Перегляд вихідного коду сторінки Гамма-функція

{{Otheruses|Гамма (значення)}}
[[Файл:Gamma plot.svg|thumb|Гамма-функція на дійсній частині області значень]]
[[Файл:Gamma abs2.png|thumb|right|250px|[[Гамма-функція]] мероморфна на всій комплексній площині]]
'''Гамма-функція''' (позначають великою літерою [[Грецька абетка|грецького алфавіту]]&nbsp;— [[Гамма]], {{math|'''Γ'''}})&nbsp;— один зі способів узагальнити [[Функція (математика)|функції]] [[факторіал]]а до [[дійсні числа|дійсних]] і [[Комплексне число|комплексних]] чисел, із зсувом її [[Аргумент функції|аргумента]] на 1. [[Даніель Бернуллі]] вивів цю функцію для {{math|''n''}}, що є [[Знак (математика)|додатнім]] цілим числом,

: <math>\Gamma(n) = (n-1)!</math>

Хоча існують і інші подібні розширення, ця конкретна виознака найбільш популярна й уживана. Гамма-функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім від'ємних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гамма-функцію виозначують через збіжний [[невласний інтеграл|невластивий інтеграл]]:

: <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx = \int\limits_0^1{\left(\ln\frac{1}{x}\right)^{z-1}\,dx}</math>

Цю інтегральну функцію за допомогою [[Аналітичне продовження|аналітичного продовження]] можна розширити для всіх комплексних чисел, крім не додатних цілих (де функція має прості полюси), в результаті чого отримують [[Мероморфна функція|мероморфну функцію]] яку називають гамма-функцією. Вона не має нулів, тож взаємна гамма функція {{math|1/Γ(''z'')}} ― [[голоморфна функція]]. Гамма-функція відповідає [[Перетворення Мелліна|перетворенню Мелліна]] для від'ємної [[Показникова функція|показникової функції]]:

: <math> \Gamma(z) = \{ \mathcal M e^{-x} \} (z)</math>

Гамма-функція ― складова частина різних функцій розподілу імовірностей, тож нею користуються в таких областях як [[Імовірність|теорія імовірностей]] і [[статистика]], а також у [[Комбінаторика|комбінаториці]].

== Мотивування ==
[[Файл:Factorial Interpolation.svg|thumb|250px|Гамма-функція інтерполює функцію факторіала для не цілих значень.]]

Гамма функцію можна розглядати як розв'язок такої задачі [[Інтерполяція|інтерполяції]]:
: «Необхідно знайти [[Гладка функція|гладку функцію]] яка сполучає точки&nbsp;{{math|(''x'', ''y'')}} задані відношенням {{math|''y'' {{=}} (''x'' − 1)!}} при додатних цілих значеннях змінної&nbsp;{{math|''x''}}.»

Графік перших декількох точок факторіалів дозволяє припустити, що така крива можлива, але було б бажано знайти формулу, яка точно описує цю криву, в якій кількість операцій не залежить від розміру&nbsp;{{math|''x''}}. Просту формулу для факторіалу, {{math|''x''! {{=}} 1 × 2 × … × ''x''}}, не можна застосувати напряму для не цілих значень {{math|''x''}}, адже вона дійсна лише коли {{math|''x''}} ― [[Натуральні числа|натуральне число]] (тобто, додатнє ціле). Просто кажучи, не існує простого розв'язку для факторіалів; ніякі нескінченні поєднання додавання, множення, піднесення до степеня, [[Показникова функція|показникових функцій]] або [[логарифм]]ів, які б були здатні виразити функцію &nbsp;{{math|''x''!}}; але можна знайти загальну формулу для факторіалів за допомогою таких засобів як [[інтеграл]]и і [[Границя функції в точці|границі]] із [[Диференціальне та інтегральне числення|диференціального та інтегрального числення]]. Хороший розв'язок цієї задачі ― гамма функція.<ref name="Davis">{{cite journal |last=Davis |first=P. J. |date=1959 |title=Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=66 |issue=10 |pp=849–869 |url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104 |access-date=3 грудня 2016 |doi=10.2307/2309786 |archive-date=7 листопада 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121107190256/http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104 }}</ref>

