Перегляд вихідного коду сторінки Гаарів вейвлет

[[Файл:Haar wavelet.svg|thumb|right|Гаарів вейвлет]]

У математиці '''Га́арів вейвле́т''' ({{lang-en|Haar wavelet}})&nbsp;— це послідовність перемасштабованих функцій «квадратної» форми, які разом утворюють [[вейвлет]]не сімейство або базис. Вейвлетний аналіз подібний до [[Аналіз Фур'є|аналізу Фур'є]] тим, що дозволяє цільовій функції над інтервалом бути поданою в термінах [[Ортонормований базис|ортонормованого базису]]. Гаарову послідовність тепер визнають як перший відомий вейвлетний базис, та широко використовують як навчальний приклад.

'''Га́арову послідо́вність''' ({{lang-en|Haar sequence}}) запропонував 1909 року {{нп|Альфред Гаар|||Alfréd Haar}}.{{sfn|Haar|1910|p=361}} Він використав ці функції, щоби навести приклад ортонормованої системи для простору {{нп|Квадратично інтегровна функція|квадратично інтегровних функцій||Square-integrable function}} на [[Одиничний інтервал|одиничному інтервалі]]&nbsp;[0,&nbsp;1]. Дослідження вейвлетів і навіть сам термін «вейвлет» з'явилися набагато пізніше. Як окремий випадок [[Вейвлети Добеші|вейвлетів Добеші]], гаарів вейвлет відомий також як '''''Db''1'''.

Гаарів вейвлет&nbsp;— це також найпростіший вейвлет із можливих. Технічний недолік гаарового вейвлета полягає в тому, що він не [[Неперервна функція|неперервний]], а відтак і не [[Похідна|диференційовний]]. Ця властивість, проте, може бути перевагою для аналізу сигналів із раптовими переходами ([[Цифровий сигнал (обробка сигналів)|дискретних сигналів]]), таких як відстежування поламки інструмента у верстатах.<ref>{{cite journal |first1=B. |last1=Lee |first2=Y. S. |last2=Tarng |title=Application of the discrete wavelet transform to the monitoring of tool failure in end milling using the spindle motor current |journal=International Journal of Advanced Manufacturing Technology |year=1999 |volume=15 |issue=4 |pages=238–243 |doi=10.1007/s001700050062 |s2cid=109908427 }} {{ref-en}}</ref>

Материнську функцію гаарового вейвлета <math>\psi(t)</math> можливо описати як

: <math>\psi(t) = \begin{cases}
  1 \quad & 0 \leq  t < \frac{1}{2},\\
 -1 & \frac{1}{2} \leq t < 1,\\
  0 &\mbox{інакше.}
\end{cases}</math>

Його масштабну функцію <math>\varphi(t)</math> можливо описати як

: <math>\varphi(t) = \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t < 1,\\0 &\mbox{інакше.}\end{cases}</math>

== Гаарові функції та гаарова система ==

Для кожної пари цілих чисел ''n'', ''k'' із <math>\mathbb{Z}</math> '''га́арову фу́нкцію''' ({{lang-en|Haar function}}) ''ψ''<sub>''n'',''k''</sub> визначають на [[Дійсна пряма|дійсній прямій]] <math>\mathbb{R}</math> формулою

: <math> \psi_{n,k}(t) = 2^{n / 2} \psi(2^n t-k), \quad t \in \mathbb{R}.</math>

[[Носій функції|Носієм]] цієї функції є [[Напівінтервал|напіввідкритий праворуч проміжок]] {{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub> {{=}}}} {{nowrap|[''k''2<sup>&minus;''n''</sup>, (''k''+1)2<sup>&minus;''n''</sup>)}}, тобто вона [[Нуль функції|перетворюється на нуль]] за його межами. Вона має інтеграл 0 та норму 1 у [[Гільбертів простір|гільбертовому просторі]] [[Простір Lp|''L''<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>)]],

: <math> \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t) \, d t = 0, \quad \|\psi_{n, k}\|^2_{L^2(\mathbb{R})} = \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t)^2 \, d t = 1.</math>

Гаарові функції попарно [[Ортогональні функції|ортогональні]],

: <math> \int_{\mathbb{R}} \psi_{n_1, k_1}(t) \psi_{n_2, k_2}(t) \, d t = \delta_{n_1n_2} \delta_{k_1k_2}, </math>

де <math>\delta_{ij}</math> подає [[Дельта Кронекера|дельту Кронекера]]. Причина ортогональності тут така: коли два інтервали-носії <math>I_{n_1, k_1}</math> та <math>I_{n_2, k_2}</math> не рівні, то вони або не перетинаються, або менший із двох носіїв, скажімо, <math>I_{n_1, k_1}</math>, міститься в нижній або верхній половині іншого інтервалу, на якому функція <math>\psi_{n_2, k_2}</math> лишається сталою. Тоді виходить, що добуток цих двох гаарових функцій кратний першій гаарової функції, тож цей добуток має інтеграл 0.

