Перегляд вихідного коду сторінки Глосарій алгебричної геометрії

{{Глосарій|Алгебрична геометрія}}{{АБВ}}

== А ==
{{Glossary}}
{{Term|[[абелів многовид]]}}
{{Defn|Повна алгебрична група. Наприклад, [[комплексний многовид]] <math>\mathbb{C}^n/\mathbb{Z}^{2n} </math> або [[еліптична крива]] <math>E</math> над [[Скінченне поле|скінченним полем]] <math>\mathbb{F}_q</math>.}}
{{Term|[[алгебрична група]]}}
{{Defn|[[Алгебричний многовид]], який також є [[Група (математика)|групою]], причому групові операції є морфізмами многовидів.}}
{{Term|алгебрична множина}}
{{Defn|Зведена відокремлювана схема скінченного типу над полем. Алгебричний многовид — це зведена незвідна алгебрична схема.}}
{{Term|алгебрична схема}}
{{Defn|Відокремлювана схема скінченного типу над полем. Наприклад, алгебричний многовид — це зведена незвідна алгебрична схема.}}
{{Term|алгебричне [[векторне розшарування]]}}
{{Defn|[[Локально вільний пучок]] скінченного рангу.}}
{{Term|[[алгебричний многовид]]}}
{{Defn|Ціла відокремлювана схема скінченного типу над полем.}}
{{Term|[[арифметичний рід]]}}
{{Defn|Арифметичний рід проєктивного многовиду ''X'' розмірності ''r'' — це <math>(-1)^r (\chi(\mathcal{O}_X) - 1)</math>.}}
{{Term|артінова схема}}
{{Defn|0-вимірна нетерова схема.}}
{{Term|афінний}}
{{Defn|[[Афінний простір]] — це, грубо кажучи, [[векторний простір]], у якому ми забули, яка точка є початком координат.}}
{{Defn|[[Афінний многовид]] — це [[Алгебричний многовид|многовид]] в афінному просторі.}}
{{Defn|[[Схема_(математика)#Афінні_схеми|Афінна схема]] — це [[Схема (математика)|схема]], ізоморфна [[Спектр кільця|спектру]] деякого комутативного кільця.}}
{{Defn|Морфізм називають ''аффінним'', якщо прообраз будь-якої відкритої афінної підмножини афінний. Важливі класи афінних морфізмів - [[Векторне розшарування|векторні розшарування]] і [[Скінченний морфізм|скінченні морфізми]].}}
{{Glossary end}}

== Б ==
{{Glossary}}
{{Term|[[Біраціональна_геометрія#Біраціональні_відображення|біраціональний морфізм]]}}
{{Defn|Біраціональний морфізм схем — це морфізм схем, який індукує ізоморфізм їхніх щільних відкритих підмножин. Приклад біраціональних морфізмів - відображення, індуковані [[Роздуття (алгебрична геометрія)|роздуттям]].}}
{{Glossary end}}

== В ==
{{Glossary}}
{{Term|відкрита підсхема}}
{{Defn|Відкрита підсхема схеми ''X'' — це відкрита підмножина ''U'' зі структурним пучком <math>\mathcal{O}_X|_U</math>.}}
{{Term|відокремлюваний}}
{{Defn|Відокремлюваний морфізм — це морфізм <math> f </math>, такий, що  діагональ розшарованого добутку <math> f </math> із собою замкнута.
Як наслідок, схема <math> X </math> відокремлювана, коли діагональне вкладення <math> X </math> в схемний добуток <math> X </math> із собою є замкнутим вкладенням.

Зауважимо, що топологічний простір ''Y'' гаусдорфів, якщо і тільки якщо діагональне вкладення
:<math>Y \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} Y \times Y</math>
замкнуте. Відмінність між топологічним і алгебро-геометричним випадками полягає в тому, що топологічний простір схеми <math>X \times_{\textrm{Spec} (\mathbb{Z})} X</math> відрізняється від добутку топологічних просторів.

