Перегляд вихідного коду сторінки Гауссів q-розподіл

'''Гауссів q-розподіл''' —  сімейство [[Густина імовірності|розподілів ймовірностей]], що є [[q-аналог]]ом [[Нормальний розподіл|гауссового або нормального розподілу]]. Включає в себе, рівномірний розподіл і нормальний (гауссів) розподіл як граничні випадки. Розподіл симетричний відносно нуля і обмежений, за винятком в граничному випадку нормального розподілу. Гауссів q-розподіл, уведений Діазом і Теруелем, використовується у математичній фізиці і теорії ймовірності та статистики.

== Визначення ==
Нехай q дійсне число в інтервалі [0, 1).  Функція щільності ймовірності гауссового Q-розподілу задається наступним чином

<math>{\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}</math> 

де

<math>{\displaystyle \nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},}
{\displaystyle c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.} </math>

Q-аналог <math>[t]q </math> дійсного числа <math>{\displaystyle t} </math>  задається

<math>{\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.} </math>
[[Файл:Gaussianq-density2.jpg|міні|Гауссів Q-розподіл]]
Q-аналог експоненційної функції є Q-експонентів, <math>E_q^x </math>, яка задається

<math>{\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}} </math>

де Q-аналог факторіала є Q-факторіала, <math> [n]q! </math>, який, в свою чергу, заданої

<math>{\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\ ,} </math>

для цілого <math>n > 2 </math> і <math> [1]q! = [0]q! = 1. </math>

Кумулятивна функція розподілу гауссового Q-розподілу задається

<math>{\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}} </math>
[[Файл:CumulativeGaussianq-distribution2.jpg|міні|Сукупний гауссів Q-розподіл.]]
де символ інтегрування позначає [[інтеграл Джексона]].

Функція <math>Gq </math> задається явно

<math>{\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end{cases}}} </math>

де

<math>{\displaystyle (a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).} </math>

== Моменти ==
[[Момент (математика)|Моменти]] гауссового Q-розподілу задаються

<math>{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,} </math>

<math>{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,} </math>

де символ [2n - 1] !!  є Q-аналог [[Подвійний факторіал|подвійного факторіала]], який задається

<math>{\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,} </math>

== Джерела ==
* Díaz, R.; Pariguan, E. (2009). "On the Gaussian q-distribution". ''Journal of Mathematical Analysis and Applications''. '''358''':
* Exton, H. (1983), ''q-Hypergeometric Functions and Applications'', New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983
* http://prima.lnu.edu.ua/faculty/mechmat/Departments/mathstat/DVVS/2015-16/magistry/imitaciyne-modelyuvannia-system-masovoho-obsluhovuvannia.pdf Імітаційне {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170408132858/http://prima.lnu.edu.ua/faculty/mechmat/Departments/mathstat/DVVS/2015-16/magistry/imitaciyne-modelyuvannia-system-masovoho-obsluhovuvannia.pdf |date=8 квітня 2017 }} моделювання систем масового обслуговування.

[[Категорія:Ймовірнісні розподіли]]