Перегляд вихідного коду сторінки Вузол (математика)

[[Файл:Knot_table.svg|праворуч|міні|350x350пкс]]
[[Файл:Figure8knot-01.png|ліворуч|міні|[[Вісімка (теорія вузлів)|Вісімка (вузол Лістинга)]]]]
[[Файл:Example_of_Knots.svg|міні|427x427пкс]]
[[Файл:Trefle.jpg|міні|350x350пкс]]
'''Вузол''' у математиці&nbsp;— [[вкладення]] кола (двовимірної сфери) в тривимірний [[евклідів простір]], розглянуте з точністю до [[Ізотопія|ізотопії]]. Основний предмет вивчення [[Теорія вузлів|теорії вузлів]]. Два вузли [[Гомеоморфізм|топологічно еквівалентні]], якщо один з них можна деформувати в інший, причому в процесі деформації не повинно виникати самоперетинів.

Частковим випадком є питання про розпізнавання тривіальності того чи іншого вузла, тобто про те, чи є заданий вузол ізотопним [[Тривіальний вузол|тривіальному вузлу]] (чи можна його розв'язати).

Для визначення того, чи є конкретний вузол тривіальним, можна використовувати різні [[Інваріант вузла|інваріанти вузлів]], наприклад [[многочлен Александера]] або [[Фундаментальна група|фундаментальну групу]] [[Доповнення вузла|доповнення]]. Зазвичай їх можна порахувати виходячи з [[Діаграма вузла|вузлової діаграми]].

== Класифікація ==
'''[[Трилисник (вузол)|Трилисник]]''', вузол <math>3_1</math> є першим нетривіальним вузлом і єдиним вузлом з [[Число перетинів (теорія вузлів)|числом перетинів]] 3. Він є [[Простий вузол (теорія вузлів)|простим]] і позначається номером 3<sub>1</sub> у [[Нотація Александера — Бріггса|нотації Александера — Бріггса]]. {{Нп|Нотація Довкера||en|Dowker notation}} для трилисника&nbsp;— 4 6 2, а [[Нотація Конвея для вузлів|нотація Конвея]] трилисника&nbsp;— [3].

Трилисник нетривіальний, тобто його неможливо «розв'язати» в тривимірному просторі без розрізання. З математичної точки зору це означає, що трилисник не ізотопний [[Тривіальний вузол|тривіальному вузлу]]. Зокрема, не існує послідовності [[Рух Рейдемейстера|рухів Рейдемейстера]], за допомогою яких вузол розв'язується.

'''[[Вісімка (теорія вузлів)|Вісімка]]''', '''чотириразовий вузол''' або '''вузол Лістинга''', вузол <math>4_1</math> ― один з найпростіших нетривіальних вузлів. Вісімка позначається символом <math>4_1</math>. Вперше розглянутий [[Йоганн Бенедикт Лістинг|Лістингом]], учнем [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусса]], в [[1847|1847 році]].

Трилисник [[Хіральний вузол|хіральний]] в тому сенсі, що трилисник відрізняється від свого дзеркального відображення. Два варіанти трилисника відомі як лівобічний і правобічний. Неможливо шляхом деформації лівобічний варіант безперервним чином перевести у правобічний або навпаки. Тобто, ці два трилисники не ізотопні.

Також, можна показати, що трилисник (як правий, так і лівий) '''неізотопний''' вісімці.

'''[[Перстач (вузол)|П'ятилисник]]''', відомий також як вузол <math>5_1</math> у позначеннях Александера та Бріггса, вузол «перстач» і '''печатка Соломона''',&nbsp;— це вузол, для якого число перетинів (мінімальне можливе число самоперетинів на діаграмі&nbsp;— плоскому малюнку&nbsp;— вузла) дорівнює п'яти.

Для багатокомпонентних вузлів у верхньому індексі зазначається кількість компонентів: наприклад, зачеплення двох кілець має символьний запис <math>2^2_1</math>.