Будь-яка афінна схема '' Spec A '' відокремлювана, оскільки діагональ відповідає сюр'єктивному відображенню кілець: ''<math>A \otimes_{\mathbb Z} A \rightarrow A, a \otimes a' \mapsto a \cdot a'</math>''.}}
{{Term|власний морфізм}}
{{Defn|Відокремлюваний універсально замкнутий морфізм скінченного типу. Морфізм схем ''f'': ''X'' → ''Y'' називають універсально замкнутим, якщо для будь-якої схеми ''Z'' з морфізмом ''Z'' → ''Y'' проєкція з розшарованого добутку <math>X \times_Y Z \to Z</math> є замкнутим відображенням топологічних просторів (переводить замкнуті множини в замкнуті).}}
{{Glossary end}}

== Г ==
{{Glossary}}
{{Term|геометричний рід}}
{{Defn|Геометричний рід гладкого проєктивного многовиду ''X'' розмірності ''n'' — це
: <math>\dim \Gamma(X, \Omega^n_X) = \dim \operatorname{H}^n(X, \mathcal{O}_X)</math>
(де рівність — це [[Двоїствість Серра|теорема двоїстості Серра]].}}
{{Term|гладкий}}
{{Defn|1=Гладкі морфізми — це багатовимірний аналог етальних морфізмів. Існує кілька різних визначень гладкості. Такі визначення гладкості морфізму {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} еквівалентні:
: 1) для будь-якої точки ''y'' ∈ ''Y'' існують відкриті афінні околи ''V'' і ''U'' точок ''y'', ''x''=''f''(''y''), відповідно, такі, що обмеження ''f'' на ''V'' розкладається в композицію етального морфізму і проєкції з ''n''-вимірного проєктивного простору над ''U''.
: 2) ''f'' плоский, локально скінченно подаваний, і для будь-якої геометричної точки <math>\bar{y}</math> в ''Y'' (морфізму з алгебрично замкнутого поля <math>k(\bar{y})</math> в ''Y''), геометричний шар <math>X_{\bar{y}}:=X\times_Y \mathrm{Spec} (k(\bar{y}))</math> є гладким многовидом над <math>k(\bar{y})</math> в сенсі класичної алгебричної геометрії.}}
{{Defn|Гладка схема над [[Досконале поле|досконалим полем]] ''k'' — це регулярна схема локально скінченного типу.}}
{{Defn|Схема ''X'' над полем ''k'' гладка, якщо вона геометрично гладка: схема <math>X \times_k \overline{k}</math> гладка.}}
{{Term|група Пікара}}
{{Defn|Група Пікара ''X'' — це група класів ізоморфізму лінійних розшарувань на ''X'', групова операція в якій — [[тензорний добуток]].}}
{{Glossary end}}

== Д ==
{{Glossary}}
{{Term|домінантний}}
{{Defn|Морфізм {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} називають домінантним, якщо образ ''f''(''X'') [[Щільна множина|щільний]]. Морфізм афінних схем ''Spec A'' → ''Spec B'' домінантний, якщо і тільки якщо ядро відповідного відображення ''B'' → ''A'' міститься в нільрадикалі ''B''.}}
{{Term|дотичний простір}}
{{Defn|Див. [[дотичний простір Зарицького]].}}
{{Term|дуалізувальний пучок}}
{{Defn|Когерентний пучок <math>\omega_X</math> на ''X'', такий що [[двоїстіость Серра]]
:<math>H^{n-i}(X, F^{\vee} \otimes \omega) \simeq H^i(X, F)^*</math>
має місце для будь-якого когерентного пучка ''F'' на ''X''; наприклад, якщо ''X'' — гладкий проєктивний многовид, то це - [[канонічний пучок]].}}
{{Term|дуже рясний}}
{{Defn|Лінійне розшарування ''L'' на многовиді '' X '' дуже рясне, якщо ''X'' можна вкласти в проєктивний простір, так що ''L'' буде обмеженням [[Скручувальний пучок Серра|скручувального пучка Серра]] ''O''(1).}}
{{Glossary end}}

