Перегляд вихідного коду сторінки Греки (фінанси)

У [[фінансова математика|фінансовій математиці]], '''греки''' — це величини, що відображають чутливість ціни [[Похідний фінансовий інструмент|похідних цінних паперів]], таких як [[опціон]]и до зміни основних параметрів контракту, від яких залежить вартість інструменту або портфеля фінансових інструментів. Ім'я використовується тому, що найпоширеніші з цих величин позначаються [[грецька абетка|грецькими буквами]] (як і деякі інші фінансові показники). Всіх разом ці величини також називають ''чутливості ризику''<ref>{{Cite book|last1= Banks |first1= Erik |last2= Siegel |first2= Paul |title= The options applications handbook: hedging and speculating techniques for professional investors |publisher= [[McGraw-Hill Professional]] |page= 263 |year= 2006 |isbn= 9780071453158 |quote= ISBN 0-07-145315-6}} {{ref-en}}</ref>, ''міри ризику''<ref name="macmillan93">{{Cite book |last= Macmillan |first= Lawrence G. |title= Options as a Strategic Investment |publisher= [[New York Institute of Finance]] |edition= 3rd |year= 1993 |isbn= 978-0-13-636002-5 |quote= ISBN 0-13-099661-0 |url-access= registration |url= https://archive.org/details/optionsasstrateg00mcmi }} {{ref-en}}</ref>{{rp|742}} або ''параметри хеджування''<ref>{{Cite book |last= Chriss |first= Neil |title= Black–Scholes and beyond: option pricing models |publisher= [[McGraw-Hill Professional]] |page= [https://archive.org/details/blackscholesbeyo00chri_0/page/308 308] |year= 1996 |isbn= 9780786310258 |quote= ISBN 0-7863-1025-1 |url= https://archive.org/details/blackscholesbeyo00chri_0/page/308 }} {{ref-en}}</ref>.
== Використання ==
Греки є життєво важливими інструментами в управлінні ризиками. Кожен грек показує [[Часткова похідна|чутливість]] вартості портфеля до невеликої зміни даного базового параметра, таким чином компоненти ризику можна розглянути окремо, і  збалансувати портфель для досягнення відповідного бажаного рівня ризику; наприклад, дельта-хеджування.

{| style="float:right; margin:10px;"
|
:<math>\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}</math><br/><br/>
:<math>\nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}</math><br/><br/>
:<math>\Theta = -\frac{\partial V}{\partial \tau}</math><br/><br/>
:<math>\rho = \frac{\partial V}{\partial r}</math><br/><br/>
<math>\Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S} = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}</math>
|}
Найбільш поширеним з греків є похідні першого порядку: Дельта, Веґа, Тета і Ро, а також Ґамма, похідна другого порядку функції вартості. 

'''[[Дельта]]''' (Δ) вимірює швидкість зміни вартості теоретичного опціону (чи іншого [[Похідний фінансовий інструмент|деривативу]]) при зміні ціни базового активу. Дельта є [[Часткова похідна|першою похідною]]  вартості опціону <math>V</math> за ціною базового інструменту <math>S</math>. Для опціону, дельта знаходиться в діапазоні (0; 1) для позицій ''long call'' та ''short put'' і  знаходиться в діапазоні (-1; 0) для позицій ''short call'' та ''long put''. 

'''Веґа''' (<math>\nu</math>) вимірює чутливість вартості опціону до волатильності базового активу. Веґа є першою похідною від вартості опціону за волатильністю базового активу <math>\sigma</math>. Ця чутливість позначається грецькою літерою [[Ню (літера)|<math>\nu</math>]] (ню), але загальноприйнятою є назва „веґа“ (немає грецької літери з назвою ''веґа''). Веґа майже завжди додатня для операцій ''long'' (купівля опціону) і від'ємна для операцій ''put'' (продаж опціону). 

'''[[Тета (літера)|Тета]]''' (<math>\Theta</math>) вимірює чутливість вартості опціону до плину часу. Знак мінус у формулі пояснюється тим, що з плином часу <math>t</math> час <math>\tau</math>, що залишається до моменту виконання опціону <math>T</math> зменшується. Математичний результат формули для тета виражається у чутливості на рік. Зазвичай результат ділять на кількість днів у році, щоб отримати чутливість за один день. Тета майже завжди від'ємна для операцій long (купівля опціону) і додатня для операцій put (продаж опціону). 

'''[[Ро (літера)|Ро]]''' (<math>\rho</math>) вимірює чутливість вартості опціону до процентної ставки, Ро є першою похідною за безризиковою процентною ставкою. За винятком екстремальних умов, вартість опціону є менш чутливою до змін в безризиковій процентній ставці, ніж до змін інших параметрів. Тому, Ро є найменш вживаним з греків першого порядку. 

'''[[Гамма|Ґамма]]''' (<math>\Gamma</math>) вимірює швидкість зміни Дельти при зміні ціни базового активу. Гамма є другою похідною вартості опціону за ціною базового активу.

