Перегляд вихідного коду сторінки Глобальна оптимізація

[[Файл:Extrema example es.svg|міні|праворуч|250пкс|Приклади екстремумів]]
'''Глобальна оптимізація'''&nbsp;— це розділ [[Прикладна математика|прикладної математики]] та [[Чисельні методи|числового аналізу]], який намагається знайти глобальні [[Екстремум|мінімуми або максимуми]] функції або множини функцій на заданій множині. Зазвичай це описується як проблема мінімізації, оскільки максимізація дійсної функції <math>g(x)</math> еквівалентна мінімізації функції <math>f(x):=-g(x)</math>.

Дано нелінійну та невипуклу [[Неперервна функція|неперервну функцію]] <math>f:\Omega\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> з глобальними мінімумами <math>f^*</math> і множина усіх глобальних мінімізаторів <math>X^*</math> в <math>\Omega</math>, стандартну задачу мінімізації можна подати як

: <math>\min_{x\in\Omega}f(x),</math>

тобто знаходження <math>f^*</math> і глобальний мінімізатор в <math>X^*</math>; де <math>\Omega</math> є (не обов'язково опуклою) компактною множиною, визначеною нерівностями <math>g_i(x)\geqslant0, i=1,\ldots,r</math>.

Глобальна оптимізація відрізняється від локальної оптимізації тим, що вона зосереджена на пошуку мінімуму або максимуму над заданою множиною, на відміну від пошуку ''локальних'' мінімумів або максимумів. Знайти довільний локальний мінімум відносно просто за допомогою класичних методів ''[[Локальний пошук (оптимізація)|локальної оптимізації]]''. Знайти глобальний мінімум функції набагато складніше: аналітичні методи не завжди можна застосовати, а використання підходів чисельного розв'язання часто призводить до дуже складних обчислювальних завдань.

== Загальна теорія ==
Сучасний підхід до проблеми глобальної оптимізації полягає в '''розподілі мінімумів'''.<ref>{{Cite journal|last=Xiaopeng Luo|year=2018|title=Minima distribution for global optimization|arxiv=1812.03457}}</ref> Далі продемонструємо зв'язок між будь-якою безперервною функцією <math>f</math> на компактній множині <math>\Omega\subset\mathbb{R}^n</math> і її глобальними мінімумами <math>f^*</math>. Як типовий випадок, з цього випливає, що

: <math>
\lim_{k\to\infty}\int_\Omega f(x)m^{(k)}(x) \, \mathrm{d}x=f^*,~~\text{де}~~m^{(k)}(x)=\frac{e^{-kf(x)}}{\int_\Omega e^{-kf(x)} \, \mathrm{d}x};
</math>

тим часом,

: <math>
\lim_{k\to\infty}m^{(k)}(x)
=\left\{\begin{array}{cl}
 \frac{1}{\mu(X^*)}, & x\in X^*, \\
 0, & x\in\Omega-X^*,
\end{array}\right.
</math>

де <math>\mu(X^*)</math>&nbsp;— це <math>n</math>-вимірна [[міра Лебега]] множини мінімізаторів <math>X^*\in\Omega</math>. І якщо <math>f</math> не є постійною на <math>\Omega</math>, монотонні нерівності

: <math>
\int_\Omega f(x)m^{(k)}(x)\,\mathrm{d}x>
\int_\Omega f(x)m^{(k+\Delta k)}(x)\,\mathrm{d}x>f^*
</math>

виконуються для всіх <math>k\in\mathbb{R}</math> і <math>\Delta k>0</math>, що передбачає низку монотонних включень, і одним із них є, наприклад,

: <math>
\Omega\supset D_f^{(k)}\supset D_f^{(k+\Delta k)}\supset X^*, \text{ де } D_f^{(k)}=\left\{ x \in \Omega : f(x)\leqslant \int_\Omega f(t)m^{(k)}(t) \, \mathrm{d}t\right\}.
</math>

Далі визначаємо '''розподіл мінімумів''' як слабку межу <math>m_{f,\Omega}</math> таку, що тотожність

: <math>
\int_\Omega m_{f,\Omega}(x)\varphi(x) \, \mathrm{d}x = \lim_{k\to\infty} \int_\Omega m^{(k)}(x) \varphi(x) \, \mathrm{d}x
</math>

виконується для кожної [[Гладка функція|гладкої функції]] <math>\varphi</math> з компактним [[Носій функції|носієм]] в <math>\Omega</math>. Ось дві безпосередні властивості <math>m_{f,\Omega}</math>:

# <math>m_{f,\Omega}</math> задовольняє тотожності <math>\int_\Omega m_{f,\Omega}(x) \, \mathrm{d}x = 1</math>.
# Якщо <math>f</math> є неперервною на <math>\Omega</math>, то <math>f^*=\int_\Omega f(x)m_{f,\Omega}(x) \, \mathrm{d}x</math>.

