Перегляд вихідного коду сторінки Вільне від квадратів число

У [[Математика|математиці]] '''вільним від квадратів''', або '''безквадратним''', називається [[число]], яке не [[Подільність|ділиться]] на жоден [[Квадратне число|квадрат]], крім 1. Наприклад, 10&nbsp;— вільне від квадратів, а 18&nbsp;— ні, оскільки 18 ділиться на 9 = 3<sup>2.</sup> Початок послідовності вільних від квадратів чисел такий:

: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … {{OEIS|id=A005117}}

[[Кільце (алгебра)|Теорія кілець]] узагальнює поняття безквадратності таким чином:

: Елемент ''r'' [[Факторіальне кільце|факторіального кільця]] ''R'' називається '''вільним від квадратів,''' якщо він не ділиться на нетривіальний квадрат.

Вільні від квадратів елементи також можуть бути схарактеризовані виходячи з їх розкладання на [[Простий множник|прості множники]]: будь-який ненульовий елемент ''r'' може бути поданий у вигляді добутку простих елементів

: <math>r=\varepsilon p_1p_2\cdots p_n</math> ,

причому всі прості множники ''p <sub>i</sub>'' різні, а <math>\varepsilon</math>&nbsp;— деяка одиниця ([[оборотний елемент]]) кільця.

== Еквівалентна характеристика чисел, вільних від квадратів ==
Додатне число ''n'' вільне від квадратів [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли в [[Основна теорема арифметики|розкладі цього числа на прості множники]] жодне [[просте число]] не зустрічається більше, ніж один раз. По-іншому це можна висловити так: для будь-якого простого дільника ''p'' числа ''n,'' число ''p'' не є дільником ''n''/''p.'' Або, число ''n'' вільне від квадратів тоді і тільки тоді, коли для будь-якого його розкладу на множники ''n'' = ''ab,'' множники ''a'' і ''b'' [[Взаємно прості числа|взаємно прості]].

Додатне число ''n'' вільне від квадратів тоді і тільки тоді, коли <math>\mu(n)\neq 0</math>, де <math>\mu(n)</math> позначає [[Функція Мебіуса|функцію Мебіуса]].

[[Ряд Діріхле]], який породжує вільні від квадратів числа:

: <math> \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) } = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{ |\mu(n)|}{n^{s}} </math> де <math>\zeta(s)</math>&nbsp;— [[дзета-функція Рімана]].

Це зразу видно з [[Гіпотеза Рімана|добутку Ейлера]] :

: <math> \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} =\prod_p \frac{(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}=\prod_p (1+p^{-s}). </math>

Додатне число ''n'' вільне від квадратів тоді і тільки тоді, коли всі [[Абелева група|абелеві групи]] [[Словник термінів теорії груп|порядку]] ''n'' ізоморфні одна одній, що виконується в тому і тільки в тому випадку, коли вони всі&nbsp;— [[Циклічна група|циклічні]]. Це випливає з класифікації [[Скінченнопороджена абелева група|скінченнопороджених абелевих груп]].

Додатне число ''n'' вільне від квадратів тоді і тільки тоді, коли [[фактор-кільце]] <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> (див. [[Модульна арифметика|порівняння за модулем]]) є добутком [[Поле (алгебра)|полів]]. Це випливає з [[Китайська теорема про остачі|китайської теореми про остачі]] і того факту, що кільце <math>\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}</math>&nbsp;— поле тоді і тільки тоді, коли ''k''&nbsp;— просте число.

Для будь-якого додатного числа ''n'' множина всіх додатних його дільників є [[Частково впорядкована множина|частково впорядкованою]], якщо ми порядком вважатимемо відношення «подільності». Ця частково впорядкована множина&nbsp;— завжди [[дистрибутивна ґратка]]. Вона&nbsp;— [[Булева алгебра (структура)|булева алгебра]] в тому і тільки в тому випадку, коли ''n'' вільне від квадратів.

[[Радикал цілого числа]] завжди вільний від квадратів.

