Перегляд вихідного коду сторінки Гаусдорфів простір

{{Аксіоми відокремлюваності}}
У [[Топологія|топології]] і суміжних галузях [[Математика|математики]] ''гаусдорфів простір'', ''відокремлений простір'' або <math>T_2</math>''-простір''&nbsp;— це [[топологічний простір]], в якому для будь-яких двох різних точок існують [[Окіл|околи]], що [[Неперетинні множини|не перетинаються]]. Серед багатьох [[Аксіоми відокремлюваності|аксіом відокремлюваності]], що можуть бути накладені на топологічний простір, «аксіома Гаусдорфа» (<math>T_2</math>) використовується найчастіше і є найбільш обговорюваною. Вона зумовлює однозначність [[Границя послідовності|границь послідовностей]], [[Узагальнена послідовність|множин]] та [[Фільтр (порядок)|фільтрів]].<ref>{{Cite web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms |title=Separation axioms Tietze, Naik |accessdate=10 квітня 2020 |archive-date=30 вересня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200930160358/https://www.ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms }}</ref>

'''Гаусдорфів простір''' був названий на честь [[Фелікс Гаусдорф|Фелікса Гаусдорфа]], одного з основоположників топології. Оригінальне означення Гаусдорфа топологічного простору (у 1914 році) включало умову Гаусдорфа як [[Аксіома|аксіому]]. Іноді для позначення структури гаусдорфового топологічного простору на множині застосовується термін ''гаусдорфова топологія''.

== Означення ==
[[Файл:Hausdorff space.svg|міні|Точки <math>x</math> та <math>y</math>, розділені їх відповідними околами <math>U</math> і <math>V</math>.]]
У топологічному просторі <math>X</math> точки <math>x</math> і <math>y</math> можуть бути {{нп|розділені множини|розділені околами||Separated sets}}, якщо [[Квантор існування|існує]] такий окіл <math>U</math> для <math>x</math> і такий окіл <math>V</math> для <math>y</math>, що <math>U</math> і <math>V</math> [[Неперетинні множини|неперетинні]]

(<math>U \cap V = \varnothing</math>). <math>X</math> вважається ''гаусдорфовим простором, якщо для двох довільних точок <math>x</math> та <math>y</math> існують околи'' <math>U(x)</math> та <math>V(y)</math>, що не перетинаються. Ця умова є третьою [[Аксіоми відокремлюваності|аксіомою відокремлюваності]] (після <math>T_0</math>, <math>T_1</math>), саме тому гаусдорфів простір також називають <math>T_2</math> простором або ''відокремленим простором''.

Пов'язане, але більш слабке поняття,&nbsp;— це поняття ''пререгулярного простору''. <math>X</math> є пререгулярним простором, якщо будь-які дві точки, що мають {{нп|Топологічна невирізненність|різні околи||Topological indistinguishability}}, можуть бути розділені відокремлюванням їхніх околів. Пререгулярні простори також називають <math>R_1</math> просторами.

Зв'язок між цими двома поняттями наступний. Топологічний простір є гасудорфовим [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли він є одночасно і пререгулярним простором (тобто, точки з різними околами відокремлені своїми околами) і [[Простір T0|<math>T_0</math>простором]] (тобто, точки з неперервними околами мають різні околи). Топологічний простір є пререгулярним тоді і тільки тоді, коли його [[Простір T0|фактор-простір Колмогорова]] є гаусдорфовим.

== Еквівалентності ==
Для топологічного простору Х наступні твердження еквівалентні.<ref>{{Cite web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms#EquivalentIncarnationsOfTheAxioms |title=separation axioms in nLab |accessdate=10 квітня 2020 |archive-date=30 вересня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200930160358/https://www.ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms#EquivalentIncarnationsOfTheAxioms }}</ref>

* <math>X</math> є гаусдорфовим простором.
* Границі [[Узагальнена послідовність|направленостей]] на <math>X</math> визначаються однозначно.<ref>Willard, pp. 86-87</ref>
* Границі [[Фільтр (порядок)|фільтрів]] на <math>X</math> визначаються однозначно.<ref>Willard, pp. 86–87</ref>
* Будь-який [[Синґлетон (математика)|синґлетон]] <math>\{x\} \subset X</math> рівний перетину всіх [[Окіл|замкнених околів]] <math>x</math>.<ref>Bourbaki, p. 75</ref>(Замкненим околом <math>x</math> вважається замкнена множина, яка містить відкриту множину, яка у свою чергу містить <math>x</math>).
* Множина <math>\Delta = \{(x,x)\ |\ x \in X\}</math> замкнена як підмножина добутку топологічних просторів <math>X \times X</math>.