Для порівняння, добре відомо, що зв'язок між будь-якою диференційованою [[Опукла функція|опуклою функцією]] та її мінімумами строго встановлюється за допомогою [[градієнт]]а. Якщо <math>f</math> диференційована на опуклій множині <math>D</math>, то <math>f</math> є опуклою [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли

: <math>
f(y)\geqslant f(x)+\nabla f(x)(y-x),~~\forall x,y\in D;
</math>

таким чином, <math>\nabla f(x^*)=0</math> означає, що <math>f(y)\geqslant f(x^*)</math> виконується для всіх <math>y\in D</math>, тобто <math>x^*</math> є глобальним мінімізатором <math>f</math> на <math>D</math>.

== Застосування ==
Типові приклади застосування глобальної оптимізації включають:

* [[Передбачення структури білків|Передбачення структури білка]] (мінімізація функції енергії/вільної енергії)
* {{нп|Обчислювальна філогенетика||en|Computational phylogenetics}} (наприклад, мінімізація кількості перетворень символів у дереві)
* [[Задача комівояжера]] та побудова електричної схеми (мінімізація довжини шляху)
* [[Хімічна технологія|Хімічна інженерія]] (наприклад, аналіз [[Вільна енергія Гіббза|енергії Гіббса]])
* Перевірка безпеки, [[техніка безпеки]] (наприклад, механічних конструкцій, будівель)
* Аналіз [[Найгірший випадок складності|найгіршого випадку]] для алгоритмів
* Математичні задачі (наприклад, [[гіпотеза Кеплера]])
* Задача пакування (розробки конфігурації) об'єктів
* Початковою точкою кількох симуляцій [[Молекулярна динаміка|молекулярної динаміки]] є початкова оптимізація енергії системи, що моделюється
* [[Спінове скло]]
* Калібрування [[Поширення радіохвиль|моделей розповсюдження радіохвиль]] і багатьох інших моделей у науці та техніці
* {{нп|Допасовування кривої||en|Curve fitting}}, як аналіз {{нп|Метод нелінейних найменших квадратів|методу нелінійних найменших квадратів|en|Non-linear least squares}} та інші узагальнення, які використовуються для допасовування параметрів моделі до експериментальних даних у хімії, фізиці, біології, економіці, фінансах, медицині, астрономії, інженерії
* Планування [[Променева терапія|променевої терапії]].

== Детерміновані методи ==
{{main article|{{нп|Детермінована глобальна оптимізація||en|Deterministic global optimization}}}}
Найуспішніші загальні точні стратегії:

=== Внутрішня і зовнішня апроксимація ===
В обох цих стратегіях множина, над якою функція повинна бути оптимізована, апроксимується многогранниками. У внутрішньому наближенні багатогранники містяться в множині, тоді як у зовнішньому наближенні багатогранники містять множину.

=== Методи січних площин ===
{{main article|{{нп|Методи січних площин|Метод січних площин|en|Cutting plane}}}}
'''Метод січних площин'''&nbsp;— це загальний термін для методів оптимізації, які ітеративно уточнюють [[Допустимий регіон|можливу множина]] або [[Цільова функція|цільову функцію]] за допомогою лінійних нерівностей, які називаються ''перерізами''. Такі процедури широко використовуються для пошуку [[Цілі числа|цілочисельних]] розв'язків задач змішаного цілочисельного [[Лінійне програмування|лінійного програмування,]] а також для вирішення загальних, не обов'язково диференційованих задач [[Опукла оптимізація|опуклої оптимізації]]. Використання січних площин для вирішення задач змішаного цілочисельного лінійного програмування було введено {{нп|Ральф Е. Гоморі|Ральфом Е. Гоморі|en|Ralph E. Gomory}} та [[Вацлав Хватал|Вацлавом Хваталом]].

