Перегляд вихідного коду сторінки Віднімання

{{Результати обчислення}}
[[Файл:Subtraction01.svg|right|thumb|При відніманні двох персиків від п'яти залишається три персики]]
'''Відніма́ння'''&nbsp;— [[бінарна операція]] обернена [[додавання|додаванню]].
Віднімання позначається здебільшого знаком «−» ([[мінус]]).

У виразі
: <math>~ a -b = x </math>,

:<math>~a</math> називається [[зменшуване|зменшуваним]],
:<math>~b</math> називається [[від'ємник]]ом,
:<math>~x</math> — результат віднімання, називається [[різниця|різницею]].

Для виконання операції віднімання потрібно знайти таке <math> x </math>, що у [[сума|сумі]] з від'ємником <math> b </math> давало б зменшуване <math> a</math>:
: <math>~ b + x = a </math>

== Позначення і термінологія ==
[[File:Subtraction chart.png|thumb|180px|Віднімання чисел 0–10. Підписи до прямих = від'ємник. Вісь X = зменшуване. Вісь Y = різниця.]]
Віднімання записують за допомогою знака [[Знаки плюс і мінус|мінус]] "−" між термами; що є використанням [[Інфіксна нотація|інфіксної нотації]]. Результат записується після знака [[Знак рівності|рівності]]. Наприклад,
:<math>2 - 1 = 1 </math> (словами, "два мінус один дорівнює один")
:<math>4 - 2 = 2 </math> (словами, "чотири мінус два дорівнює два")
:<math>6 - 3 = 3 </math> (словами, "шість мінус три дорівнює трьом")
:<math>4 - 6 = -2 </math> (словами, "чотири мінус шість дорівнює мінус два")

Існують ситуації коли запис із відніманням є "зрозумілим" навіть, якщо не вказано жодного символу:
*У стовпчику з двох чисел, якщо нижнє число написане червоним, таке написання зазвичай вказує на те, що нижнє число треба відняти від верхнього, а різницю треба записати нижче під лінією. Зазвичай це використовують у бухгалтерії.{{джерело}}

== Віднімання чисел ==

=== Натуральні числа ===
Віднімання [[Натуральні числа|натуральних чисел]] не є [[Замикання (математика)|замкненим]]. Різниця не буде натуральним числом, коли від'ємник більший або рівний за зменшуване число. Наприклад, 26 не можна відняти із 11, так щоб результатом було натуральне число. 

Необхідність віднімати від меншого числа більше призвела до введення [[від'ємне число|від'ємних чисел]].

=== Цілі числа ===
[[File:Line Segment jaredwf.svg|left|]]
Уявімо [[відрізок|лінійний відрізок]] [[Довжина|довжиною]] ''b'' лівий кінець якого відмічено як ''a'' а правий кінець відмічено літерою ''c''. 
Починаючи від ''a'', необхідно здійснити ''b'' кроків праворуч аби досягти ''c''. Цей рух праворуч математично моделюється за допомогою [[додавання]]:
:''a'' + ''b'' = ''c''.

Із ''c'', необхідно здійснити ''b'' кроків ''ліворуч'' аби повернутися назад до ''a''. Цей рух ліворуч математично моделюється за допомогою віднімання:
:''c'' − ''b'' = ''a''.

[[File:Subtraction line segment.svg|left|]]
Тепер, уявімо лінійний відрізок, який розмічено числами {{num|1}}, {{num|2}}, і {{num|3}}. Із позиції 3, не треба здійснювати ніяких кроків ліворуч аби залишитися у 3, тому {{nowrap|1=3 − 0 = 3}}. Необхідно здолати 2 кроки ліворуч аби дістатися позиції 1, тому {{nowrap|1=3 − 2 = 1}}. Це зображення є не повним аби описати, що станеться якщо виконати 3 кроки ліворуч від позиції 3. Аби зобразити таку операцію, лінію треба продовжити.

Аби відняти довільні [[натуральні числа]], почнемо із прямої, на якій містяться всі натуральні числа (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Від 3, буде здійснено 3 кроки ліворуч аби дістатися 0, тому {{nowrap|1=3 − 3 = 0}}. Але {{nowrap|3 − 4}} залишається не визначеним, оскільки знову виходить за межі відрізку. Натуральні числа не корисним прикладом для віднімання.

