Перегляд вихідного коду сторінки Гомологія (математика)

{{Otheruses|Гомологія}}
{{вичитати}}
'''Гомологія''' (від {{lang-grc|ὅμοιος}}&nbsp;— «той же» + {{lang-grc2|λογος}}&nbsp;— «слово», «закон»)&nbsp;— у математиці, (особливо у [[алгебраїчна топологія|алгебраїчній топології]] і [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]]), це спосіб зв'язати ряд алгебраїчних об'єктів, таких як [[Абелева група|абелеві групи]] або [[Модуль над кільцем|модулі над кільцем]], з іншими математичними об'єктами, такими як [[топологічні простори]]. Гомологічні групи вперше виникли у алгебраїчній топології, де вони були винайдені як спосіб описати «дірки» в [[многовид]]ах. Зараз подібні конструкції використовуються в різноманітних галузях математики, таких як [[теорія груп]], [[Алгебра Лі|алгебри Лі]], та інші.

Гомологія дозволяє побудувати [[Інваріант (математика)|топологічний інваріант]] простору.

== Загальні принципи ==

Теорія гомологій співставляє кожному [[Топологічний простір|топологічному простору]] X послідовність [[Абелева група|абелевих груп]], що є [[гомотопія|гомотопічними]] інваріантами простору - якщо два простори гомотопічно еквівалентні, то ці групи є ізоморфними. Це дозволяє претворити топологічну задачу на алгебраїчну, і, хоча це перетворення незворотнє, тобто при ньому втрачаються деякі геометричні властивості просторів, такий метод продемонстрував свою користь для багатьох класів задач. <ref>[http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Algebroicheskie_mnogobraziy_topologia/StinrodEjlenberg1958ru.pdf Основания алгебраической топологии] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161010133307/http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Algebroicheskie_mnogobraziy_topologia/StinrodEjlenberg1958ru.pdf |date=10 жовтня 2016 }}{{ref-ru}}</ref>

Загалом, гомологією [[Топологічний простір|топологічного простору]] X можна назвати ряд топологічних інваріантів Χ, виражені як ''класи гомології''
: <math>H_0(X), H_1(X), H_2(X), \ldots </math>
де  k-та група <math>H_k(X)</math> описує  ''k''-вимірні дірки в ''X''.<ref>[http://ikfia.ysn.ru/images/doc/algebra/Spener1971ru.pdf Алгебраическая топология] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161010172755/http://ikfia.ysn.ru/images/doc/algebra/Spener1971ru.pdf |date=10 жовтня 2016 }}{{ref-ru}}</ref>

Існує багато різних теорій гомологій - сімпліціарні, клітинні, гомології Чеха, Александера і Де-Рама, і, хоча вони не є еквівалентними, і приводять до різних інваріантів, в [[CW-комплекс|клітинних]] або гомотопних клітинним, просторах, тобто, таких, які можна розбити на клітини, кожна з яких гомеоморфна відкритій n-вимірній кулі, <ref>{{Cite web |url=http://vseslova.com.ua/word/Топологія-108045u |title=Топологія |accessdate=12 червня 2022 |archive-date=22 жовтня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181022055920/http://vseslova.com.ua/word/Топологія-108045u }}</ref> усі ці теорії приводять до одних і тих же об'єктів.<ref>[http://www.mi.ras.ru/~kazarian/papers/homology05.pdf Введение в теорию гомологий] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081010044031/http://www.mi.ras.ru/~kazarian/papers/homology05.pdf |date=10 жовтня 2008 }}{{ref-ru}}</ref>

== Історія ==
Першими теоріями, про які можна сказати, що вони описували гомології, були [[Характеристика Ейлера|Ейлерова характеристика]] [[багатогранник]]ів і Ріманове визначення [[Рід (математика)|роду]] [[Орієнтована поверхня|орієнтованої поверхні]]. 

Власне гомології були винайдені як спосіб аналізу і класифікації многовидів, що спирався на кількість їх ''циклів''&nbsp;— замкнених [[Петля (топологія)|петель]] (або, більш загально, підмноговидів), що можуть бути намальовані на деякому многовиді, але не можуть бути переведені один в інший неперервної деформацією. 
[[Файл:Spherecycles1.svg|ліворуч|міні|200x200пкс|Цикли на 2-сфері]]
На звичайній [[сфера|сфері]] <math>S^2</math>, будь-який цикл можна деформацією перевести в будь-який інший, що зрозуміло з [[Теорема Жордана|теореми Жордана]], з якої слідує, що будь-яка замкнена лінія на сфері можна стягнути в точку.  Таким чином, усі цикли на сфері належать до одного класу гомологій, і всі вони гомологічні нулю. Розрізавши многовид вздовж цикла, що гомологічний нулю, розділяє його на кілька компонентів.
[[Файл:Toruscycles1.svg|міні|256x256пкс|Цикли на торі]]
На відміну від сфери, на [[Тор (геометрія)|торі]]  можуть існувати цикли, що неможливо стягнути в точку. Цикли a, b на діаграмі вище є прикладом таких циклів. Тор можна розрізати вздовж цих циклів, і він перетвориться на фігуру, подібну до квадрата. 

Можна сказати і навпаки, склеївши сторони квадрата у деякій послідовності, можна отримати тор. Загалом існує чотири способи попарно з'єднати сторони квадрата. Два з них дають сферу і тор, а два інших&nbsp;— [[Пляшка Клейна|пляшку Клейна]] і [[Проективна площина|проективну площину]]. 
[[Файл:Flatsurfaces.svg|центр|міні|460x460пкс|Чотири способи зробити закриту поверхню: потрібно склеїти сторони, що мають однакові стрілки разом.]]

== Приклади ==

Одновимірна сфера  <math>S^1</math> (коло). Вона має один компонент з одновимірною діркою. Відповідні групи гомологій задаються як
: <math>H_k(S^1) = \begin{cases} \mathbb Z & k=0, 1 \\ \{0\} & \text{otherwise} \end{cases}</math>
де <math>\mathbb Z</math>&nbsp;— група цілих чисел, а <math>\{0\}</math> — [[тривіальна група]]. Група <math>H_1(S^1) = \mathbb Z</math> представляє [[Скінченнопороджена абелева група|скінченнопороджену абелеву групу]], з одним генератором, якому відповідає одновимірна дірка в колі.<ref name="Gowers 2010 390–391">{{Harvnb|Gowers|2010|pp=390–391}}</ref>

== Примітки ==
{{Reflist}}

{{Топологія}}

[[Категорія:Алгебрична топологія]]