Перегляд вихідного коду сторінки Гострий та тупий трикутники

Гострий трикутник&nbsp;— це [[трикутник]] з усіма гострими [[кут]]ами (менше 90 °). Тупий трикутник&nbsp;— це трикутник з одним тупим кутом (більше 90 °) і двома гострими. Оскільки сума кутів трикутника повинна дорівнювати 180 °, трикутник не може мати більше одного тупого кута. Гострокутні та тупокутні трикутники&nbsp;— це два різних типи похилих трикутників&nbsp;— трикутників, які не є [[Прямокутний трикутник|прямокутними]], оскільки вони не мають кута у 90 °.

{| style="margin:auto; text-align:center"
|-
| [[Файл:Triangle.Right.svg|Right triangle]]
| width="185" | [[Файл:Triangle.Obtuse.svg|Obtuse triangle]]
| width="185" | [[Файл:Triangle.Acute.svg|Acute triangle]]
|-
| Прямий || Тупий || Гострий
|-
| &nbsp;
| colspan="2" | <math>\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}</math>
|-
| &nbsp;
| colspan="2" | Похилі
|}

== Властивості ==

У всіх трикутниках [[центроїд]]&nbsp;— це перетин [[Медіана трикутника|медіан]], кожна з яких з'єднує вершину з середньою точкою протилежної сторони, а [[центр вписаного кола]]&nbsp;— це центр кола, який внутрішньо дотичний до всіх трьох сторін і знаходиться всередині трикутника. Проте, якщо [[Висота трикутника|ортоцентр]] та [[Описане коло|центр описаного кола]] розташовані всередині гострого трикутника, вони є зовнішніми для тупого трикутника.
 
Ортоцентр&nbsp;— точка перетину трьох [[Висота трикутника|висот]] трикутника, кожна з яких [[Перпендикулярність|перпендикулярно]] з'єднує сторону з протилежною [[Вершина (геометрія)|вершиною]]. У випадку з гострим трикутником, всі три з цих сегментів лежать цілком у трикутнику, і тому вони перетинаються в його межах. Але для тупого трикутника висоти з двох гострих кутів перетинаються лише з {{Нп|Дотична до кола|точками дотику|en|extended side}} протилежних сторін. Ці висоти цілком виходять за межі трикутника, внаслідок чого вони перетинаються одна з одною (а отже, і з розширеною висотою від куточної вершини), що виникають у зовнішньому трикутнику.

Аналогічно, центр описаного кола&nbsp;— це перетин трьох [[бісекція|паралельних бісектрис]], який є центром кола, який проходить через всі три вершини і знаходиться всередині гострого трикутника, але поза межами тупого. [[Прямокутний трикутник]] є особливим випадком: центр описаного кола і ортоцентр лежать на його межі. У будь-якому трикутнику будь-які два вимірювані кути ''A'' і ''B'', протилежні сторонам ''a'' та ''b'', відповідно, пов'язані таким чином<ref name=PL>[[Alfred Posamentier|Posamentier, Alfred S.]] and Lehmann, Ingmar. ''The Secrets of Triangles'', Prometheus Books, 2012.</ref>{{rp|p. 264}}

: <math>A>B \quad \text{тоді й лише тоді, коли}\quad a > b.</math>

З цього випливає, що найдовша сторона в тупому трикутнику є протилежною вершині тупого кута.
 
Гострий трикутник має три [[Вписані фігури|вписані квадрати]], кожен з яких з одного боку збігається з частиною сторони трикутника та з іншими двома вершинами квадрата на інших двох сторонах трикутника. (У правильному трикутнику два з них зливаються у ту ж площу, тому є лише два окремі квадрати, нанесені на вигляд). Однак у тупого трикутника є лише один вписаний квадрат, одна з його сторін збігається з частиною найдовшої сторони трикутника.<ref name=Ox>Oxman, Victor, and Stupel, Moshe. «Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?» ''Forum Geometricorum'' 13, 2013, 113—115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171209115716/http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html |date=9 грудня 2017 }}</ref>{{rp|p. 115}}