Рішенням є розглянути [[Числова вісь|числову пряму]] [[Цілі числа|цілих чисел]] (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Із 3, необхідно здійснити 4 кроки ліворуч аби отримати −1:
:{{nowrap|1=3 − 4 = −1}}.

=== Раціональні числа ===
[[Раціональне число|Раціональні числа]] при відніманні спочатку треба звести до [[найменший спільний знаменник|найменшого спільного знаменника]].
:<math>\frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{2\cdot 5} - \frac{1}{3\cdot 5} =
\frac{\color{Red}3}{2\cdot {\color{Red}3}\cdot 5} - \frac{\color{Red}2}{{\color{Red}2}\cdot 3\cdot 5} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}</math>;

=== Дійсні числа ===
Віднімання дійсних чисел визначається як додавання чисел із знаком. Зокрема, число віднімається додаванням його [[Протилежне число|протилежного числа]]. Тоді ми матимемо {{nowrap|1=3 − π = 3 + (−π)}}. Це дозволяє зберегти [[Кільце (алгебра)|кільце]] дійсних чисел "простим" без необхідності вводити "нові" оператори, такі як віднімання. Зазвичай кільце має лише дві визначені операції; у випадку цілих чисел, це додавання і множення. Кільце вже має поняття адитивного протилежного, але в ньому немає жодного поняття щодо окремої операції віднімання, тому використовуючи додавання із знаком дає можливість застосувати аксіоми про кільця до віднімання без необхідності щось доводити.

=== Комплексні числа ===
[[Файл:Диаграмма11.svg|thumb|249x249px|Віднімання двох комплексних чисел c=a-b можна представити геометрично як віднімання векторів із побудовою трикутника.]]

Віднімання двох [[Комплексні числа|комплексних чисел]] одне від одного здійснюють за допомогою віднімання дійсних і уявних частин. Це означає, що:
: <math>c+fi=(a+di) - (b+ei) = (a-b) + (d-e)i,\ </math>
Де:  <math>c, a, b, d, e, f \in \R</math>,  <math>i</math> — [[уявна одиниця]]. Якщо представити комплексні числа [[Вектор|векторами]] на [[Комплексна площина|комплексній площині]], то операція віднімання матиме таку [[Геометрія|геометричну]] інтерпретацію: різницею комплексних чисел <math>a+di</math> та <math>b+ei</math>, заданих у вигляді векторів на комплексній площині є вектор, що сполучає кінці зменшуваного і від'ємника і направлений від від'ємника в сторону зменшуваного.

Аналогічним чином віднімаються n-вимірні комплексні числа: <math>A=a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n, ~~~ B=b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n;</math>
<math>C=A-B=(a_11+a_2i_2+ \dots +a_{n}i_n) - (b_11+b_2i_2+ \dots +b_{n}i_n) =</math> <math> =(a_1-b_1)1+(a_2-b_2)i_2+ \dots +(a_n-b_n)i_n = c_11+c_2i_2+ \dots +c_ni_n.</math>

== Властивості ==
* Операція віднімання не є ані [[комутативність|комутативною]], ані [[асоціативність|асоціативною]].
* Операція віднімання є [[Антикомутативність|антикомутативною]].
* Операція віднімання для [[комплексні числа|комплексних чисел]], [[вектор]]ів та [[матриця (математика)|матриць]] виконується поелементно.

=== Антикомутативність ===
Віднімання є [[Антикомутативність|антикомутативною]] операцією, це означає, що якщо хтось міняє терми у різниці з ліва на право, результат буде від'ємним в порівнянні із початковим результатом. Якщо записати це у символічному вигляді, нехай ''a'' і ''b'' це довільні два числа, тоді
:''a'' − ''b'' = −(''b'' − ''a)''.

