Перегляд вихідного коду сторінки Геометричний ряд

''Ця стаття про нескінченні геометричні ряди. Для скінченних сум див. [[Геометрична прогресія|геометричну прогресію]].''
[[Файл:GeometricSquares.svg|thumb|Площа кожного з фіолетових квадратів дорівнює <math>1/4</math> площі наступного більшого квадрата (<math>1/2\cdot 1/2=1/4, 1/4\cdot 1/4=1/16</math>, і&nbsp;т.&nbsp;д.). Сума площ фіолетових квадратів дорівнює третині площі великого квадрата.]]

У [[Математика|математиці]] '''геометричний ряд'''&nbsp;— це [[Ряд (математика)|ряд]] з постійним відношенням між послідовними [[Терм (логіка)|членами]]. Наприклад, {{не перекладено|1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯|числовий ряд|en|1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯}}

: <math>{\frac {1}{2}} + {\frac {1}{4}} + {\frac {1}{8}} + {\frac {1}{16}} + \cdots</math>

є геометричним, тому що кожен наступний член може бути отриманий з попереднього члена множенням на <math>1/2</math>.

Геометричні ряди є одними з найпростіших прикладів [[Ряд (математика)|нескінченних рядів]] з скінченними сумами, хоча не всі вони мають цю властивість. Історично геометричні ряди відігравали важливу роль у ранніх етапах розвитку [[Диференціальне та інтегральне числення|числення]], і вони продовжують займати центральне місце при досліджені [[Збіжний ряд|збіжності рядів]]. Геометричні ряди використовуються у всій математиці і вони мають важливе застосування у [[Фізика|фізиці]], [[Інженерія|інженерії]], [[Біологія|біології]], [[Економіка|економіці]], [[Інформатика|інформатиці]], [[Теорія масового обслуговування|теорії масового обслуговування]] та [[Фінанси|фінансах]].

== Знаменник ==
[[Файл:Geometric Segment.svg|thumb|Збіжність геометричного ряду з <math>r=1/2</math> і <math>a=1/2</math>.]]
[[Файл:Geometrische reihe.svg|thumb|Збіжність геометричного ряду з <math>r=1/2</math> і <math>a=1</math>.]]
Члени геометричного ряду утворюють [[Геометрична прогресія|геометричну прогресію]], тобто відношення послідовних членів у ряді є постійним. Цей взаємозв'язок дозволяє представити геометричний ряд, використовуючи лише два значення: <math>r</math> та <math>a</math> (<math>r</math> - знаменник, а <math>a</math> - перший член ряду). Наприклад, геометричний ряд у вступі

: <math> {\frac {1}{2}} + {\frac {1}{4}} + {\frac {1}{8}} + {\frac {1}{16}} + \cdots</math>

можна просто записати як

: <math> a + a r + a r^2 + a r^3 +  \cdots </math> , де <math> a = \frac{1}{2} </math>, <math> r = \frac{1}{2} </math>.

У наступній таблиці показано декілька геометричних рядів з різними першими членами та знаменниками:

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|-
! Перший член, <math>a</math>
! Знаменник, <math>r</math>
! Приклади рядів
|-
| style="text-align:center;"| 4
| style="text-align:center;"| 10
| <math>4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + \cdots</math>
|-
| style="text-align:center;"| 9
| style="text-align:center;"| 1/3
|<math>9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + \cdots</math>
|-
| style="text-align:center;"| 7
| style="text-align:center;"| 1/10
|<math>7 + 0{,}7 + 0{,}07 + 0{,}007 + 0{,}0007 + \cdots</math>
|-
| style="text-align:center;"| 3
| style="text-align:center;"| 1
| <math>3 + 3 + 3 + 3 + 3 + \cdots</math>
|-
| style="text-align:center;"| 1
| style="text-align:center;"| &minus;1/2
| <math>1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + \cdots</math>
|-
| style="text-align:center;"| 3
| style="text-align:center;"| &ndash;1
| <math>3 - 3 + 3 - 3 + 3 - \cdots</math>
|}