== Е ==
{{Glossary}}
{{Term|етальний}}
{{Defn|Морфізм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} етальний, якщо він плоский і нерозгалужений. Існує кілька інших еквівалентних визначень. У разі гладких многовидів <math> X </math> і <math> Y </math> над алгебрично замкнутим полем, етальні морфізми&nbsp;— це морфізми, що індукують ізоморфізм дотичних просторів <math> df: T_{y} Y \rightarrow T_{f(y)} X</math>, що збігається зі звичайним визначенням етальних відображень у диференціальній геометрії.}}
{{Term|ефективний дивізор Картьє}}
{{Defn|Ефективний [[дивізор Картьє]] на схемі ''X'' над ''S'' — це замкнута підсхема ''X'', яка є плоскою над ''S'' і пучок ідеалів якої [[Оборотний пучок|оборотний]].}}
{{Glossary end}}

== З ==
{{Glossary}}
{{Term|замкнутий}}
{{Defn|'''Замкнуті підсхеми''' схеми ''X'' будуються за допомогою такої конструкції. Нехай ''J'' - квазікогерентний пучок ідеалів. Носій факторпучка <math>\mathcal{O}_X/J</math> - замкнута підмножина ''Z'' в ''X'' і <math>(Z,(\mathcal{O}_X/J)|_Z)</math> - це схема, називана '''замкнутою підсхемою, визначеною квазікогерентним пучком ідеалів ''J'''''{{sfn|Grothendieck & Dieudonné|1960|loc=4.1.2 and 4.1.3}}. Причина того, що визначення замкнутої підсхеми залежить від такої конструкції полягає в тому, що, на відміну від відкритих підмножин, замкнуті підмножини схеми мають не єдину структуру схеми.}}
{{Term|зведена схема}}
{{Defn|Схема, локальні кільця якої не мають ненульових нільпотентів.}}
{{Term|зв'язаний}}
{{Defn|Схема зв'язана, якщо вона [[Зв'язаний простір|зв'язана]] як топологічний простір. [[Афінна схема]] ''Spec(R)'' зв'язана, якщо і тільки якщо кільце ''R'' не має ідемпотентів, крім 0 і 1.}}
{{Glossary end}}

== К ==
{{Glossary}}
{{Term|канонічна модель}}
{{Defn|Канонічна модель — це [[Конструкція Proj|Proj]] канонічного кільця (скінченно породженого).}}
{{Term|канонічний}}
{{Defn|Канонічний пучок на нормальному многовиді ''X'' розмірності ''n'' — це пучок <math>\omega_X = i^*\Omega_U^n</math> диференціальних форм степеня ''n'' на підмножині гладких точок <math>i:U\to X</math>.}}
{{Defn|Канонічний клас <math>K_X</math> на нормальному многовиді ''X'' — це клас дивізорів, такий, що <math>\mathcal{O}_X(K_X) = \omega_X</math>.}}
{{Defn|Канонічний дивізор — це представник канонічного класу <math>K_X</math>, який позначають тим самим символом (визначений не однозначно).}}
{{Defn|Канонічне кільце на нормальному многовиді ''X'' — кільце перерізів канонічного пучка.}}
{{Term|квазівідокремлюваний}}
{{Defn|Морфізм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} називають квазівідокремлюваним, якщо діагональний морфізм {{nowrap|''Y'' → ''Y'' ×<sub>''X''</sub>''Y''}} квазікомпактний. Схема ''Y'' квазівідокремлювана, якщо морфізм із неї в Spec('''Z''') квазівідокремлюваний{{sfn|Grothendieck & Dieudonné|1964|loc=1.2.1}}.}}
{{Term|квазікомпактний морфізм}}
{{Defn|1=Морфізм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} називають квазікомпактним, якщо для деякого (а отже й для будь-якого) відкритого афінного покриття ''X'' множинами ''U<sub>i</sub>'' = ''Spec B<sub>i</sub>'', прообрази ''f''<sup>−1</sup>(''U<sub>i</sub>'') [[Компактний простір|компактні]].}}
{{Term|квазіскінченний морфізм}}
{{Defn|Морфізм скінченного типу, який має скінченні шари.}}
{{Term|кільце перерізів}}
{{Defn|Кільце перерізів лінійного розшарування ''L'' на схемі ''X'' — це градуйоване кільце <math>\oplus_0^\infty \Gamma(X, L^n)</math>.}}
{{Glossary end}}

