Перегляд вихідного коду сторінки Геометрія (Декарт)

{{вичитати|дата=лютий 2019}}
[[Файл:GeometryDescartes.JPG|thumb|GeometryDescartes]]
'''«Геометрія»''' ({{Lang-fr|La Géométrie}})&nbsp;— праця [[Рене Декарт]]а, опублікована в [[Лейден]]і (Голландія) в 1637 році, як третій додаток до філософського трактату Декарта «<nowiki/>[[Міркування про метод]]<nowiki/>». Число сторінок: 106. Ім'я автора в першому виданні не було вказано. Це єдиний твір Декарта, повністю присвячений математиці; вона розглядалася автором, як зразок застосування його загальних методів. Після 1637 року «Геометрія» видавалася окремо від «Міркування про метод» {{sfn|История математики, том II|1970|с=30|name=IM30}}.

«Геометрія» Декарта стала переломним моментом у розвитку нової математики і настільною книгою найвизначніших математиків XVII століття. Головною її цінністю було те, що книга містила виклад нового розділу математики&nbsp;— [[Аналітична геометрія|аналітичної геометрії]], яка дозволяла за допомогою [[Система координат|системи координат]] перекласти геометричні задачі на алгебраїчну мову, що істотно спрощувало їх дослідження і розв'язування. Крім того, Декарт використовував в «Геометрії» зручну [[Історія математичних позначень|математичну символіку]], яка з цього моменту стала загальноприйнятною в науці. Нарешті, «Геометрія» почала процес зміни фокусу уваги математиків з вивчення числових величин на вивчення залежностей між ними&nbsp;— в сучасній термінології, [[Функція (математика)|функцій]]{{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=257}}.

Революційні перетворення в математиці, приведені в «Геометрії», дозволили Декарту вирішити низку завдань, що були недоступні для старих методів. Декартівський підхід став основою для розробки в кінці XVII століття [[Ісаак Ньютон|Ньютоном]] і [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніцем]] [[Диференціальне та інтегральне числення|математичного аналізу]].

== Передісторія ==
У певному сенсі можна сказати, що Декарт поміняв пріоритети алгебри і геометрії, виправивши стратегічної помилки [[Давньогрецька математика|давньогрецьких математиків]]. У V&nbsp;ст. до н.&nbsp;е. вибухнула перша криза [[Криза основ математики|основ математики]]<ref>{{Книга}} Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.</ref>&nbsp;— [[Піфагореїзм|піфагорійці]] виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, тобто їх відношення не можна виразити ні [[Натуральні числа|натуральним числом]], ні [[Раціональні числа|дробом]]. Однак інших числових об'єктів, крім натуральних чисел, античні математики не визнавали, навіть дріб розглядалася ними не як число, а як [[співвідношення]] ([[Пропорція (математика)|пропорція]]). Знайти вихід зумів в IV&nbsp;ст. до н.&nbsp;е. [[Евдокс Кнідський]]&nbsp;— він ввів, поряд з числами, поняття ''геометричних [[Величина|величин]]'' (довжин, площ, об'ємів). Для однорідних величин були визначені [[Операція (математика)|арифметичні операції]], аналогічні числовим. Теорія Евдокса була викладена [[Евклід]]ом в п'ятій книзі його «<nowiki/>[[Начала Евкліда|Начал]]<nowiki/>», і вона використовувалася в Європі до XVII століття. Теореми про числа Евклиду доводилося окремо передоказувати для величин, та й арифметика величин була значно біднішою, ніж числова&nbsp;— хоча б тому, що стосувалася тільки однорідних величин<ref name=":1">{{Книга}}</ref><ref name=":1"/>.

У [[Нова історія|Новий час]] з'ясувалося, що побудова числової алгебри на основі геометрії була помилкою. Наприклад, з точки зору геометрії деякі вираження не мали геометричного тлумачення (не визначена [[Розмірність фізичної величини|фізична розмірність]] величини&nbsp;— результату) і тому не мали сенсу; те ж відноситься до [[Від'ємне число|негативних чисел]]<ref>{{Стаття|автор=Башмакова И. Г.|номер=11}}</ref>.

