
видавництво=Наука| розміщення=Москва}}</ref>.
У застосуваннях математики групи часто виникають як засіб систематично описувати
[[симетрія|симетрії]] різного ґатунку або як [[групи перетворень]].

== Означення ==
Впорядкована пара <math><G, *></math>, де <math>G</math>&nbsp;— непорожня множина, називається '''групою''', якщо виконуються наступні умови<ref name=":0">{{Cite book|title=Алгебра і теорія чисел|last=Требенко|first=Дмитро Якович|last2=Требенко|first2=Оксана Олександрівна|year=2009|publisher=НПУ імені М.&nbsp;П.&nbsp;Драгоманова|location=Київ|pages=420|language=|isbn=}}</ref>:

# <math>*</math>&nbsp;— [[Бінарна операція|бінарна алгебраїчна операція]], задана на множині <math>G</math>;
# операція <math>*</math> [[Асоціативність|асоціативна]] на <math>G</math>, тобто для будь-яких елементів <math>a, b, c \in G</math> справедливо <math>(a*b)*c = a*(b*c)</math>;
# в <math>G</math> існує [[Нейтральний елемент|нейтральний відносно <math>*</math> елемент]] <math>e</math>, тобто такий, що <math display="inline">a*e=e*a=a</math> для всіх <math>a \in G</math>;
# для будь-якого елемента <math>a \in G</math> існує [[Обернений елемент|симетричний до нього елемент]] <math>a' \in G</math>, тобто такий, що <math>a*a'=a'*a=e</math>.

Умови 1-4 називаються аксіомами групи.

Часто для позначення групової операції замість знака <math>*</math> використовують більш звичні знаки: <math>+</math> і <math>\cdot</math>. Якщо використовують знак <math>+</math>, то алгебраїчну операцію називають ''додаванням'', групу відносно цієї операції&nbsp;— ''адитивною'', нейтральний елемент&nbsp;— ''нульовим'', симетричний&nbsp;— ''протилежним'' елементом. Якщо використовують знак <math>\cdot</math>, то алгебраїчну операцію називають ''множенням'', групу відносно цієї операції&nbsp;— ''мультиплікативною'', нейтральний елемент&nbsp;— ''одиничним'' або просто ''одиницею'', симетричний&nbsp;— ''оберненим'' елементом.

Група <math>G</math> називається [[Абелева група|''комутативною'' або ''абелевою'']] (на честь норвезького математика [[Нільс Генрік Абель|Нільса Генріка Абеля]]), якщо операція <math>*</math> є ще й [[Комутативність|комутативною]], тобто для будь-яких елементів <math>a, b \in G</math> виконується умова <math>a*b=b*a</math>.

== Критерій групи<ref name=":0" /> ==
'''Теорема'''. Непорожня множина <math>G</math>, на якій задана бінарна алгебраїчна операція <math>*</math> [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]] є групою, коли виконуються умови:

1) операція <math>*</math> асоціативна;

2) для будь-яких елементів <math>a</math> і <math>b</math> множини <math>G</math> завжди існує в <math>G</math>, причому лише одна, пара елементів <math>x_0</math> та <math>y_0</math> таких, що <math>a*x_0=b</math> і <math>y_0*a=b.</math>

== Приклади груп ==
[[Файл:Clock group.svg|міні|400x400пкс|Години на годиннику утворюють групу класів лишків за модулем 12, тобто <math>9+4=1 (\textrm{mod}\  12)</math>]]