Існує багато способів поширити факторіал до не цілих значень: через множину окремих точок можна провести нескінченну кількість різних кривих. Гамма-функція ― одним із найкорисніших розв'язків цієї задачі на практиці, бо вона [[Аналітична функція|аналітична]] (крім області значень не додатних цілих).<ref name="Davis" /> Ще одна важлива особливість цієї функції ― це те, що вона задовольняє [[рекурентне співвідношення]], яке визначає аналогічну властивість функції факторіалу,

: <math>f(1) = 1, </math>
: <math>f(x+1) = x f(x),</math>

для {{math|''x''}}, що дорівнює будь-якому додатному дійсному числу. Це дозволяє множити її із будь-якою періодичною аналітичною функцією, яка матиме значення одиниці для додатних цілих, наприклад така функція як {{math|''e''<sup>''k'' sin ''m{{pi}}x''</sup>}}.

== Виознака ==

=== Основна виознака ===
Запис {{math|Γ(''z'')}} ввів [[Адрієн-Марі Лежандр]].<ref name="Davis" /> Якщо дійсна частина комплексного числа&nbsp;{{math|''z''}} додатня ({{math|Re(''z'') > 0}}), тоді [[інтеграл]]

: <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx</math>

є [[Абсолютна збіжність|абсолютно збіжним]], і відомий як '''інтеграл Ойлера другого роду''' (інтеграл Ойлера першого роду виозначує [[Бета-функція|бета-функцію]]).<ref name="Davis" /> Застосувавши [[інтегрування частинами]], можна побачити, що:

: <math>\begin{align}
   \Gamma(z+1) & = \int_0^\infty x^{z} e^{-x} \, dx \\[4pt]
   & = \Big[-x^z e^{-x}\Big]_0^\infty + \int_0^\infty z x^{z-1} e^{-x}\, dx \\[4pt]
   & = \lim_{x\to \infty}(-x^z e^{-x}) - (0 e^{-0}) + z\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx
 \end{align}</math>
З'ясувавши, що <math>-x^z e^{-x}\to 0</math>, коли <math>x\to \infty,</math>
: <math>\begin{align}
   \Gamma(z+1) & = z\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx \\[6pt]
   & = z\Gamma(z)
 \end{align}</math>

Можемо розрахувати <math>\Gamma(1)\text{:}</math>
: <math>\begin{align}
   \Gamma(1) & = \int_0^\infty x^{1-1} e^{-x}\,dx \\[6pt]
   & = \Big[-e^{-x}\Big]_0^\infty \\[6pt]
   & = \lim_{x\to \infty}(-e^{-x}) - (-e^{-0}) \\[6pt]
   & = 0 - (-1) \\[6pt]
   & = 1
 \end{align}</math>

Маємо що <math>\Gamma(1) = 1</math> і <math>\Gamma(n+1) = n\Gamma(n),</math>
: <math>\Gamma(n) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) = (n-1)!</math>
для всіх додатних цілих чисел {{mvar|n}}. Це ― приклад доведення методом [[Математична індукція|математичної індукції]].

=== Інші виознаки ===
Функція <math>\Gamma(z)</math> ― неперервне продовження [[факторіал]]у <math>n!=1,2,...,n,</math> визначеного лише для значень <math>n=1,2,...,</math> на усю площину <math>\mathbb{C}</math> комплексної змінної <math>z=(x,y)=x+iy.</math> Функцію Ойлера <math>\Gamma(z)</math> можна виозначити однією з наведених нижче формул:

<math>\Gamma(z)=\int^{\infty}_{0}e^{-t}t^{z-1}dt,\quad \mathrm{Re}\,z=x>0,</math>

<math>\Gamma(z)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{(-1)^{k}}{k!}\frac{1}{z+k}+\int^{\infty}_{1}e^{-t}t^{z-1}dt,\quad\quad\forall z\neq 0,-1,...</math>

<math>\frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{z(z+1)\cdot\cdot\cdot(z+k-1)}{k!k^{z-1}}.</math>

Вона задовільняє наступним співвідношенням:

<math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z),</math>

<math>\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z},</math>

<math>2^{2z-1}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\Gamma(2z).</math>