'''Га́арова систе́ма''' ({{lang-en|Haar system}}) на дійсній прямій&nbsp;— це множина функцій

: <math>\{1\} \cup \{ \psi_{n,k}(t) \; : \; n \in \mathbb{Z}, \; k \in \mathbb{Z} \}.</math>

Вона [[Ортонормований базис|повна]] в ''L''<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>): ''Гаарова система на прямій це ортонормований базис в'' ''L''<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>).

== Властивості гаарового вейвлета ==

Гаарів вейвлет має декілька визначних властивостей:

{{ordered list

| Будь-яку неперервну дійснозначну функцію з компактним носієм можливо рівномірно наблизити [[Лінійна комбінація|лінійними комбінаціями]] <math>\varphi(t),\varphi(2t),\varphi(4t),\dots,\varphi(2^n t),\dots</math> та їхніх зміщених функцій. Це поширюється на ті функційні простори, будь-яку функцію в яких можливо наблизити неперервними функціями.

| Будь-яку неперервну дійсну функцію на [0,&nbsp;1] можливо рівномірно наблизити на [0,&nbsp;1] лінійними комбінаціями сталої функції&nbsp;'''1''', <math>\psi(t),\psi(2t),\psi(4t),\dots,\psi(2^n t),\dots</math> та їхніх зміщених функцій.<ref>На відміну від попереднього твердження, цей факт не очевидний: див. {{harvnb|Haar|1910|с=363}}.</ref>

|[[Ортогональність]] вигляду
: <math>
 \int_{-\infty}^{\infty}2^{(n+n_1)/2}\psi(2^n t-k)\psi(2^{n_1} t - k_1)\, dt = \delta_{nn_1}\delta_{kk_1}.
 </math>
Тут <math>\delta_{ij}</math> подає [[Дельта Кронекера|дельту Кронекера]]. [[Двоїста функція]] ψ(''t'')&nbsp;— це сама ψ(''t'').

| Вейвлетні/масштабні функції з різним масштабом ''n'' мають функційний взаємозв'язок:<ref>{{cite book |last=Vidakovic |first=Brani |title=Statistical Modeling by Wavelets |series=Wiley Series in Probability and Statistics |year=2010 |edition=2 |doi=10.1002/9780470317020 |pages=60, 63|isbn=9780470317020 }} {{ref-en}}</ref> оскільки
: <math>
\begin{align}
  \varphi(t) &= \varphi(2t)+\varphi(2t-1)\\[.2em]
  \psi(t) &= \varphi(2t)-\varphi(2t-1),
\end{align}</math>
то виходить, що коефіцієнти масштабу ''n'' можливо обчислювати через коефіцієнти масштабу ''n+1'':<br/>
Якщо <math> \chi_w(k, n)= 2^{n/2}\int_{-\infty}^\infty x(t)\varphi(2^nt-k)\, dt</math><br/>
та <math> \Chi_w(k, n)= 2^{n/2}\int_{-\infty}^\infty x(t)\psi(2^nt-k)\, dt</math><br/>
то
: <math> \chi_w(k,n)= 2^{-1/2} \bigl( \chi_w(2k,n+1)+\chi_w(2k+1,n+1) \bigr)</math>
: <math> \Chi_w(k,n)= 2^{-1/2} \bigl( \chi_w(2k,n+1)-\chi_w(2k+1,n+1) \bigr).</math>

}}

== Гаарова система на одиничному інтервалі, та пов'язані системи ==

У цьому розділі обговорення обмежено [[Одиничний інтервал|одиничним інтервалом]] [0,&nbsp;1] та гааровими функціями, відмінними від нуля на [0,&nbsp;1]. Система функцій, розглянута Гааром 1910 року,{{sfn|Haar|1910|с=361}} звана в цій статті '''га́аровою систе́мою на [0,&nbsp;1]''', складається з підмножини гаарових вейвлетів, визначених як

: <math>\{ t \in [0, 1] \mapsto \psi_{n,k}(t) \; : \; n \in \N \cup \{0\}, \; 0 \leq k < 2^n\},</math>

з додаванням сталої функції '''1''' на [0,&nbsp;1].