# <math>\langle\Z, +\rangle, \langle\Q, +\rangle, \langle\R, +\rangle</math>&nbsp;— абелеві групи. Ці групи називають адитивними групами відповідно цілих, раціональних та [[Дійсне число|дійсних чисел]].
# Нехай <math>\Q^{*}=\Q\setminus{\{0\}}</math>, <math>\R^{*}=\R\setminus{\{0\}}</math>, <math>\Complex^{*}=\Complex\setminus{\{0\}}</math>. Групи <math>\langle\Q^{*}, \cdot\rangle</math>, <math>\langle\R, \cdot\rangle </math>, <math>\langle\Complex, \cdot\rangle</math> також абелеві. Їх називають мультиплікативними групами відносно раціональних, дійсних та [[Комплексне число|комплексних чисел]].
# Множина <math>O=\{0\}</math> відносно операції додавання утворює групу.
# Множина <math>E=\{1\}</math> відносно операції множення утворює групу. ЇЇ називають ''одиничною'' групою.
# Множина <math>M_{n}(\R)</math> всіх квадратних матриць <math>n</math>-го порядку з дійсними елементами відносно операції додавання утворює групу.
# Так званими ''матричними'' ''групами'' за множенням є: ''повна лінійна група'' <math>GL_{n}(P)</math> (група невироджених матриць порядку <math>n</math> над полем <math>P</math>, яка при <math>n\geqslant2</math> є неабелевою), ''спеціальна лінійна група'' <math>SL_{n}(P)</math> (група матриць порядку <math>n</math> з визначником рівним <math>1</math> над полем <math>P</math>), ''ортогональна група'' <math>O_n</math>[[Файл:Таблиця Келі для групи симетрій квадрата.jpg|міні|292x292пкс|'''Таблиця Келі для групи симетрій квадрата''']](група ортогональних матриць порядку <math>n</math>), ''унітарна'' ''група'' <math>U_n</math> (група всіх унітарних матриць <math>n</math>–го порядку), ''діагональна'' ''група'' <math>D_n(P)</math> (група всіх невироджених діагональних матриць порядку <math>n</math> над полем <math>P</math>).
# Розглянемо множину класів лишків <math>\Z_{n} = \{\overline{0},...,\overline{n-1}\}</math> з дією додавання і множину класів лишків <math>\Z_{n}^{*}=\{\overline{i}|\text{НСД}(i,n)=1\}</math> з дією множення. Вони будуть утворювати відповідно адитивну і мультиплікативну групи. Ці групи є абелевими і називаються ''групами класів лишків''.
# Кватерніонні одиниці <math>i, j, k</math> породжують так звану ''групу кватерніонів'' <math>Q_{8}=\{1,-1, i, j, k, -i,-j,-k\}</math> порядку <math>8</math>, де <math>(-1)^2=1</math>, <math> (i)^2=(j)^2=(k)^2=-1</math>, <math> ij=k</math>, <math>jk=i</math>, <math>ki=j</math>.
# Легко зрозуміти, що сукупність усіх перетворень площини (простору), які лишають незмінною певну фігуру (тіло), відносно композиції також утворює групу. Таким чином з'являються ''групи поворотів'' ''і рухів правильних многогранників'' і&nbsp;т.&nbsp;д. Зокрема, ''група'' <math>C_n</math> ''всіх поворотів правильного'' <math>n</math>''–кутника'' складається з поворотів на кути <math>0^\circ, \frac{2\cdot360^\circ}{n}, \ldots, \frac{(n-1)\cdot360^\circ}{n}</math> відносно центра цього <math>n</math>–кутника. Група <math>D_n</math> всіх рухів правильного <math>n</math>–кутника (''діедральна'' група) складається з <math>n</math> поворотів відносно його центра на кути <math>0^\circ, \frac{2\cdot360^\circ}{n}, \ldots, \frac{(n-1)\cdot360^\circ}{n}</math> та <math>n</math> симетрій <math>l_1, \ldots, l_n</math> відносно осей, що проходять при непарному <math>n</math> через вершини <math>n</math>–кутника та середини протилежних ребер, а при парному <math>n</math>&nbsp;— через дві протилежні вершини або через середини двох протилежних ребер. Група рухів ромба складається із поворотів на кути <math>0^\circ</math>та <math>180^\circ</math> навколо точки перетину діагоналей ромба і двох симетрій <math>l_1</math>, <math>l_2</math> відносно діагоналей ромба.