Декарт пішов іншим шляхом&nbsp;— замість відомості алгебри до геометрії він звів геометрію до алгебри, і цей шлях виявився набагато пліднішим. Щоб зробити це можливим, Декарт розширив поняття [[Число|числа]]&nbsp;— воно увібрало всі [[Дійсне число|речові числа]], включаючи [[Ірраціональні числа|ірраціональні]], і є [[Абстракція|абстрактні]], тобто відокремлено від геометрії {{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=279—282|name=JU279}}. Окреме поняття геометричної величини тоді стає зайвим. [[Аналітична геометрія|Алгебризація геометрії]] дозволила, крім того, виявити загальні риси в геометричних задачах, які здавалися абсолютно незалежними<ref>{{Книга|автор=Scott, J. F.|isbn=0824046722}}</ref> {{sfn|Mac Tutor}}.

У поєднанні з символічною алгеброю [[Франсуа Вієт]]а і добре розвиненою до цього моменту системою алгебричних позначень (у розвитку якої і сам Декарт брав участь) це нововведення дозволяло проводити математичні дослідження небаченої раніше глибини і спільності. Вперше план такої реформи математики Декарт виклав 26 березня 1619 року в листі голландському математику Ісааку Бекману. Додатковий матеріал Декарт отримав в ході своїх занять [[Оптика|оптикою]] {{sfn|Из истории алгебры XVI-XVII вв|1979|с=147—148}}.

== Попередники ==
Декарт практично не посилається в «Геометрії» на праці інших вчених, що дало привід [[Джон Валліс|Валліс]] і декільком іншим математикам звинуватити його в плагіаті ідей інших алгебристів, зокрема, [[Томас Герріот|Херріот]] і [[Альберт Жирар|Жирара]]. Втім, інший свій [[трактат]], «Діоптріка», Декарт також побудував так, як ніби до нього [[Оптика|математичної оптикою]] ніхто не займався {{sfn|Из истории алгебры XVI-XVII вв|1979|с=143—144}}<ref name=":0">{{Книга|автор=Стиллвелл Д.}}</ref>.

Безсумнівний вплив на Декарта надав [[Франсуа Вієт]], засновник символічної алгебри. Як згадувалося вище, основні ідеї своєї реформи Декарт почав розробляти ще в 1619 році, так що в вузлових пунктах своєї програми він цілком самостійний. У цьому переконує також його листування. Жирар раніше Декарта сформулював [[Основна теорема алгебри|основну теорему алгебри]] (1629), а Херріот першим досліджував [[Факторизація многочленів|розкладання многочлена]] на лінійні множники. Математичну символіку Жирара і Херріота Декарт не застосовував, а з книгою Херріот ознайомився вже після виходу в світ «Геометрії». Декарт активно листувався з [[П'єр Ферма|П'єром Ферма]], який також може претендувати на честь відкриття аналітичної геометрії, проте вплив Ферма в працях Декарта не відчувається. Ніхто з попередників не запропонував таку радикальну реформу математики, як Декарт {{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=205, 227, 290—292}} {{sfn|Цейтен Г. Г.|1938|с=211}}.

== Ідейні особливості підходу Декарта ==
[[Файл:Frans_Hals_-_Portret_van_René_Descartes.jpg|ліворуч|міні|294x294пкс| [[Рене Декарт]] ]]

=== Універсальний метод розв'язування завдань ===
При всій важливості створення аналітичної геометрії, публікацією «Геометрії» Декарт хотів домогтися набагато масштабнішої мети&nbsp;— дати максимально загальний метод рішення математичних задач. Цей загальний (як він вважав) метод Декарт викладає так. Більшість з математичних задач в кінцевому рахунку може бути зведене до [[Алгебричне рівняння|алгебричних рівнянь]] або [[Система рівнянь|системи]] таких рівнянь. Тому рішення задачі є просто обчислення [[Рівняння|коренів цих рівнянь]]. Якщо при вирішенні задачі виникають не алгебричні, а інші ([[Трансцендентне рівняння|трансцендентні]]) рівняння, то для них, вважав Декарт, загального методу рішення не існує. Для фактичного обчислення коренів Декарт застосовує [[Графік функції|графічний]] метод&nbsp;— корені виходять як точки перетину прямих, кіл та інших [[Алгебрична крива|алгебричних кривих]] {{sfn|История математики, том II|1970|с=33, 43}}. Декарту було відомо, що побудова двох кривих степенів <math>m</math> і <math>n</math> дозволяє розв'язати деяке рівняння степеня <math>mn</math>.