В термінах [[Гільбертів простір|гільбертового простору]] ця гаарова система на [0,&nbsp;1] є повною ортонормованою системою, тобто, [[Ортонормований базис|ортонормованим базисом]] для простору ''L''<sup>2</sup>([0,&nbsp;1]) квадратично інтегровних функцій на одиничному інтервалі.

Гаарова система на [0,&nbsp;1]&nbsp;— зі сталою функцією '''1''' як першим елементом, за яким слідують гаарові функції, впорядковані за [[Лексикографічний порядок|лексикографічним]] порядком пар {{nowrap|(''n'', ''k'')}},&nbsp;— є також {{нп|Базис Шаудера#Властивості|монотонним||Schauder basis#Properties}} {{нп|Базис Шаудера|базисом Шаудера||Schauder basis}} для простору [[Простір Lp|''L''<sup>''p''</sup>([0,&nbsp;1])]], коли {{nowrap|1 ≤ ''p'' &lt; ∞}}.<ref name="L. Tzafriri, 1977">див с.&nbsp;3 у {{нп|Йорам Лінденштраус|J. Lindenstrauss||Joram Lindenstrauss}}, L. Tzafriri, (1977), «Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''92''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08072-4}}. {{ref-en}}</ref> Цей базис {{нп|Базис Шаудера#Безумовність|безумовний||Schauder basis#Unconditionality}}, коли {{nowrap|1 &lt; ''p'' &lt; ∞}}.<ref>Цей результат завдячує {{нп|Реймонд Пейлі|R. E. Paley||Raymond Paley}}, ''A remarkable series of orthogonal functions (I)'', Proc. London Math. Soc. '''34''' (1931) pp. 241—264. {{ref-en}} Див. також с.&nbsp;155 в J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), «Classical Banach spaces II, Function spaces». Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''97''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08888-1}}. {{ref-de}}</ref>

Існує пов'язана {{нп|система Радемахера|||Rademacher system}}, яка складається з сум гаарових функцій,

: <math>r_n(t) = 2^{-n/2} \sum_{k=0}^{2^n - 1} \psi_{n, k}(t), \quad t \in [0, 1], \ n \ge 0.</math>

Зауважте, що |''r''<sub>''n''</sub>(''t'')|&nbsp;= 1 на [0,&nbsp;1). Це ортонормована система, але не повна.<ref>{{SpringerEOM |title=Orthogonal system}}</ref><ref>{{cite book |first1=Gilbert G. |last1=Walter |first2=Xiaoping |last2=Shen |title=Wavelets and Other Orthogonal Systems |year=2001 |location=Boca Raton |publisher=Chapman |isbn=1-58488-227-1 }} {{ref-en}}</ref> Мовою [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]], послідовність Радемахера&nbsp;— це примірник послідовності [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежних]] [[Випадкова величина|випадкових величин]] [[Розподіл Бернуллі|Бернуллі]] з [[Середнє значення|середнім]]&nbsp;0. {{нп|Нерівність Хінчина|||Khintchine inequality}} виражає той факт, що в усіх просторах ''L''<sup>''p''</sup>([0,&nbsp;1]), {{nowrap|1 ≤ ''p'' &lt; ∞}}, послідовність Радемахера {{нп|Базис Шаудера#Визначення|еквівалентна||Schauder basis#Definitions}} базису одиничного вектора в ℓ<sup>''2''</sup>.<ref>див., наприклад, с.&nbsp;66 в {{нп|Йорам Лінденштраус|J. Lindenstrauss||Joram Lindenstrauss}}, L. Tzafriri, (1977), «Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''92''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08072-4}}. {{ref-en}}</ref> Зокрема, {{нп|замкнена лінійна оболонка|||Closed linear span}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Closed linear span]] (→ [[:en:Linear span]]) перекладена як [[Лінійна оболонка]], хоча хотіли [[замкнена лінійна оболонка]] (SashkoR0B0T)--> послідовності Радемахера в ''L''<sup>''p''</sup>([0,&nbsp;1]), {{nowrap|1 ≤ ''p'' &lt; ∞}}, {{нп|Ізоморфні нормовані простори|ізоморфна||Isomorphic normed spaces}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Isomorphic normed spaces]] (→ [[:en:Banach space#Linear operators, isomorphisms]]) перекладена як [[Банахів простір]], хоча хотіли [[Ізоморфні нормовані простори]] (SashkoR0B0T)--> з ℓ<sup>''2''</sup>.