{| class="wikitable sortable"
|+Елементи групи симетрії квадрата <math>D_4</math>. Вершини ідентифікуються за кольором чи числом.
|<gallery>
Файл:Group D8 id.svg|id (тотожне перетворення)
</gallery>
|<gallery>
Файл:Group D8 90.svg|r<sub>1</sub> (обертання на 90° за годинниковою стрілкою)
</gallery>
|<gallery>
Файл:Group D8 180.svg|r<sub>2</sub> (обертання на 180° за годинниковою стрілкою)
</gallery>
|<gallery>
Файл:Group D8 270.svg|r<sub>3</sub> (обертання на 270° за годинниковою стрілкою)
</gallery>
|-
|<gallery>
Файл:Group D8 fv.svg|f<sub>h</sub> (горизонтальне відображення)
</gallery>
|<gallery>
Файл:Group D8 fh.svg|f<sub>v</sub> (вертикальне відображення)
</gallery>
|<gallery>
Файл:Group D8 f13.svg|f<sub>d</sub> (діагональне відображення)
</gallery>
|<gallery>
Файл:Group D8 f24.svg|f<sub>d</sub>  (контр-діагональне відображення)
</gallery>
|}
Елементи <math>id</math>, <math>r_1</math>, <math>r_2</math>, <math>r_3</math> утворюють півгрупу групи <math>D_4</math>. Очевидно, що група симетрій квадрата не є абелевою.

== Групи з додатковою структурою ==

Якщо група <math>G</math> є [[топологічний простір|топологічним простором]], а операції множення і взяття оберненого&nbsp;— неперервні відображення, то <math>G</math>&nbsp;— це [[топологічна група]].

Якщо <math>G</math> має структуру [[многовид]]у й групові операції сумісні з цією структурою (є гладкими), тоді ''G'' називають [[Група Лі|групою Лі]] (раніше&nbsp;— ''неперервною групою''), на честь норвезького математика [[Софус Лі|Софуса Лі]], який розпочав їх дослідження.

== Історія ==

Поняття групи є одним з основних у сучасній математиці. Воно формувалася поступово з таких галузей математики як геометрія, теорія чисел та теорія рівнянь, тому можна вважати, що абстрактна теорія груп історично має три корені виникнення{{джерело}}.

Наприкінці XVIII століття геометрія почала швидко розвиватися, античні погляди на геометрію змінились докорінно. Було визначено цілий ряд нових геометрій &nbsp;і геометричних рядів. Розвиток [[Гіперболічна геометрія|гіперболічної геометрії]] (Ламберт, [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаус]], [[Лобачевський Микола Іванович|Лобачевський]] та [[Янош Бояї|Бояї]]) на початку століття&nbsp; та еліптичної ([[Бернгард Ріман|Ріман]]) спричинив складні проблеми в тодішній геометрії. Дослідження [[Гаспар Монж|Монжа]] і Попселя призвели до відкриття [[Проєктивна геометрія|проективної геометрії]]{{джерело}}.

Геометрія того часу почала втрачати свій метричний характер, розширилися традиційні поняття про координати, було використано для великої, але скінченної кількості вимірювань абстрактні методи. Результати перетворень [[Август Фердинанд Мебіус|Мобіуса]], який почав класифікацію різних геометрій за властивостями, які залишаються незмінними при певних перетвореннях Штейна, який вивчав рухи, стали частиною теорії груп перетворень.

У дослідженнях теорії інваріантів [[Артур Келі|Келі]] інтуїтивно розглядав поняття групи. 1854 року він застосував поняття групи за [[Еварист Галуа|Галуа]] й дав означення скінченної групи. Побудова скінченної фундаментальної системи інваріантів стала поштовхом для встановлення в 80-ті роки основної теореми скінченних абелевих груп. Отже, абстрактна теорія інваріантів є перехідною до абстрактної теорії груп.