Позаяк <math>\Gamma(n+1)=n!,</math> то <math>\Gamma(z+1)</math> позначають як <math>z!</math> Відповідно до виознаки факторіалу, <math>z!=\Gamma(z+1),\,0!=1.</math>

[[Біноміальний коефіцієнт]] <math>C^{n}_{z}</math> виражають через гамма-функцію як

<math>C^{n}_{z}=\frac{\Gamma(n+1)}{n!\Gamma(z-n+1)}=\frac{z!}{n!(z-n)!}=\frac{(-1)^{n}\Gamma(n-z)}{n!\Gamma(-z)}.</math>

Можна також подати інтеграл через гамма-функцію

<math>B(z,\vartheta)=\int^{1}_{0}t^{z-1}(1-t)^{\vartheta-1}dt,\quad\quad\mathrm{Re}\,\vartheta>0,</math>

який має назву [[Бета-функція|Бета-функції]]. Таким чином, <math>B(z,\vartheta)=\frac{\Gamma(z)\Gamma(\vartheta)}{\Gamma(z+\vartheta)}.</math>
<ref>{{Cite book|title=А.М.Нахушев - Уравнения математической биологии.|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref><br/>

==== Ойлерова виознака як нескінченного добутку ====
Шукаючи наближення для {{math|''z''!}} для комплексного числа {{math|''z''}}, виявляється, що простіше спочатку порахувати {{math|''n''!}} для деякого великого цілого числа {{math|''n''}}, а потім використати це, щоб наблизити значення для {{math|(''n''+''z'')!}}, після чого використати рекурентну рівність {{math|1={{math|''m''!}} = ''m'' {{math|(''m''−1)!}}}} у зворотньому порядку {{math|''n''}} разів, для того, щоб зрештою наблизити {{math|''z''!}}. Крім того, цей наблиз стає точним для границі, коли {{math|''n''}} прямує до нескінченності.

Зокрема, для деякого цілого числа {{mvar|m}}, буде так, що
: <math>\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n+1)^m}{(n+m)!} = 1\,,</math>
і ми хочемо, щоб та сама рівність справджувалася, якщо довільне ціле {{mvar|m}} замінити на довільне комплексне число {{mvar|z}}
: <math>\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n+1)^z}{(n+z)!} = 1\,.</math>
Помноживши обидві частини на {{math|''z''!}}, отримаємо
: <math>\begin{align}
   z! &= \lim_{n \to \infty} n!\frac{z!}{(n+z)!} (n+1)^z \\[8pt]
      &= \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdots n}{(1+z) \cdots (n+z)} (n+1)^z \\[8pt]
      &= \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdots n}{(1+z) \cdots (n+z)} \left[\left(1+\frac11\right)\left(1+\frac12\right)\cdots \left(1+\frac1n\right)\right]^z \\[8pt]
      &= \prod_{n=1}^\infty \left[ \frac{1}{1+\frac{z}{n}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^z \right].
\end{align}</math>
Ця формула із [[Нескінченний добуток|нескінченним добутком]] збіжна для всіх комплексних чисел&nbsp;{{mvar|z}} крім від'ємних цілих, адже за спроби використати рекурентне відношення {{math|1={{math|''m''!}} = ''m'' {{math|(''m''&nbsp;−&nbsp;1)!}}}} в зворотньому порядку до значення {{math|1=''m'' = 0}} призведе до [[ділення на нуль]].

Подібно і гамма-функція, визначена, за [[Леонард Ейлер|Ойлером]], як нескінченний добуток буде справедливою для всіх комплексних чисел <math>z</math> за виключенням недодатних цілих:
: <math>\Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}} \,.</math>
При такій конструкції, гамма-функція ― єдина функція, яка одночасно задовольняє рівнянням <math>\Gamma(1) = 1</math>, <math>\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)</math> для всіх комплексних чисел <math>z</math> крім недодатних цілих, і <math>\lim_{n \to \infty} \frac{\Gamma(n+z)}{(n-1)!\;n^z} = 1</math> для всіх комплексних чисел <math>z</math>.<ref name="Davis"/>

Рівняння <math>\Gamma(z) = \frac {\Gamma(z + 1)} {z}</math> можна використати для однозначного розширення інтегральної формули для {{math|&Gamma;(''z'')}} до [[Мероморфна функція|мероморфної функції]], визначеної для всіх комплексних чисел {{mvar|z}}, крім цілих, що менші або рівні нулю.<ref name="Davis" /> Саме цю розширену версію зазвичай називають гамма-функцією.<ref name="Davis" />

