Перегляд вихідного коду сторінки Відповідність між множинами

'''Відповідністю між множинами''' ''A'' і ''B'' в [[теорія множин|теорії множин]] називається будь-яка [[підмножина]] ''C'' [[декартів добуток|декартового добутку]] ''A×B''.
Якщо ''(a, b)''∈''C'', то кажуть, що елемент b '''відповідає''' елементу ''a'' при відповідності ''C''.

В математичній літературі також інколи прийнято вважати поняття відповідності між множинами [[синонім|синонімом]] поняття [[відношення]] між множинами. Тут ці поняття розрізняються.

== Графіки відповідностей ==
Відповідність можна задавати '''графіком відповідності'''. Нехай ''А''={1,2,3,4,5} і ''B''={a, b, c, d}, а ''C'' = {(1,a), (1,d), (2,с), (2,d), (3,b), (5,a), (5,b)}&nbsp;— відповідність між ''A'' і ''B''. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через ''a, b, c, d''&nbsp;— горизонтальні прямі на координатній площині.

[[Файл:Corresp_graph_1.PNG|thumb|200px|left|Графік відповідності]]
[[Файл:Corresp_graph_2.PNG|thumb|200px|right|Діаграма відповідності]]

Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності.

Для задання невеликих скінченних відповідностей є '''діаграма або граф відповідності'''. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини ''A'', у колонці праворуч&nbsp;— точки, позначені елементами множини ''B''. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (''a, b'') належить заданій відповідності.

Іноді відповідність між двома множинами (з узагальненням на довільну кількість множин) визначають саме як [[кортеж]] (''A'', ''B'', G<sub>AB</sub>), де ''A'', ''B''&nbsp;— множини, між якими встановлюється відповідність, а G<sub>AB</sub> = ''A×B''&nbsp;— '''графік відповідності'''

== Область визначення та область значень ==
''Дивись також [[область значень|Область значень та область визначення відображення (функції)]]''

Припустимо, що ''C∈A×B'' деяка відповідність. [[Декартів добуток|Проєкція множини]] Pr<sub>1</sub> ''C'' називається '''областю визначення''', а множина Pr<sub>2</sub>C&nbsp;— '''областю значень''' відповідності ''C''.

Якщо Pr<sub>1</sub> ''C''=''A'', то відповідність ''C'' називається '''всюди або повністю визначеною'''. В противному разі відповідність називається '''частковою'''.

== Образ та прообраз ==
''Дивись також [[Образ відображення|Образ та прообраз відображення (функції)]]''

'''Образом елемента''' a∈Pr<sub>1</sub> ''C'' при відповідності ''C'' називається множина всіх елементів b∈Pr<sub>2</sub> ''C'', які відповідають елементу ''a''.

'''Прообразом елемента''' b∈Pr<sub>2</sub> ''C'' при відповідності ''C'' називається множина всіх тих елементів a∈Pr<sub>1</sub> ''C'', яким відповідає елемент ''b''.

Якщо A∈Pr<sub>1</sub> ''C'', то '''образом множини''' ''A'' при відповідності ''C'' називається об'єднання образів усіх елементів з ''A''. Аналогічно означається '''прообраз множини''' B∈Pr<sub>2</sub> ''C''.

== Обернена відповідність ==
''Дивись також [[Обернене відображення|Обернене відображення (функція)]]''

Відповідністю, '''оберненою''' до заданої відповідності ''C'' між множинами A і B, називається відповідність ''D'' між множинами ''B'' і ''A'' така, що D ={(b, a) | (a, b)∈C}.

Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C<sup>-1</sup>.

== Композиція відповідностей ==
''Дивись також [[Композиція функцій|Композиція відображень (функцій)]]''

Якщо задано відповідності <math>~ R_1 \subseteq A \times B</math> і <math>~ R_2 \subseteq B \times C</math>, то '''композицією відповідностей''' <math>~ R_1</math> і <math>~ R_2</math> (позначається <math>~ R_1 \circ R_2</math>) називається відповідність <math>~ R</math> між множинами <math>~ A</math> і <math>~ C</math> така, що
: <math>~ R = \{\langle a, c \rangle| \ \ \exists b \ (b \in B \ \land \ \langle a, b \rangle \in R_1 \ \land \ \langle b, c \rangle \in R_2\}</math>.

== Відповідності, функції та відображення ==
У математичній літературі прийнято називати відповідність ''C''⊆''A×B'' '''функціональною відповідністю''' або [[відображення|функцією]] з ''A'' в ''B'', якщо кожному елементові ''a''∈Pr<sub>1</sub> ''C'' відповідає тільки один елемент з Pr<sub>2</sub> ''C''.

Термін '''відображення''' зазвичай вживається як синонім функції, але деякі джерела схильні розрізняти ці поняття, причому в одних функцією називається таке відображення, яке є всюди визначеним, а в інших&nbsp;— навпаки: відображенням вважається така функція, яка є всюди визначеною.

== Див. також ==
* [[Відображення]]
* [[Декартів добуток множин]]

== Джерела ==
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}

[[Категорія:Теорія множин]]