[[Файл:Geometrie_solucions_cubiques_quartiques.png|міні|282x282пкс| Малюнок з «Геометрії»: знаходження коренів рівняння як точок перетину параболи і окружності ]]: Перше рівняння дає на площині (x, z) [[Парабола|параболу]] друге&nbsp;— [[Коло|окружність]], і залишилося знайти точки їх перетину. Декарт показав, що аналогічними методами можна розв'язувати рівняння п'ятого і шостого порядку, для яких не існує алгебричних формул, подібних [[Формула Кардано|формулою Кардано]] {{sfn|Вилейтнер Г.|1960|с=58}}.

Всі вирази, що входять в рівняння, Декарт переносив в ліву частину, так що права частина завжди дорівнює нулю; ця техніка зводила дослідження до знаходження [[Корінь многочлена|коренів многочлена]] в лівій частині і дослідженню зв'язку цих коренів з коефіцієнтами рівняння {{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=281—282|name=JU281}}.

=== Узагальнення поняття числа ===
Як було показано вище, Декарт, на відміну від античних авторів, об'єднав числа і геометричні величини. При цьому він розрізняв три типи чисел: [[Цілі числа|цілі]], [[Дріб|дробові]] і [[Ірраціональні числа|ірраціональні]] ({{Lang-la|surdus}} буквально: «глухі»); істотних відмінностей між ними Декарт не робив, оскільки вивчення безперервних кривих і їх алгебричних образів несумісне з піфагорівським обмеженням [[Раціональні числа|раціональних чисел]] {{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=283|name=JU283}}. Декарт також зробив крок до легалізації [[Від'ємне число|негативних чисел]], зображуючи їх як відрізки, протилежні позитивним. Хоча за традицією Декарт ще називав негативні коріння «помилковими», він вже об'єднував їх з «істинними», тобто позитивними, в загальну категорію «дійсних коренів»&nbsp;— протиставляючи їх уявним ([[Комплексне число|комплексним]]) корозв'язкам {{sfn|История математики, том II|1970|с=35—36|name=IM35}}.

Реформа Декарта означала «зрівняння в правах» цілих, дробових і ірраціональних чисел. Цей багаторічний процес завершив [[Ісаак Ньютон|Ньютон]], який в «<nowiki/>[[Універсальна арифметика|Універсальній арифметиці]]<nowiki/>» (1707) дав класичне визначення [[Дійсне число|дійсного числа]] як відношення результату вимірювання до одиничного еталону {{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=293}} :{{Початок цитати}}
Число ми розуміємо не стільки множиною одиниць, скільки відношенням довільної величини до іншої величини того ж типу, взятої за одиницю.
{{Oq|la|Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur rationem intelligimus.}}
{{Кінець цитати}}

=== Аналітична геометрія ===
[[Файл:Cartesian-coordinate-system.svg|міні|200x200пкс| [[Декартова система координат]] в сучасному вигляді ]]
Зачатки координатного методу історики виявили в «Конічних перетинах» [[Аполлоній Перзький|Аполлонія Пергського]] ІІІ ст. до н.&nbsp;е. Основні ідеї [[Аналітична геометрія|аналітичної геометрії]] склалися у Декарта не пізніше 1632 року. Принцип формулювання геометричних властивостей алгебричною мовою одночасно з Декартом розробляв інший видатний французький математик, [[П'єр Ферма]], але його роботи не були опубліковані за життя автора. Підхід Ферма був аналогічний Декартівському, хоча поступався останньому по ясності і глибині викладу {{sfn|История математики, том II|1970|с=103—104|name=IM103}}.