=== Не-асоціативність ===
Віднімання є [[Асоціативність|не-асоціативною]] операцією, що виникає, коли хтось задає повторювані віднімання. Чи потрібно при цьому вираз
:"''a'' − ''b'' − ''c''"
задати такими способами: (''a'' − ''b'') − ''c'' або ''a'' − (''b'' − ''c'')? Ці два варіанта дають різні результат. Аби усунути цю неоднозначність, необхідно встановити [[черговість операцій]], оскільки різний порядок даватиме різний результат.

== Віднімання вручну ==
=== У стовпчик ===
==== Австралійський метод ====
Приклад:
<gallery>
File:Vertical Subtraction Method B Step 1.JPG|1 + ... = 3
File:Vertical Subtraction Method B Step 2.JPG|Різниця записується під лінією.
File:Vertical Subtraction Method B Step 3.JPG|9 + ... = 5<br>Необхідна сума (5) за мала!
File:Vertical Subtraction Method B Step 4.JPG|Тому, додамо до неї 10 і допишемо 1 під наступним старшим розрядом зменшуваного числа.
File:Vertical Subtraction Method B Step 5.JPG|9 + ... = 15<br>Тепер ми можемо порахувати різницю, як раніше.
File:Vertical Subtraction Method B Step 6.JPG|(4 + 1) + ... = 7
File:Vertical Subtraction Method B Step 7.JPG|Різниця записується під лінією.
File:Vertical Subtraction Method B Step 8.JPG|Загальна різниця.
</gallery>

==== Віднімання зліва направо ====
Приклад:
<gallery>
File:LeftToRight Subtraction Step 1.JPG|7 − 4 = 3<br>Цей результат записано лише олівцем.
File:LeftToRight Subtraction Step 2.JPG|Оскільки наступна цифра від'ємника менша за зменшуване, віднімемо одиницю від нашого записаного олівцем числа і в умі додамо десятку до наступного.
File:LeftToRight Subtraction Step 3.JPG|15 − 9 = 6
File:LeftToRight Subtraction Step 4.JPG|Оскільки наступна цифра від'ємника не є меншою ніж у зменшуваного, ми залишаємо це число.
File:LeftToRight Subtraction Step 5.JPG|3 − 1 = 2
</gallery>

==== Американський метод ====
За цим методом, від кожної цифри зменшуваного, що зверху, віднімається нижнє число починаючи з права на ліво. Якщо верхнє число за мале, аби відняти від нього нижнє, додамо до нього 10; це 10 "позичено" із цифри ліворуч, від якої ми віднімаємо 1. Тоді ми рухаємося до наступного числа і позичаємо одиницю із старшого розряду, якщо це необхідно, доки не виконаємо віднімання усіх цифр.
Приклад:
<gallery>
File:Vertical Subtraction Method A Step 1.JPG|3 − 1 = ...
File:Vertical Subtraction Method A Step 2.JPG|Різниця записується під лінією.
File:Vertical Subtraction Method A Step 3.JPG|5 − 9 = ...<br>Цифра від'ємника (5) за мала!
File:Vertical Subtraction Method A Step 4.JPG|Тому, додамо до неї 10. 10 "запозичена" із цифри ліворуч, що слідує за 1. 
File:Vertical Subtraction Method A Step 5.JPG|15 − 9 = ...<br>Тепер віднімання можна здійснити, і ми записуємо різницю під лінією.
File:Vertical Subtraction Method A Step 6.JPG|6 − 4 = ...
File:Vertical Subtraction Method A Step 7.JPG|Різниця записується під лінією.
File:Vertical Subtraction Method A Step 8.JPG|Загальна різниця.
</gallery>

==== Попереднє торгування ====
Варіантом американського методу є метод, де всі запозичення здійснюються до виконання всіх віднімань<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=25 лютого 2014 }} Subtraction: Trade First</ref>.

