Перегляд вихідного коду сторінки Гауссові числа

'''Гауссові цілі числа''' <math>\mathbb{Z}[i]</math>&nbsp;— [[Комплексне число|комплексні числа]] вигляду <math>a+bi,</math> де <math>a,b\in\mathbb{Z}</math>&nbsp;— звичайні [[цілі числа]]. Якщо дозволити [[раціональні числа|раціональні]] значення для <math>a,b,</math> то одержимо [[Поле (алгебра)|поле]] <math>\mathbb{Q}(i)</math> '''гауссових раціональних чисел'''.

Гауссові цілі числа утворюють [[комутативність|комутативне]] [[Кільце (алгебра)|кільце]], яке докладно дослідив [[Карл Фрідріх Гаусс|Карл Гаусс]]. На гауссові цілі числа поширюється теорема про однозначність розкладу на [[Простий множник|прості множники]], яка відома для звичайних цілих чисел з часів [[Евклід]]а. Це надає концептуальне пояснення результатам [[П'єр Ферма|П. Ферма]] та [[Леонард Ейлер|Л. Ейлера]] відносно розв'язків рівняння <math>a^2+b^2=p</math> у цілих числах і приводить до короткого доведення [[велика теорема Ферма|великої теореми Ферма]] для <math>n=4.</math>

Множина гауссових цілих чисел прийнято позначати <math>\mathbb{Z}[i],</math> їх властивості схожі на властивості множини звичайних цілих чисел <math>\mathbb{Z}</math>, проте є й істотні відмінності .

У запроваджених Гауссом і [[Нільс Генрік Абель|Н. Абелем]] дослідженнях довжини дуги [[лемніската|лемніскати]], гауссові цілі числа було застосовано до питань теорії [[Еліптична функція|еліптичних функцій]], так звана [[теорія комплексного множення]], і до обчислення [[середнє арифметико-геометричне|середнього арифметико-геометричного]].

== Загальні властивості ==

=== Визначення і класифікація ===
Формальне визначення:

: <math>\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a,b\in \mathbb{Z} \}</math>.
Множина <math>\mathbb{Z}[i]</math> містить безліч звичайних цілих чисел <math>\mathbb{Z}</math> і являє собою його розширення{{sfn|Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=146.}}.Сума, різниця і добуток гауссових чисел є гауссовими числами; така структура алгебри називається [[Кільце (алгебра)|кільцем]]{{sfn|Айерлэнд К., Роузен М.|1987|с=23.}}.Ввести в цьому комплексному кільці [[Відношення порядку|впорядкованість]] неможливо. Відзначимо також, що [[Спряжені числа|спряжене]] до гауссового числа <math>a+bi</math> є також гауссове число <math>a-bi.</math>

Кожне гауссове число <math>z=a+bi</math> задовольняє квадратному рівнянні:
: <math>(z-a)^2+b^2=0</math>
Тому гауссове число є [[ціле алгебраїчне число]].

=== Норма ===
'''Норма''' для гауссового числа <math>a + bi</math> визначається як квадрат його [[Абсолютні величини|модуля]]{{sfn|Окунев Л. Я.|1941|с=27—28.}}:
: <math>N \left(a+bi \right) = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)}</math>
'''Властивості норми'''{{sfn|Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=147—149.|name=KF148}}:
* Норма дорівнює нулю тільки для нуля. В інших випадках норма&nbsp;— додатне ціле число.
* Норми [[Спряжені числа|спряжених чисел]] збігаються.
* Норма звичайного цілого числа дорівнює його квадрату.
* Якщо норма непарна, то вона має вигляд <math>4 n + 1</math>, тобто при діленні його на <math>4</math> виходить залишок <math>1</math>. Ніяке гауссове число не може мати норму виду <math>4 n + 3.</math>
Норма, як і модуль, має важливу властивість мультиплікативності:
: <math>N(u\cdot v) = N(u)\cdot N(v)</math>

Звідси випливає, що зворотніми елементами кільця є ті елементи, у яких норма дорівнює <math>1</math>, тобто <math>\{1; -1; i; -i \}</math>.

Два гауссових числа називаються ''асоційованими'', якщо одне виходить з іншого множенням на дільник одиниці. Легко побачити, що асоційованість&nbsp;— [[відношення еквівалентності]]. Приклад: гауссові числа <math>1+i</math> и <math>1-i</math> асоційовані, оскільки:
: <math>1+i = i(1-i)</math>
У кожного ненульового гауссового числа є три асоційованих з ним. Норми всіх чотирьох асоційованих між собою чисел збігаються.

== Теорія подільності ==

=== Ділення націло ===
Ділення націло гауссових чисел визначається звичайним чином: Вимова: один з трьох рівносильних варіантів.
* <math>u</math> ділиться на <math>v;</math>
* <math>v</math> ділить <math>u;</math>
* <math>v</math>&nbsp;— дільник <math>u.</math>
Використовуються&nbsp;традиційні терміни: [[ділене]] або [[кратне]] (<math>u</math>), [[дільник]] (<math>v</math>) та [[Ділення|частка від ділення]] (<math>q</math>). Кількість дільників гауссового числа завжди скінчене, кількість кратних нескінченно.