=== Методи гілок і меж ===
{{main article|Метод гілок і меж}}
'''Метод гілок і меж'''&nbsp;— це парадигма розробки [[алгоритм]]у для задач дискретної та [[Комбінаторна оптимізація|комбінаторної оптимізації]]. Алгоритм складається з систематичного перебору варіантів рішень за допомогою {{нп|Пошук у просторі станів|пошуку у просторі станів|en|State space search}}: множина можливих рішень утворює [[Дерево (теорія графів)|дерево]], яке містить всі можливі розв'язки у корені. Алгоритм досліджує ''гілки'' цього дерева, які представляють підмножини множини рішень. Перед тим як розглядати можливі варіанти розв'язків гілки, виконують перевірку гілки на верхню та нижню ''оцінку'' оптимального розв'язку. Якщо перевірка показує, що гілка не може дати кращого розв'язку, ніж найкращий розв'язок, вже знайдений на поточний момент алгоритмом, то гілка пропускається.

=== Інтервальні методи ===
{{main article|Інтервальна арифметика|}}
'''Інтервальна арифметика''', '''інтервальна математика''', '''інтервальний аналіз''' або '''інтервальне числення'''&nbsp;— це метод, розроблений математиками в 1960-х роках як підхід до встановлення обмежень на [[Похибка округлення|похибки округлення]] та [[Похибка вимірювання|вимірювання]] в [[Чисельні методи|математичних обчисленнях]] і, таким чином, для розробки [[Чисельні методи|чисельних методів]], які дають надійні результати. Інтервальна арифметика допомагає знаходити надійні та гарантовані рішення рівнянь і задач оптимізації.

=== Методи, засновані на дійсній алгебричній геометрії ===
{{main article|{{нп|Дійсна алгебрична геометрія||en|Real algebraic geometry}}}}
'''Дійсна алгебра'''&nbsp;— це частина алгебри, яка має відношення до дійсної [[Алгебрична геометрія|алгебричної]] (і напівалгебричної) геометрії. В цілому вона стосується вивчення [[Впорядковане поле|впорядкованих полів]] і [[Впорядковане кільце|впорядкованих кілець]] (зокрема [[Алгебрично замкнуте поле|алгебрично замкнутих полів]]) та їх застосування до вивчення {{нп|Додатний поліном|додатних поліномів|en|Positive polynomial}} і {{нп|Поліноміальна сума квадратів|сум квадратів поліномів|en|Polynomial SOS}}. Його можна використовувати для [[Опукла оптимізація|опуклої оптимізації]].

== Стохастичні методи ==
{{Main article|Стохастична оптимізація}}

Існує кілька точних або неточних алгоритмів на основі Монте-Карло:

=== Прямий вибірковий метод Монте-Карло ===
{{Main article|Метод Монте-Карло}}
У цьому методі для пошуку наближеного розв'язку використовується випадкове моделювання.

''Приклад'': [[задача комівояжера]] називається класичною задачею оптимізації. Тобто всі факти (відстані між кожною точкою призначення), необхідні для визначення оптимального шляху, відомі, і мета полягає в тому, щоб переглянути можливі варіанти подорожей, щоб знайти той, який має найменшу загальну відстань. Однак припустімо, що замість того, щоб мінімізувати загальну відстань, пройдену для відвідування кожного бажаного пункту призначення, ми хотіли мінімізувати загальний час, необхідний для досягнення кожного пункту призначення. Це виходить за рамки традиційної оптимізації, оскільки час у дорозі за своєю суттю є невизначеним (пробки, час доби, тощо). Як наслідок, щоб визначити наш оптимальний шлях, ми хотіли б використати симуляцію&nbsp;— оптимізацію, щоб спочатку зрозуміти діапазон потенційного часу, який може знадобитися для переходу від однієї точки до іншої (у цьому випадку представлений розподілом ймовірностей, а не конкретною відстанню), а потім оптимізувати наші рішення про подорожі, щоб визначити найкращий шлях, яким слід слідувати, враховуючи цю невизначеність.

=== Стохастичне тунелювання ===
{{Main article|{{нп|Стохастичне тунелювання||en|Stochastic tunneling}}}}
'''Стохастичне тунелювання'''&nbsp;— це підхід до [[Глобальна оптимізація|глобальної оптимізації]], заснований на [[Метод Монте-Карло|методі Монте-Карло]]&nbsp;— [[Дискретизація|вибірка]] функції, яка об'єктивно мінімізується, у якій функція нелінійно перетворюється, щоб полегшити тунелювання між областями, що містять мінімуми функції. Просте тунелювання дозволяє швидше досліджувати простір зразків і забезпечує більш швидку збіжність до оптимального рішення.