== Л ==
{{Glossary}}
{{Term|локально нетерова схема}}
{{Defn|Схема, покрита [[Спектр кільця|спектрами]] [[Нетерове кільце|нетерових кілець]]. Якщо спектрів скінченне число, схему називають нетеровою.}}
{{Term|локально факторіальна схема}}
{{Defn|Схема, локальні кільця якої [[Факторяальне кяльце|факторіальні]].}}
{{Glossary end}}

== М ==
{{Glossary}}
{{Term|многовид Фано}}
{{Defn|Гладкий [[проєктивний многовид]], у якого антиканонічний пучок <math>\omega_X^{-1}</math> рясний.}}
{{Term|многочлен Гільберта}}
{{Defn|Многочлен Гільберта проєктивної схеми ''X'' над полем — це ейлерова характеристика <math>f(s)=\chi(\mathcal{O}_X(s))</math>.}}
{{Term|морфізм (локально) скінченного типу}}
{{Defn|Морфізм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} локально скінченного типу, якщо <math> X </math> можна покрити відкритими афінними підмножинами <math> \text{Spec }B </math>, такими, що кожен прообраз <math>f^{-1}(\text{Spec }B)</math> можна покрити відкритими афінними підмножинами <math>\text{Spec }A</math> де кожне <math> A </math> скінченно породжене як <math>B</math>-алгебра.

Морфізм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} скінченного типу, якщо <math> X </math> можна покрити відкритими афінними підмножинами <math> \text{Spec }B </math>, такими, що кожен прообраз <math>f^{-1}(\text{Spec }B)</math> можна покрити скінченним числом відкритих афінних підмножин <math>\text{Spec }A</math>, де кожне <math> A </math> скінченно породжене як <math>B</math>-алгебра.}}
{{Glossary end}}

== Н ==
{{Glossary}}
{{Term|незвідна схема}}
{{Defn|Схему називають незвідною, якщо вона (як топологічний простір), не є об'єднанням двох власних замкнених підмножин.}}
{{Term|нерозгалужений морфізм}}
{{Defn|Для точки <math> y \in Y</math>, розглянемо відповідний морфізм локальних кілець

: <math>f^\# \colon \mathcal{O}_{X, f(y)} \to \mathcal{O}_{Y, y}</math>.

Нехай <math> \mathfrak{m} </math> — максимальний ідеал <math> \mathcal{O}_{X,f(y)} </math>, і нехай

: <math>\mathfrak{n} = f^\#(\mathfrak{m}) \mathcal{O}_{Y,y}</math>

це ідеал, породжений образом <math> \mathfrak{m} </math> в <math>\mathcal{O}_{Y,y} </math>. Морфізм <math> f </math> називають нерозгалуженим, якщо він локально скінченного типу і для всіх <math> y\in Y</math>, <math> \mathfrak{n} </math> — максимальний ідеал кільця <math> \mathcal{O}_{Y,y} </math> і індуковане відображення

: <math>\mathcal{O}_{X,f(y)}/\mathfrak{m} \to \mathcal{O}_{Y,y}/\mathfrak{n} </math>

є [[Скінченне розширення|скінченним]] [[Сепарабельне розширення|сепарабельним]] розширенням полів.}}
{{Term|нормальна схема}}
{{Defn|Цілу схему називають нормальною, якщо її локальні кільця [[Цілозамкнуте кільце|цілозамкнуті]].}}
{{Glossary end}}