Поведінка доданків залежить від знаменника <math>r</math>:
: Якщо <math>r</math> знаходиться між <math>-1</math> та <math>+1</math>, члени ряду прямують до нуля (стаючи все меншими та меншими за [[Модуль (математика)|абсолютне значення]]), а ряд збігається. У наведеному вище випадку, де <math>r=1/2</math>, ряд збігається до <math>1</math>.
: Якщо <math>r=1</math> більше за одиницю або менше за мінус одиницю, члени ряду стають більшими та більшими за абсолютним значенням. Сума доданків також стає все більшою і більшою, а ряд є [[Розбіжні ряди|розбіжним]].
: Якщо <math>r=1</math>, то усі члени ряду однакові. Ряд розбіжний.
: Якщо <math>r=-1</math>, то члени приймають по черзі два протилежні за знаком значення (наприклад, <math>2, -2, 2, -2, 2, \dots</math>). Сума членів {{не перекладено|Коливання (математика)|коливається|en|Oscillation (mathematics)}} між двома значеннями (наприклад, <math>2, 0,2, 0, 2, \dots</math>). Це інший тип розбіжності. Див., наприклад, [[Ряд Гранді|ряд Гранді]]: <math>1 -1 +1 -1 + \cdots</math>.

{{anchor|Sum}}

== Сума ==
Сума геометричного ряду є скінченою, якщо абсолютне значення знаменника менше <math>1</math>; оскільки числа близькі до нуля, то вони стають нескінченно малими, що дозволяє обчислити суму, незважаючи на те, що ряд містить нескінченно багато доданків. Суму можна обчислити, використовуючи [[Самоподібність|самоподібність]] рядів.

=== Приклад ===
[[Файл:Infinite_geometric_series_sum.svg|thumb|300px|Візуальне обчислення суми нескінченних доданків геометричного ряду.]]
Розглянемо суму такого геометричного ряду:
: <math>s = 1 + \frac {2}{3} + \frac {4}{9} + \frac {8}{27} + \cdots .</math>
Знаменник цього ряду <math>2/3</math>. Якщо домножити цей ряд на знаменник, то початковий член <math>1</math> стає <math>2/3</math>, <math>2/3</math> стає <math>4/9</math> і так далі:
: <math>\frac {2}{3}s = \frac {2}{3} + \frac {4}{9} + \frac {8}{27} + \frac {16}{81} + \cdots .</math>
Новий ряд такий ж, як і оригінальний, за винятком того, що перший член відсутній. Віднявши новий ряд від початкового отримуємо
: <math>s - \frac {2}{3}s = 1 \quad \Rightarrow \quad s=3.</math>
Подібний метод може бути використаний для обчислення будь-якого [[Самоподібність|самоподібного]] виразу.

=== Формула ===
При <math>r\neq 1</math>,[[Геометрична прогресія|сума перших <math>n</math> членів геометричного ряду]] дорівнює

: <math>a + ar + a r^2 + a r^3 + \cdots + a r^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} ar^k= a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right),</math>

де <math>a</math> - перший член ряду, а <math>r</math> - знаменник. Ми можемо отримати формулу для суми <math>s</math> таким чином:
: <math>
\begin{align}
s &= a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}, \\
rs &=  \qquad  ar + ar^2 + ar^3  + \cdots  + ar^{n-1}+ ar^{n},  \\
s - rs &= a-ar^{n},  \\
s(1-r) &= a(1-r^{n}), \\
s &= a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right) \quad (\text{якщо} r \neq 1 \text{)}.
\end{align}
</math>
Оскільки <math>n</math> прямує до нескінченності, то для збіжності ряду необхідно, щоб абсолютне значення <math>r</math> було менше одиниці. Сума набуває вигляду
: <math>a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\cdots = \sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r},</math> при <math>|r|<1</math>. 

При <math>a=1</math> отримуємо

: <math>1 + r + r^{2} + r^{3} + \cdots = {\frac {1}{1-r}},</math>

ліва частина&nbsp;— це геометричний ряд із знаменником <math>r</math>.

Формула також справедлива для комплексного <math>r</math>, з відповідним обмеженням, що [[Модуль (математика)|модуль]] знаменника <math>r</math> строго менший за одиницю.

===Доведення збіжності===
Ми можемо довести, що геометричний ряд є [[Збіжний ряд|збіжним]], використовуючи формулу суми для [[Геометрична прогресія|геометричної прогресії]]:
:<math>
\begin{align}
1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots  &=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n}\right)\\
&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.
\end{align}
</math>
Оскільки <math>\left(1+r+r^{2}+r^{n}\right)(1-r)=1-r^{n+1}</math> і <math>r^{n+1}\rightarrow0</math> при <math>|r|<1</math>.

