Перегляд вихідного коду сторінки Гравітаційна задача N тіл

'''Гравітаці́йна зада́ча ''N'' тіл''' є класичною проблемою [[Небесна механіка|небесної механіки]] і [[Гравітація|гравітаційної]] [[Динаміка|динаміки]] [[Ісаак Ньютон|Ньютона]].

== Формулювання ==
У порожнечі містяться ''N'' [[Матеріальна точка|матеріальних точок]], маси яких відомі {''m''<sub>i</sub>}. Нехай попарна взаємодія точок підкоряється [[Гравітація|закону тяжіння Ньютона]], і нехай сили гравітації [[Адитивність|адитивні]]. Нехай відомі початкові на момент часу ''t''=0 положення і швидкості кожної точки '''r'''<sub>i</sub>|<sub>''t'' =0 </sub> = '''r'''<sub>i 0</sub>, '''v'''<sub>i</sub>|<sub>''t'' =0 </sub> = '''v'''<sub>i0</sub>. Потрібно знайти положення точок для всіх наступних моментів часу.

== Математичне формулювання гравітаційної задачі ''N'' тіл ==
Еволюція системи ''N'' гравітувальних тіл ([[Матеріальна точка|матеріальних точок]]) описується такою системою рівнянь:

<center>
{|
|<math>
\frac{d{\mathbf r}_i}{dt} = {\mathbf v}_i,
</math>
|-
|<math>
\frac{d{\mathbf v}_i}{dt} = \sum\limits_{j \neq i}^N G \, m_j \,
\frac{{\mathbf r}_j - {\mathbf r}_i}{\left|{\mathbf r}_j - {\mathbf
r}_i\right|^{3}},
</math>
|}
</center>

де <math>m_i,\, {\mathbf r}_i, \, {\mathbf v}_i</math> — маса, [[радіус-вектор]] і швидкість ''i''-го тіла відповідно (''i'' змінюється від 1 до ''N''), ''G'' — [[гравітаційна стала]]. Маси тіл, а також положення і швидкості в початковий момент часу вважаються відомими. Необхідно знайти положення і швидкості всіх частинок у довільний момент часу.

== Аналітичний розв'язок ==
{{Див. також|Вираз замкненого вигляду}}
[[Файл:2bodies.png|міні|320x320пкс|Траєкторії двох тіл різної маси, що перебувають у гравітаційній взаємодії]]
[[Файл:3bodies.png|міні|320x320пкс|Приблизні траєкторії трьох однакових тіл, які перебували у вершинах нерівнобедреного трикутника і мали нульові початкові швидкості]]
Випадок відокремленої точки <math>N=1</math> не є предметом розгляду гравітаційної динаміки. Поведінку такої точки описує [[Інерція|перший закон Ньютона]]. Гравітаційна взаємодія&nbsp;— це принаймні парний акт.

Розв'язком [[Задача двох тіл|задачі двох тіл]] <math>N=2</math> є барицентрична орбіта (не плутати з центральною орбітою Кеплера). Відповідно до постановки, розв'язання задачі двох тіл нечутливе до нумерації точок і співвідношення їхніх мас. Орбіта Кеплера виникає граничним переходом <math>\frac{m_1}{m_2}\rightarrow0</math>. При цьому втрачається рівноправність точок: <math>m_2</math> приймається абсолютно нерухомим центром тяжіння, а перша точка «втрачає» масу,&nbsp;— параметр <math>m_1</math> випадає з динамічних рівнянь. Система рівнянь [[Виродження (математика)|вироджується]], оскільки кількість рівнянь і параметрів зменшується вдвічі. Тому зворотна асимптотика стає неможливою: із [[Закони Кеплера|законів Кеплера]] не випливає [[закон всесвітнього тяжіння|закон тяжіння Ньютона]] (у законах Кеплера маси взагалі не згадуються).

Для [[Задача трьох тіл|задачі трьох тіл]] [[1912|1912 року]] [[Карл Зундман]] отримав загальний аналітичний розв'язок у вигляді [[Ряд (математика)|рядів]]. Хоча ці ряди й збігаються для будь-якого моменту часу і за будь-яких початкових умов, але збігаються вони вкрай повільно<ref>К.&nbsp;Л. Зигель. [http://telescopoptic.ucoz.ru/Zigel1959ru.djvu Лекции по небесной механике.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210202003828/http://telescopoptic.ucoz.ru/Zigel1959ru.djvu |date=2 лютого 2021 }}&nbsp;— М.: ИЛ, 1959.</ref>. Через таку [[Швидкість збіжності|повільну збіжність]] практичне використання рядів Зундмана неможливе<ref name="Markeev">{{Стаття|author=А. П. Маркеев|title=Задача трёх тел и её точные решения|видання={{нп|Соросівський освітній журнал|Соросовский образовательный журнал|ru|Соросовский образовательный журнал}}|номер=9|date=1999|url=http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9909_112.pdf|accessdate=25 січня 2021|archivedate=2 лютого 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210202011735/http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9909_112.pdf}} ([https://web.archive.org/web/20060211082821/http://www.issep.rssi.ru/pdf/9909_112.pdf копія] статті в [[Інтернет-архів|Архіві інтернету]])</ref>.

Для задачі трьох тіл {{Нп|Генріх Брунс (математик)|Генріх Брунс|ru|Брунс, Генрих}} і [[Анрі Пуанкаре]] показали, що її загальний розв'язок не можна виразити через [[Алгебрична функція|алгебричні]] або через однозначні [[Трансцендентна функція|трансцендентні функції]] координат і швидкостей<ref name="Markeev"/>. Відомо лише [[Точки Лагранжа|5 точних розв'язків]] задачі трьох тіл для особливих початкових швидкостей та координат об'єктів.