Приклад: число <math>2</math> ділиться націло на <math>~1+i</math>, тому що <math>~2=(1+i)(1-i)</math>.

Всі гауссові числа діляться на дільники одиниці, тому будь-яке гауссове число, відмінне від дільників одиниці, має як мінімум <math>8</math> дільників: <math>4</math> дільника одиниці і <math>4</math> їх добутку на саме це число. Ці подільники називаються '''тривіальними'''{{sfn|Окунев Л. Я.|1941|с=32.}}.

Ділення націло в <math>\mathbb{Z}[i]</math> за своїми властивостями схоже на аналогічне ділення цілих чисел. Деякі специфічні для гауссових чисел особливості{{sfn|Окунев Л. Я.|1941|с=29.|name=OKU29}}:
* Якщо гауссове число <math>z</math> ділиться націло на звичайне ціле число, то на це ціле число діляться як дійсна, так і уявна частина <math>z.</math>
* Якщо <math>u|v</math> и <math>v|u</math>, то ці числа асоційовані.
* Якщо <math>u|v</math>, то будь-яке з 3 чисел, асоційованих з <math>v,</math> ділиться на будь-яке з <math>3</math> чисел, асоційованих з <math>u</math>.
* Якщо <math>u</math> ділиться на <math>v\; (u=vq)</math>, то спряжене до діленого числа <math>\overline u</math> ділиться на спряжене до дільника <math>\overline v \; (\overline u=\overline v\overline q).</math>
* Всі дільники гауссового числа <math>z</math> є також дільниками його норми <math>N(z)=z \cdot \overline{z}.</math>
* Норма гауссового числа парна тоді і тільки тоді, коли це число ділиться на <math>~1+i.</math>
* Якщо <math>v|u</math>, то і норма діленого, в силу мультиплікативності, ділиться націло на норму дільника. При цьому:
{{рамка}}
Кажуть, що гауссове число <math>u</math> ділиться (націло) на гауссове число <math>v</math>, якщо існує третє гауссове число <math>q</math> таке, що <math>u=vq</math>. Позначення: <math>v|u.</math>,
{{/рамка}}
:: <math>N\left(\frac{u}{v}\right) = \frac {N(u)} {N(v)}</math>

=== Геометричне уявлення подільності ===
У кожного гауссового числа <math>z</math> є <math>4</math> кратних з тією ж нормою (і, відповідно, тим же модулем)&nbsp;— це саме <math>z</math> та асоційовані з ним <math>3</math> числа, які виходять послідовним множенням <math>z</math> на <math>i</math>:

<math>z;\ iz;\ -z;\ -iz</math>

Але множення на <math>i</math> означає на [[Комплексна площина|комплексній площині]] поворот [[радіус-вектор]]а числа на 90° проти годинникової стрілки, причому модуль результату буде тим же. Таким чином, всі 4 числа утворюють рівносторонній хрест (виділено червоним на малюнку), центр і вершини якого кратні <math>z</math>. Послідовно зрушуючи цей хрест на всі боки на одну з 4 величин, асоційованих з <math>z</math>, ми одержуємо на всій площині квадратну решітку, всі вузли якої (вершини квадратів) кратні <math>z</math>. Зворотньо, будь яке кратне <math>z</math> збігається з одним з вузлів решітки. Ширина кожного квадрата решітки дорівнює <math>|z|.</math> Далі для стислості ця решітка буде називатися «решіткою кратних» (або, якщо потрібне уточнення, «-решітка кратних»).

Приклад: на малюнку одним з вузлів решітки є число <math>~4-2i</math>, кратне <math>~1+2i</math>:
: <math>4-2i=-2i(1+2i).</math>

=== Прості гауссові числа ===
'''Просте гауссове число'''&nbsp;— це ненульове число, яке не має інших дільників, крім тривіальних. Число, що не є простим, називається '''складовим'''. При цьому дільники одиниці, подібно натуральної одиниці, не вважаються ні простими, ні складовими числами{{sfn|Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=150.}}.

Деякі властивості простих гауссових чисел:
* Якщо <math>a+bi</math>&nbsp;— просте гауссове число, то і [[Спряжені числа|спряжене до нього]] гауссове число <math>a-bi</math> також є простим.
* Якщо просте гауссове число є дільником добутку гауссових чисел, то воно є дільником принаймні одного із співмножників.
* Норма будь-якого простого гауссового числа, крім асоційованих з <math>1+i</math>, завжди непарна і тому дорівнює <math>4n+1.</math>
Натуральне [[просте число]] може не бути гауссовим простим числом. Наприклад, числа 2 і 5 в <math>\mathbb{Z}[i]</math> вже не прості:
: <math>2 = (1+i)(1-i);\quad 5 = (2+i)(2-i)</math>

=== Взаємно прості числа ===
Якщо гауссове число <math>w</math> є дільником для двох гауссових чисел <math>u</math> і <math>v</math>, воно називається їх '''спільним дільником'''. Множина спільних дільників двох чисел завжди містить 4 дільники одиниці; якщо інших спільних дільників немає, ці числа називаються '''взаємно простими'''{{sfn|Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=155.|name=KF155}}.