Збіжність геометричних рядів можна також продемонструвати, переписавши ряд як еквівалентний [[Телескопічний ряд|телескопічний ряд]]. Розглянемо функцію
:<math>
g(K)=\frac{r^{K}}{1-r}.
</math>
Зауважимо, що
:<math>
 1=g(0)-g(1) ,\quad r=g(1)-g(2)  ,\quad r^{2}=g(2)-g(3)  ,\quad \ldots .
</math>
Тоді
:<math>
\begin{align}
  S& =1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots \\
 & =(g(0)-g(1))+(g(1)-g(2))+(g(2)-g(3))+\cdots .
\end{align}
</math>
Якщо
:<math> |r| <1 </math>
то
:<math>
g(K)\longrightarrow 0 \quad  \text{при} \quad K\to \infty .
</math>
Отже, <math>S</math> збігається до
:<math>
g(0) = \frac{1}{1-r}.
</math>

==Застосування==

===Періодичні десяткові дроби===
{{основна|{{не перекладено| Періодичні десяткові дроби| Періодичні десяткові дроби|en|Repeating decimal}}}}
Періодичний десятковий дріб можна розглядати як геометричний ряд, знаменником якого є степінь числа <math>1/10</math>. Наприклад,

:<math>
0{,}7777\ldots = \frac {7}{10} + \frac {7}{100} + \frac {7}{1000} + \frac {7}{10000} + \cdots .
</math>

Формула суми геометричного ряду може бути використана для перетворення десяткового дробу у звичайний дріб,

:<math>
0{,}7777\ldots = \frac{a}{1-r} = \frac{7/10}{1-1/10} = \frac{7/10}{9/10}= \frac {7}{9}.
</math>

Формула виконується не тільки для однієї цифри, що повторюється, але й для групи цифр, що повторюються. Наприклад,

:<math>
0{,}123412341234\ldots = \frac {a}{1-r} = \frac {1234/10000}{1-1/10000} = \frac {1234/10000}{9999/10000} = \frac {1234}{9999}.
</math>

Зауважимо, що будь-який ряд періодичних десяткових дробів можна зручно спростити за допомогою наступного спостереження:

:<math>0{,}09090909\ldots = \frac {0{,}9}{9{,}9} = \frac {1}{11},</math>

:<math>0{,}143814381438\ldots = \frac {1{,}438}{9{,}999},</math>

:<math>0{,}9999\ldots = \frac {0{,}9}{0{,}9} = 1.</math>

Тобто періодичний десятковий дріб з довжиною повторення <math>n</math> дорівнює відношенню повторюваної частини (як ціле число) і <math>10^{n}-1</math>.

===Квадратура параболи Архімеда===
[[Image:Parabolic Segment Dissection.svg|thumb|300px|Розбиття параболічного сегмента Архімеда на нескінченну кількість трикутників.]]
{{основна|{{не перекладено|Квадратура параболи|Квадратура параболи|en|The Quadrature of the Parabola}}}}

[[Архімед]] використав суму геометричного ряду для обчислення площі, обмеженої [[Парабола|параболою]] та прямою лінією. Його метод полягав у тому, щоб розділити площу на нескінченну кількість трикутників.

Теорема Архімеда стверджує, що загальна площа під параболою становить <math>4/3</math> площі синього трикутника.

Архімед визначив, що площа кожного зеленого трикутника дорівнює <math>1/8</math> площі синього трикутника, площа кожного  жовтого трикутника дорівнює <math>1/8</math> площі зеленого трикутника і т.д.

