Перегляд вихідного коду сторінки Градієнт

{{Числення|expanded=Векторів}}
[[Файл:Градієнт пагорба.png|межа|міні|400x400пкс|Операція градієнта перетворює пагорб (ліворуч), якщо дивитися на нього зверху, на поле векторів (праворуч). Видно, що вектори спрямовані «вгору», і чим крутіший нахил, тим вони довші.]]
'''Градіє́нт''', '''ґрадіє́нт'''&nbsp;— міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини.

Для позначення градієнта використовується [[оператор Гамільтона]] <math> \nabla </math>, або оператор <math>\operatorname{grad}</math>.

== Математичне формулювання ==
Градієнт, як завжди вважають,&nbsp;— [[вектор]]на величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат. Але при замінах координат градієнт перетворюється інакше, ніж вектор, і тому його не можна розглядати як справжній вектор.

Для [[Скалярне поле|скалярного поля]] <math> U(x,y,z) \, </math> градієнт визначається формулою
: <math> \nabla U = \mathrm{grad}\, U= \frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{i} +  
\frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{j} +
\frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{k}
</math>

де <math> \mathbf{i} </math>, <math> \mathbf{j} </math>, <math> \mathbf{k} </math>&nbsp;— [[Одиничний вектор|орти]] системи відліку.

Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності
: <math> \nabla U = \sum_i \frac{\partial U}{\partial x_i} \mathbf{e}_i </math>.

== Приклади ==

=== Градієнт скалярного поля ===
Градієнт скалярного поля&nbsp;— [[вектор]], проєкціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше.

=== Градієнт тиску ===
Градієнт тиску&nbsp;— втрата тиску на одиниці довжини шляху руху рідини (газу).

=== Градієнт метановості вугільних шахт ===
Градієнт метановості вугільних шахт&nbsp;— приріст середньої відносної газовості вугільних шахт при зануренні [[Гірничі роботи|гірничих робіт]] в зону [[метан]]ових газів. Здебільшого вимірюється в м<sup>3</sup>/т при заглибленні на 1 або 100&nbsp;м.

== Див. також ==
* [[Градієнтометр гравітаційний]]
* [[Градієнтометр магнітний]]
* [[Градієнтний спуск]]
* [[Градієнт температури]]
* [[Градієнт тиску (нафтогазовидобування)]]

== Література ==
{{wiktionary}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* Градієнт, стр. 143&nbsp;— [[Жалдак Мирослав Іванович|М.&nbsp;І.&nbsp;Жалдак]], Г.&nbsp;О.&nbsp;Михалін, С.&nbsp;Я.&nbsp;Деканов. [https://web.archive.org/web/20120526215951/http://www.npu.edu.ua/!e-book/book/djvu/A/ifmion_kma_Zhaldak_Mykhalin(Matanaliz2).pdf Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник.]&nbsp;— [[Київ]], НПУ імені М.&nbsp;П.&nbsp;Драгоманова, 2007.&nbsp;— 430 с.
* {{МГЕ|nocat=1}}

== Посилання ==
* {{cite web
 | url = https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/gradient-and-directional-derivatives/v/gradient
 | title = Gradient
 | publisher = [[Khan Academy]]
 | accessdate = 7 серпня 2018
 | archive-date = 7 серпня 2018
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20180807125133/https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/gradient-and-directional-derivatives/v/gradient
 }}
* {{MathWorld|urlname=Gradient}}

[[Категорія:Диференціальні оператори]]
[[Категорія:Узагальнення похідної]]
[[Категорія:Векторне числення]]
[[Категорія:Диференціальне числення]]
[[Категорія:Лінійні оператори в численні]]