Відзначимо, що якщо норми гауссових чисел <math>u</math>, <math>v</math> [[Взаємно прості числа|взаємно прості]] як цілі числа, то і самі числа <math>u</math>, <math>v</math> взаємно прості як гауссові числа. Зворотнє невірно: норми взаємно простих гауссових чисел можуть мати спільні дільники&nbsp;— наприклад <math>5+2i</math> і <math>5-2i</math> взаємно прості, але їх норми збігаються і тому не взаємно прості.

Зазначимо дві властивості, аналогічні властивостям цілих чисел.
* Якщо кожне з двох гауссових чисел <math>u,v</math> взаємно просто з гауссовим числом <math>w,</math> то і їх добуток <math>uv</math> теж взаємно просто з <math>w.</math>
* Якщо <math>z|uv</math> і при цьому <math>z</math> взаємно просто з <math>u</math>, то{{sfn|Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=156.}} <math>z|v.</math>

=== Критерій Гауса ===
Гаус вказав визначальні ознаки простого числа в <math>\mathbb{Z}[i]</math>{{sfn|Окунев Л. Я.|1941|с=41, 44.}}.{{рамка}}
Гауссове число <math>a+bi</math> є простим тоді і тільки тоді, коли:
* або одне з чисел <math>a, b</math> нульове, а інше&nbsp;— ціле просте число виду {{s|<math>\pm(4n+3)</math>}};
* або <math>a, b</math> обидва не нулі та норма <math>a^2+b^2</math>&nbsp;— просте натуральне число.
{{/рамка}}

Наведемо приклади простих гауссових чисел.
* До першої частини критерію: <math>\pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i.</math>
* До другої частини критерію: <math>1 \pm i;\ 1 \pm 2i;\ 1 \pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i.</math>
Деякі джерела для більшої ясності поділяють другу частину критерію на дві{{sfn|A classification of gaussian primes|с=10.}}:
# Числа, асоційовані з <math>1+i.</math> Їх норма дорівнює 2.
# Числа, норма яких є просте натуральне число вигляду <math>4n+1.</math>
Сам Гаус такого поділу не робив{{sfn|Гаусс К. Ф.|1959|с=698.}}.

'''Наслідки'''.
* Ніяке просте натуральне число вигляду <math>4n+1</math> не може бути простим гауссовим числом. Прості натуральні числа виду <math>4n+3</math> є і простими гауссовими числами.
* Норма простого гауссового числа є або простим натуральним числом, або квадратом простого натурального числа{{sfn|Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=158.}}.
* Просте натуральне число вигляду <math>4n+1</math> можна представити як добуток спряжених простих гауссових чисел <math>(a+b i)(a-b i)</math> або, що те ж саме, як суму квадратів <math>a^2+b^2</math>. Цей факт відомий як [[Теорема Ферма про суму двох квадратів|Теорема Ферма&nbsp;— Эйлера]]. Саме при дослідженні даної теми, а також теорії біквадратичних лишок, Гаус з успіхом застосував цілі комплексні числа. Навпаки, якщо просте натуральне число можна подати у вигляді суми натуральних квадратів, то в <math>\mathbb{Z}[i]</math> воно складене і розкладається на два спряжених гауссових простих.
* Кожне просте гауссове число є дільником одного і тільки одного простого натурального числа{{sfn|Conrad, Keith|loc=Глава 9.|name=CON9}}. Це означає, що розкладаючи натуральні прості на гауссові множники, ми отримаємо всі гауссові прості.

=== Розклад на прості множники ===
В <math>\mathbb{Z}[i]</math> має місце аналог [[Основна теорема арифметики|основної теореми арифметики]]: кожне гауссове число, що не є нулем або дільником одиниці, розкладається на прості множники, причому це розкладання однозначно з точністю до порядку і асоційованості множників{{sfn|Окунев Л. Я.|1941|с=33—34.}}.

Приклад: <math>5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i).</math> Множники цих двох, по виду різних, розкладів попарно асоційовані: <math>1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),</math> так що однозначність не порушується.

Щоб практично розкласти гауссове число <math>z</math> на прості множники, можна використовувати наведену вищу властивість: всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми. При цьому норма містить також «зайві» прості множники, відповідні спряжені до <math>z</math> на прості множники, можна використовувати наведену вище властивість: всі дільники гауссового числа є також дільниками його норми.