Якщо припустити, що синій трикутник має площу <math>1</math>, то загальна площа є нескінченною сумою.
:<math>1 + 2\left(\frac{1}{8}\right) + 4\left(\frac{1}{8}\right)^{2} + 8\left(\frac {1}{8}\right)^{3} + \cdots.</math>

Перший доданок представляє площу синього трикутника, другий доданок ''—'' площі двох зелених трикутників, третій доданок ''—'' площі чотирьох жовтих трикутників тощо. Після спрощення дробів отримуємо
:<math>1 + \frac {1}{4} + \frac {1}{16} + \frac {1}{64} + \cdots.</math>

Це геометричний ряд із знаменником  <math>1/4 </math>, який можна представити у вигляді
:<math>\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots.</math>

Сума цього ряду
:<math>\frac {1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}.</math>

У цьому обчисленні використовується [[Метод вичерпування|метод вичерпування]], рання версія [[Інтеграл|інтегрування]]. Використовуючи [[Диференціальне та інтегральне числення|інтегральне числення]], та сама площа може бути знайдена за допомогою [[Інтеграл|визначеного інтеграла]].

===Фрактальна геометрія===
[[File:Koch Snowflake Triangles.png|thumb|Внутрішня частина [[Крива Коха|сніжинки Коха]] предствляє собою об'єднання нескінченної кількості трикутників.]]
При вивченні [[Фрактал|фракталів]] геометричні ряди часто виникають при обчисленні [[Периметр|периметрів]], [[Площа|площ]] чи [[Об'єм|об'ємів]] [[Самоподібність|самоподібних]] фігур.

Наприклад, площу всередині [[Крива Коха|сніжинки Коха]] можна представити як об'єднання нескінченної кількості [[Правильний трикутник|правильних трикутників]] (див. рисунок). Кожна сторона зеленого трикутника дорівнює <math>1/3</math> довжини сторони великого синього трикутника, і тому його площа дорівнює <math>1/9</math> площі синього трикутника. Аналогічно, площа кожного жовтого трикутника дорівнює <math>1/9</math> площі зеленого трикутника і т.д. Якщо площа синього трикутник дорівнює одиниці, то загальна площа сніжинки дорівнює

:<math>1 \,+\, 3\left(\frac{1}{9}\right) \,+\, 12\left(\frac{1}{9}\right)^2 \,+\, 48\left(\frac{1}{9}\right)^3 \,+\, \cdots.</math>

Перший доданок цього ряду ''—'' площа синього трикутника, другий доданок ''—'' загальна площа трьох зелених трикутників, третій доданок ''—'' загальна площа дванадцяти жовтих трикутників і т.д. Якщо виключити перший доданок, то цей ряд є геометричним рядом із знаменником <math>r=4/9</math>. Перший член цього геометричного ряду <math>a=3\cdot \frac{1}{9}=1/3</math>, тому

:<math>1\,+\,\frac{a}{1-r}\;=\;1\,+\,\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{4}{9}}\;=\;\frac{8}{5}.</math>

Таким чином, площа сніжинки Коха дорівнює <math>8/5</math> площі основного трикутника.

===Парадокси Зенона===
{{основна|Апорії Зенона}}
Збіжність геометричного ряду показує, що сума, що включає нескінченну кількість доданків, дійсно може бути скінченною, що дозволяє розв'язати багато парадоксів [[Зенон Елейський|Зенона]]. Наприклад, парадокс дихотомії Зенона стверджує, що рух неможливий, оскільки можна розділити будь-який кінцевий шлях на нескінченну кількість кроків, де кожен крок вважається рівним половині відстані, що залишилася. Помилка Зенона полягає в припущенні, що сума нескінченного числа скінченних кроків не може бути скінченною. Це, звичайно, не так, про що свідчить збіжність геометричного ряду з <math>r=1/2</math>.

===Евклід===
Книга IX, твердження 35<ref>{{cite web |url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX35.html |title=Euclid's Elements, Book IX, Proposition 35 |publisher=Aleph0.clarku.edu |date= |accessdate=2013-08-01 |archive-date=16 листопада 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111116001547/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX35.html }}</ref> трактату Евкліда [[Начала Евкліда|Начала]]  виражає часткову суму геометричного ряду через члени цього ряду, що є еквівалентним сучасній формулі.

===Економіка===
{{основна|Вартість грошей у часі}}
В [[Економіка|економіці]] геометричні ряди використовуються для представлення [[Приведена вартість|приведеної вартості]] [[Ануїтет|ануїтету]] (грошової суми, яку потрібно виплачувати через рівні проміжки часу).