[[Декартова система координат|Координатна система Декарта]] дещо відрізнялася від сучасної. Декарт фіксує на площині [[початок координат]] і позитивну вісь координат (він розглядав тільки позитивні координати, причому вісь [[Ордината|ординат]] у нього горизонтальна), потім проектує на цю вісь, [[Декартова система координат|перпендикулярно]] або під іншим фіксованим кутом, точки досліджуваної кривої, фактично отримуючи другу координату ([[Абсциса|абсциссу]]) як довжину проектуючого відрізка. Далі Декарт для цієї кривої виводить співвідношення, що зв'язує абсциси і ординати ''(рівняння кривої).'' Після цього будь-який геометричне твердження про даної кривої можна вивести чисто алгебрично з рівняння кривої, не звертаючись до креслень. Втім, віддаючи дане давньої традиції, Декарт зазвичай призводить і геометричне тлумачення своїх рівнянь. Відзначимо, що терміни ''абсциси, ординати, координати'' в сучасному сенсі з'явилися набагато пізніше у Лейбніца, а другу вісь координат вперше ввів коментатор Декарта Клод Рабуель ''(Claude Rabuel,'' 1669—1728) у виданому посмертно (1730) доповненні до «Геометрії» {{sfn|История математики, том II|1970|с=106—109|name=IM106}} {{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=287|name=JU287}} {{sfn|Геометрия|1938|с=215}} {{sfn|Вилейтнер Г.|1960|с=232, 247}}.

Декарт розділив всі безперервні криві на ''геометричні'' і ''механічні;'' перші відрізняються тим, що їх можна описати [[Алгебричне рівняння|алгебричним рівнянням]]. Механічні криві, такі як [[Спіраль|спіралі]] або [[Квадратриса|квадратриси]], Декарт вивів за межі свого дослідження. Він провів першу в історії класифікацію плоских [[Алгебрична крива|алгебричних кривих]] різних степенів, згодом виправлену і доповнену Ньютоном. Декарт ясно усвідомлював, що його алгебризація приховує в собі приховану небезпеку&nbsp;— роблячи висновки з формули для координат, треба, в принципі, кожен раз перевіряти, що ці виводи не залежать від вибору координатної системи і не є випадковим наслідком якоїсь особливості поточної системи координат. Міркування Декарта на цю тему започаткували [[Інваріант (математика)|теорії інваріантів]] {{sfn|Mac Tutor}}.

=== Позначення Декарта ===
У Декарта [[Історія математичних позначень|алгебрична символіка]] отримала практично сучасний вигляд; «Геометрія»&nbsp;— перша в історії книга, формули в якій сучасний читач сприйме без труднощів. Декарт запропонував використовувати для [[Коефіцієнт|відомих параметрів]] початкові літери алфавіту, а для [[Рівняння|невідомих]]&nbsp;— останні букви. Ту ж трійку Декарт використовував в якості символів координат при побудові [[Графік функції|графіків]]; сам Декарт, втім, обмежився плоскими кривими, активне використання просторових координат почав пізніше [[Алексі Клод Клеро|Клеро]] {{sfn|История математики, том II|1970|с=113}}.

Декарт сформував сучасний запис [[піднесення до степеня]], з [[Піднесення до степеня|показником степеня]] правіше і вище символу [[Піднесення до степеня|змінної]]. Ближче до кінця століття [[Ісаак Ньютон|Ньютон]] поширив цей запис на дробові і негативні показники. Ф. Кеджорі характеризує декартівський запис степенів як найвдалішу і гнучку символіку у всій алгебрі&nbsp;— вона проста, компактна і наочна, полегшує перетворення і, що виявилося особливо важливим для подальшого, вона стимулювала розширення поняття піднесення до степеня на від'ємні, дробові і навіть [[Комплексне число|комплексні]] показники, а також появу в математиці [[Степенева функція|степеневої]] і [[Показникова функція|показової функцій]]; всі ці досягнення важко було б здійснити при використанні позначень XVI століття {{sfn|History of Mathematical Notations, vol. 1|2007|loc=§315}}.