==== Виознака Вейєрштрасса ====
Виознака гамма-функції, яку дав [[Карл Вейєрштрасс|Вейєрштрасс]], також справедлива для всіх комплексних чисел&nbsp;{{math|''z''}}, крім недодатних цілих:
: <math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}} z \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac z n \right)^{-1} e^{z/n}</math>
де <math>\gamma \approx 0.577216</math>&nbsp;— [[Стала Ейлера—Маскероні]].<ref name="Davis" />

== Множина визначення ==

Інтеграл, яким виозначують гамма-функцію ― [[невласний інтеграл|невластивий]], і збігається за <math> \text{Re } z > 0 \!</math>. Однак, скориставшись [[рекурентне співвідношення|рекурентним співвідношенням]]
: <math> \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) \, </math>
її можна продовжити на всю [[Комплексна площина|комплексну площину]], крім точок <math>  z = - n \,</math>, де <math> n = 0, 1, 2 \ldots </math> .

Гамма-функція ― [[Неперервна функція|неперервною функцією]] з простору неперервних функціоналів Чебишова. Вона стійка за Адамаром, її можна виразити за третім законом Лопіталя.

== Часткові значення ==
Особливо важливі часткові значення гама-функції в певних точках
: <math> \Gamma(1) = 0! = 1 \,</math>&nbsp;— за виознакою.
: <math> \Gamma(2) = 1 \, </math>
: <math> \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi} </math>

: <math> \Gamma(3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} </math>

: <math> \Gamma(n) = (n-1)! \!</math>&nbsp;— див. також [[факторіал]].

: <math> \Gamma(n)\,\Gamma(1-n) = \frac{\pi}{\sin{(n\pi)}} </math>

: <math> \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = 1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-3)(2n-1)\frac{\sqrt{\pi}}{2^n} </math>, де <math>n\!</math> [[цілі числа|ціле]] [[додатні числа|додатне]] число

== Властивості ==

=== Загальні ===
Важливим функціональним рівнянням для гамма-функції  Ойлерова {{нп|формула відображення||en|reflection formula}}

: <math>\Gamma(1-z) \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}}, \qquad z \not\in \mathbb Z</math>

з якої випливає:

: <math>\Gamma(\varepsilon - n) = (-1)^{n-1} \; \frac{\Gamma(-\varepsilon) \Gamma(1+\varepsilon)}{\Gamma(n+1-\varepsilon)},</math>

і {{нп|Теорема про множення Лагранжа|Формула подвоєння Лагранжа|en|Multiplication theorem}}

: <math>\Gamma(z) \Gamma\left(z + \tfrac12\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).</math>

{{Collapse top|title=Доведення Єйлерової формули відображення}}

Оскільки <math>e^{-t}=\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n},</math>

гамма-функцію можна представити як

: <math>\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty}\int_0^n t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \, dt.</math>

Проінтегрувавши по частинам <math>n-1</math> разів, отримаємо

: <math>\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{nz}\frac{n-1}{n(z+1)}\frac{n-2}{n(z+2)}\cdots \frac{1}{n(z+n-1)}\int_0^n t^{z+n-1} \, dt,</math>

що дорівнює

: <math>\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n}\prod_{k=0}^n (z+k)^{-1} n^{z+n}.</math>

Це можна переписати наступним чином

: <math>\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty} \frac{n^{z}}{z}\prod_{k=1}^n \frac{k}{z+k}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{z}}{z}\prod_{k=1}^n \frac{1}{1+\frac{z}{k}}.</math>

Потім, використавши функціональне рівняння для гамма-функції, отримаємо

: <math>-z\Gamma (-z)\Gamma (z)=\Gamma (1-z)\Gamma (z)=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{z}\prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{z^{2}}{k^{2}}}.</math>

Використавши розкладання у [[ряд Фур'є]], функцію <math>\cos (ax)</math> можна представити наступним чином