== О ==
{{Glossary}}
{{Term|образ}}
{{Defn|Якщо {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}}&nbsp;— морфізм схем, то теоретико-схемний образ ''f''&nbsp;— це однозначно визначена замкнута підсхема {{nowrap|''i'' : ''Z'' → ''X''}}, яка задовольняє такій універсальній властивості:
# ''f'' пропускається через ''i'',
# якщо {{nowrap|''j'' : ''Z''′ → ''X''}}&nbsp;— будь-яка замкнута підсхема ''X'', така, що ''f'' пропускається через ''j'', то ''i'' також пропускається через ''j''.<ref>[http://www.math.columbia.edu/algebraic_geometry/stacks-git/morphisms.pdf The Stacks Project] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120316172018/http://www.math.columbia.edu/algebraic_geometry/stacks-git/morphisms.pdf |date=16 березня 2012 }}, Chapter 21, §&nbsp;4.</ref>}}
{{Glossary end}}

== П ==
{{Glossary}}
{{Term|плоский морфізм}}
{{Defn|Морфізм, що індукує плоскі відображення [[Шар пучка|шарів]]. Гомоморфізм кілець ''A'' → ''B'' називають плоским, якщо він робить ''B'' [[Плоский модуль|плоским]] ''A''-модулем.}}
{{Term|плюрирод}}
{{Defn|''n''-й плюрирод гладкого проєктивного многовиду — це <math>\dim \Gamma(X, \omega_X^{\otimes n})</math>.}}
{{Term|проєктивний}}
{{Defn|[[Проєктивний многовид]] — це замкнутий підмноговид [[Проєктивний простір|проєктивного простору]].}}
{{Defn|Проєктивна схема над схемою ''S'' — це ''S''-схема, яка пропускається через деякий проєктивний простір <math>\mathbf{P}^N_S \to S</math> як замкнута підсхема.}}
{{Defn|Проєктивні морфізми визначають подібно до афінних морфізмів: {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} називають проєктивним, якщо він розкладається в композицію замкнутого вкладення і проєкції проєктивного простору <math> \mathbb{P}^{n}_X := \mathbb{P}^n \times_{\mathrm{Spec}\mathbb Z} X</math> на <math> X </math>.}}
{{Glossary end}}

== Р ==
{{Glossary}}
{{Term|регулярна схема}}
{{Defn|Схема, локальні кільця якої — [[Регулярне локальне кільце|регулярні локальні кільця]].}}
{{Term|рід}}
{{Defn|Див. [[#арифметичний рід]], [[#геометричний рід]].}}
{{Term|[[роздуття]]}}
{{Defn|Роздуття - це біраціональне перетворення, яке замінює замкнуту підсхему ефективним дивізором Картьє. Точніше, для нетерової схеми ''X'' і замкнутої підсхеми <math>Z \subset X</math>, роздуття ''Z'' в ''X'' - це власний морфізм <math>\pi: \widetilde{X} \to X</math>, такий, що (1) <math>\pi^{-1}(Z) \hookrightarrow \widetilde{X}</math> є ефективним дівізором Картьє, званим винятковим дивізором і (2) <math>\pi</math> - універсальний об'єкт із властивістю (1).}}
{{Term|розмірність Кодайри}}
{{Defn|Розмірність канонічної моделі.}}
{{Term|рясний}}
{{Defn|Рясне лінійне розшарування - це лінійне розшарування, деякий тензорний степінь якого дуже рясний.}}
{{Glossary end}}