=== Система Фабера&nbsp;— Шаудера ===

'''Систе́ма Фа́бера&nbsp;— Ша́удера''' ({{lang-en|Faber&ndash;Schauder system}})<ref name="Faber">Faber, Georg (1910), «Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar», ''Deutsche Math.-Ver'' (in German) '''19''': 104&ndash;112. {{issn|0012-0456}};
http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553 {{ref-de}}</ref><ref>Schauder, Juliusz (1928), «Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems», ''Mathematische Zeitschrift'' '''28''': 317&ndash;320. {{ref-de}}</ref><ref>{{eom|id=f/f038020
 |title=Faber–Schauder system|first=B.I.|last= Golubov}} {{ref-en}}</ref>&nbsp;— це система неперервних функцій на [0,&nbsp;1], яка складається зі сталої функції&nbsp;'''1''', та кратних [[Первісна|невизначених інтегралів]] функцій гаарової системи на&nbsp;[0,&nbsp;1], обраних так, щоби мати норму&nbsp;1 в [[Максимум-норма|максимум-нормі]]. Ця система починається з ''s''<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;'''1''', тоді {{nowrap| ''s''<sub>1</sub>(''t'') {{=}} ''t''}}&nbsp;— невизначений інтеграл, який сходить на 0 функції&nbsp;'''1''', першого елемента гаарової системи на [0,&nbsp;1]. Далі для кожного цілого {{nowrap|''n'' ≥ 0}} функції {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} визначено формулою

: <math>
 s_{n, k}(t) = 2^{1 + n/2} \int_0^t \psi_{n, k}(u) \, d u, \quad t \in [0, 1], \ 0 \le k < 2^n.</math>

Ці функції {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} неперервні, [[Відтинково лінійна функція|відтинково лінійні]], відмінні від нуля на інтервалі {{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub>}}, на якому також відмінні від нуля {{nowrap| ψ<sub>''n'',''k''</sub>}}. Функція {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} дорівнює&nbsp;1 у серединній точці {{nowrap| ''x''<sub>''n'',''k''</sub>}} інтервалу&nbsp;{{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub>}}, лінійна на обох половинах цього інтервалу. Вона всюди набуває значень між&nbsp;0 та&nbsp;1.

Система Фабера&nbsp;— Шаудера це {{нп|базис Шаудера|||Schauder basis}} для простору ''C''([0,&nbsp;1]) неперевних функцій на [0,&nbsp;1].<ref name="L. Tzafriri, 1977"/> Для кожної&nbsp;''f'' з ''C''([0,&nbsp;1]) частинна сума

: <math> f_{n+1} = a_0 s_0 + a_1 s_1 + \sum_{m = 0}^{n-1} \Bigl( \sum_{k=0}^{2^m - 1} a_{m,k} s_{m, k} \Bigr) \in C([0, 1])</math>

розкладу ''f'' {{нп|Розклад у ряд|у ряд||Series expansion}} у системі Фабера&nbsp;— Шаудера&nbsp;— це неперервна відтинково лінійна функція, яка збігається з ''f'' в {{nowrap|2<sup>''n''</sup> + 1}} точках {{nowrap|''k''2<sup>&minus;''n''</sup>}}, де {{nowrap| 0 ≤ ''k'' ≤ 2<sup>''n''</sup>}}. Далі, формула

: <math> f_{n+2} - f_{n+1} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} \bigl( f(x_{n,k}) - f_{n+1}(x_{n, k}) \bigr) s_{n, k} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} a_{n, k} s_{n, k} </math>

пропонує спосіб покрокового обчислення розкладу ''f''. Оскільки ''f'' [[Теорема Гейне — Бореля|рівномірно неперервна]], послідовність {''f''<sub>''n''</sub>} рівномірно збігається до ''f''. Звідси випливає, що розклад ''f'' у ряд у системі Фабера&nbsp;— Шаудера збігається в ''C''([0,&nbsp;1]), а сума цього ряду дорівнює&nbsp;''f''.

