Перегляд вихідного коду сторінки Відношення

{{otheruses|Відношення (значення)}}
'''Відношення'''&nbsp;— математична структура, що формально визначає властивості різних [[Математичний об'єкт|об'єктів]] і їхні взаємозв'язки. Поширеними прикладами відношень у математиці є [[Відношення рівності|рівність (=)]], [[подільність]], подібність, [[паралельність]] і багато інших.

Поняття відношення як підмножини [[Декартів добуток множин|декартового добутку]] формалізовано в теорії множин і набуло широкого поширення в мові математики у всіх її гілках. Теоретико-множинний погляд на відношення характеризує його з точки зору обсягу&nbsp;— якими комбінаціями елементів воно наповнене; змістовний підхід розглядається в [[Математична логіка|математичній логіці]], де відношення&nbsp;— [[Предикат|пропозиційна функція]], тобто вираз з невизначеними змінними, підстановка конкретних значень для яких робить його істинним або хибним. Важливу роль відношення відіграють в універсальній алгебрі, де базовий об'єкт вивчення розділу&nbsp;— множина з довільним набором операцій та відношень. Одне з найяскравіших застосувань техніки математичних відношень в [[Прикладна математика|прикладах]]&nbsp;— [[Реляційна система керування базами даних|реляційні системи керування базами даних]], методологічно засновані на [[Реляційна алгебра|формальній алгебрі відношень]].

== Формальні означення і позначення ==
<math>n</math>-місним (<math>n</math>-[[арність|арним]]) відношенням <math>R</math>, що задане на [[множина]]х <math>M_1,M_2,\ldots,M_n</math>, називається підмножина [[Декартовий добуток|декартового добутку]] цих множин: <math>R \subseteq M_1 \times M_2 \times \dots M_n</math>. Факт зв'язку <math>n</math> елементів <math>\langle m_1 \in M_1, m_2 \in M_2, \dots m_n \in M_n \rangle</math> відношенням <math>R</math> позначається <math>R (m_1, m_2, \dots, m_n)</math> або <math>(m_1, m_2, \dots, m_n) \in R</math>.

Факт зв'язку об'єктів <math>m_1 \in M_1</math> і <math>m_2 \in M_2</math> [[Бінарне відношення|бінарним відношенням]] <math>R \subset M_1 \times M_2</math> зазвичай позначають за допомогою [[Інфіксна нотація|інфіксного запису]]: <math>m_1 \, R \, m_2</math>. Одномісні (унарні) відношення відповідають [[властивість|властивостям]] або атрибутам, як правило, для таких випадків термінологія відношень не використовується. Іноді використовуються тримісні відношення ([[Тернарне відношення|тернарні]]), чотиримісні відношення (кватернарні); про відношення невизначено високої арності говорять як про «мультиарні», «багатомісні».

{{Якорь|Універсальне відношення|Нуль-відношення}}'''''Універсальне відношення'''''&nbsp;— це відношення, що зв'язує усі елементи заданих множин, тобто, таке, що збігається з декартовим добутком: <math>R = M_1 \times M_2 \times \dots M_n</math>. '''''Нуль-відношення'''''&nbsp;— відношення, що не зв'язує жодні елементи, тобто [[порожня множина]]: <math>R = \varnothing \subset M_1 \times M_2 \times \dots M_n</math>.

Функціональне відношення&nbsp;— відношення, що утворює [[Функція (математика)|функцію]]: <math>R \subseteq M_1 \times M_2 \times \dots M_n \dots M_{n+1}</math> є функціональним, якщо виконання <math>R (m_1, \dots, m_n, x)</math> та <math>R (m_1, \dots, m_n, y)</math> має наслідком <math>x=y</math> (це забезпечує єдиність значення функції).

== Унарне відношення ==
При ''n''=1 відношення ''R''⊆''M'' називають '''одномісним''' або '''унарним'''. Таке відношення часто називають також '''ознакою''' або '''характеристичною властивістю''' елементів множини ''M''. Кажуть, що елемент ''a''∈''M'' має ознаку ''R'', якщо ''a∈R'' і ''R⊆M''.

== Бінарне відношення ==
''Докладніше дивись статтю [[Бінарне відношення]]''

Широко вживаними в [[математика|математиці]] та прикладних науках є двомісні або [[бінарне відношення|бінарні відношення]] (тобто відношення з ''n''=2)

Якщо елементи a, b∈M знаходяться в бінарному відношенні ''R'' (тобто визначена [[впорядкована пара]] (a, b)∈R), то це часто записують у вигляді ''a''R''b''. Слід зауважити також, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок [[відповідність між множинами|відповідностей]], а саме&nbsp;— як відповідності між однаковими множинами.

Приклади бінарних відношень на множині [[натуральне число|натуральних чисел]] '''N''':
* R<sub>1</sub>&nbsp;— відношення ≤ («менше або дорівнює»), тоді 4 R<sub>1</sub> 19, 5 R<sub>1</sub> 15 і&nbsp;т.&nbsp;д. для будь-якого m ∈'''N'''
* R<sub>2</sub>&nbsp;— відношення «ділиться на», тоді 4 R<sub>2</sub> 2, 49 R<sub>2</sub> 7, m R<sub>2</sub> 1 для будь-якого m∈'''N'''
* R<sub>3</sub>&nbsp;— відношення «є взаємно простими», тоді 15 R<sub>3</sub> 38, 366 R<sub>3</sub> 3121, 1001 R<sub>3</sub> 3612
* R<sub>4</sub>&nbsp;— відношення «складаються з однакових цифр», тоді 127 R<sub>4</sub> 4721, 230 R<sub>4</sub> 4302, 3231 R<sub>4</sub> 43213311

== Див. також ==
* [[Бінарне відношення]]
* [[Відношення порядку]]
* [[Відношення еквівалентності]]

== Джерела ==
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}
* Відношення // {{ФЕС}}
{{Математична логіка}}

[[Категорія:Математичні відношення| ]]
[[Категорія:Математична логіка]]