Таким чином, почати слід з розкладання норми числа <math>z</math> на прості натуральні множники{{sfn|Conrad, Keith|loc=Глава 6.}}.
# Множник 2, якщо він присутній в розкладанні норми, розкладається як<math>(1+i)(1-i)</math>. Слід включити в результуюче розкладання ті з цих множників (у відповідній мірі), на які <math>z</math> ділиться націло.
# Крім 2, інші множники норми&nbsp;— непарні. Множник виду <math>4n+3</math> є простим гауссовим числом, тому він ділить не тільки норму<math>N(z)=~z \overline{z}</math>, але і саме <math>z.</math> Але тоді цей множник ділить і спряжене число <math>\overline{z}</math>. Звідси випливає, що множник виду <math>4n+3</math> входить в розкладання норми завжди в парній степені, а в розкладання самого <math>z</math>&nbsp;— в степені, вдвічі меншою.
# Множник виду <math>4n+1</math> можна розкласти на добуток спряжених простих гауссових чисел (або, що те ж саме, на суму квадратів натуральних чисел). І тут слід діленням з'ясувати, який із співмножників відноситься до початкового числа, а який&nbsp;— до спряженого.
Приклад. Розкладемо на прості множники <math>9+12i.</math> Норма цього числа дорівнює 225, розкладемо її на прості натуральні множники: <math>~225=3^2 \cdot 5^2.</math>За попереднім, <math>~5=(2-i)(2+i).</math> Перевіркою переконуємося, що <math>9+12i</math> ділиться тільки на <math>~2+i</math> и не ділиться на <math>~2-i.</math> Частка від ділення <math>9+12i</math> на <math>~3(2+i)</math> дорівнює <math>~2+i,</math> тому остаточно отримуємо:
: <math>9+12i=3\cdot(2+i)^2</math>

== Теорія порівнянь ==

=== Порівняння по гауссовому модулю ===
Поняття [[порівняння по модулю]] визначається в <math>\mathbb{Z}[i]</math> аналогічно тому, як це робиться для цілих чисел:

{{рамка}}
Нехай <math>w</math>&nbsp;— деяке гауссове число. Два гауссових числа <math>u, v</math> називаються порівнянними по модулю <math>w</math>, якщо різниця <math>u-v</math> ділиться (націло) на <math>w</math>. Запис: <math>~u\equiv v\pmod w.</math>
{{/рамка}}

Властивості порівнянь в <math>\mathbb{Z}[i]</math> в основному такі ж, як у цілих чисел. Відношення порівнянності є [[відношення еквівалентності]], тому <math>\mathbb{Z}[i]</math> розбивається на непересічні класи лишок&nbsp;— кожен такий клас містить всі порівнянні один з одним (по заданому модулю) гауссові числа. Для класів, як у випадку цілих чисел, можна визначити додавання і множення, так що виходить кільце лишок по гауссовому модулю.

Приклад. Візьмемо як модуль порівняння <math>1+i</math>. Тоді <math>\mathbb{Z}[i]</math> розбивається на два класи лишок: числа <math>a+bi</math>, у яких <math>a</math>,<math>b</math> однакової парності, потраплять в один клас (що містить кратні модуля), а числа з різною парністю <math>a</math>,<math>b</math>— в іншій.

У гауссового порівняння є деякі особливості. Наприклад, якщо для цілих чисел по модулю 3 існують 3 класу лишок з представниками <math>0;\ 1;\ 2,</math> то для гауссових чисел за тим же модулю кількість класів значно більше. Їх представники:
: <math>0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1 + i;\ 2 + i;\ 2i;\ 1 + 2i;\ 2 + 2i</math>
Як виявив Гаус, кільце лишок по модулю <math>a+bi</math> містить <math>~N(a+bi)=a^2+b^2</math> елементів{{sfn|Conrad, Keith|loc=Глава 7.|name=CON7}}. Цей факт змушує модифікувати деякі класичні теореми. Наприклад, [[мала теорема Ферма]] для цілих чисел стверджує, що <math>(a^p-a)</math> ділиться на <math>p </math> для будь-якого простого <math>p </math> і натурального <math>a</math>. Для гауссових чисел це невірно, навіть якщо обмежитися натуральними значеннями <math>p </math> ; наприклад, для цілих чисел <math>a^3-a</math> завжди ділиться на 3, а для гауссових <math>i^3-i=-2i</math>, і це значення на 3 не ділиться. Модифікований аналог малої теореми Ферма формулюється в такий спосіб: Перевіримо на тому ж прикладі з <math>w=3; u=i.</math> Отримуємо: <math>~(i^9-i)=0</math>&nbsp;— ділиться на 3.

{{рамка}}
Нехай <math>w</math>&nbsp;— деяке гауссове число. Два гауссових числа <math>u, v</math> називаються порівнянними по модулю <math>w</math>, якщо різниця <math>u-v</math> ділиться (націло) на <math>w</math>. Запис: <math>~u\equiv v\pmod w.</math>
{{/рамка}} {{теорема|
Для простого гауссового числа <math>w=a+bi</math> і будь-якого гауссового числа <math>u</math><br> <math>(u^{N(w)}-u) = (u^{a^2+b^2}-u)</math> ділиться на <math>w.</math>
}}

Назвемо клас лишок по модулю <math>w,</math> містить число <math>u,</math> '''оборотним''', якщо порівняння <math>~ux \equiv 1\pmod w</math> має рішення відносно <math>x.</math> Клас оборотний тоді і тільки тоді, коли гауссові числа<math>u</math> и <math>w</math> взаємно прості. Зокрема, якщо модуль порівнянь <math>w</math>&nbsp;— гауссове просте число, то кожен ненульовий клас лишок має оборотний елемент, а це означає, що класи лишок по простому модулю в <math>\mathbb{Z}[i]</math>, як і в <math>\mathbb{Z},</math> утворюють [[Поле (алгебра)|поле]].