Всі трикутники, у яких [[лінія Ейлера]] є паралельною до однієї сторони, є гострими.<ref name=BHS>Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, «Gossard's Perspector and Projective Consequences», ''Forum Geometricorum'', Volume 13 (2013), 169—184. [http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201318.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170830031403/http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201318.pdf |date=30 серпня 2017 }}</ref>
Ця властивість зберігається для сторони BC, [[Тоді й лише тоді|тоді й лише тоді, коли]] <math>(\tan B)(\tan C)=3.</math>

== Нерівності ==

Див. також: [[Перелік нерівностей трикутників]]

=== Сторони ===

Якщо кут С тупий, то для сторін a, b та c ми маємо:<ref name=Crux>''Inequalities proposed in «[[Crux Mathematicorum]]»'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170830032311/http://imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf |date=30 серпня 2017 }}.</ref>{{rp|p.1,#74}}

: <math>\frac{c^2}{2} < a^2+b^2 < c^2,</math>

що ліва нерівність наближається до рівності, лише коли кут нахилу рівномірного трикутника наближається до 180 °, а права нерівність наближається до рівності, тільки коли тупий кут наближається до 90 °.

Якщо трикутник гострий, то

: <math>a^2+b^2 > c^2, \quad b^2+c^2 > a^2, \quad c^2+a^2 > b^2.</math>

=== Висота ===

Якщо C є найбільшим кутом, а '' h '' <sub> '' c '' </sub>&nbsp;— висота від вершини ''C'', тоді для гострого трикутника<ref name=Crux/>{{rp|p.135,#3109}}

: <math>\frac{1}{h_c^2} < \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2},</math>

із протилежною нерівністю, якщо C&nbsp;— тупий.

=== Медіана ===

З найдовшою стороною ''c'' і [[Медіана трикутника|медіанами]] ''m''<sub>''a''</sub> і ''m''<sub>''b''</sub> з інших сторін
<ref name=Crux/>{{rp|p.136,#3110}}

: <math>4c^2 +9a^2b^2 > 16m_a^2m_b^2</math>

для гострого трикутника, але з нерівністю, зміненої для тупого трикутника.

Медіана ''m''<sub>''c''</sub> від найдовшої сторони є більшою або меншою, ніж радіус описаного кола для гострого або тупого трикутника відповідно:<ref name=Crux/>{{rp|p.136,#3113}}

: <math>m_c > R</math>

для гострих трикутників&nbsp;— протилежно до тупих.

=== Площа ===

{{Нп|Нерівність Оно|Нерівність Оно|en|Ono's inequality}} для площі ''A''

: <math>27 (b^2 + c^2 - a^2)^2 (c^2 + a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 \leq (4 A)^6,</math>

виконується для всіх гострих, але не для всіх тупих трикутників.

=== Тригонометричні функції ===

Для гострого трикутника ми маємо, для кутів ''A'', ''B'' та ''C''<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}

: <math>\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C < 1,</math>

з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника.
Для гострого трикутника з радіусом описаного кола ''R''<ref name=Crux/>{{rp|p.141,#3167}}

: <math>a\cos^3 A +b\cos^3 B +c\cos^3 C \leq \frac{abc}{4R^2}</math>

і<ref name=Crux/>{{rp|p.155,#S25}}

: <math>\cos^3A+\cos^3B+\cos^3C+\cos A\cos B\cos C\geq\frac{1}{2}.</math>

Для гострих трикутників<ref name=Crux/>{{rp|p.115,#2874}}

: <math>\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C > 2,</math>

з зворотною нерівністю для тупого трикутника.