Теорія чисел відіграє велику роль у доведенні існування теоретико-групової теорії. Основні результати було отримано Ейлером та Гаусом. Ейлер вказав приклад розкладу абелевої групи на суміжні класи й довів теорему Лагранжа для частинного випадку циклічної групи. У цьому доведенні Ейлер застосував міркування, що здійснюються зараз при розкладі групи на суміжні класи. 

[[Карл Фрідріх Гаусс|Гаус]] продовжив дослідження [[Леонард Ейлер|Ейлера]] і зробив великий внесок у теорію абелевих груп. Він розглядав 4 види груп: адитивну групу <math>m\Z</math> цілих чисел за модулем <math>m</math> , мультиплікативну групу чисел, взаємно простих із <math>m</math>, групу класів у [[Квадратична форма|квадратичних формах]] двох змінних <math>ax^2+bxy+cy^2</math>, де <math>a, b, c \in \Z</math>, мультиплікативну групу [[Корінь з одиниці|коренів <math>n</math>''-''го степеня з одиниці]]; вивчав їх структуру й відношення ізоморфізму.        

[[Леопольд Кронекер|Кронекер]] був знайомий з роботами Гауса та вважав, що формалізація та аксіоматизація є вигідною{{Джерело?}}. Він вказав закони абстрактної композиції елементів, які еквівалентні повній системі аксіом скінченної абелевої групи. Із цієї системи аксіом Кронекер вивів такі наслідки як існування одиничного елемента. Але Кронекер не застосував потрібним чином вказані закони до теорії груп, хоча й був знайомий із теорією груп Галуа.

Теорія алгебраїчних рівнянь не призвела до аксіоматизації, але саме в ній розглядалися нові на той час групи підстановок. Вже в 60-ті роки зародилась ''теорія груп'', яка була відокремлена від теорії алгебраїчних рівнянь.

У XVI столітті було знайдено загальні розв'язки кубічного рівняння ([[Джироламо Кардано|Кардано]]) і рівняння 4-го степеня ([[Лодовіко Феррарі|Феррарі]]). Ейлер знайшов інший метод розв'язування рівняння 4-го степеня і намагався узагальнити його для будь-якого алгебраїчного рівняння.

Лагранж першим зробив висновок, що загальний розв'язок рівняння степеня <math>n \geqslant 5</math> не може бути знайдений за допомогою вже відомих методів. Це твердження першим коректно довів Абель: 1824 року&nbsp;— для рівнянь 5-го степеня, а 1826 року&nbsp;— для всіх степенів <math>n > 4</math>. Роботи Лагранжа мали велике значення для теорії груп, оскільки Лагранж вперше встановив зв'язок між розв'язками алгебраїчних рівнянь і підстановками. Симетричні групи підстановок були відкриті завдяки Лагранжу. Розглядаючи [[Симетрична функція|симетричні функції]], він довів важливу теорему, яка в сучасній теорії груп називається [[Теорема Лагранжа (теорія груп)|теоремою Лагранжа]].

Руффіні навів декілька доведень нерозв'язності рівнянь 5-го степеня в радикалах, і таким чином визначив усі підгрупи симетричної групи <math>S_{5}</math>. Групу підстановок Руффіні називав «permutazione». Руффіні також розглядав теорему Лагранжа і висловив гіпотезу, що для кожного <math>k</math>, що ділить <math>|S_n|</math>, існує підгрупа порядку <math>k</math>.

Термін «група» вперше використав Галуа 1829 року. Він вживав французьке слово ''le groupe'', яке в перекладі означає «множини», «комплекси». Галуа не дав означення групи. Під групою він розумів множину підстановок, замкнених відносно операції множення. Однак усталену термінологію він не запровадив.

Отже, в 60-ті роки теорія рівнянь виділилась як самостійна галузь дослідження теорії груп підстановок.