=== Паралельний відпуск ===
{{main article|{{нп|Паралельний відпуск||en|Parallel tempering}}}}
{{Фахівець|розділ|галузь=фізика|причина=аматорський переклад та можливі помилки в термінології}}
'''Паралельний відпуск'''&nbsp;— це метод [[Симуляція|моделювання]], спрямований на покращення динамічних властивостей моделювання фізичних систем [[Метод Монте-Карло|методом Монте-Карло]] та [[Методи Монте-Карло марковських ланцюгів|методів Монте-Карло марковських ланцюгів (МКМЛ)]] загалом. Метод обміну копіями спочатку був розроблений {{нп|Роберт Свендсен|Свендсеном|en|Robert Swendsen}}<ref>Swendsen RH and Wang JS (1986) [https://www.researchgate.net/profile/Robert_Swendsen/publication/13255490_Replica_Monte_Carlo_Simulation_of_Spin-Glasses/links/0046352309b5f54715000000.pdf Replica Monte Carlo simulation of spin glasses] Physical Review Letters 57 : 2607—2609</ref>, потім розширений Гейєром<ref>C. J. Geyer, (1991) in ''Computing Science and Statistics'', Proceedings of the 23rd Symposium on the Interface, American Statistical Association, New York, p. 156.</ref> і пізніше розроблений [[Джорджо Паризі|Джорджіо Парізі]].<ref>{{Cite journal|last=Marco Falcioni and Michael W. Deem|year=1999|title=A Biased Monte Carlo Scheme for Zeolite Structure Solution|journal=J. Chem. Phys.|volume=110|issue=3|pages=1754–1766|arxiv=cond-mat/9809085|bibcode=1999JChPh.110.1754F|doi=10.1063/1.477812}}</ref><ref>David J. Earl and Michael W. Deem (2005) [http://www.rsc.org/Publishing/Journals/CP/article.asp?doi=b509983h «Parallel tempering: Theory, applications, and new perspectives»], ''Phys. Chem. Chem. Phys.'', 7, 3910</ref> Сугіта та Окамото сформулювали [[Молекулярна динаміка|молекулярно-динамічну]] версію паралельного відпуска<ref>{{Cite journal|last=Y. Sugita and Y. Okamoto|year=1999|title=Replica-exchange molecular dynamics method for protein folding|journal=Chemical Physics Letters|volume=314|issue=1–2|pages=141–151|bibcode=1999CPL...314..141S|doi=10.1016/S0009-2614(99)01123-9}}</ref>&nbsp;— це зазвичай відомо як молекулярна динаміка обміну репліками.

По суті, запускається ''N'' копій системи, випадково ініціалізованих, при різних температурах. Потім на основі [[Алгоритм Метрополіса — Гастінгса|критерію Метрополіса]] відбувається обмін конфігураціями при різних температурах. Ідея цього методу полягає в тому, щоб зробити конфігурації при високих температурах доступними для моделювання при низьких температурах і навпаки. Це призводить до дуже надійного ансамблю, який здатний відбирати як низькоенергетичні, так і високоенергетичні конфігурації. Таким чином, такі термодинамічні властивості, як [[питома теплоємність]], яка, як правило, погано обчислюється в [[Канонічний ансамбль (фізика)|канонічному ансамблі]], можуть бути обчислені з високою точністю.

== Евристика та метаевристика ==
{{main|Метаевристика}}
Інші підходи включають евристичні стратегії пошуку в просторі пошуку більш-менш інтелектуальним способом, включаючи:

* [[Мурашиний алгоритм]]
* [[Алгоритм імітації відпалу|Імітація відпалу]], загальна імовірнісна метаевристика
* [[Табу-пошук]]&nbsp;— розширення [[Локальний пошук (оптимізація)|локального пошуку]], здатне виходити з локальних мінімумів
* [[Еволюційний алгоритм|Еволюційні алгоритми]] (наприклад, [[Генетичний алгоритм|генетичні алгоритми]] та [[Еволюційна стратегія|еволюційні стратегії]])
* [[Диференціальна еволюція]]&nbsp;— метод, який [[Оптимізація (математика)|оптимізує]] проблему шляхом повторних спроб покращити [[Допустимий регіон|простір пошуку]] з огляду на задану міру якості
* [[Колективний інтелект|Алгоритми колективного інтелекту]] (наприклад, [[Метод рою часток|оптимізація роїв часток]], [[бджолиний алгоритм]], соціальна когнітивна оптимізація і [[Мурашиний алгоритм|оптимізація мурашиних колоній]])
* {{нп|Меметичний алгоритм|Меметичні алгоритми||Memetic algorithm}}, що поєднують глобальні та локальні стратегії пошуку
* [[Реактивний пошук]] (тобто інтеграція підсимвольних методів [[Машинне навчання|машинного навчання]] в евристику пошуку)
* {{нп|Поступова оптимізація|||Graduated optimization}}&nbsp;— метод, який для розв'язання складної задачі оптимізації спочатку розв'язує значно спрощену задачу та поступово перетворює цю задачу (під час оптимізації), поки вона не стане еквівалентною складній задачі оптимізації.<ref>{{Cite book
|title=Vision Through Optimization
|last=Thacker
|first=Neil
|last2=Cootes
|first2=Tim
|year=1996
|chapter=Graduated Non-Convexity and Multi-Resolution Optimization Methods
}}</ref><ref name="mobahi2015">Hossein Mobahi, John W. Fisher III.
[http://people.csail.mit.edu/hmobahi/pubs/gaussian_convenv_2015.pdf On the Link Between Gaussian Homotopy Continuation and Convex Envelopes], In Lecture Notes in Computer Science (EMMCVPR 2015), Springer, 2015.</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0262524066|title=Visual Reconstruction|last=Blake|first=Andrew|date=17 березня 2003|last2=Zisserman|first2=Andrew}}</ref>

== Підходи, засновані на методології поверхні відгуку ==

* {{нп|Непряма оптимізація на основі самоорганізації|||IOSO}}
* [[Баєсова оптимізація]], стратегія послідовного проектування для глобальної [[Оптимізація (математика)|оптимізації]] функцій чорної скриньки з використанням [[Баєсова статистика|байєсової статистики]]<ref>Jonas Mockus (2013). [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=VuKoCAAAQBAJ&oi=fnd&pg=PR11&dq=%22Bayesian+approach+to+global+optimization:+theory+and+applications%22&ots=_FHs41Ts93&sig=mSnIqX_IU2fFNE68zQ4T1Iz9HxU#v=onepage&q=%22Bayesian%20approach%20to%20global%20optimization%3A%20theory%20and%20applications%22&f=false Bayesian approach to global optimization: theory and applications]. Kluwer Academic.</ref>

== Див. також ==

* {{нп|Детермінована глобальна оптимізація|||Deterministic global optimization}}
* {{нп|Міжгалузеве оптимальне проєктування|||Multidisciplinary design optimization}}
* [[Багатокритеріальна оптимізація]]
* [[Оптимізація (математика)]]

== Виноски ==
{{Reflist}}

== Список літератури ==
{{refbegin}}
Детермінована глобальна оптимізація:
* R. Horst, H. Tuy, [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=Pe_1CAAAQBAJ&oi=fnd&pg=PA2&dq=%22Global+Optimization:+Deterministic+Approaches%22&ots=cwxbZCCoNY&sig=L6nXjOxlCdqO7V31V8GbmbpE3UA#v=onepage&q=%22Global%20Optimization%3A%20Deterministic%20Approaches%22&f=false Global Optimization: Deterministic Approaches], Springer, 1996.
* R. Horst, [[Panos M. Pardalos|P.M. Pardalos]] and N.V. Thoai, [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=dbu02-1JbLIC&oi=fnd&pg=PR11&dq=%22Introduction+to+Global+Optimization%22&ots=x6eVm3MuH2&sig=-6O0NB548pudhSq5hKfAxjwYnvU#v=onepage&q=%22Introduction%20to%20Global%20Optimization%22&f=false Introduction to Global Optimization], Second Edition. Kluwer Academic Publishers, 2000.
* [https://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/glopt03.pdf A.Neumaier, Complete Search in Continuous Global Optimization and Constraint Satisfaction, pp. 271—369 in: Acta Numerica 2004 (A. Iserles, ed.), Cambridge University Press 2004.]
* M. Mongeau, H. Karsenty, V. Rouzé and J.-B. Hiriart-Urruty, [https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10556780008805783 Comparison of public-domain software for black box global optimization]. Optimization Methods & Software 13(3), pp.&nbsp;203–226, 2000.
* J.D. Pintér, [https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=uv7lBwAAQBAJ&oi=fnd&pg=PR18&dq=%22+Continuous+and+Lipschitz+Optimization%22&ots=fgmBS9IlnJ&sig=hymKlMTwfBTJoY97wYVvSVBuyx8 Global Optimization in Action&nbsp;— Continuous and Lipschitz Optimization: Algorithms, Implementations and Applications]. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1996. Now distributed by Springer Science and Business Media, New York. This book also discusses stochastic global optimization methods.
* L. Jaulin, M. Kieffer, O. Didrit, E. Walter (2001). Applied Interval Analysis. Berlin: Springer.
* E.R. Hansen (1992), Global Optimization using Interval Analysis, Marcel Dekker, New York.