: <math>\cos (ax)=\frac{\sin (\pi a)}{\pi a}+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\pi}\left(\frac{\sin (\pi (n+a))}{n+a}+\frac{\sin (\pi (n-a))}{n-a}\right)\cos (nx),</math>

де <math>a \not \in \mathbb Z</math> і <math>x \in [-\pi ,\pi]</math>.
Використавши [[Список тригонометричних тотожностей|тригонометричні тотожності]], цей вираз можна спростити наступним чином:

: <math>\cos (ax)=\frac{\sin (\pi a)}{\pi a}+\frac{2a\sin (\pi a)}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n} \cos (nx)}{a^{2}-n^{2}}.</math>

Якщо прийняти, що <math>x=\pi</math> і розділити рівняння на <math>\sin (\pi a)</math> отримаємо

: <math>\pi \cot (\pi a)=\frac{1}{a}+2a\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a^{2}-n^{2}}.</math>

Тепер виконаємо заміну <math>a=\frac{m}{\pi}</math>, щоб отримати

: <math>\cot (m)=\frac{1}{m}+2m\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{m^{2}-n^{2}\pi ^{2}}.</math>

Проінтегрувавши обидві сторони по інтервалу від <math>0</math> до <math>z</math> і звівши до степеня, отримаємо

: <math>\frac{\sin (z)}{z}=\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}\right)=\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}\right).</math>

Тоді

: <math>\frac{\pi}{\sin (\pi z)}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{z}\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{1-\frac{z^{2}}{k^{2}}}.</math>

Звідси випливає формула відображення Ейлера:

: <math>\Gamma (1-z)\Gamma (z)=\frac{\pi}{\sin (\pi z)},\qquad z \not \in \mathbb Z.</math>

{{Collapse bottom}}

{{Collapse top|title=Доведення формули множення Лагранжа}}

[[Бета-функція|Бета-функцію]] можна представити наступним чином

: <math>\Beta (z_{1},z_{2})=\frac{\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}=\int_0^1 t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1} \, dt.</math>

Якщо задати <math>z_{1}=z_{2}=z</math> отримаємо

: <math>\frac{\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}=\int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{z-1} \, dt.</math>

Виконавши заміну <math>t=\frac{1+x}{2}</math> отримаємо

: <math>\frac{\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}=\frac{1}{2^{2z-1}}\int_{-1}^1 \left(1-x^{2}\right)^{z-1} \, dx.</math>

Функція <math>\left(1-x^{2}\right)^{z-1}</math> є парною, оскільки

: <math>2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma (2z)\int_0^1 \left(1-x^{2}\right)^{z-1} \, dx.</math>

Тепер припустимо

: <math>\Beta \left(\frac{1}{2},z\right)=\int_0^1 t^{\frac{1}{2}-1}(1-t)^{z-1} \, dt, \quad t=s^{2}.</math>

Тоді

: <math>\Beta \left(\frac{1}{2},z\right)=2\int_0^1 \left(1-s^{2}\right)^{z-1} \, ds=2\int_0^1 \left(1-x^{2}\right)^{z-1} \, dx.</math>

Звідси випливає

: <math>2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma (2z)\Beta \left(\frac{1}{2},z\right).</math>

Оскільки

: <math>\Beta \left(\frac{1}{2},z\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)\Gamma (z)}{\Gamma \left(z+\frac{1}{2}\right)}, \quad \Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},</math>

звідси отримаємо формулу подвоєння Лагранжа:

: <math>\Gamma (z)\Gamma \left(z+\frac{1}{2}\right)=2^{1-2z}\sqrt{\pi} \; \Gamma (2z).</math>

{{Collapse bottom}}

Формула подвоєння ― особливий випадок {{нп|Теорема про множення Лагранжа|теореми про множення Лагранжа|en|Multiplication theorem}}(див.<ref>{{dlmf|authorlink=Richard Askey|first=R. A.|last= Askey|first2= R.|last2= Roy |id=8.7 |title=Series Expansions|ref=none}}</ref>, Eq. 5.5.6)

: <math>\prod_{k=0}^{m-1}\Gamma\left(z + \frac{k}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac12 - mz} \; \Gamma(mz).</math>

Проста, але корисною властивість, що випливає з виознаки границі:

: <math>\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}) \; \Rightarrow \; \Gamma(z)\Gamma(\overline{z}) \in \mathbb{R} .</math>