На провідну роль поняття групи в математиці звернули увагу [[Софус Лі|С. Лі]] та [[Фелікс Кляйн|Ф. Клейн]]. Лі запровадив поняття неперервної групи (групи, елементи якої залежать від систем неперервно змінних параметрів, що задовольняють певним диференціальним умовам) та використав методи теорії груп для класифікації й спрощення розв'язків певних диференціальних рівнянь. Клейн переглянув різні типи геометрій з групової точки зору. Він вважав, що кожна група перетворень задає певну геометрію.

Для розвитку теорії груп велике значення мали підручники Серре, Сальмана, Вебера та монографія Бернсарда. У них зазвичай розглядались скінченні групи. Скінченні групи не змогли задовольнити всіх потреб. Через виникнення нескінченних структур, подібних до груп, виникла як самостійна дисципліна абстрактна теорія груп. Основи теорії груп без обмеження їх скінченності було викладено в монографії «Абстрактна теорія груп» студента''-''п'ятикурсника Київського університету імені Т.&nbsp;Г.&nbsp;Шевченка [[Шмідт Отто Юлійович|О.&nbsp;Ю.&nbsp;Шмідта]].

Пізніше розпочався розвиток загальної теорії груп, який був пов'язаний із перебудовою алгебри в 20-ті роки ХХ століття. Сьогодні теорія груп&nbsp;— це надзвичайно важливий та цікавий розділ математики, що займає провідне місце в сучасній алгебрі.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Словник термінів теорії груп]]
* [[Геометрична теорія груп]]
* [[Обчислювальна теорія груп]]
* [[Симетрична група]]
* [[Циклічна група]]
* [[Фактор-група]]
* [[Гомоморфізм груп]]
* [[Ізоморфізм груп]]
* [[Група Галуа]]
* [[Нормальна підгрупа]]
* [[Центр групи]]
* [[Теорема Лагранжа (теорія груп)|Теорема Лагранжа]]
* [[Підгрупа]]
* [[Група кіс]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==

; Українською
* {{cite book
 |ім'я                = 
 |прізвище       = 
 |автор             = О.О. Безущак
 |авторлінк     = 
 |співавтори   = О.Г. Ганюшкін
 |пубдата         = 
 |пубрік           = 
 |пубмісяць     = 
 |дата               = 
 |рік                 = 2005
 |місяць           = 
 |назва             = Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко-математичного факультету.
 |розділ           = 
 |url-розділу     = 
 |редактор       = 
 |url                    = http://www.mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/group_l.pdf
 |формат           = 
 |інші               = 
 |видання         = 
 |мова               = українська
 |сторінки       = 122
 |видавництво = Київський університет
 |розміщення   = Київ
 |isbn                   = 
 |accessdate             = 29 березня 2014
 |archiveurl             = https://web.archive.org/web/20141127055345/http://www.mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/group_l.pdf
 |archivedate            = 27 листопада 2014
 |deadurl                = yes
}}
* {{Голод.Клімик.Математичні основи теорії симетрії}}
* Требенко Д. Я., Требенко О.&nbsp;О.&nbsp;Алгебра і теорія чисел: У 2 ч.&nbsp;— Ч.1.&nbsp;— К.: НПУ ім. М.&nbsp;П.&nbsp;Драгоманова.&nbsp;— 2009.&nbsp;— 420 с.
* {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}

; Іншими мовами
* {{ref-en}} {{книга
|автор        = John F. Humphreys
|назва        = A Course in Group Theory
|рік          = 1996
|видавництво  = Oxford Science Publications
|сторінок     = 296
|isbn         = 978-0198534532
}}
* {{ref-en}} {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}
* {{ref-ru}} {{Курош.Теорія груп}}
* {{ref-ru}} {{Ленг.Алгебра}}



{{math-stub}}
{{Проблеми|refimprove=травень 2018|стиль=травень 2018|wikify=травень 2018}}
{{портали|Математика}}

[[Категорія:Абстрактна алгебра]]
[[Категорія:Теорія груп|*]]