=== Система Франкліна ===

'''Систе́му Фра́нкліна''' ({{lang-en|Franklin system}}) отримують із системи Фабера&nbsp;— Шаудера [[Процес Грама — Шмідта|ортонормувальною процедурою Грама&nbsp;— Шмідта]].<ref>див. Z. Ciesielski, ''Properties of the orthonormal Franklin system''. Studia Math. 23 1963 141—157. {{ref-en}}</ref><ref>Franklin system. B.I. Golubov (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655 {{ref-en}}</ref> Оскільки система Франкліна має таку же [[Лінійна оболонка|лінійну оболонку]], як і система Фабера&nbsp;— Шаудера, ця оболонка щільна в ''C''([0,&nbsp;1]), а отже й у ''L''<sup>2</sup>([0,&nbsp;1]). Тому система Франкліна є ортонормальним базисом для ''L''<sup>2</sup>([0,&nbsp;1]), який складається з неперервних відтинково лінійних функцій. Ф.&nbsp;Франклін довів 1928 року, що ця система є базисом Шаудера для ''C''([0,&nbsp;1]).<ref>Philip Franklin, ''A set of continuous orthogonal functions'', Math. Ann. 100 (1928), 522—529. {{doi|10.1007/BF01448860}} {{ref-en}}</ref> Система Франкліна є також безумовним базисом Шаудера для простору ''L''<sup>''p''</sup>([0,&nbsp;1]), коли {{nowrap|1 &lt; ''p'' &lt; ∞}}.<ref name=Bo>S. V. Bočkarev, ''Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system''. Mat. Sb. '''95''' (1974), 3–18 (Russian). Translated in Math. USSR-Sb. '''24''' (1974), 1–16. {{ref-en}} {{ref-ru}}</ref> Система Франкліна забезпечує базис Шаудера в {{нп|Кругова алгебра|круговій алгебрі||Disk algebra}}{{Уточнити термін|дата=лютий 2023}} ''A''(''D'').<ref name=Bo /> Це довів 1974 року Бочкарев після того, як існування базису для кругової алгебри залишалося відкритим питанням протягом понад сорока років.<ref>Це питання з'являється на с.&nbsp;238, §&nbsp;3 у книзі Банаха, {{citation|first=Stefan|last=Banach|author-link=Стефан Банах|url=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10|title=Théorie des opérations linéaires|publication-place=Warszawa|publisher=Subwencji Funduszu Kultury Narodowej|year=1932|series=Monografie Matematyczne|volume=1|zbl=0005.20901}} {{ref-fr}}. Кругова алгебра ''A''(''D'') з'являється як приклад&nbsp;10, с.&nbsp;12 книги Банаха.</ref>

Побудова Бочкарева базиса Шаудера в ''A''(''D'') відбувається так: нехай ''f''&nbsp;— комплекснозначна [[Ліпшицеве відображення|ліпшицева функція]] на [0,&nbsp;π]; тоді ''f''&nbsp;— сума [[Ряд Фур'є|косинусного ряду]] з [[Абсолютна збіжність|абсолютно сумовними]] коефіцієнтами. Нехай ''T''(''f'')&nbsp;— елемент ''A''(''D''), визначений комплексним [[Степеневий ряд|степеневим рядом]] з такими же коефіцієнтами,

: <math> \left\{ f : x \in [0, \pi] \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n \cos(n x) \right\} \longrightarrow \left\{ T(f) : z \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \quad |z| \le 1 \right\}.</math>

Базис Бочкарева для ''A''(''D'') утворюють образи під&nbsp;''T'' функцій системи Франкліна на&nbsp;[0,&nbsp;π]. Еквівалентний опис Бочкарева для відображення&nbsp;''T'' починається з розширення ''f'' до [[Парні та непарні функції|парної]] ліпшицевої функції&nbsp;''g''<sub>1</sub> на [&minus;π,&nbsp;π], ототожнюваної з ліпшицевою функцією на [[Одиничне коло|одиничному колі]]&nbsp;'''T'''. Далі, покладімо, що ''g''<sub>2</sub>&nbsp;— {{нп|Спряжена функція простору Гарді|спряжена функція||Hardy space conjugate function}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Hardy space conjugate function]] (→ [[:en:Hardy space#Conjugate function]]) перекладена як [[Простір Гарді]], хоча хотіли [[Спряжена функція простору Гарді]] (SashkoR0B0T)-->&nbsp;''g''<sub>1</sub>, і визначмо ''T''(''f'') як функцію в&nbsp;''A''(''D''), чиє значення на межі '''T''' круга&nbsp;''D'' дорівнює&nbsp;{{nowrap|''g''<sub>1</sub> + i''g''<sub>2</sub>}}.