На даний момент у загальному вигляді задачу <math>N</math> тіл для <math>N>3</math> можна розв'язати тільки [[Чисельні методи|чисельно]].

== Чисельні методи ==
Із появою [[Комп'ютер|комп'ютерної]] техніки з'явилася реальна можливість вивчати властивості систем гравітувальних тіл, [[Методи розв'язання нелінійних рівнянь|чисельно розв'язуючи системи рівнянь]] руху. Для цього застосовують, наприклад, [[метод Рунге — Кутти]] (четвертого або вищого порядку).

Чисельні методи зіштовхуються з тими ж проблемами, що й аналітичні. Для «прямого» інтегрування кількість обчислень сили для кожного кроку зростає з ростом кількості тіл приблизно як <math>N^2</math>, що робить практично неможливим моделювання систем, що складаються з десятків чи сотень тисяч тіл. Крім того, за тісних зближень тіл необхідно зменшувати [[крок інтегрування]], але тоді швидко накопичуються [[Похибка|похибки]]. 

Для вирішення цієї проблеми застосовують такі [[Алгоритм|алгоритми]] (або їх комбінації):

* [[Схема Ахмада — Коена]] — пропонує розділити силу, що діє на кожне тіло, на 2 частини — регулярну (від віддалених тіл) й іррегулярну (від близьких тіл — «сусідів»). Відповідно, регулярну силу можна обчислювати зі значно більшим кроком, ніж іррегулярну.
* [[Алгоритм Барнса — Хата]] («деревний алгоритм», {{lang-en|Treecode}}) — реалізований Джошуа Барнесом<ref>{{Cite web |url=http://www.ifa.hawaii.edu/faculty/barnes/software.html |title=Treecode — Software Distribution |accessdate=25 січня 2021 |archive-date=2 лютого 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210202101630/http://www.ifa.hawaii.edu/faculty/barnes/software.html }}</ref>.
{{main|Моделювання задачі N тіл}}

== Інтеграли руху ==
Попри позірну простоту формул, розв'язку у вигляді скінчених аналітичних виразів для цієї задачі в загальному вигляді <math>N\ge 3</math> не існує. Як показав [[Генріх Брунс]], задача багатьох тіл має тільки 10 незалежних алгебричних [[Інтеграл руху|інтегралів руху]], знайдених у XVIII столітті, яких недостатньо для інтегрування задачі трьох і більше тіл<ref>Bruns H. Ueber die Integrale der Vielkoerper-Problems // Acta math. Bd. 11 (1887), p. 25—96.</ref><ref>Уитекер. Аналитическая динамика.</ref>. Свої узагальнення цієї теореми запропонували [[Поль Пенлеве|Пенлеве]] і [[Анрі Пуанкаре|Пуанкаре]]. Пенлеве вдалося відмовитися від вимоги алгебричності залежності від координат, Пуанкаре ж висловив гіпотезу про те, що не існує нового однозначного інтеграла (всі класичні інтеграли, крім інтеграла енергії, є однозначними функціями). Це останнє твердження досі не доведено в настільки загальному формулюванні.

У [[1971|1971 році]] {{Нп|Алєксєєв Володимир Михайлович|В. М. Алєксєєв|ru|Алексеев, Владимир Михайлович}} так прокоментував відповідний пасаж «Небесної механіки» Пуанкаре<ref>В. В. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск, 1995.</ref>:

{{Початок цитати}}Неіснування однозначного аналітичного інтеграла в задачі трьох тіл досі не доведено з повною строгістю... Перше акуратне доведення неінтегровності гамільтонової системи досить загального вигляду належить [[Карл Людвіг Зігель|Зігелю]]<ref>Математика. — 1961. — № 5, вып. 2. — С. 129—155.</ref>. Цікаво відзначити, що неаналітичні інтеграли в розглянутих задачах можливі; їх існування випливає з однієї теореми [[Колмогоров Андрій Миколайович|Колмогорова]]<ref>Колмогоров А. Н. // ДАН, 1954, 48, № 4, 527—530</ref><ref>Арнольд В. И. // УМН, 1963, 18 , № 5—6</ref>. Навпаки, у разі, коли кількість змінних більша двох, найімовірніше, неможливий навіть неперервний інтеграл<ref>Арнольд В. И. // ДАН, 1964, 154, № 1, 9—12.</ref>.
{{Кінець цитати}}

== Див. також ==

* {{Нп|MilkyWay@home||ru|}}
* {{Нп|Взаємодія багатьох тіл||ru|Взаимодействие многих тел}}
* {{Нп|Gravity Pipe||en|}}
* [[Модель Пламмера]]

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Література ==

* James Binney, Scott Tremaine. Galactic Dynamics, 1988, ISBN 0-69-108445-9.

== Посилання ==
* [https://users.soe.ucsc.edu/~charlie/3body/ Java-аплет, що візуалізує деякі часткові випадки задачі] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210126032303/https://users.soe.ucsc.edu/~charlie/3body/ |date=26 січня 2021 }}
* [https://github.com/drons/nbody Паралельна GPU реалізація розв'язання задачі N тіл з обходом дерева частинок без використання стека] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224182627/https://github.com/drons/nbody |date=24 лютого 2021 }}
{{Орбіти}}
[[Категорія:Небесна механіка]]