Це були приклади ''поліноміальних''<ref name="Armstrong">{{Harvtxt|Armstrong|1983}}, p. 215.</ref> вузлів. Неполіноміальним вузлом є дикий вузол<ref name="wild">{{Harvtxt|Livingstone|1996}}, Section 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11-14.</ref>
[[Файл:Wild_knot.svg|міні|Приклад дикого вузла.]]
'''[[Дикий вузол]]'''&nbsp;— вузол <math>L</math> в евклідовому просторі <math>E^3</math> такий, що не існує [[Гомеоморфізм|гомеоморфізму]] <math>E^3</math> на себе, при якому <math>L</math> переходить в замкнуту ламану, що складається зі скінченного числа відрізків.

== Вузли та зачеплення ==
Вкладення (частіше&nbsp;— його образ) незв'язної суми <math>\mu</math> примірників кола в <math>\mathbb{R}^3</math> або <math>S^3</math> називається ''[[Зачеплення (теорія вузлів)|зачепленням]] кратності'' <math>\mu</math>.

Вузли, що входять до даного зачеплення, називають його ''компонентами''.

== Інваріанти вузлів ==
{{Докладніше|Інваріант вузла}}
В [[Теорія вузлів|теорії вузлів]] '''[[Число перетинів (теорія вузлів)|число перетинів]]''' вузла&nbsp;— це найменше число перетинів на будь-якій діаграмі вузла. Число перетинів є інваріантом вузла.

Наприклад, [[тривіальний вузол]] має нульове число перетинів, число перетинів трилисника дорівнює трьом, а число перетинів вісімки дорівнює чотирьом.

Іншими числовими інваріантами вузла є [[Число мостів (теорія вузлів)|число мостів]], [[коефіцієнт зачеплення]], [[Число відрізків (теорія вузлів)|число відрізків]] і [[число розв'язування]].

== Доповнення вузла ==
{{Докладніше|Доповнення вузла}}
[[Файл:6₂_knot.webm|міні|6₂ Вузол]]
{{Нп|Теорема Гордона — Люкке||en|Gordon–Luecke theorem}} стверджує, що доповнення вузла (як [[Топологічний простір|топологічного простору]]) є «повним інваріантом» вузла, в тому сенсі, що воно відрізняє заданий вузол від всіх інших з точністю до {{Нп|Охоплювальна ізотопія|охоплювальної ізотопії|ru|Объемлющая изотопия}} та [[Дзеркальне відображення (теорія вузлів)|дзеркального відображення]]. Серед інваріантів, пов'язаних з доповненням вузла, є [[група вузла]], яка є просто [[Фундаментальна група|фундаментальною групою]] його доповнення.