Маючи справу з 1-періодичними неперервними функціями, а точніше з такими неперервними функціями ''f'' на [0,&nbsp;1], що {{nowrap|''f''(0) {{=}} ''f''(1)}}, можливо вилучити функцію {{nowrap| ''s''<sub>1</sub>(''t'') {{=}} ''t''}} з системи Фабера&nbsp;— Шаудера, щоб отримати '''періоди́чну систе́му Фа́бера&nbsp;— Ша́удера''' ({{lang-en|periodic Faber&ndash;Schauder system}}). '''Періоди́чну систе́му Фра́нкліна''' ({{lang-en|periodic Franklin system}}) отримують з періодичної системи Фабера&nbsp;— Шаудера шляхом ортонормування.<ref name="Prz">Див. с.&nbsp;161, III.D.20 та с.&nbsp;192, III.E.17 в {{citation
 | last=Wojtaszczyk | first= Przemysław
 | title = Banach spaces for analysts
 | series = Cambridge Studies in Advanced Mathematics
 | volume = 25
 | publisher = Cambridge University Press 
 | location = Cambridge
 | year= 1991
 | pages = xiv+382
 | isbn = 0-521-35618-0 
}} {{ref-en}}</ref> Результат Бочкарева на ''A''(''D'') можливо довести, довівши, що періодична система Франкліна на [0,&nbsp;2π] є базисом для банахового простору ''A''<sub>''r''</sub>, ізоморфного ''A''(''D'').<ref name="Prz" /> Простір ''A''<sub>''r''</sub> складається з комплексних неперервних функцій на одиничному колі '''T''', чиї {{нп|Гармонічне спряження|спряжені функції||Harmonic conjugate}} також неперервні.

== Гаарова матриця ==

Пов'язана з гааровим вейвлетом гаарова матриця ({{lang-en|Haar matrix}}) 2×2 має вигляд

: <math> H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.</math>

Використовуючи {{нп|дискретне вейвлетне перетворення|||Discrete wavelet transform}}, можливо перетворити будь-яку послідовність <math>(a_0,a_1,\dots,a_{2n},a_{2n+1})</math> парної довжини на послідовність двоскладових векторів <math> \left(\left(a_0,a_1\right),\left(a_2,a_3\right),\dots,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right) </math>. Якщо кожен вектор домножити праворуч на матрицю <math> H_2 </math>, буде отримано результат <math>\left(\left(s_0,d_0\right),\dots,\left(s_n,d_n\right)\right)</math> одного етапу швидкого гаарово-вейвлетного перетворення ({{lang-en|fast Haar-wavelet transform}}). Зазвичай послідовності ''s'' та ''d'' розділяють, і продовжують перетворювати послідовність ''s''. Послідовність ''s'' часто називають частиною ''усереднень'', тоді як ''d'' відома як частина ''деталей''.<ref>{{cite book |first1=David K. |last1=Ruch |first2=Patrick J. |last2=Van Fleet |title=Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications |year=2009 |publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-38840-2 }} {{ref-en}}</ref>

Якщо мають послідовність довжини, кратної чотирьом, то можливо побудувати блоки з 4 елементів та перетворювати їх подібним чином за допомогою гаарової матриці 4×4

: <math> H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},</math>

яка поєднує два етапи швидкого гаарово-вейвлетного перетворення.

Порівняйте з {{нп|Матриця Уолша|матрицею Уолша||Walsh matrix}}, яка є нелокалізованою матрицею 1/&minus;1.

Загалом, гаарову матрицю 2''N''×2''N'' можливо вивести наступним рівнянням.

: <math> H_{2N} = \begin{bmatrix} H_{N} \otimes [1, 1] \\ I_{N} \otimes [1, -1] \end{bmatrix}</math>
: де <math>I_{N} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}</math>, а <math>\otimes</math>&nbsp;— [[добуток Кронекера]].

[[Добуток Кронекера]] <math>A \otimes B</math>, де <math>A</math> це матриця ''m''×''n'', а <math>B</math>&nbsp;— матриця ''p''×''q'', виражають як

: <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11}B & \dots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B\end{bmatrix}.</math>

Нижче показано невнормовану 8-точкову гаарову матрицю <math>H_8</math>

: <math>H_{8} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1 \\ 1&1&-1&-1&0&0&0&0& \\ 0&0&0&0&1&1&-1&-1 \\ 1&-1&0&0&0&0&0&0& \\ 0&0&1&-1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&-1&0&0& \\ 0&0&0&0&0&0&1&-1 \end{bmatrix}.</math>

Зауважте, що наведена вище матриця це невнормована гаарова матриця. Гаарову матрицю, якої вимагає гаарове перетворення, потрібно унормовувати.