== С ==
{{Glossary}}
{{Term|скінченний морфізм}}
{{Defn|Морфізм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}}&nbsp;— скінченний, якщо <math>X</math> можна покрити відкритими афінними множинами <math> \text{Spec }B </math>, такими, що кожне <math> f^{-1}(\text{Spec }B) </math> афінне&nbsp;— має вигляд <math> \text{Spec }A </math>&nbsp;— і <math> A </math> скінченно породжене як <math> B </math>-модуль.}}
{{Term|скінченно подаваний}}
{{Defn|Якщо ''y'' — точка ''Y'', то морфізм ''f'' скінченно подаваний в ''y'', якщо існує відкритий афінний окіл ''U'' точки ''f(y)'' і відкритий афінний окіл ''V'' точки ''y'', такий, що ''f''(''V'') ⊆ ''U'' і <math>\mathcal{O}_Y(V)</math> — скінченно подавана алгебра над <math>\mathcal{O}_X(U)</math> (фактор скінченно породженої алгебри за скінченно породженим ідеалом). Морфізм ''f'' локально скінченно подаваний, якщо він скінченно подаваний у всіх точках ''Y''. Якщо ''X'' локально нетерова, то ''f'' локально скінченно подаваний, якщо і тільки якщо він локально скінченного типу{{sfn|Grothendieck & Dieudonné|1960|loc=§1.4}}.

Морфізм {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''X''}} скінченно подаваний, якщо він локально скінченно подаваний, квазікомпактний і квазівідокремлюваний. Якщо ''X'' локально нетерова, то ''f'' скінченно подаваний, якщо і тільки якщо він скінченного типу.}}
{{Term|схема}}
{{Defn|[[Схема (математика)|Схема]] - це [[локально окільцьований простір]], локально ізоморфний [[Спектр кільця|спектру]] [[Комутативне кільце|комутативного кільця]].}}
{{Glossary end}}

== Т ==
{{Glossary}}
{{Term|точка}}
{{Defn|Схема <math> S </math> — це локально окільцьований простір, і отже топологічний простір, але слово ''точка <math> S </math>'' має три значення:
# точка <math> P </math> підлеглого топологічного простору;
# <math> T </math>-точка <math>S</math> — це морфізм із <math> T </math> в <math> S </math>, для будь-якої схеми <math> T </math>;
# ''геометрична точка'' схеми <math> S </math>, визначеної над (з морфізмом у) <math> \textrm{Spec}(K) </math>, де <math> K </math> — [[Поле (математика)|поле]], це морфізм із <math> \textrm{Spec} (\overline{K}) </math> в <math> S </math>, де <math> \overline{K} </math> — [[алгебричне замикання]] <math>K</math>.}}
{{Glossary end}}

== Ц ==
{{Glossary}}
{{Term|ціла схема}}
{{Defn|Зведена незвідна схема. Для локально нетерової схеми, бути цілою еквівалентно тому, щоб бути зв'язаною і покритою спектрами [[Область цілісності|областей цілісності]]}}
{{Glossary end}}

== Ш ==
{{Glossary}}
{{Term|шар}}
{{Defn|Для морфізму схем <math>f: X \to Y</math>, шар ''f'' над ''y'', як множина, — це прообраз <math>f^{-1}(y) = \{x \in X|f(x)=y\}</math>; він має природну структуру схеми над {{нп5|Поле лишків|полем лишків||Residue field}} точки ''y'' як розшарований добуток <math>X \times_Y \{y\}</math>, де <math>\{y\}</math> має природну структуру схеми над ''Y'' як спектр поля лишків точки ''y''.}}
{{Glossary end}}

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{Книга
|автор = Хартсхорн Р.
|заголовок = Алгебраическая геометрия
|відповідальний = пер. с англ. В. А. Исковских
|місце = М.
|видавництво = Мир
|рік = 1981
|ref = Хартсхорн
}}
* {{Citation|last1=Fulton|first1=William|author1-link=Вільям Фултон (математик)|title=Intersection theory|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]|isbn=978-3-540-62046-4|mr=1644323|year=1998|volume=2}}
* {{EGA|book=I}}
* {{EGA|book=IV-1}}
[[Категорія:Алгебрична геометрія]]
[[Категорія:Глосарії]]