Зокрема, при {{math|''z'' {{=}} ''a''&nbsp;+&nbsp;''bi''}}, цей добуток дорівнює

: <math>
\begin{align}
|\Gamma(a+bi)|^2 & = |\Gamma(a)|^2 \prod_{k=0}^\infty \frac{1}{1+\frac{b^2}{(a+k)^2}} \\[4pt]
|\Gamma(bi)|^2 & = \frac{\pi}{b\sinh{(\pi b)}} \\[6pt]
|\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+bi\right)|^2 & = \frac{\pi}{\cosh{(\pi b)}}
\end{align}
</math>

Одним із самих відомих значень гамма-функції для нецілого аргумента є:

: <math>\Gamma\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi},</math>

яке отримують, якщо задати {{math|''z'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}} у формулах відображення або подвоєння, використавши рівняння для бета функції із {{math|''x'' {{=}} ''y'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}}, або виконавши заміну {{math|''u'' {{=}} {{sqrt|''x''}}}} у виознаці інтегралу гамма-функції, із чого зрештою отримають [[Інтеграл Гауса|Гаусів інтеграл]]. У загальному випадку, для невід'ємних цілих чисел {{math|''n''}} маємо:

: <math>\begin{align}
\Gamma\left(\tfrac12+n\right) &= {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi} = {n-\frac12 \choose n} n! \sqrt{\pi} \\[8pt]
\Gamma\left(\tfrac12-n\right) &= {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{{-\frac12 \choose n} n!}
\end{align}</math>

де {{math|''n''!!}} позначає [[Факторіал#Подвійний факторіал|подвійний факторіал]] від ''n''. Коли {{math|''n'' {{=}} 0}}, {{math|''n''!! {{=}} 1}}.

Може здаватися, що поглянувши на формулу результат {{math|Γ({{sfrac|1|2}}) {{=}} {{sqrt|{{pi}}}}}} можна узагальнити для інших окремих значень {{math|Γ(''r'')}}, де {{math|''r''}} ― раціональне число. Однак ці числа не можна виразити через самих себе в рамках елементарних функцій. Доведено, що {{math|Γ(''n'' + ''r'')}} є [[Трансцендентне число|трансцендентним числом]] і [[Алгебраїчна незалежність|алгебрично незалежним]] від {{math|π}} для будь-якого цілого {{math|''n''}} і будь-якого дробу із {{math|''r'' {{=}} {{sfrac|1|6}}, {{sfrac|1|4}}, {{sfrac|1|3}}, {{sfrac|2|3}}, {{sfrac|3|4}}, {{sfrac|5|6}}}}.<ref>{{cite journal |last=Waldschmidt |first=M. |date=2006 |url=http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/TranscendencePeriods.pdf |title=Transcendence of Periods: The State of the Art |journal=Pure Appl. Math. Quart. |volume=2 |issue=2 |pages=435–463 |doi=10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3 |accessdate=10 березня 2019 |archive-date=17 квітня 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120417173330/http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/TranscendencePeriods.pdf }}{{open access}}</ref> У загальному випадку, для розрахунку значень гамма-функції необхідно застосовувати числове наближення.

Інша корисна границя для асимптотичного наближення:

: <math>\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^\alpha} = 1, \qquad \alpha \in \mathbb{C} </math>

Похідні гамма-функції можна описати за допомогою [[Полігамма-функція|полігамма-функції]]. Наприклад:

: <math>\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).</math>

Для додатного цілого числа&nbsp;{{math|''m''}} похідну гамма-функції можна розрахувати наступним чином (тут&nbsp;{{math|''γ''}} це [[Стала Ейлера—Маскероні|Стала Ойлера—Маскероні]]):

: <math>\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\,.</math>

Для {{math|Re(''x'') > 0}} {{math|''n''}}-а похідна гамма-функції дорівнює:
[[Файл:DerivGamma.png|thumb|Похідна функції {{math|Γ(''z'')}}]]

: <math>\frac{d^n}{dx^n}\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} (\ln t)^n \, dt.</math>

(Це можна отримати за допомогою диференціювання інтегралу для гамма-функції по змінній {{math|''x''}}, і використавши [[інтегральне правило Лейбніца]].)