Є гаусдорфовими:
* всі [[Метричний простір|метричні простори]] і [[Метризовний простір|метризовні]] простори, зокрема:
** [[евклідів простір|евклідові простори]] на <math>\mathbb{R}^n</math>;
** [[многовид]]и;
** більшість нескінченомірних функціональних просторів, що вивчає аналіз, таких як <math>L^p</math> або <math>W^{1,\;p}</math>, <math>p\ge 1</math>.
* [[топологічні групи]] (за визначенням).

Не є гаусдорфовими, наприклад:
* [[топологія Зариського]] на алгебраїчному многовиді;
* у загальному випадку, [[спектр кільця]].
Простий (і важливий) приклад негаусдорфового простору&nbsp;— [[зв'язна двоточка]], а в загальнішому випадку&nbsp;— [[алгебра Гейтінга]].

== Приклади і контрприклади ==
Майже всі простори, що розглядаються у [[Математичний аналіз|математичному аналізі]] є гаусдорфовими. Більше того, простір [[Дійсне число|дійсних чисел]] (заданий як [[метричний простір]] над полем дійсних чисел) є гаусдорфовим простором. Говорячи більш загально, всі [[Метричний простір|метричні простори]] є гаусдорфовими. Зокрема, більшість просторів, що використовуються в математичному аналізі, такі як [[Топологічна група|топологічні групи]] і {{нп|топологічні многовиди|||Topological manifold}}, явно включають умову Гаусдорфа у своєму означенні.

Простий приклад топології, яка є [[Простір T1|простором <math>T_1</math>]] і водночас не є гаусдорфовим простором&nbsp;— це {{нп|співскінченність|скінченна топологія||Cofiniteness}}, що визначена на [[Нескінченна множина|нескінченній множині]].

[[Псевдометричний простір|Псевдометричні простори]] зазвичай не є гаусдорфовими, але вони пререгулярні і у більшості випадків їх використовують при побудові гаусдорфових [[Рівномірний простір|каліброваних просторів]]. Зазвичай, коли спеціалісти натикаються на негаусдорфів простір, скоріше за все він буде хоча б пререгулярним, що дає змогу замінити його на фактор-простір Колмогорова цього простору, який у свою чергу є гаусдорфовим.<ref>Див., наприклад, [[простір Lp]], {{нп|компактний простір Банаха — Мазура|||Banach–Mazur compactum}} тощо.</ref>

З іншого боку, непререгулярні простори найчастіше розглядаються у [[Абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]] і [[Алгебрична геометрія|алгебраїчній геометрії]], зокрема як [[Топологія Зариського|топології Зариського]] на [[Алгебричний многовид|алгебраїчному многовиді]] або на [[Спектр кільця|спектрі кільця]]. Вони також виникають у [[Теорія моделей|теорії моделей]] [[Інтуїціоністська логіка|інтуїціоністської логіки]]: будь-яка [[повна ґратка|повна]] [[алгебра Гейтінга]] є алгеброю [[Відкрита множина|відкритих множин]] якогось топологічного простору, але цей простір необов'язково має бути пререгулярним, тим більше гаусдорфовим. Схожа ідея {{нп|теорія областей Скотта|теорії областей Скотта||Scott domain}} також складається з непререгулярних просторів.

Не дивлячись на те, що існування однозначних границь для збіжних послідовностей і фільтрів передбачає гаусдорфовість простору, існують негаусдорфові <math>T_1</math> простори, в яких для кожної збіжної послідовності (направленності) існує однозначна границя.<ref>7van Douwen, Eric K. (1993). "An anti-Hausdorff Frechet space in which convergent sequences have unique limits.{{нп|Topology and Its Applications}}. 51 (2): 147-158. [[Цифровий ідентифікатор об'єкта|doi]]: [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166864193901476?via3Dihub 10.1016/0166-8641(93)90147-6]</ref>

== Властивості ==
[[Індукована топологія|Підмножини]] і [[Топологія добутку|добутки]] гаусдорфових просторів є гаусдорфовими просторами,<ref>[https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7202 Hausdorff property is hereditary] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190515112323/https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=7202 |date=15 травня 2019 }} [[PlanetMath]]</ref> але [[Фактор-простір|фактор-простори]] гаусдорфових просторів можуть такими і не бути. Зокрема, ''будь-який'' топологічний простір може бути представлений у вигляді фактор-простору якого-небудь гаусдорфового простору.<ref>Shimrat, M. (1956). «Decomposition spaces and separation properties». Quart. J. Math. 2: 128—129</ref>

Гаусдорфові простори є [[Простір T1|T<sub>1</sub>]] просторами. Це означає, що всі [[Синґлетон (математика)|синґлетони]] є замкненими. Щодо пререгулярних просторів, то вони всі є [[Простір T1|R<sub>0</sub>]] просторами.