Моделювання відпалу:
* {{cite journal | last1=Kirkpatrick | first1=S. | last2=Gelatt | first2=C. D. | last3=Vecchi | first3=M. P. | title=Optimization by Simulated Annealing | journal=Science | publisher=American Association for the Advancement of Science (AAAS) | volume=220 | issue=4598 | date=1983-05-13 | issn=0036-8075 | doi=10.1126/science.220.4598.671 | pmid=17813860 | pages=671–680| bibcode=1983Sci...220..671K | s2cid=205939 }}
Реактивна пошукова оптимізація:
* [[Roberto Battiti]], M. Brunato and F. Mascia, Reactive Search and Intelligent Optimization, Operations Research/Computer Science Interfaces Series, Vol. 45, Springer, November 2008. {{ISBN|978-0-387-09623-0}}
Стохастичних методи:
* [[Anatoly Zhigljavsky|A. Zhigljavsky]]. Theory of Global Random Search. Mathematics and its applications. Kluwer Academic Publishers. 1991.
* {{cite journal | last=Hamacher | first=K | title=Adaptation in stochastic tunneling global optimization of complex potential energy landscapes | journal=Europhysics Letters (EPL) | publisher=IOP Publishing | volume=74 | issue=6 | year=2006 | issn=0295-5075 | doi=10.1209/epl/i2006-10058-0 | pages=944–950| bibcode=2006EL.....74..944H }}
* {{cite journal | last1=Hamacher | first1=K. | last2=Wenzel | first2=W. | title=Scaling behavior of stochastic minimization algorithms in a perfect funnel landscape | journal=Physical Review E | volume=59 | issue=1 | date=1999-01-01 | issn=1063-651X | doi=10.1103/physreve.59.938 | pages=938–941|arxiv=physics/9810035| bibcode=1999PhRvE..59..938H | s2cid=119096368 }}
* {{cite journal | last1=Wenzel | first1=W. | last2=Hamacher | first2=K. | title=Stochastic Tunneling Approach for Global Minimization of Complex Potential Energy Landscapes | journal=Physical Review Letters | publisher=American Physical Society (APS) | volume=82 | issue=15 | date=1999-04-12 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.82.3003 | pages=3003–3007|arxiv=physics/9903008| bibcode=1999PhRvL..82.3003W | s2cid=5113626 }}
Паралельний відпуск:
* {{cite journal | last=Hansmann | first=Ulrich H.E. | title=Parallel tempering algorithm for conformational studies of biological molecules | journal=Chemical Physics Letters | publisher=Elsevier BV | volume=281 | issue=1–3 | year=1997 | issn=0009-2614 | doi=10.1016/s0009-2614(97)01198-6 | arxiv=physics/9710041 | pages=140–150| bibcode=1997CPL...281..140H | s2cid=14137470 }}
Методи продовження:
* Zhijun Wu. [https://www.osti.gov/servlets/purl/395617 The effective energy transformation scheme as a special continuation approach to global optimization with application to molecular conformation]. Technical Report, Argonne National Lab., IL (United States), November 1996.
Загальні міркування щодо розмірності області визначення цільової функції:
* {{cite journal | last=Hamacher | first=Kay | title=On stochastic global optimization of one-dimensional functions | journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications | publisher=Elsevier BV | volume=354 | year=2005 | issn=0378-4371 | doi=10.1016/j.physa.2005.02.028 | pages=547–557| bibcode=2005PhyA..354..547H }}
{{refend}}

== Посилання ==

* [https://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt.html Сторінка А. Ноймаєра про глобальну оптимізацію]
* [http://www.lix.polytechnique.fr/~liberti/teaching/dix/inf572-09/nonconvex_optimization.pdf Вступ до глобальної оптимізації Л. Ліберті]
* [http://www.it-weise.de/projects/book.pdf Безкоштовна електронна книга Томаса Вайзе]

[[Категорія:Теорія оптимізації]]