З визначення гаарової матриці <math>H</math> можливо побачити, що, на відміну від [[перетворення Фур'є]], <math>H</math> має лише дійсні елементи (тобто, 1, -1 та 0), і не симетрична.

Візьмімо 8-точкову гаарову матрицю як приклад. Перший рядок <math>H_8</math> вимірює усереднене значення, а другий рядок <math>H_8</math> вимірює низькочастотну складову вхідного вектора. Наступні два рядки чутливі до першої та другої половини вхідного вектора відповідно, що відповідає середньочастотним складовим. Решта чотири рядки чутливі до чвертинних ділянок вхідного вектора, що відповідає високочастотним складовим.<ref>{{cite web |url=http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |title=haar |publisher=Fourier.eng.hmc.edu |date=2013-10-30 |access-date=2013-11-23 |archive-date=21 серпня 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120821004423/http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |url-status=dead }} {{ref-en}}</ref>

== Гаарове перетворення ==

'''Га́арове перетво́рення''' ({{lang-en|Haar transform}})&nbsp;— це найпростіше [[вейвлетне перетворення]]. Це перетворення перехресно множить функцію на гаарів вейвлет з різними зміщеннями та розтягуваннями, як перетворення Фур'є перехресно множить функцію на хвилю синусоїди з двома фазами та багатьма розтягуваннями.<ref>[http://sepwww.stanford.edu/public/docs/sep75/ray2/paper_html/node4.html The Haar Transform<!-- Bot generated title -->] {{ref-en}}</ref>{{прояснити||Чи це порівняння ядер інтегрування, й розкладання експонент на синус та косинус, щоби розглянути ядро Фур&apos;є як простір синусів, відповідно змінивши параметрування? Якщо так, то ми могли би запропонувати конкретнішу, зв&apos;язнішу мову, ніж «перехресне множення», поговорити про скалярні добутки та проєкції й їхнє інтегрування, а тоді зрозуміло порівняти це зі згортковою обробкою.|дата=лютий 2023}}

=== Введення ===

Гаарове перетворення&nbsp;— це одна з найстаріших функцій перетворень, запропонована 1910 року угорським математиком {{нп|Альфред Гаар|Альфредом Гааром||Alfréd Haar}}. Вона ефективна в таких застосуваннях як стискання сигналів та зображень в електричній та комп'ютерній інженерії, оскільки пропонує простий та обчислювально ефективний підхід для аналізу локальних аспектів сигналу.

Гаарове перетворення похідне від гаарової матриці. Нижче показано приклад матриці гаарового перетворення 4×4.

: <math>H_4 = \frac{1}{2}
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{bmatrix}
</math>

Гаарове перетворення можливо розглядати як процес дискретизації, в якому рядки матриці перетворення діють як вибірки із щоразу тоншою роздільністю.

Порівняйте з [[Перетворення Уолша|перетворенням Уолша]], яке також 1/&minus;1, але не локалізоване.

=== Властивості ===

Гаарове перетворення має наступні властивості

# Відсутність потреби в множеннях. Воно вимагає лише додавань, і в гааровій матриці багато елементів з нульовим значенням, тож обчислення є нетривалим. Воно швидше за [[перетворення Уолша]], чия матриця складається з +1 та &minus;1.
# Довжини входу та виходу однакові. Проте ця довжина повинна бути степенем 2, тобто <math>N = 2^k,  k\in \mathbb{N}</math>.
# Його можливо використовувати для аналізу локалізованої ознаки сигналів. Завдяки [[Ортогональність|ортогональній]] властивості гаарової функції можливо аналізувати частотні складові вхідного сигналу.

=== Гаарове та обернене гаарове перетворення ===

Гаарове перетворення ''y''<sub>''n''</sub> ''n''-входової функції ''x''<sub>''n''</sub> це

: <math> y_n = H_n x_n</math>

Матриця гаарового перетворення дійсна та ортогональна. Тож обернене гаарове перетворення ({{lang-en|inverse Haar transform}}) можливо отримати наступними рівняннями.