== Формули греків для європейських опціонів  ==
{{See also|Модель Блека — Шоулза}}

Для заданих параметрів: Зацінка акції <math> S \, </math>, Ціна виконання <math> K \, </math>, безризикова ставка, <math> r \, </math>, Річна дивідендна прибутковість<math> q \, </math>, Час зрілості <math> \tau = T-t \, </math>, і волатильність <math> \sigma \, </math>...
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="10"
|-
! !! Опціон покупця !! Опціон продавця
|-
! вартість || <math>  Se^{-q \tau}\Phi(d_1) - e^{-r \tau} K\Phi(d_2) \, </math> || <math>   e^{-r \tau} K\Phi(-d_2) -  Se^{-q \tau}\Phi(-d_1)  \, </math>
|-
! colspan="3" |
|-
! delta || <math>  e^{-q \tau} \Phi(d_1) \, </math> || <math> -e^{-q \tau} \Phi(-d_1)\, </math>
|-
! vega || colspan="2"| <math> S e^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} = K e^{-r \tau} \phi(d_2) \sqrt{\tau} \, </math>
|-
! theta || <math> -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + qSe^{-q \tau}\Phi(d_1) \, </math> || <math> -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - qSe^{-q \tau}\Phi(-d_1)\, </math>
|-
! rho || <math> K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\, </math> || <math> -K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \, </math>
|-
! colspan="3" |
|-
! gamma || colspan="2"| <math> e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}} \, </math>
|-
! vanna ||colspan="2"| <math> -e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{\nu}{S}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\, </math>
|-
! charm || <math> qe^{-q \tau} \Phi(d_1) - e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, </math> || <math> -qe^{-q \tau} \Phi(-d_1) - e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, </math>
|-
! colspan="3" |
|-
! speed ||colspan="2"| <math> -e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{S^2 \sigma \sqrt{\tau}} \left(\frac{d_1}{\sigma \sqrt{\tau}} + 1\right) = -\frac{\Gamma}{S}\left(\frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}}+1\right) \, </math>
|-
! zomma || colspan="2" | <math>e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)\left(d_1 d_2 - 1\right)}{S\sigma^2\sqrt{\tau}} = \Gamma\cdot\left(\frac{d_1 d_2 -1}{\sigma}\right) \, </math>
|-
! color ||colspan="2"| <math> -e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau}} \left[2q\tau + 1 + \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{\sigma \sqrt{\tau}}d_1 \right] \, </math>
|-
! colspan="3" |
|-
! veta || colspan="2" | <math>Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \left[ q + \frac{ \left( r - q \right) d_1 }{ \sigma \sqrt{\tau} } - \frac{1 + d_1 d_2}{2 \tau} \right] \,</math>
|-
! vomma ||colspan="2"| <math> Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = \nu  \frac{d_1 d_2}{\sigma} \, </math>
|-
! Ultima ||colspan="2"| <math>\frac{-\nu}{\sigma^2} \left[ d_1 d_2 (1 - d_1 d_2) + d_1^2 + d_2^2 \right]</math>
|-
! colspan="3" |
|-
! dual delta || <math> -e^{-r \tau} \Phi(d_2) \, </math> || <math> e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \, </math>
|-
! dual gamma ||colspan="2"| <math> e^{-r \tau} \frac{\phi(d_2)}{K\sigma\sqrt{\tau}} \, </math>
|}

де

:<math> d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} </math>

:<math> d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - q - \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} = d_1 - \sigma\sqrt{\tau} </math>

:<math> \phi(x) = \frac{e^{- \frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}} </math>
:<math> \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty}^x e^{- \frac{y^2}{2}} \,dy =1- \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{x}^\infty e^{- \frac{y^2}{2}} \,dy</math>

== Коефіцієнт «дельта» ==
Це міра чутливості ціни опціону до елементарної зміни (unit change) ціни базового інструмента. Іншими словами, коефіцієнт «дельта» характеризує сприйнятливість до руху ціни базового інструменту. Дельта може приймати значення від -1 до +1, і її взаємозв'язок із ціною виконання зображена в таблиці{{Джерело}}.
{| class="wikitable"
|-
! Опціон !! Глибоке OTM<br/>(Out of the money option) !! ATM<br/>(At the money option) !! Глибоке ITM<br/>(In the money option)
|- align="center"
| Довгий «кол»/короткий «пут» || 0 || +0,50 || +1,0
|- align="center"
| Короткий «кол»/довгий «пут» || 0 || -0,50 || -1,0
|}

У випадку опціонів без виграшу «дельта», що дорівнює ±0,5, означає 50-відсоткову ймовірність того, що ціна базового інструменту може піти вверх або ж вниз відносно ціни виконання.
Опціон зі значним програшем характеризується низьким або нульовим коефіцієнтом «дельта», оскільки зміни ціни базового інструменту і незначній мірі відображаються на премії або зовсім не впливають на неї. За цієї ситуації для гравця на ринку ризик, пов'язаний із базовим ризиком, є несуттєвим.
Опціон зі значним виграшем характеризується високим або близьким до ±1 коефіцієнтом «дельта», оскільки будь-яка зміна ціни базового інструменту викликає практично таку ж зміну премії. За такої ситуації ринковий ризик по опціону ідентичний ринковому ризику еквівалентної позиції по базовому інструменту. Коефіцієнт «дельта» інакше можна розглядати як міру ймовірності того, що опціон в підсумку виявиться з виграшем.
Ймовірність виконання опціону з дельтою, близькою до ±1, дуже висока, тому що він має значний виграш. Опціони з дельтою, близькою до нуля, частіше всього не виконуються.