Алгебрична символіка Декарта майже повністю була прийнята наступними поколіннями вчених, лише незвичайний декартівський знак рівності [[null|посилання=був]] замінений на [[Знак рівності|більш вдалий]] символ [[Роберт Рекорд|Роберта Рекорда]]. Крім того, були зняті обмеження на коефіцієнти, які Декарт вважав завжди невід'ємними, а виключення з цього правила відбивав спеціальним значком {{sfn|История математики, том II|1970|с=40—46|name=IM2-40}}. Нідерландський математик Йоганн Худде вже в 1657 році дозволив літерним змінним приймати значення будь-якого знака {{sfn|History of Mathematical Notations, vol. 2|2007|loc=§392}}. У монографії Ньютона «<nowiki/>[[Універсальна арифметика]]<nowiki/>» (1707) використовуються позначення Декарта і знак рівності Рекорда. Уніфікація алгебричних позначень до кінця XVII століття в основному завершилася.

== Зміст ==
«Геометрія» ділиться на три частини (книги). Твердження автора, як правило, не супроводжуються суворими доказами, але ілюструються великою кількістю прикладів.

'''Книга перша: «Про завдання, які можна побудувати, користуючись тільки колами і прямими лініями».''' Уже в першому розділі автор заявляє: «Усі завдання геометрії можна легко привести до таких термінів, що для їх побудови потрібно буде потім знати лише довжину деяких прямих ліній». Декарт описує відповідність між арифметичними операціями і еквівалентними їм геометричними побудовами, знайомить читача зі своєю системою позначень. Далі він дає метод побудови рівнянь для розв'язуваної задачі&nbsp;— треба просто записати формулами дані в умові завдання співвідношення і потім шукати рішення отриманих рівнянь {{sfn|Геометрия|1938|с=14}}.

Як приклад ефективності свого методу Декарт розглянув і вирішив класичну ''[[Папп Александрійський|задачу Паппа]]'' (з трактату Паппа «Математичні збори», книга VII): для прямих на площині потрібно знайти геометричне місце таких точок, для яких твір довжин відрізків, проведених з цих точок до n/2 даних прямих під однаковими кутами, має задане відношення до аналогічного добутку довжин відрізків, проведених до решти прямих. Папп визначив, що шукане геометричне місце є [[Конічні перетини|конічним перетином]], однак повного твердження не дав; Декарт же розглянув не тільки загальний випадок, але і особливі ситуації (частина дослідження поміщена їм в книгу другу) {{sfn|Вилейтнер Г.|1960|с=216—218}}.

'''Книга друга: «Про природу кривих ліній».''' Ця книга присвячена додаткам алгебри до геометрії. Тут Декарт вказав загальний метод проведення [[Нормаль (геометрія)|нормалей]] і [[Дотична|дотичних]] до алгебричних кривих, який потім застосував до деяких задач [[Оптика|оптики]]. [[Диференціальне числення]] ще не було створено, і Декарт використовує [[Розкладання на прості дроби|метод невизначених коефіцієнтів]], який ілюструється на прикладі [[еліпс]]а, [[Цисоїда Діокла|цисоїди Діокла]] і [[овал]]у {{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=285|name=JU285}}. Коли [[П'єр Ферма]] повідомив Декарту свій диференційний метод проведення дотичних, більш простий і практично сучасний, той його відкинув як виходить за межі алгебри, хоча при дослідженні [[Циклоїда|циклоїди]] і [[Логарифмічна спіраль|логарифмічні спіралі]] він сам використовував методи, що не укладаються в декартівську ідеологію (наприклад, [[Принцип Кавальєрі|метод неподільних]]) {{sfn|Вилейтнер Г.|1960|с=218—221}}.

Декарт висловив в цьому розділі песимізм щодо можливості обчислення [[Довжина кривої|довжини дуги]] довільної кривої (''«випрямлення кривої»,'' як тоді говорили): на його думку, ''«відношення між прямими і кривими невідомо і, навіть, думаю, не може бути пізнане людьми»'' {{sfn|Геометрия|1938|с=49}}<ref>Оригінал цитати [[Французька мова|французькою мовою]]: «la proportion, qui est entre les droites & les courbes n'estant pas connuë, & mesme ie croy ne le pouuant estre par les hommes», см. {{Книга||автор=Descartes, René}} </ref> , в той час дійсно ніяка крива, крім [[Коло|кола]], не піддавалася випрямлення. Песимізм виявився невиправданим&nbsp;— двадцять років потому (в 1657 році) Вільям Нейл здійснив випрямлення [[Напівкубічна парабола|параболи Нейла]], а ще через рік [[Крістофер Рен|Рен]] знайшов довжину арки неалгебричної [[Циклоїда|циклоїди]]. Далі [[Диференціальне та інтегральне числення|математичний аналіз]] створив загальну теорію знаходження довжини дуги, яка негайно була використана для самих різних кривих {{sfn|История математики, том II|1970|с=191—192}}.