Приклад:
<gallery>
File:Trade First Subtraction Step 1.JPG|1 − 3 = не можливе.<br>Додамо 10 до 1. Оскільки 10 є "позиченою" від сусідньої 5, від 5 віднімається 1.
File:Trade First Subtraction Step 2.JPG|4 − 9 = не можливе.<br>Тому ми робимо як під час виконання кроку 1.
File:Trade First Subtraction Step 3.JPG|Здійснюючи віднімання з права на ліво:<br>11 − 3 = 8
File:Trade First Subtraction Step 4.JPG|14 − 9 = 5
File:Trade First Subtraction Step 5.JPG|6 − 4 = 2
</gallery>

==== Часткові різниці ====
Метод із частковими різницями відрізняється від попередніх методів віднімання у стовпчик, оскільки не потребує ні позичання ні переносу. Замість цього, ставлять знак мінус чи плюс залежно від того чи є від'ємник більший або менший за зменшуване. Сума усіх часткових різниць дає в результаті загальну різницю.<ref>[http://ouronlineschools.org/Schools/NC/Demoschool/4thGrade/Math/PartialDifferences.htm Partial-Differences Subtraction] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140623021239/http://ouronlineschools.org/Schools/NC/Demoschool/4thGrade/Math/PartialDifferences.htm |date=23 червня 2014 }}; [https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=25 лютого 2014 }} Subtraction: Partial Differences</ref>

Приклад:
<gallery>
File:Partial-Differences Subtraction Step 1.JPG|The smaller number is subtracted from the greater:<br>700 − 400 = 300<br>Оскільки від'ємник більший за зменшуване, ця різниця записується із знаком плюс.
File:Partial-Differences Subtraction Step 2.JPG|The smaller number is subtracted from the greater:<br>90 − 50 = 40<br>Оскільки від'ємник менший за зменшуване, ця різниця записується із знаком мінус.
File:Partial-Differences Subtraction Step 3.JPG|The smaller number is subtracted from the greater:<br>3 − 1 = 2<br>Оскільки від'ємник більший за зменшуване, ця різниця записується із знаком плюс.
File:Partial-Differences Subtraction Step 4.JPG|+300 − 40 + 2 = 262
</gallery>

=== Інші методи ===
==== Метод підрахунку ====
Замість знаходження різниці цифра за цифрою, можна підрахувати числа між зменшуваним і від'ємником.<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=25 лютого 2014 }} Subtraction: Counting Up</ref>

Приклад:
1234 − 567 = можна знайти виконавши такі дії:
*{{nowrap|1=567 + '''3''' = 570}}
*{{nowrap|1=570 + '''30''' = 600}}
*{{nowrap|1=600 + '''400''' = 1000}}
*{{nowrap|1=1000 + '''234''' = 1234}}
Додамо значення із кожного кроку аби отримати загальну різницю: {{nowrap|1=3 + 30 + 400 + 234 = 667}}.

==== Віднімання по частинах ====
Іншим методом, що є корисним для розрахунку в умі, є розбити операцію віднімання на невеликі дії<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=25 лютого 2014 }} Subtraction: Left to Right Subtraction</ref>.

Приклад:
1234 − 567 = можна порахувати так:
*1234 − '''500''' = 734
*734 − '''60''' = 674
*674 − '''7''' = 667

==== Однакові зміни ====
Метод внесення однакової зміни використовує факт, що додавання або віднімання однакового числа від від'ємника і зменшуваного не змінює результат. Для отримання нулів до зменшуваного додають необхідне число.<ref>[https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140225135251/https://sites.google.com/a/oswego308.org/msimester/home/math/algorithms/subtraction |date=25 лютого 2014 }} Subtraction: Same Change Rule</ref>

Приклад:

"1234 − 567 =" можна розв'язати так:
*{{nowrap|1=1234 − 567 = 1237 − 570 =}} {{nowrap|1=1267 − 600 = 667}}

== Див. також ==
* [[Чотири арифметичні дії]]
* [[Додавання]]
* [[Множення]]
* [[Ділення]]
* [[Рахування китайськими паличками]]

== Джерела ==
* ''Погребиський Й. Б.'' Арифметика.&nbsp;— К., 1953

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Математика-доробити}}
{{Елементарна арифметика}}
{{Гіпероперації}}

[[Категорія:Віднімання| ]]
[[Категорія:Арифметичні операції]]
[[Категорія:Елементарна арифметика]]
[[Категорія:Бінарні операції]]
[[Категорія:Математична нотація]]