Наприклад, припустимо, що власнику ануїтету буде виплачуватися <math>\$100</math> один раз на рік (в кінці року) нескінченну кількість разів, {{не перекладено|Перпетуїтет|перпетуїтет|en|Perpetuity}}. Отримані <math>\$100</math> на рік тепер коштують менше, ніж негайні <math>\$100</math>, оскільки ніхто не може [[Інвестиція|інвестувати]] гроші, поки не отримає їх. Зокрема, теперішня вартість <math>\$100</math> на рік у майбутньому становить <math>\$100/(1+I)</math>, де <math>I</math> ''—'' річна процентна ставка.

Аналогічно, плата в розмірі <math>\$100</math> через два роки в майбутньому має теперішню вартість <math>\$100/(1+I)^{2}</math> (у квадраті, через втрату інтересу за два роки через неотримання грошей прямо зараз). Таким чином, поточна вартість отримання <math>\$100</math> на рік за необмежений термін становить

:<math>\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\$100}{(1+I)^{n}}}</math>,

що є нескінченним рядом:

:<math>{\frac {\$100}{(1+I)}} + {\frac {\$100}{(1+I)^{2}}} + {\frac {\$100}{(1+I)^{3}}} + {\frac {\$100}{(1+I)^{4}}} + \cdots</math>.

Це геометричний ряд із знаменником <math>1/(1+I)</math>. Його сума --- це перший доданок, поділений на (один мінус знаменник):

:<math>{\frac {\$100/(1+I)}{1-1/(1+I)}} = {\frac {\$100}{I}}</math>.

Наприклад, якщо річна процентна ставка становить <math>10\%</math> (<math>I=0{,}10</math>), тоді весь ануїтет має теперішню вартість <math>\$100/0{,}10=\$1000</math>.

Цей вид розрахунку використовується для обчислення {{не перекладено|Річна процентна ставка|річної процентної ставки|en|Annual percentage rate}} позики (наприклад, [[Іпотечний житловий кредит|іпотечного кредиту]]). Він також може бути використаний для оцінки теперішньої вартості [[Дивіденди|очікуваних дивідендів]] на акції або [[Термінальна вартість|термінальної вартісті]] [[Цінні папери|цінних паперів]].

===Геометричні степеневі ряди===
Формула геометричного ряду
:<math>{\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots</math>

може бути проінтерпретована як [[Степеневий ряд|степеневий ряд]] в сенсі [[Теорема Тейлора|теореми Тейлора]], що збігається при <math>|x|<1</math>. Це можна використати, щоб отримати інші степеневі ряди. Наприклад,

:<math>
\begin{align}
{\rm arctg}(x)&=\int {\frac {{\rm d}x}{1+x^{2}}}\\
&=\int {\frac {{\rm d}x}{1-(-x^{2})}}\\
&=\int \left(1+\left(-x^{2}\right)+\left(-x^{2}\right)^{2}+\left(-x^{2}\right)^{3}+\cdots \right){\rm d}x\\
&=\int \left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots \right){\rm d}x\\
&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\
&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}.
\end{align}
</math>

Диференціюючи геометричний ряд, отримуємо <ref>{{cite book |first=Angus E. |last=Taylor |title=Advanced Calculus |publisher=Blaisdell |year=1955 |page=603 |url=https://books.google.com/books?id=SYc_AQAAIAAJ&pg=PA603 }}</ref>

:<math>\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}=\frac {1}{(1-x)^{2}}\quad \text{для} \quad |x|<1</math>.

Аналогічно можна отримати наступні ряди:

:<math>\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^{3}}\quad \text{для} \quad |x|<1</math>,

і

:<math>\sum _{n=3}^{\infty }n(n-1)(n-2)x^{n-3}={\frac {6}{(1-x)^{4}}}\quad \text{для} \quad |x|<1</math>.

==Див. також==
*[[0,(9)]]
*[[Асимптота]]
*{{не перекладено|Розбіжні геометричні ряди|Розбіжні геометричні ряди|en|Divergent geometric series}}
*{{не перекладено|Узагальнена гіпергеометрична функція|Узагальнена гіпергеометрична функція|en|Generalized hypergeometric function}}
*[[Геометрична прогресія]]
*[[Ряд Неймана]]
*[[Ознака д'Аламбера]]
*[[Радикальна ознака Коші]]
*[[Ряд (математика)]]