=== Функція Ейлера для гауссових чисел ===
Введемо аналог [[Функція Ейлера|функції Ейлера]] для гауссових чисел. Визначення для цілих чисел не годиться хоча б тому, що міститься в ньому вираз «від <math>1</math> до <math>n</math>» не має сенсу для комплексних чисел. Нове визначення:

{{рамка}}
Функція Ейлера <math>\varphi(z)</math> для гауссового числа <math>z</math> визначається як число оборотних класів лишок по модулю <math>z.</math>
{{/рамка}}

Визначена таким чином функція, як і її прототип для цілих чисел, [[Мультиплікативна функція|мультиплікативна]], тому достатньо знати її значення для простих чисел і їх натуральних степенів. Якщо <math>z</math>&nbsp;— просте гауссове число, то:
: <math>\varphi(z)=N(z)-1; \quad \varphi(z^k)=N(z)^{k-1}(N(z)-1)</math>
Приклад: <math>\varphi(3+4i) = \varphi((2+i)^2) = N(2+i)(N(2+i)-1) = 5\cdot 4 = 20.</math>

Тепер можна узагальнити наведену в попередньому розділі малу теорему Ферма на випадок довільного (не обов'язково простого) модуля порівняння, тобто привести аналог [[Теорема Ейлера (теорія чисел)|теореми Ейлера]]:

{{рамка}}
Якщо гауссове число <math>z</math> взаємно просто з модулем <math>w,</math>, то:<br/>
: <math>z^{\varphi(w)} \equiv 1 \pmod w</math>
{{/рамка}}

=== Геометричне уявлення порівняння по модулю ===
Розглянемо для прикладу порівняння по модулю <math>w=1+2i.</math> Як сказано в розділі про геометричному поданні подільності, можна розбити комплексну площину на квадрати, так, що вузли цієї решітки (вершини квадратів) представляють всілякі комплексні кратні <math>~1+2i.</math> Тоді, за визначенням, числа можна порівняти по модулю, якщо їх різниця збігається з одним з вузлів решітки кратних.

Кожен квадрат решітки виходить з будь-якого іншого квадрата зрушенням (переносом) на величину, кратну <math>w,</math> тому різниця будь-якої точки квадрата і результату її зсуву теж кратна <math>w.</math> Звідси випливає остаточний висновок:

{{рамка}}
Гауссові числа порівняні по модулю <math>w</math> тоді і тільки тоді, коли вони займають одне і теж відносне положення в своїх квадратах решітки кратних.
{{/рамка}}

Наприклад, можна порівняти всі центри квадратів, або всі середини їх відповідних сторін тощо

== Ділення з залишком ==

=== Визначення ===
У кільці <math>\mathbb{Z}[i]</math> можна визначити ділення із залишком (на будь яке ненульове гауссове число), вимагаючи, щоб норма залишку була менше норми дільника{{sfn|Conrad, Keith|loc=Глава 3.}}:

{{рамка}}
Будь яке гауссове число <math>u</math> можна поділити із залишком на будь яке ненульове гауссове число <math>v</math>, тобто представити у вигляді:
: <math>u = vq + r</math>
де частка <math>q</math> і залишок <math>r</math>&nbsp;— гауссові числа, причому <math>N(r)<N(v).</math>
{{/рамка}}

Нескладно показати, що як частку від ділення із залишком можна взяти гауссове число, найближчим до частки від звичайного ділення комплексних чисел{{sfn|Окунев Л. Я.|1941|с=30—31.}}.

Необхідно відзначити, що умова «норма залишку менше норми дільника» недостатньо для того, щоб гарантувати однозначність залишку від ділення. В <math>\mathbb{Z}[i]</math>, на відміну від <math>\mathbb{Z}</math>, залишок неоднозначний. Наприклад, <math>~7+2i</math> можна розділити на <math>~3-i</math> трьома способами:
: <math>7+2i = (3-i)(2+i)+i = (3-i)(1+i)+3 = (3-i)(2+2i)+(-1-2i)</math>
Можна гарантувати тільки те, що всі залишки потрапляють в один клас залишок по модулю дільника.

Приклад. Поділимо із залишком <math>11+10i</math> на <math>4+i</math>. Спочатку знайдемо частку від звичайного комплексного ділення:
: <math>\frac{11+10i}{4+i} = \frac{(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{54+29i}{17} \approx 3{,}17+1{,}7i</math>
Найближче до результату гауссове число є <math>3+2i,</math> тоді залишок дорівнює <math>~11+10i - (4+i)(3+2i) = 1-i.</math> В результаті отримуємо:
: <math>11+10i = (4+i)(3+2i) + 1-i</math>

=== Геометричне представлення ===
З визначення поділу із залишком <math>u</math> на <math>v</math> слідує, що <math>~|r|=|u-vq|,</math> тобто модуль залишку є відстань між комплексними числами <math>u</math> и <math>vq.</math> Іншими словами, <math>|r|</math> є відстань від діленого до одного з вузлів {{nobr|<math>v</math>-решітки}} кратних. Вимога «норма залишку менше норми дільника» еквівалентно умові <math>|r|<|v|</math>. Звідси випливає:

{{рамка}}
Ділення із залишком <math>u</math> на <math>v</math> має стільки рішень, скільки вузлів {{nobr|<math>v</math>-решітки}} кратних знаходиться від діленого на відстані менше <math>|v|.</math>
{{/рамка}}

У наведеному вище прикладі ділення <math>~7+2i</math> на <math>~3-i</math> найближчими до діленого є кратні дільника, що утворюють вершини квадрата решітки, що містить ділене:
: <math>7+i=(3-i)(2+i)</math>
: <math>4+2i=(3-i)(1+i)</math>
: <math>8+4i=(3-i)(2+2i)</math>
Всі вони знаходяться від діленого на відстані менше, ніж <math>~|v|=\sqrt{10}.</math> Четверта вершина квадрата <math>~5+5i</math> віддалена від діленого більше ніж на <math>~\sqrt{10}.</math> Тому дана задача поділу із залишком має три рішення.

У загальному випадку, провівши з вершин квадрата <math>v</math>-решітки кратних дуги радіусом <math>|v|</math>, ми отримали фігуру, показану на малюнку. Якщо ділене знаходиться в центральній області (червона зона), воно віддалене від усіх вершин менш ніж на <math>|v|</math>, і поділ із залишком може бути виконано чотирма способами. Якщо ділене знаходиться в одному з «пелюсток» (синя зона), то одна з вершин відпадає, і число рішень дорівнює трьом. Для білої зони отримуємо два рішення. Нарешті, якщо ділене збігається з однією з вершин, то залишок дорівнює нулю, і рішення єдино.

=== Найбільший спільний дільник ===
Кільце гауссових чисел є [[Евклідове кільце|евклідовим]], і в ньому завжди можна визначити [[найбільший спільний дільник]], визначений однозначно з точністю до дільників одиниці{{sfn|Окунев Л. Я.|1941|с=35—36.}}.

{{рамка}}
[[Найбільший спільний дільник|Найбільшим спільним дільником]] НСД<math>(u, v)</math> для гауссових чисел <math>u</math> і <math>v</math>, хоча б одно з яких ненульове, називається їх спільний дільник <math>d</math>, який ділиться на будь який інший спільний дільник <math>u</math> і <math>v</math>.
{{/рамка}}

Еквівалентне визначення: НСД<math>(u, v)</math> є той загальний дільник <math>u, v</math>, у якого норма максимальна{{sfn|Conrad, Keith|loc=Глава 4.|name=CON4}}.
; Властивості НСД
* Якщо відомий деякий НСД, то будь-яка з трьох чисел, асоційованих з ним, також буде НСД. Зокрема. якщо один з НСД&nbsp;— дільник одиниці, то такими ж будуть і інші три НСД.
* Гауссові числа взаємно прості тоді і тільки тоді, коли їх НСД є дільник одиниці.
* Має місце аналог співвідношення Безу{{sfn|Conrad, Keith|loc=Глава 5.|name=CON5}}:{{рамка}}
Нехай <math>u, v</math>&nbsp;— гауссові числа, і хоча б одно з них не нуль. Тоді існує такі гауссові числа <math>x, y</math>, що виконується співвідношення:
: НСД<math>(u, v) = xu + yv</math>
{{/рамка}}
:: Іншими словами, найбільший спільний дільник двох гауссових чисел можна завжди уявити як [[Лінійна комбінація|лінійну комбінацію]] цих чисел з гауссовими коефіцієнтами.
* Слідство співвідношення Безу: якщо гауссові числа <math>u, v</math> взаємно прості, то рівняння <math>~xu + yv = 1</math> відносно <math>x, y</math> має рішення в <math>\mathbb{Z}[i].</math> Замість 1 в наведеному рівнянні може стояти будь-який інший дільник одиниці, теорема при цьому залишиться вірною.

=== Алгоритм Евкліда і практичне обчислення НСД ===
Для визначення НСД в <math>\mathbb{Z}[i]</math> зручно використовувати [[алгоритм Евкліда]], цілком аналогічний вживаному для цілих чисел. НСД виходить в цій схемі як останній ненульовий залишок{{sfn|Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=153—155.}}. Алгоритм Евкліда можна також використовувати для знаходження коефіцієнтів <math>x, y</math> в співвідношенні Безу.

Приклад 1. Знайдемо НСД для <math>32+9i</math> і <math>4+11i.</math>
: Крок 1: <math>32+9i = (4+11i) (2-2i) + 2-5i</math> (розділили з залишком перше число на друге): Крок 2: <math>4+11i = (2-5i) (-2+i) + 3-i</math> (розділили з залишком попередній дільник на залишок попереднього кроку): Крок 3: <math>2-5i = (3-i) (1-i) -i</math> (та сама дія): Крок 4: <math>3-i = (-i) (1+3i)</math> (та сама дія, розподіл виконується без остачі)
Відзначимо, що на кожному кроці норма залишку монотонно зменшується. Останній ненульовий залишок дорівнює <math>-i</math>, це дільник одиниці, тому робимо висновок, що досліджувані числа взаємно прості.