В кінці другої частини Декарт пише: «Я вважаю тепер, що нічого не пропустив з початків, необхідних для пізнання кривих ліній». Насправді неозорі можливості, відкриті аналітичній геометрії, послужили лише початком вражаючого прогресу нової геометрії.

'''Книга третя: «Про побудову тілесних або перевершуючі тілесні завдання».''' У третій книзі Декарт виклав накопичені до цього періоду основні теореми алгебри і прийоми розв'язання рівнянь, які пов'язав в єдину систему, зі зручною спільною символікою і термінологією. Зокрема, він сформулював [[Основна теорема алгебри|основну теорему алгебри]]: рівняння може мати стільки різних [[Рівняння|коренів]], який його [[Многочлен|степінь]] (комплексні корені Декарт називав «уявними» і приділяв їм мало уваги).

Далі дані (без доведення) [[правило знаків Декарта]] для визначення числа позитивних і негативних коренів за коефіцієнтами многочлена (строго доведено тільки в XVIII столітті [[Жозеф-Луї Лагранж|Лагранжем]]), а також правила для визначення положення речових коренів на [[Числова вісь|числовій осі]]. Декарт зводить задачу [[Трисекція кута|трисекції кута]] до [[Кубічне рівняння|кубічного рівняння]] і вирішує його звичайним своїм методом, за допомогою [[Конічні перетини|конічних перерізів]] {{sfn|История математики, том II|1970|с=42—45|name=IM42}}.

Декарт висловив думку, що рівняння [[Кубічне рівняння|третього]] і вищого степеня розв'язати [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|за допомогою циркуля і лінійки]], взагалі кажучи, неможливо; іншими словами, загальне [[кубічне рівняння]] можна вирішити, використовуючи тільки [[Квадратний корінь|квадратні]] (а не [[Кубічний корінь|кубічні]]) коріння. Це твердження виявилося вірним, хоча міркування автора на цю тему малопереконливі і доказової сили не мають. Але Декарт правильно зазначив, що рішення циркулем і лінійкою кубічного рівняння з цілочисельними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом 1 можливо, якщо це рівняння має дійсний корінь (який, очевидно, буде [[Цілі числа|цілим числом]]). Декарт також вичерпно вирішив аналогічне питання для [[Рівняння четвертого степеня|рівняння 4-го степеня]], побудувавши його [[Резольвента алгебраїчного рівняння|резольвенту]] 3-го порядку<ref>{{Книга|автор=Рыбников К. А.|том=I}}</ref> {{sfn|Цейтен Г. Г.|1938|с=221—223}}.

== Історичний вплив ==
Закінчуючи «Геометрію», Декарт жартівливо підмітив:
{{Початок цитати}}
Маю надію, что наші нащадки мені будуть вдячні не тільки за те, що я тут пояснив, а й за те, що я свідомо пропустив, щоб вони мали задоволення знайти це самі.
{{Кінець цитати}} Справді, праця Декарта, особливо після виходу її латинського перекладу (1649, Франс ван Схотен), відразу придбала численних прихильників і викликала безліч публікацій, автори яких слідували по шляху, вказаному Декартом, і активно розвивали його ідеї. «Геометрія» витримала протягом XVII століття чотири перевидання в Голландії і Німеччині. З кожним новим виданням текст Декарта обростав великими доповненнями та роз'ясненнями важких місць, вже друге видання займало два томи. Сам Декарт після «Геометрії» певною мірою відійшов від математики і віддавав перевагу розвитку своєї [[Натурфілософія|метафізичної натурфілософії]] {{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=289|name=JU289}}.