Інша цікава властивість гаусдорфових просторів полягає у тому, що всі [[Компактний простір|компактні простори]] у ньому завжди є замкненими.<ref>[https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=4203 Proof of A compact set in a Hausdorff space is closed] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190515160106/https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=4203 |date=15 травня 2019 }} [[PlanetMath]]</ref> На відміну від, наприклад, негаусдорфових [[Простір Серпінського|просторів Серпінського]], в яких такої властивості немає.

В означенні гаусдорфового простору зазначено те, що точки можуть бути розділені їхніми околами. Як виявляється, це породжує більш вагомий факт: у гаусдорфовому просторі будь-яка пара неперетинних компактних множин також може бути розділена своїми околами.<ref>Willard, p. 124</ref> Іншими словами, існує такий окіл у першої множини і такий окіл у другої множини, що їхні околи неперетинні. Це є прикладом загального правила, що компактні множини у багатьох випадках поводять себе подібно точкам.

Умови повноти разом з пререгулярністю зазвичай передбачають більш сильні аксіоми видокремлюваності. Наприклад, будь-який [[Локально компактний простір|локально компактний]] пререгулярний простір є [[Простір Тихонова|простором Тихонова]]. [[Компактний простір|Компактні]] пререгулярні простори є [[Нормальний простір|нормальними]] просторами, що означає, що вони задовільняють [[Лема Урисона|лемі Урисона]] і [[Теорема Тітце про продовження|теоремі Тітце]], а також мають [[Розбиття одиниці|структуру розбиття одиниці]], що підкоряється локально скінченним [[Відкрите покриття|відкритим покриттям]]. Для гаусдорфових просторів мають місце такі аналоги цих тверджень: кожний локально компактний гаусдорфів простір є [[Простір Тихонова|простором Тихонова]] і кожний компактний гаусдорфів простір є нормальним.

Нижче описані деякі технічні властивості гаусдорфових просторів щодо відображень ([[Неперервна функція|неперервних]] та інших) на гаусдорфових просторах.

Нехай <math>f \ \colon X \rightarrow Y</math>&nbsp;— неперервна функція і нехай <math>Y</math> є гаусдорфовим простором, тоді [[графік функції]] <math>f, \ \{(x,f(x))\mid x \in X\}</math> є замкненою підмножиною простору <math>X \times Y</math>.

Нехай задана функція <math>f \ \colon X \rightarrow Y</math>, <math>\operatorname{ker}(f) \triangleq \{(x,x') \mid f(x) = f(x')\}</math>, де <math>\operatorname{ker}(f)</math>&nbsp;— її {{нп|ядро (теорія множин)|ядро||Kernel (set theory)}}, яке вважається підпростором в <math>X \times X</math>.

* Якщо <math>f</math>&nbsp;— неперервна, а <math>Y</math> є гаусдорфовим простором, тоді <math>\operatorname{ker}(f)</math> є замкненою множиною.
* Якщо <math>f</math> є [[Сюр'єкція|відкритою сюр'єкцією]], а <math>\operatorname{ker}(f)</math> є замкненою множиною, то <math>Y</math> є гаусдорфовим простором.
* Якщо <math>f</math> є неперервною функцією і водночас відкритою сюр'єкцією (тобто, відкритим фактор-відображенням), то <math>Y</math> є гаусдорфовим простором [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли <math>\operatorname{ker}(f)</math> є замкненою множиною.

Якщо <math>f,g \ \colon X \rightarrow Y </math>&nbsp;— неперервні відображення, а <math>Y</math> є гаусдорфовим, тоді {{нп|вирівнювач (математика)|вирівнювач||Equaliser (mathematics)}} <math>\operatorname{eq}(f,g) = \{x \mid f(x) = g(x)\} </math> є замкненою множиною в <math>X</math>. Таким чином, якщо <math>Y</math> є гаусдорфовим, а <math>f</math> та <math>g</math> узгоджені на [[Щільна множина|щільній]] підмножині множини <math>X</math>, то <math>f = g</math>. Іншими словами, неперервні відображення у гаусдорфові простори визначаються їхніми значеннями на щільних підмножинах.

Нехай <math>f \ \colon X \rightarrow Y</math> є [[замкнена мапа|замкненою]] сюр'єкцією, такою, що <math>f^{-1}(y)</math> є [[Компактний простір|компактним простором]] для всіх <math>y \in Y</math>. Тоді, якщо <math>X</math> є гаусдорфовим простором, то <math>Y</math> також є гаусдорфовим.

Нехай <math>f \ \colon X \rightarrow Y</math> є [[Фактор-простір|фактор-відображенням]], де <math>X</math> є компактним гаусдорфовим простором. Тоді мають місце наступні твердження:

* <math>Y</math> є гаусдорфовим;
* <math>f</math> є [[замкнена мапа|замкненим відображенням]];
* <math>\operatorname{ker}(f)</math> є замкненою множиною.