Приклад 2. Знайдемо НСД для <math>11+3i</math> и <math>1+8i.</math>
: Крок 1: <math>11+3i = (1+8i) (1-i) +2-4i</math>
: Крок 2: <math>1+8i = (2-4i) (-1+i) +(-1+2i)</math>
: Крок 3: <math>2-4i = (-1+2i) (-2)</math> (розподіл виконується без остачі)
Останній ненульовий залишок дорівнює <math>-1+2i</math>, це і є шуканий НСД. Послідовно підставляючи замість лівих частин рівностей праві (починаючи з передостанньої рівності, від низу до верху), ми отримаємо співвідношення Безу для НСД:
: <math>-1+2i = (11+3i)(1-i) + (1+8i)(1+2i)</math>

== Деякі додатки ==
Гаус використовував відкриту їм алгебраїчну структуру для глибокого дослідження біквадратних залишків. Можна вказати і інші області успішного застосування гауссових чисел{{sfn|Conrad, Keith|loc=Глава 8.|name=CON8}}. Примітно, що значна їх частина відноситься до теорії не комплексних, а натуральних чисел.

=== Розкладання натуральних чисел на суму двох квадратів ===
З критерію Гауса випливає, що просте натуральне число вигляду <math>4n+1</math> можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел, причому єдиним способом. Приклад: <math>~29=(2+5i)(2-5i)=2^2+5^2.</math>

Розкладання натуральних чисел іншого виду не завжди можливо&nbsp;— наприклад, <math>15; 19; 27; 103</math> і інші числа виду <math>4n+3</math> можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел. Складові числа можуть також мати більше одного варіанту розкладу, наприклад: <math>~65=4^2+7^2=1^2+8^2.</math> Загальна теорема: натуральне число можна подати у вигляді суми двох квадратів тоді і тільки тоді, коли в його [[Основна теорема арифметики|канонічному розкладанні]] всі прості множники виду <math>4n+3</math> входять в парних степенях.

Приклад: <math>21=3\cdot 7</math> можна представити у вигляді суми квадратів, тому що число 3 (як і 7) входить в нього з непарним степенем. Але <math>245=5\cdot 7^2</math> уявити можна: <math>245=7^2+14^2.</math>

=== Підрахунок числа представленого у вигляді суми двох квадратів ===
Число представлень <math>\rho(m)</math> натурального числа <math>m </math> у вигляді суми квадратів (але, що те ж саме, число гауссових чисел з нормою <math>m </math>) можна визначити наступним чином{{sfn|Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=164—166.}}. Розкладемо <math>m </math> на прості натуральні множники:
: <math>m=2^\lambda p_1^{\lambda_1} p_2^{\lambda_2} \dots  p_r^{\lambda_r} q_1^{\mu_1} q_2^{\mu_2}\dots  q_s^{\mu_s}</math>
Тут <math>p_i</math>&nbsp;— множники виду <math>4n+1,</math> а <math>q_j</math>&nbsp;— множники виду <math>4n+3.</math> Тоді можливі 3 випадки .
# Якщо хоча б один показник степеня <math>\mu_j</math> непарний, число <math>m </math> не може бути представлено у вигляді суми квадратів.
# Нехай всі <math>\mu_j</math> парні. Остаточна формула залежить від парності <math>\lambda_i.</math> Якщо всі вони теж парні, то формула має вигляд:
: <math>\rho(m)=\frac{1}{2} [(\lambda_1+1)  (\lambda_2+1) \cdots  (\lambda_r+1) + 1 ]</math>
# Якщо не всі <math>\lambda_i</math> парні, то формула трохи відрізняється:
: <math>\rho(m)=\frac{1}{2} (\lambda_1+1)  (\lambda_2+1) \cdots  (\lambda_r+1)</math>

=== Теорія піфагорових трійок ===
[[Числа Піфагора|Піфагорова трійка]]&nbsp;— це одне з цілочисельних рішень рівняння:
: <math>x^2+y^2=z^2</math>
Загальне рішення рівняння залежить від двох цілих параметрів <math>m,n</math>:
: <math>x=m^2-n^2; \; y=2mn; \; z=m^2+n^2</math>
Для генерації піфагорових трійок можна використовувати такий прийом. Нехай <math>z=a+bi</math>&nbsp;— довільне гауссове число, у якого обидва компонента <math>a,b</math> ненульові. Звівши це число в квадрат, одержимо деяке інше гауссове число <math>~c+di.</math> Тоді трійка <math>~\{|c|; |d|; N(z)\}</math> буде піфагоровою.

Приклад: для вихідного числа <math>~z=17+12i</math> отримаємо пифагорову трійку: <math>~(145; 408; 433).</math>

=== Розв’язування діофантових рівнянь ===
Розв’язання багатьох [[Діофантові рівняння|діофантових рівнянь]] вдається знайти, якщо залучити апарат гауссових чисел. Наприклад, для рівняння<math>~x^2+y^2=2z^2</math> нескладні перетворення дають два типи цілих взаємно простих рішень{{sfn|Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К.|1939|с=162—163.}}, залежать від цілих параметрів<math>a,b</math>:
# <math>x=a^2-2ab-b^2; \; y=a^2+2ab-b^2</math>
# <math>x=-a^2-2ab+b^2; \; y=a^2-2ab-b^2</math>
У 1850 році Віктор Лебег, використовуючи гауссові числа, досліджував рівняння <math>~x^2+1=y^n</math> і довів його нерозв'язність в натуральних числах. Іншими словами, серед натуральних чисел виду <math>~n^2+1</math> немає жодного повного куба чи іншого степеня вище другого.