Використавши рівняння

: <math>\Gamma^{(n)}(1)=(-1)^n n!\sum\limits_{\pi\,\vdash \, n}\,\prod_{i=1}^r\frac{\zeta^*(a_i)}{k_i!\cdot a_i} \qquad \zeta^*(x):=\begin{cases}\zeta(x)&x\ne1\\ \gamma&x=1\end{cases}</math>

де {{math|''ζ''(''z'')}}&nbsp;— [[дзета-функція Рімана]], із розбиттям
: <math>\pi=(\underbrace{a_1,\dots,a_1}_{k_1},\dots,\underbrace{a_r,\dots,a_r}_{k_r}),</math>

зокрема маємо

: <math>\Gamma(z) = \frac1z - \gamma + \tfrac12\left(\gamma^2 + \frac {\pi^2}6\right)z - \tfrac16\left(\gamma^3 + \frac {\gamma\pi^2}2 + 2 \zeta(3)\right)z^2 + O(z^3).</math>

=== Нерівності ===
Якщо обмежитися додатними цілими числами, гамма-функція є суворо [[Логарифмічно опукла функція|логарифмічно опуклою функцією]]. Цю властивість можна визначити за допомогою трьох наведених еквівалентних нерівностей:
* Для будь-яких двох додатних дійсних чисел {{math|''x''<sub>1</sub>}} і {{math|''x''<sub>2</sub>}}, і для будь-якого {{math|''t'' ∈ [0, 1]}},
: <math>\Gamma(tx_1 + (1 - t)x_2) \le \Gamma(x_1)^t\Gamma(x_2)^{1 - t}.</math>
Крім того, ця нерівність буде точною для {{math|''t'' ∈ (0, 1)}}.
* Для будь-яких двох додатних дійсних чисел {{math|''x''}} і {{math|''y''}} при {{math|''y'' > ''x''}},
: <math>\left(\frac{\Gamma(y)}{\Gamma(x)}\right)^{\frac{1}{y - x}} > \exp\left(\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\right).</math>
* Для будь-якого додатного дійсного числа {{math|''x''}},
: <math>\Gamma''(x)\Gamma(x) > \Gamma'(x).</math>
Останні два твердження, випливають із виознаки, так само як і твердження, що <math>\psi^{(1)}(x) > 0</math>, де <math>\psi^{(1)}</math> це [[полігамма-функція]] порядку 1. Щоб довести логарифмічну опуклість гамма-функції достатньо спостерігати, що <math>\psi^{(1)}</math> має ряд подань, для яких за додатнього дійсного {{math|''x''}} вона складається лише із додатних членів.

Логарифмічна опуклість і [[нерівність Єнсена]] разом означають, що для будь-яких додатних дійсних чисел <math>x_1, \ldots, x_n</math> and <math>a_1, \ldots, a_n</math>,
: <math>\Gamma\left(\frac{a_1x_1 + \cdots + a_nx_n}{a_1 + \cdots + a_n}\right) \le \bigl(\Gamma(x_1)^{a_1} \cdots \Gamma(x_n)^{a_n}\bigr)^{\frac{1}{a_1 + \cdots + a_n}}.</math>

Існують також обмеження відношення гамма-функцій. Найвідомішим є {{нп|Нерівність Гаутсі||en|Gautschi's inequality}}, яка стверджує, що для будь-якого додатного цілого числа {{math|''x''}} і будь-якого{{math|''s'' ∈ (0, 1)}},
: <math>x^{1 - s} < \frac{\Gamma(x + 1)}{\Gamma(x + s)} < (x + 1)^{1 - s}.</math>

=== Формула Стірлінґа ===
[[Файл:Gamma1.png|thumb|Представлення гамма-функції у комплексній площині. Кожна точка <math>z</math> забарвлена відповідно до значення аргумента <math>\Gamma(z)</math>. Також показано контурний графік для модуля <math>|\Gamma(z)|</math>.]]