== Відмінність регулярності від пререгулярності ==
Всі [[Регулярний простір|регулярні простори]] є пререгулярними, так само, як і всі гаусдорфові простори. Існує багато результатів щодо топологічних просторів, що справедливі як для регулярних, так і для гаусдорфових просторів. Зазвичай ці ж результати також справедливі і для пререгулярних просторів; вони наводяться для регулярних і гаусдорфових просторів, оскільки ідея пререгулярних просторів виникла пізніше. З іншого ж боку, результати, що справедливі щодо регулярности, взагалі кажучи, не застосовуються для нерегулярних гаусдфорових просторів.

Існує багато прикладів, коли яка-небудь інша умова топологічних просторів (така як [[Паракомпактний простір|паракомпактність]] або [[Локально компактний простір|локальна компактність]]) приводитиме до регулярності, якщо простір є пререгулярним. Такі умови часто виникають у двох версіях: регулярна версія і гаусдорфова версія. Не дивлячись на те, що гаусдорфові простори у загальному випадку не є регулярними, вони можуть бути регулярними за умови, наприклад, локальної компактності, так як будь-який гаусдорфів простір є пререгулярним. Отже, з певної точки зору, у таких випадках пререгулярність грає більш важливу роль, аніж регулярність. Все ж означення зазвичай формуються у термінах регулярності, оскільки ця умова більш відома, ніж пререгулярність.

Більше інформації можна знайти на сторінці {{нп|історія аксіом відокремлюваності|історії аксіом відокремлюваності||History of the separation axioms}}.

== Різновиди ==
Терміни «гаусдорфовий», «розділений» і «пререгулярний» також застосовуються у таких варіантах топологічних просторів як [[рівномірний простір]], {{нп|простір Коші|||Cauchy space}} і [[простір збіжності]]. Характеристика, що об'єднує головну ідею у всіх цих прикладах просторів це те, що границя множин і фільтрів (якщо вони існують) є однозначною (для відокремлених просторів) або однозначною з точністю до топологічної нерозрізненості (для пререгулярних просторів).

Виявляється, що рівномірні простори, і більш загальні простори Коші, завжди пререгулярні, тому аксіома Гаусдорфа у цих випадках редукується до аксіоми <math>T_0</math>. Також у цих просторах поняття [[Повний метричний простір|повноти]] має сенс і, як правило, супроводжується гаусдорфівістю. А саме, простір вважається повним тоді і тільки тоді, коли кожна множина Коші має ''щонайменше'' одну границю, а гаусдорфовим простір вважається тоді і тільки тоді, коли кожна множина Коші має ''щонайбільше'' одну границю (оскільки лише множини Коші можуть мати границі).

== Алгебра функцій ==
Алгеброю неперервних (дійсних або комплексних) функцій на компактному гаусдорфовому просторі називається комутативна [[C*-алгебра]] і навпаки, за допомогою {{нп|теорема Банаха — Стоуна|теореми Банаха — Стоуна||Banach–Stone theorem}} можливо відтворити топологію простору з алгебраїчних властивостей її алгебри неперервних функцій. Це приводить нас до {{нп|некомутативна геометрія|некомутативної геометрії||Noncommutative geometry}}, де можна розглянути некомутативні C*-алгебри як представлення алгебр функцій на некомутативному просторі.

== Науковий гумор ==
* Аксіома Гаусдорфа також може бути ілюстрована за допомогою англійської гри слів, а саме, що будь-які дві точки можуть бути «housed off» одна від іншої [[Відкрита множина|відкритими множинами]], що звучить як «Hausdorff».<ref>Colin Adams and Robert Franzosa. Introduction to Topology: Pure and Applied. p. 42</ref>
* У [[Боннський університет|Боннському університеті математики]], в якому викладав і займався дослідженнями [[Фелікс Гаусдорф]], існує кімната із назвою Hausdorff-Raum. Це гра слів, оскільки з німецької Raum має відразу два значення&nbsp;— «кімната» і «простір».

== Див. також ==
* {{iw|Квазі-топологічний простір||en|Quasitopological space}}
* [[Слабкий гаусдорфів простір]]
* {{iw|Простір з нерухомою точкою||en|Fixed-point space}}, гаусдорфів простір <math>X</math>, у якому будь-яка неперервна функція <math>f \ \colon X \rightarrow Y</math> має [[Нерухома точка|нерухому точку]].
* [[Простір неперервних функцій]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Бурбакі.Загальна топологія.г1-2}}
* {{Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию}}

{{Топологія}}

[[Категорія:Аксіоми відокремлюваності]]