== Невирішені проблеми ==
* Знайти кількість гауссових чисел, норма яких менше заданої натуральної константи<math>R</math>. В еквівалентному формулюванні ця тема відома як «проблема кола Гауса» у [[Геометрія чисел|геометрії чисел]]<ref>{{книга-ру|автор=Conway J. H., Sloane N. J. A.|заглавие=Sphere Packings, Lattices and Groups|издательство=Springer-Verlag|pages=106}}</ref>.
* Знайти прямі на комплексній площині, що містять нескінченно багато простих гауссових чисел. Дві такі прямі очевидні&nbsp;— це координатні осі; невідомо, чи існують інші<ref>{{книга-ру|автор=Ribenboim, Paulo.|заглавие=The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV|издание=3rd ed.|место=New York|издательство=Springer|год=1996|isbn=0-387-94457-5}}.</ref>.
* Питання, відомий під назвою «{{iw|Gaussian moat|рів Гауса|en|Gaussian moat}}»: чи можна дійти до нескінченності, переходячи від одного простого гауссового числа до іншого стрибками заздалегідь обмеженої довжини? Завдання поставлене в 1962 році і до цих пір не вирішена<ref>{{книга-ру|автор=Guy Richard K.|заглавие=Unsolved problems in number theory|издание=3rd ed.|место=New York|издательство=Springer|год=2004|isbn=978-0-387-20860-2|pages=55—57.}}</ref>.

== Варіації і узагальнення ==
Ще одним історично важливим евклідовим кільцем, за схожими властивостями на цілі, числа Стали «[[Ціле число Ейзенштейна|цілі числа Ейзенштейна]]».

Гауссові раціональні числа, що позначаються <math>\mathbb Q(i)</math>&nbsp;— це комплексні числа виду <math>a+bi</math>, де <math>a, b</math>&nbsp;— [[раціональні числа]]. Ця множина замкнута щодо всіх 4 арифметичних операцій, включаючи ділення, і тому є [[Поле (алгебра)|полем]], розширюють кільце гауссових чисел.

== Історія ==
У 1820-х годах [[Карл Фрідріх Гаус]] досліджував біквадратичний закон взаємності, результатом стала монографія «Теорія біквадратичних залишків» (1828—1832). Саме в цій праці цілі комплексні числа довели свою корисність для вирішення завдань [[Теорія чисел|теорії чисел]], хоча формулювання цих завдань ніяк не пов'язана з комплексними числами. Гаус писав, що «природне джерело загальної теорії слід шукати в розширенні області арифметики».

У книзі Гауса було показано, що нові числа за своїми властивостями багато в чому нагадують звичайні цілі числа. Автор описав чотири [[Оборотний елемент|дільник одиниці]], визначив ставлення асоційованості, поняття простого числа, дало критерій простоти і довів аналоги [[Основна теорема арифметики|основної теореми арифметики]], [[Мала теорема Ферма|малої теореми Ферма]]. Далі Гаус докладно розглянув лишки по комплексному модулю, [[Первісний корінь|індекси і первісні корені]]. Головним досягненням побудованої теорії став біквадратичний закон взаємності, який Гаус обіцяв довести в наступному томі; цей том так і не був опублікований, але в рукописах Гауса була виявлена детальна схема строгого доказу.

Гаус використовував запроваджені ним числа також і в інших своїх працях, наприклад, по алгебраїчним рівнянням{{sfn|Hardy G. H., Wright E. M.|1968|с=189.}}. Ідеї Гауса були розвинені в працях [[Карл Густав Якоб Якобі|Карла Густава Якоба Якобі]] та [[Ґотхольд Ейзенштейн|Фердинанда Готтхольда Ейзенштейна]]. У середині XIX століття Ейзенштейн, [[Йоганн Петер Густав Лежен-Діріхле|Діріхле]] и [[Шарль Ерміт|Ерміт]] ввели і досліджували узагальнене поняття [[Ціле алгебраїчне число|цілого алгебраїчного числа]].

Кільце гауссових цілих чисел було одним з перших прикладів алгебраїчної структури з незвичними властивостями. Згодом було відкрито велику кількість структур такого типу, а в кінці XIX століття з'явилася [[абстрактна алгебра]], вивчає алгебраїчні властивості окремо від об'єктів-носіїв цих властивостей.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==
* [[Ціле число Ейзенштейна]]
* [[Розклади ґаусових чисел на прості множники (таблиця)]]
* [[Таблиця дільників для ґаусових чисел]]

== Посилання ==
* [http://www.imath.kiev.ua/~drozd/numth.pdf Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150117035939/http://www.imath.kiev.ua/~drozd/numth.pdf |date=17 січня 2015 }}

[[Категорія:Алгебричні числа]]
[[Категорія:Точки ґратки]]
[[Категорія:Квадратичні ірраціональні числа]]
[[Категорія:Комплексні числа]]