===Геометричні ряди===
*[[Ряд Гранді]]
*{{не перекладено|1 + 2 + 4 + 8 + ⋯|1 + 2 + 4 + 8 + ⋯|en|1 + 2 + 4 + 8 + ⋯}}
*{{не перекладено|1 − 2 + 4 − 8 + ⋯|1 − 2 + 4 − 8 + ⋯|en|1 − 2 + 4 − 8 + ⋯}}
*{{не перекладено|1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯|1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯|en|1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯}}
*{{не перекладено|1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯|1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯|en|1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯}}
*{{не перекладено|1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯|1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯|en|1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯}}

==Література==
{{reflist}}

{{refbegin}}
*  Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p.&nbsp;10, 1972.
* Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp.&nbsp;278–279, 1985.
* Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p.&nbsp;8, 1987.
* Courant, R. and Robbins, H. "The Geometric Progression." §1.2.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp.&nbsp;13–14, 1996.
* Pappas, T. "Perimeter, Area & the Infinite Series." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp.&nbsp;134–135, 1989.
* James Stewart (2002). ''Calculus'', 5th ed., Brooks Cole. {{ISBN|978-0-534-39339-7}}
* Larson, Hostetler, and Edwards (2005). ''Calculus with Analytic Geometry'', 8th ed., Houghton Mifflin Company.  {{ISBN|978-0-618-50298-1}}
* Roger B. Nelsen (1997). ''Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking'', The Mathematical Association of America.  {{ISBN|978-0-88385-700-7}}
* {{cite journal | year=1998 |title=The geometric series in calculus| url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1998-01_105_1/page/36 |journal=The American Mathematical Monthly |publisher=Mathematical Association of America|volume=105 |issue=1 |pages=36–40  |doi=10.2307/2589524 |jstor=2589524 |author=Andrews, George E. }}

===Історія і філософія===
* C. H. Edwards, Jr. (1994).  ''The Historical Development of the Calculus'', 3rd ed., Springer.  {{ISBN|978-0-387-94313-8}}.
* {{cite journal |date=April 1998 |title=Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1998-04_71_2/page/123 |journal=Mathematics Magazine |volume=71 |issue=2 |pages=123–30 |doi=10.2307/2691014 |jstor=2691014|author=Swain, Gordon and Thomas Dence }}
* Eli Maor (1991). ''To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite'', Princeton University Press.  {{ISBN|978-0-691-02511-7}}
* Morr Lazerowitz (2000).  ''The Structure of Metaphysics (International Library of Philosophy)'', Routledge. {{ISBN|978-0-415-22526-7}}

===Економіка===
* Carl P. Simon and Lawrence Blume (1994).  ''Mathematics for Economists'', W. W. Norton & Company.  {{ISBN|978-0-393-95733-4}}
* Mike Rosser (2003). ''Basic Mathematics for Economists'', 2nd ed., Routledge.  {{ISBN|978-0-415-26784-7}}

===Біологія===
* Edward Batschelet (1992).  ''Introduction to Mathematics for Life Scientists'', 3rd ed., Springer.  {{ISBN|978-0-387-09648-3}}
* Richard F. Burton (1998).  ''Biology by Numbers: An Encouragement to Quantitative Thinking'', Cambridge University Press.  {{ISBN|978-0-521-57698-7}}

===Інформатика===
* John Rast Hubbard (2000). ''Schaum's Outline of Theory and Problems of Data Structures With Java'', McGraw-Hill.  {{ISBN|978-0-07-137870-3}}
{{refend}}

==Посилання==
* {{springer|title=Geometric progression|id=p/g044290}}
* {{MathWorld|title=Geometric Series|urlname=GeometricSeries}}
* {{PlanetMath|title=Geometric Series|urlname=InfiniteGeometricSeries}}
* {{cite web|last=Peppard|first=Kim|title=College Algebra Tutorial on Geometric Sequences and Series|url=http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut54d_geom.htm|publisher=West Texas A&M University|accessdate=1 грудня 2015|archive-date=7 травня 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150507060617/http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut54d_geom.htm}}
* {{cite web|last=Casselman |first=Bill |title=A Geometric Interpretation of the Geometric Series |format=Applet |url=http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20070929083805/http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html |archivedate=2007-09-29 }}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GeometricSeries/ "Geometric Series"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100218144726/http://demonstrations.wolfram.com/GeometricSeries/ |date=18 лютого 2010 }} by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[[Категорія:Ряди та послідовності]]