=== Дельта-хеджування ===
Існує два способи розрахунку хедж-позиції на основі значення коефіцієнта «дельта». На практиці дельту використовують для перерахунку опціонної позиції в еквівалентну ф'ючерсну позицію (оскільки маркет-мейкери часто використовують ф'ючерси для хеджування своїх ризиків по опціонам).
Рівняння для розрахунку необхідної [[ф'ючерс]]ної позиції:

<big>Число стандартних опціонних контрактів*Дельта=Еквівалентні стандартні ф'ючерси за поточної ринкової ціни</big>

=== Нейтральне хеджування ===
Нейтральний опціонний хедж має досить велике значення в управлінні ризиками, пов'язаними з опціонами. Це просто відношення опціонних і ф'ючерсних контрактів, яке дає змогу отримати нейтральну позицію. Цього разу дельта має наступне значення:

<big>Дельта = Коефіцієнт для визначення числа контрактів на базовий інструмент, які держатель опціона «кол»/«пут» повинен продати/купити або якими він повинен володіти, щоб отримати нейтральний опціонний хедж.</big>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
;Покрокове виведення опціонних греків
{{стовпці|3}}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_c_Price Derivation of European Vanilla Call Price] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413175625/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_c_Price |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppX.1.c_Delta Derivation of European Vanilla Call Delta] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413185001/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppX.1.c_Delta |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppX.2.c_Gamma Derivation of European Vanilla Call Gamma] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413184110/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppX.2.c_Gamma |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppX.3.c_Speed Derivation of European Vanilla Call Speed] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413181308/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppX.3.c_Speed |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppsigma1.1.c_Vega Derivation of European Vanilla Call Vega] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413190153/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppsigma1.1.c_Vega |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppsigma1.2.c_Volga Derivation of European Vanilla Call Volga] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413190437/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppsigma1.2.c_Volga |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppX.ppsigma1.2.c_Vanna Derivation of European Vanilla Call Vanna as Derivative of Vega with respect to underlying] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413175853/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppX.ppsigma1.2.c_Vanna |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppsigma1.ppX.2.c_Vanna Derivation of European Vanilla Call Vanna as Derivative of Delta with respect to volatility] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413173949/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppsigma1.ppX.2.c_Vanna |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppt.1.c_Theta Derivation of European Vanilla Call Theta] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413180825/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppt.1.c_Theta |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_pp%28RNalpha1%3D%28mu1%3Dr%29%29.1.c_Rho:_Shortcut Derivation of European Vanilla Call Rho] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413181740/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DCall,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_pp(RNalpha1%3D(mu1%3Dr)).1.c_Rho:_Shortcut |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_p_Price Derivation of European Vanilla Put Price] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413182731/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_p_Price |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppX.1.p_Delta Derivation of European Vanilla Put Delta] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413184651/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppX.1.p_Delta |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppX.2.p_Gamma Derivation of European Vanilla Put Gamma] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413185319/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppX.2.p_Gamma |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppX.3.p_Speed Derivation of European Vanilla Put Speed] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413175154/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppX.3.p_Speed |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppsigma1.1.p_Vega Derivation of European Vanilla Put Vega] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413182945/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppsigma1.1.p_Vega |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppsigma1.2.p_Volga Derivation of European Vanilla Put Volga] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413180237/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppsigma1.2.p_Volga |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppX.ppsigma1.2.p_Vanna Derivation of European Vanilla Put Vanna as Derivative of Vega with respect to underlying] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413183323/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppX.ppsigma1.2.p_Vanna |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppsigma1.ppX.2.p_Vanna Derivation of European Vanilla Put Vanna as Derivative of Delta with respect to volatility] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413183719/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppsigma1.ppX.2.p_Vanna |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_ppt.1.p_Theta Derivation of European Vanilla Put Theta] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413175149/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_ppt.1.p_Theta |date=13 квітня 2015 }}
* [http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE%281,1%29_%281%29_%281%29_%28Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1%29_pp%28RNalpha1%3D%28mu1%3Dr%29%29.1.p_Rho:_Shortcut Derivation of European Vanilla Put Rho] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150413180130/http://www.quantbible.com/wiki/index.php?title=X%3DSDE(1,1)_(1)_(1)_(Exer%3DEuro,Prod%3DPut,Payoff%3DAnalog,PathDep%3DNo,BasketCount%3D1)_pp(RNalpha1%3D(mu1%3Dr)).1.p_Rho:_Shortcut |date=13 квітня 2015 }}
</div>

{{Ринок похідних цінних паперів}}
{{fin-stub}}

[[Категорія:Фінансові коефіцієнти]]