Для гострих трикутників<ref name=Crux/>{{rp|p178,#241.1}}

: <math>\sin A \cdot \sin B +\sin B \cdot \sin C + \sin C \cdot \sin A \leq (\cos A+\cos B+\cos C)^2.</math>

Для будь-якого трикутника [[Список тригонометричних тотожностей|трійка дотичної ідентичності]] визначає, що сума [[Тригонометричні функції|тангенсів]] кутів дорівнює їх добутку. Оскільки гострий кут має позитивне дотичне значення, а тупий кут має негативний, вираз для знаходження добутку тангенсів показує, що

: <math>\tan A+\tan B+\tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C > 0</math>

для гострих трикутників, в той час як протилежний напрям нерівності використовується для тупих трикутників.

Ми маємо:<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#958}}

: <math>\tan A +\tan B+\tan C \geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)</math>

для гострих трикутників, і зворотна для тупого трикутника.

Для всіх гострих трикутників<ref name=Crux/>{{rp|p.40,#1210}}

: <math>(\tan A+\tan B+\tan C)^2 \geq (\sec A+1)^2+(\sec B+1)^2+(\sec C+1)^2.</math>

Для всіх гострих трикутників, що мають [[центр вписаного кола]] ''r'' і [[Описане коло|центр описаного кола]] ''R''<ref name=Crux/>{{rp|p.53,#1424}}

: <math>a\tan A+ b\tan B+c\tan C \geq 10R-2r.</math>

Для гострих трикутників з площею ''K'',<ref name=Crux/>{{rp|p.103,#2662}}

: <math>(\sqrt{\cot A}+\sqrt{\cot B}+\sqrt{\cot C})^2 \leq \frac{K}{r^2}.</math>

=== Радіуси описаного, вписаного і дотичного кіл ===

У гострому трикутнику сума радіуса описаного кола ''R'' і вписаного кола ''r'' менше половини суми найкоротших сторін ''a'' і ''b'':<ref name=Crux/>{{rp|p.105,#2690}}

: <math>R+r < \frac{a+b}{2},</math>

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з [[Медіана трикутника|медіанами]] ''m''<sub>''a''</sub> , ''m''<sub>''b''</sub> та ''m''<sub>''c''</sub> і радіусом описаного кола ''R'', ми маємо:<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}

: <math>m_a^2+m_b^2+m_c^2 > 6R^2</math>

а протилежна нерівність виконується для тупого трикутника.

Також для гострого трикутника задовольняє формула:<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}

: <math>r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2 < 8R^2,</math>

у термінах радіусів [[Вписане і зовнівписане в трикутник кола|дотичних кіл]] ''r''<sub>''a''</sub> , ''r''<sub>''b''</sub> та ''r''<sub>''c''</sub> ,
знову ж таки з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з півперіметром ''s'',<ref name=Crux/>{{rp|p.115,#2874}}

: <math>s-r >2R, </math>

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з площею ''K'',<ref name=Crux/>{{rp|p.185,#291.6}}

: <math>ab+bc+ca \geq 2R(R+r)+\frac{8K}{\sqrt{3}}.</math>

=== Відстані між центрами трикутників ===

Для гострого трикутника відстань між центром описаного кола O і ортоцентром H обчислюється за формулою<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}

: <math>OH < R,</math>

а за протилежною нерівністю обчислюється для тупого трикутника.

Для гострого трикутника відстань між центром вписаного кола ''I'' і ортоцентром ''H'' обчислюється так<ref name=Crux/>{{rp|p.26,#954}}

: <math>IH < r\sqrt{2},</math>

де ''r''&nbsp;— це [[радіус вписаного кола]], із зворотною нерівністю для тупого трикутника.

=== Вписаний квадрат ===

Якщо один з вписаних квадратів гострого трикутника має довжину боків ''x''<sub>''a''</sub>, а інший&nbsp;— ''x''<sub>''b''</sub>, де ''x''<sub>''a''</sub> < ''x''<sub>''b''</sub>, тоді<ref name=Ox/>{{rp|p. 115}}

: <math>1 \geq \frac{x_a}{x_b} \geq \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94.</math>

=== Два трикутники ===

Якщо два тупих трикутника мають сторони (''a, b, c'') і (''p, q, r''), де ''c'' та ''r''&nbsp;— найдовші сторони, тоді<ref name=Crux/>{{rp|p.29,#1030}}

: <math>ap+bq < cr.</math>

== Приклади ==

=== Трикутники із спеціальними назвами ===

{{Нп|Трикутник Калабі|Трикутник Калабі|en|Calabi triangle}} є єдиним нерівностороннім трикутником, для якого найбільша площа, яка підходить в інтер'єрі, може бути розташована будь-яким з трьох різних способів, він тупий та рівнобедрений з основними кутами 39.1320261 … ° та третьою шириною 101.7359477 .. °.