[[Файл:Gamma abs 3D.png|thumb|3-вимірний графік абсолютних значень комплексної гамма-функції]]
Поведінка функції <math>\Gamma(z)</math> для зростаючих цілих значень змінної проста: вона зростає досить швидко&nbsp;— швидше за показникову функцію. Асимптотично при <math>z\to \infty </math>, величину гамма-функції задають за допомогою [[Формула Стірлінґа|формули Стірлінґа]]
: <math>\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,</math>
де символ <math>\sim</math> задає відношення з яким обидві сторони збігаються до 1<ref name="Davis"/> або асимптотично сходяться.

== Наближення ==
[[Файл:Mplwp factorial gamma stirling.svg|thumb|right|upright=1.35|Порівняння гамма-функціх (синя лінія) із факторіалом (сині точки) і наближення Стірлінга (червона лінія)]]
Комплексні значення гамма-функції можна обчислити чисельним способом із довільною точністю використовуючи [[Формула Стірлінґа|формулу Стірлінга]] або {{нп|наближення Ланцоса||en|Lanczos approximation}}.

Гамма-функцію можна обрахувати із сталою точністю для {{math|Re(''z'') ∈ [1,2]}} застосувавши до інтеграла Ойлера метод [[інтегрування частинами]]. Для будь-якого додатнього числа&nbsp;{{math|''x''}} гамма-функцію можна записати як

: <math>\begin{align}
\Gamma(z) &= \int_0^x e^{-t} t^z \, \frac{dt}{t} + \int_x^\infty e^{-t} t^z\, \frac{dt}{t} \\
&= x^z e^{-x} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{z(z+1) \cdots (z+n)} + \int_x^\infty e^{-t} t^z \, \frac{dt}{t}.
\end{align}</math>

Коли {{math|Re(''z'') ∈ [1,2]}} і {{math|''x'' ≥ 1}}, абсолютне значення останнього інтегралу менше за {{math|(''x'' + 1)''e''<sup>−''x''</sup>}}. Якщо вибрати достатньо велике {{math|''x''}}, цей вираз може бути меншим за {{math|2<sup>−''N''</sup>}} для будь-якого бажаного значення&nbsp;{{math|''N''}}. Тож, за допомогою вищевказаного ряду гамма-функцію можна обрахувати до {{math|''N''}} бітів точності.

Швидкий алгоритм для розрахунку Ойлерової гамма-функції для будь-якого алгебричного аргументу (в тому числі раціонального) Е.&nbsp;А.&nbsp;Карацуба,<ref>E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp. 339—360 (1991).</ref><ref>E.A. Karatsuba, On a new method for fast evaluation of transcendental functions. Russ. Math. Surv. Vol.46, No.2, pp. 246—247 (1991).</ref><ref>E.A. Karatsuba «[http://www.ccas.ru/personal/karatsuba/algen.htm Fast Algorithms and the FEE Method] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210402055902/http://www.ccas.ru/personal/karatsuba/algen.htm |date=2 квітня 2021 }}».</ref>

Для аргументів, які є цілими кратними для {{math|{{sfrac|1|24}}}}, гамма-функцію також можна швидко розрахувати використавши ітерації для [[Середнє арифметико-геометричне|середнього арифметико-геометричного]].

== Застосування для [[Формула Стірлінга|формули Стірлінга]] ==

Наступний розклад в ряд гамма-функції для великих [[Цілі числа|цілих]] <math>x\!</math> дає [[асимптотичний розклад|асимптотичний]] вираз для [[формула Стірлінга|формули Стірлінга]], що використовується для обчислення [[факторіал]]у [[Цілі числа|цілого числа]].

: <math>\Gamma(n+1)= n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4}+  O\left(n^{-5}\right)\right)</math>

== Історія ==

Позначення гама-функції ввів у обіг [[Лежандр]].

== Див. також ==
* [[Полігамма-функція]]
* [[Бета-функція]]
* [[Невласний інтеграл|Невластивий інтеграл]]
* [[Інтеграл Рімана]]
* [[Інтегральне числення]]
* [[Бор-Молерупова теорема]]
* [[Неповна гамма-функція]]
* [[Сума Гаусса]]

== Джерела ==
* {{cite book | author=Підкуйко, Сергій  | title=Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної| publisher=Галицька видавнича спілка | location=Львів | year=2004 | isbn=966-7893-26-Х|pages = 530}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Спеціальні функції]]
[[Категорія:Об'єкти, названі на честь Леонарда Ейлера]]


{{math-stub}}