== Див. також ==
* [[Зачеплення (теорія вузлів)]]
* [[Простий вузол (теорія вузлів)]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==
* {{книга-ру
 | вклад=Energy functions for knots: Beginning to predict physical behavior
 | заглавие=Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics
 | серия=The IMA Volumes in Mathematics and its Applications
 | том=82
 | год=1996
 | автор=Simon Jonathan
 | doi=10.1007/978-1-4612-4066-2_4
 | ответственный=Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners
 | ref= Jonathan
}}
* {{книга-ру
 | автор=P.G. Tait
 | вклад=On Knots I,II,III
 | заглавие=Scientific papers
 | том=1
 | издательство=Cambridge University Press
 | год=1898
 |ref= Tait
}}
* {{книга-ру
 | автор=C. A. Adams
 | год=2004
 | заглавие=The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots
 | издательство=American Mathematical Society
 | isbn= 9780821836781
 | url=https://books.google.com/books?id=M-B8XedeL9sC&pg=PA69
 |ref= Adams
}}
* {{книга-ру|автор= Кроуэлл Р., Фокс Р.|заглавие= Введение в теорию узлов|ответственный= Пер. с англ|место= Череповец|издательство= Меркурий-Пресс|год=2000|страниц= 348|isbn= 5-1148-0112-0}}.
* {{книга-ру|автор= Мантуров В. О.|заглавие= Теория узлов|место= {{М.}}|издательство= РХД|год= 2005|страниц= 512|isbn= 5-93972-404-3}}.
* {{книга-ру|автор= Мантуров В. О.|заглавие= Лекции по теории узлов и их инвариантов|место= {{М.}}|издательство= Едиториал УРСС|год= 2001|страниц= 204|isbn= 5-8360-0287-8}}.
* {{книга-ру|автор= Милнор Дж.|заглавие= Особые точки комплексных гиперповерхностей|ответственный=Пер. с англ|место= {{М.}}|издательство= Мир|год= 1971|страниц= 127}}
* {{книга-ру|автор= Мандельбаум Р.|заглавие= Четырёхмерная топология|ответственный= Пер. с англ|место=
{{М.}}|издательство= Мир|год= 1981||страниц= 286}}
* ''Hillman J. A.'' Alexander ideals of links B.&nbsp;— Hdlb.&nbsp;— N. Y., 1981.
* ''Джонс, Воган Ф. Р.'' [http://ega-math.narod.ru/Nquant/Knots.htm Теория узлов и статистическая механика] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190729163533/http://ega-math.narod.ru/Nquant/Knots.htm |date=29 липня 2019 }} // Scientific American (издание на русском языке).&nbsp;— №&nbsp;1.&nbsp;— 1991.&nbsp;— С. 44—50.
* {{книга-ру|автор=Сосинский, А. Б.|заглавие=Узлы и косы|ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.10.pdf|место={{М.}}|издательство=[[МЦНМО]]|год=2001|страниц=24|серия=Библиотека «Математическое просвещение»|том=10|isbn=5-900916-76-6}}.
* Статьи [http://www.mccme.ru/free-books/matpros4.html «Теория узлов в конце XX века»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190609115300/https://www.mccme.ru/free-books/matpros4.html |date=9 червня 2019 }} // [[Математическое просвещение]].&nbsp;— №&nbsp;3.&nbsp;— 1999.
* {{стаття|автор= Мантуров В. О.|назва= Экскурс в теорию узлов|видання= [[Сетевой образовательный журнал]]|рік= 2004|том= 8|номер= 1|сторінки= 122—127|посилання= http://window.edu.ru/window/catalog?p_rid=20826}}
* {{стаття
 | автор= H. Gruber
 | назва=Estimates for the minimal crossing number
 | arxiv=math/0303273
 | рік=2003
 |ref= Gruber
}}
* {{стаття
 | автор = Yuanan Diao 
 | doi = 10.1142/S0218216504003524
 | випуск= 7
 | видання= Journal of Knot Theory and its Ramifications
 | mr = 2101230
 | назва = The additivity of crossing numbers
 | том = 13
 | рік = 2004
 |ref= Diao
}}
* {{стаття
 | автор = Marc Lackenby
 | doi = 10.1112/jtopol/jtp028
 | випуск= 4
 | видання= Journal of Topology
 | mr = 2574742
 | назва = The crossing number of composite knots
 | url = http://www.maths.ox.ac.uk/~lackenby/csk16058.ps
 | том = 2
 | рік = 2009
 |ref= Lackenby
}}
* ''Honda K.'' [http://www.arxiv.org/abs/math/0401169 3-dimensional methods in contact geometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190729163600/https://arxiv.org/abs/math/0401169 |date=29 липня 2019 }}.{{ref-en}}
* ''Etnyre J. B.'' [http://arxiv.org/pdf/math/0306256 Legendrian and Transversal Knots].{{ref-en}}
* ''Birman J.S.'' [http://arxiv.org/pdf/math/0403489 Braids, knots and contact structures].{{ref-en}}
* {{MathWorld|title=Knot Theory|urlname=KnotTheory}}
{{Теорія вузлів}}

[[Категорія:Вузли і зачеплення]]