[[Правильний трикутник]] з трьома кутами 60 °, гострий.

[[Теорема Морлі|Трикутник Морлі]], утворений з будь-якого трикутника на перехрестях його сусідніх кутових триекранів, є рівнобічним і, отже, гострим.

[[Золотий трикутник (геометрія)|Золотий трикутник]]&nbsp;— це [[рівнобедрений трикутник]], у якому співвідношення дубліката сторони до основної сторони дорівнює [[Золотий перетин|золотому перетину]] співвідношенню. Він гострий з кутами 36 °, 72 ° та 72 °, що робить його єдиним трикутником з кутами пропорцій 1:2:2.<ref>{{Cite book|last=Elam|first=Kimberly|year=2001|title=Geometry of Design|publisher=Princeton Architectural Press |location=New York|isbn=1-56898-249-6|url=https://www.amazon.com/Geometry-Design-Studies-Proportion-Composition/dp/1568982496/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1288121120&sr=1-1}}</ref>

{{Нп|Трикутник семикутника|Трикутник семикутника|en|heptagonal triangle}} із сторонами, що збігаються із стороною, коротшою діагоналлю і довгою діагоналлю правильного [[семикутник]]а&nbsp;— це тупий трикутник, з кутами <math>\pi/7, 2\pi/7</math> та <math>4\pi/7.</math>

=== Трикутники з цілими сторонами ===

Єдиний трикутник з послідовними цілими числами для висоти і сторін, гострий, має сторони (13,14,15) і висоту із сторони 14 проти 12.

Трикутник з найменшим периметром і з цілими сторонами в арифметичній прогресії та трикутник з найменшим периметром з різними цілими сторонами, є тупим, а саме із сторонами (2, 3, 4).

Трикутники з одним кутом, який двічі більший за інший, з цілими сторонами в [[Арифметична прогресія|арифметичній прогресії]], є гострими: а саме трикутник із сторонами (4,5,6) та кратні йому.<ref name="Mitchell 2:3:4">Mitchell, Douglas W., "The 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6, and 3:5:7 triangles, " ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008.</ref>

Не існує гострих [[Цілосторонній трикутник|цілосторонніх трикутників]] з [[Площа|площею]], яка дорівнює [[периметр]]у, але є три тупі трикутники, що мають сторони<ref>[[L. E. Dickson]], ''[[History of the Theory of Numbers]], vol.2'', 181.</ref> (6,25,29), (7,15,20) і (9,10,17).
  
Найменший трикутник з цілими сторонами і з трьома раціональними [[Медіана трикутника|медіанами]]&nbsp;— гострий, із сторонами<ref name="Sierpinski">Sierpiński, Wacław. ''Pythagorean Triangles'', Dover Publ., 2003 (orig. 1962).</ref> (68, 85, 87).

[[Трикутник Герона|Трикутники Герона]] мають цілі сторони та цілі площі. Похилий трикутник Герона з найменшим периметром&nbsp;— гострий, із сторонами (6, 5, 5). Два трикутники Герона, які мають найменшу площу,&nbsp;— це гострий із сторонами (6, 5, 5) та тупий із сторонами (8, 5, 5), площа кожного з яких дорівнює 12.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{mathworld |urlname=AcuteTriangle |title=Acute triangle}}
* {{mathworld |urlname=ObtuseTriangle |title=Obtuse triangle}}

[[Категорія:Геометрія трикутника]]