: <math> H = H^*, H^{-1} = H^T </math>, тобто <math> HH^T = I </math>

: де <math>I</math>&nbsp;— одинична матриця. Наприклад, коли ''n'' = 4

: <math> H_4^{T}H_4 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1&1&\sqrt{2}&0 \\ 1&1&-\sqrt{2}&0 \\ 1&-1&0&\sqrt{2} \\ 1&-1&0&-\sqrt{2}\end{bmatrix}
\cdot\; \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&-1&-1 \\ \sqrt{2}&-\sqrt{2}&0&0 \\ 0&0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}
</math>

Тож обернене гаарове перетворення це

: <math> x_{n} = H^{T}y_{n}</math>

=== Приклад ===

Коефіцієнти гаарового перетворення ''n''=4-точкового сигналу <math>x_{4} = [1,2,3,4]^{T}</math> можливо знайти як

: <math> y_{4} = H_4 x_4 = 
\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&-1&-1 \\ \sqrt{2}&-\sqrt{2}&0&0 \\ 0&0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2}\end{bmatrix}
</math>

Цей вхідний сигнал можливо ідеально відтворити оберненим гааровим перетворенням

: <math> \hat{x_{4}} = H_{4}^{T}y_{4} = 
\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1&1&\sqrt{2}&0 \\ 1&1&-\sqrt{2}&0 \\ 1&-1&0&\sqrt{2} \\ 1&-1&0&-\sqrt{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2}\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}
</math>

== Див. також ==
* [[Знижування розмірності]]
* {{нп|Матриця Уолша|||Walsh matrix}}
* [[Перетворення Уолша]]
* [[Вейвлет]]
* {{нп|Чірплет|||Chirplet}}
* [[Сигнал]]
* [[Гаароподібна ознака]]
* {{нп|Вейвлет Стремберга|||Strömberg wavelet}}
* {{нп|Діадне перетворення|||Dyadic transformation}}

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{citation
 | last = Haar |first = Alfréd | author-link = Альфред Гаар
 | title = Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme
 | journal = [[Mathematische Annalen]] 
 | volume = 69 
 | year = 1910 
 | issue = 3 
 | pages = 331–371 
 | doi=10.1007/BF01456326 | hdl = 2027/uc1.b2619563|s2cid = 120024038 | hdl-access = free | ref = harv}} {{ref-de}}
* Charles K. Chui, ''An Introduction to Wavelets'', (1992), Academic Press, San Diego, {{ISBN|0-585-47090-1}} {{ref-en}}
* Англомовний переклад засадничої праці Гаара: [https://web.archive.org/web/20120123124430/https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/Publications/haar.pdf] {{ref-en}}

== Посилання ==
{{Commons category}}

* {{springer|title=Haar system|id=p/h046070}}
* [http://www.tomgibara.com/computer-vision/haar-wavelet Free Haar wavelet filtering implementation and interactive demo]
* [http://packages.debian.org/wzip Free Haar wavelet denoising and lossy signal compression]

=== Гаарове перетворення ===
* {{cite web|url=http://cnx.org/content/m11087/latest/|title=The Haar Transform|archive-url=https://web.archive.org/web/20060419183057/http://cnx.org/content/m11087/latest/|archive-date=2006-04-19|first=Nick|last=Kingsbury}} {{ref-en}}
* {{cite web|url=http://math.hws.edu/eck/math371/applets/Haar.html|title=Haar Transform Demo Applets|first=David|last=Eck|date=31 січня 2006}} {{ref-en}}
* {{cite web|url=http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/laproj/Fall2002/ames/paper.pdf|title=Image Compression|archive-url=https://web.archive.org/web/20110125080404/http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/laproj/Fall2002/ames/paper.pdf|archive-date=2011-01-25|first=Greg|last=Ames|date=7 грудня 2002}} {{ref-en}}
* {{cite web|url=http://scien.stanford.edu/class/ee368/projects2000/project12/2.html|title=MOSMAT 500. A photomosaic generator. 2. Theory|archive-url=https://web.archive.org/web/20080318071618/http://scien.stanford.edu/class/ee368/projects2000/project12/2.html|archive-date=2008-03-18|first1=Anne|last1=Aaron|first2=Michael|last2=Hill|first3=Anand|last3=Srivatsa|date=6/1/2000}} {{ref-en}}
* {{cite web|url=http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html|title=Haar Transform|archive-url=https://web.archive.org/web/20120821004423/http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |archive-date=21 серпня 2012 |first1=Ruye|last=Wang|date=2008-12-04}} {{ref-en}}

{{DEFAULTSORT:Гаарів вейвлет}}
[[Категорія:Вейвлети]]