Серед перших ідейних послідовників Декарта були [[Франс ван Схотен|ван Схотен]], [[Еразм Бартолін]], [[Йоганн Худде]], [[Флорімон де Бон]]. Безсумнівний вплив Декарта зазнав [[Джон Валліс]], який опублікував трактат з промовистою назвою «Загальна математика або повний курс арифметики» ''(Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum,'' 1657), згодом перероблений в «Трактат з алгебри» (1685). Валліс поширив алгебризацію на [[Принцип Кавальєрі|метод неподільних]] (до цього чисто геометричних), близько підійшовши до створення [[Інтегральне числення|інтегрального числення]] {{sfn|Цейтен Г. Г.|1938|с=228—230}}.

[[Ісаак Ньютон]] в молодості зачитувався «Геометрією» Декарта і навіть ставив її вище «<nowiki/>[[Начала Евкліда|Начал]]<nowiki/>» [[Евклід]]а. В «<nowiki/>[[Універсальна арифметика|Універсальній арифметиці]]<nowiki/>» Ньютона (1707) відділення алгебри від геометрії відбулося остаточно {{sfn|Вилейтнер Г.|1960|с=222—238}}<ref name=":0"/>. Як зазначав історик Карл Бойєр, в своїх перших публікаціях з аналізу [[Готфрід Вільгельм Лейбніц|Готфрід Лейбніц]], свідомо чи ні, наслідував стилю декартовой «Геометрії»<ref>{{Книга|автор=Boyer C. B.}}</ref>; в одному з листів Лейбніц називає своїми вчителями [[Галілео Галілей|Галілея]], Декарта і [[Християн Гюйгенс|Гюйгенса]]<ref>{{книга:ЖЗЛ|выпуск=129|автор=[[Філіпов Михайло Михайлович|Филиппов М. М.]]|заглавие=Лейбниц: Его жизнь и деятельность: общественная, научная и философская деятельность. Глава III|год=1893|страниц=96}}</ref>.

Хоча створення в кінці XVII століття [[Диференціальне та інтегральне числення|математичного аналізу]] знецінило тезу Декарта про універсальність алгебричного підходу, розширення цієї тези на новій, аналітичній основі зберегло все краще, що було в піонерській роботі Декарта, і дозволило успішно застосувати нову математику в багатьох природничих науках {{sfn|Юшкевич А. П. Декарт и математика|1938|с=292—293}}.

== Публікації ==
[[Файл:Geometria_Descartes_1st_Latin.jpg|міні|304x304пкс| Титульний лист першого латинського перекладу «Геометрії» (Схотен, 1649) ]]

=== Першодруки ===
* 1637: перше видання, [[Лейден]], без вказівки імені автора.
* 1 649: латинський переклад (Франс ван Схотен).
* 1659—1661: друге латинське видання, Амстердам. Додані статті ван Схотена, Еразма Бартоліні, Йоганна Худде, Флорімон Де Бона, Яна де Вітта та інших.
* Тисяча шістсот вісімдесят три: третє латинське видання, незначно доповнене.
* 1 695: четвертий латинське видання, [[Франкфурт-на-Майні|Франкфурт на Майні]], за участю і доповненнями [[Якоб Бернуллі|Якоба Бернуллі]]

=== Текст в мережі ===
* [https://ru.wikisource.org/wiki/fr:La%20Géométrie%20(éd.%201637) Текст в Вікіджерела]
* [[gutenberg:26400|Текст в Проекті Гутенберг]]

== Примітки ==
<references responsive=""></references>

== Література ==
* Вилейтнер Г. История математики, том II}}
* Никифоровский В.&nbsp;А.&nbsp;Из истории алгебры XVI—XVII вв
* Юшкевич А.&nbsp;П.&nbsp;Декарт и математика
* Cajori F. History of Mathematical Notations, vol. 1
* Cajori F. History of Mathematical Notations, vol. 2

== Посилання ==
* {{MacTutor|id=Descartes|title=Descartes}} {{MacTutor|id=Descartes|title=Descartes}} ''Робертсон.'' [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes.html Descartes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170719105154/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Descartes.html |date=19 липня 2017 }} - біографія в архіві [[Архів історії математики Мактьютор|MacTutor]].

[[Категорія:Аналітична геометрія]]
[[Категорія:Історія математики]]
[[Категорія:Математична література]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]
[[Категорія:Історія геометрії]]