== Щільність вільних від квадратів чисел ==
Нехай <math>Q(x)</math> задає число вільних від квадратів чисел на проміжку від 1 до ''x.'' Для великого ''n,'' 3/4 додатних чисел, менших від ''n'', не діляться на 4, 8/9 цих чисел не діляться на 9 і&nbsp;т.&nbsp;д. Оскільки ці події незалежні, отримуємо формулу:

: <math>Q(x) \approx x\prod_{p\ \text{prime}} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{(1-\frac{1}{p^2})^{-1}} </math>

: <math>Q(x) \approx x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}+\cdots} = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}} = \frac{x}{\zeta(2)} </math>

Можна отримати формулу без дзета-функції:

: <math>Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(\sqrt{x}\right) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(\sqrt{x}\right)</math>

(див. [[Число пі|pi]] і [[Нотація Ландау|«O» велике і «o» мале]]). Згідно з [[Гіпотеза Рімана|гіпотезою Рімана]], оцінку можна поліпшити:

: <math>Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(x^{17/54+\varepsilon}\right) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(x^{17/54+\varepsilon}\right).</math>

Ось як поводиться різниця числа вільних від квадратів чисел до ''n'' і <math>\left[\frac{n}{\zeta(2)}\right]</math> на сайті OEIS: [http://www.oeis.org/A158819 A158819&nbsp;— (Number of square-free numbers ≤ ''n)'' minus round ''(n'' / ζ (2)).] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191222143553/http://oeis.org/A158819 |date=22 грудня 2019 }}

Таким чином [[асимптотична щільність]] вільних від квадратів чисел виглядає так:

: <math>\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}</math>

де <math>\zeta</math>&nbsp;— [[дзета-функція Рімана]] а <math>1/\zeta(2)\approx 0.6079</math> (тобто, приблизно 3/5 всіх чисел вільні від квадратів).

Аналогічно, якщо <math>Q(x,n)</math> означає число ''n''-вільних чисел (тобто 3-вільні числа не містять кубів) між 1 і ''x,'' то:

: <math>Q(x,n) = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}} + O\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{x}{\zeta(n)} + O\left(\sqrt[n]{x}\right).</math>

== Кодування двійковими числами ==
Якщо подати вільне від квадратів число як нескінченний добуток виду

: <math>\prod_{n=0}^\infty {p_{n+1}}^{a_n},</math>

де <math>a_n\in\{0,1\},</math>, а <math>p_n</math>&nbsp;— ''n-е'' просте число, то ми можемо вибирати ці коефіцієнти <math>a_n</math> і використовувати їх як біти в бінарному кодуванні:

: <math>\sum_{n=0}^\infty {a_n}\cdot 2^n</math>

Наприклад, вільне від квадратів число 42 розкладається як 2 · 3 · 7, або як нескінченний добуток:

2<sup>1</sup> · 3<sup>1</sup> · 5<sup>0</sup> · 7<sup>1</sup> · 11<sup>0</sup> · 13<sup>0</sup> · …;

Таким чином, число 42 кодується послідовністю <tt>... 001011</tt> або 11 в десятковій системі (в бінарному кодуванні біти пишуться навпаки). А оскільки розклад на прості множники кожного числа&nbsp;— унікальний, то унікальним є й бінарний код кожного вільного від квадратів числа.

Зворотне також істинне: оскільки у кожного додатного числа є унікальний бінарний код, його можна декодувати, отримуючи унікальні числа, вільні від квадратів.

Візьмемо знову для прикладу число 42&nbsp;— на цей раз просто як додатне число. Тоді ми отримуємо бінарний код <tt>101010</tt>&nbsp;— це означає: 2<sup>0</sup> · 3<sup>1</sup> · 5<sup>0</sup> · 7<sup>1</sup> · 11<sup>0</sup> · 13<sup>1</sup> = 3 · 7 · 13 = 273.

З точки зору потужностей, це означає, що [[потужність множини]] чисел, вільних від квадратів, збігається з потужністю множини всіх натуральних чисел. Що в свою чергу означає, що кодування вільних від квадратів чисел по порядку&nbsp;— точно є перестановкою множини натуральних чисел.

Див. послідовності [[oeis:A048672|A048672]] і [[oeis:A064273|A064273]] на сайті [[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|OEIS]] .

== Гіпотеза Ердеша ==
[[Центральний біноміальний коефіцієнт]] <math>{2n \choose n}</math> не може бути вільним від квадратів для ''n>''4.

Це припущення [[Пал Ердеш|Ердеша]] про безквадратність довели в 1996 році математики Олів'єр Рамаре і Ендрю Гревілл.

== Див. також ==
* [[Функція Мебіуса]]
* [[Функція суми квадратів]]

== Література ==
* ''Бухштаб А. А.'' Теория чисел.&nbsp;— М.: Просвещение, 1966.&nbsp;— 385 с.

== Примітки ==
{{Reflist}}
{{Числа за подільністю}}
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]
[[Категорія:Теорія кілець]]
[[Категорія:Теорія чисел]]